七年级数学下学期期中模拟卷（上海专用，新教材沪教版七下第15～17.2章：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形有关概念及内角和）

2025-2026学年七年级下学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版七年级数学下册第15~17.2章一元一次不等式、相交线与平行线、三角形有关概念及内角和。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，则下列四个不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、若，则，故A错误，符合题意； B、由于，则，那么由可得，故B正确，不符合题意； C、，则，则，故C正确，不符合题意； D、由得到，故D正确，不符合题意． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 【答案】A 【详解】解：A．2，2，3，最长的边为，，能组成三角形，符合题意； B．5，6，11，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； C．3，4，8，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； D．10，5，5，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 3．下列说法中正确的是（    ） A．同位角相等 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】B 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，不符合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意； C、直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，原说法错误，不符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原说法错误，不符合题意； 4．某品牌的液晶电视机进价为5600元，由于商场搞活动，按定价的9折销售时，利润不能低于700元，则该电视机定价最少为（    ） A．5000元 B．6000元 C．7000元 D．8000元 【答案】C 【详解】解：设该电视机定价为x元，根据题意得， 解得， ∴该电视机定价最少为7000元． 5．如图，下列说法正确的是（    ） A．如果，则 B．与是同旁内角 C．如果，那么 D．与是内错角 【答案】B 【详解】解：A. 如果，则，不能得到，故该选项不正确，不符合题意； B. 与是同旁内角，故该选项正确，符合题意； C. 如果，那么，不能得到，故该选项不正确，不符合题意；     D. 与是内错角，与不是内错角，故该选项不正确，不符合题意； 6．如图①，四边形纸片中，，．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好使得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 由翻折的性质得， ， ∴， 故选：D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设_________． 【答案】 【详解】解：反证法证明命题“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，首先应假设与平行，即． 故答案为：． 8．如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则______． 【答案】 【详解】解：， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． 9．如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 【答案】 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 10．如图，，与的度数之比为，则____． 【答案】15 【详解】解：， ， 与的度数之比为，， ． 11．关于的不等式组无解，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， ∴． 12．长方形一边长，另一边长为，又长方形周长不大于20，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：由已知可得：， 解得：． 13．为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为___________． 【答案】 【详解】解：如图：过点C作， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴ ∵，， ∴， ． 14．某种商品的进价为300元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于，则至多可打______折． 【答案】6.6 【详解】解：设可打折，由题意，得：，解得． 故至多可打6.6折． 15．如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 【答案】，， 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与所有相等的角有，，． 16．如果不等式的正整数解是1、2、3，那么偶数的值是______． 【答案】或 【详解】解： ∴， 不等式的正整数解是1、2、3 ，即， 又是偶数， 或， 故答案为或． 17．若关于的不等式组有且只有2个偶数解，关于的方程的解为非负数，则奇数______． 【答案】或 【详解】解： 解不等式得， 故不等式组的解集为， 不等式组有且只有2个偶数解，中只有两个偶数， ， 解得， 解分式方程， 方程两边同乘得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 分式方程的解为非负数，且分母不为零， ，且， 解得，且， 结合，可得满足条件的奇数为. 18．如图，直角三角形中，，，，为边上一点，为直线上一点，将图形沿翻折，得到点的对应点（位于上方），如果有一边平行于边，那么___________°． 【答案】或或 【详解】解：当，点在线段上时，如图： ∴ ∴由折叠可得； 当，点在线段延长线上时，如图 同理可求； 当，点在线段上时，过点作交于点， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可得， ∴ ∵ ∴ ∴由折叠可得； 当，点在线段延长线上时，过点作交延长线于点， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可得， ∴ ∵ ∴ ∴由折叠可得； 当时，如图： ∴， ∴有一边平行于边，那么或或． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解不等式： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ……（3分） （2）解： ……（6分） 20．（6分）按要求完成下列计算： (1)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)求不等式组的整数解． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如图所示： ……（3分） （2）解：原不等式组可化为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为．……（6分） 21．（6分）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【详解】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）．……（2分） （两直线平行，内错角相等）．……（4分） ． ．……（6分） 22．（6分）如图，有以下三个几何关系，（1）（2）（3），请你在其中任选两个作为条件，第三个作为结论，出一道题并证明其正确性． 已知：____________ 求证：____________ 证明： 【详解】解：已知：，， 求证：，……（2分） 证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴；……（6分） 已知：，， 求证：，……（2分） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴；……（6分） 已知：，， 求证：，……（2分） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．……（6分） 23．（7分）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某行业使用A、B两种型号的机器人搬运货物相关信息如表格所示，请根据表格完成下列问题： A型机器人 B型机器人 单价（万元/台） 80 60 工作量（吨/天） 75 50 (1)如果某企业计划买15台A、B机器人，并且购买B机器人的总价不少于A机器人总价的三分之一，请问最多购入几台A型机器人？ (2)如果另一企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案． 【详解】（1）解：设购买机器人台，则B机器人台， 由题意得，， 解得 因为为整数， 所以最多购入台A型机器人；……（3分） （2）解：设购买机器人台，则B机器人台， 由题意得，， 解得， 因为为整数， 所以取， 所以有三种方案，方案1：购买机器人3台，机器人台；方案2：购买机器人4台，机器人台；方案3：购买机器人5台，机器人台．……（7分） 24．（9分）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴；……（3分） （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：；……（6分） （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．……（9分） 25．（9分）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴，……（3分） （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴；……（6分） （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或．……（9分） 26．（9分）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【详解】（1）证明：如图②，过点E作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即，……（3分） （2）如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴；……（6分） （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．……（9分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下学期期中模拟卷 数学·考试版 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版七年级数学下册第15~17.2章一元一次不等式、相交线与平行线、三角形有关概念及内角和。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，则下列四个不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 3．下列说法中正确的是（    ） A．同位角相等 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 4．某品牌的液晶电视机进价为5600元，由于商场搞活动，按定价的9折销售时，利润不能低于700元，则该电视机定价最少为（    ） A．5000元 B．6000元 C．7000元 D．8000元 5．如图，下列说法正确的是（    ） A．如果，则 B．与是同旁内角 C．如果，那么 D．与是内错角 6．如图①，四边形纸片中，，．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好使得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设_________． 8．如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则______． 9．如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 10．如图，，与的度数之比为，则____． 11．关于的不等式组无解，则的取值范围是___________． 12．长方形一边长，另一边长为，又长方形周长不大于20，则的取值范围为______． 13．为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为___________． 14．某种商品的进价为300元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于，则至多可打______折． 15．如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 16．如果不等式的正整数解是1、2、3，那么偶数的值是______． 17．若关于的不等式组有且只有2个偶数解，关于的方程的解为非负数，则奇数______． 18．如图，直角三角形中，，，，为边上一点，为直线上一点，将图形沿翻折，得到点的对应点（位于上方），如果有一边平行于边，那么___________°． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解不等式： (1)； (2)． 20．（6分）按要求完成下列计算： (1)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)求不等式组的整数解． 21．（6分）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 22．（6分）如图，有以下三个几何关系，（1）（2）（3），请你在其中任选两个作为条件，第三个作为结论，出一道题并证明其正确性． 已知：____________ 求证：____________ 证明： 23．（7分）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某行业使用A、B两种型号的机器人搬运货物相关信息如表格所示，请根据表格完成下列问题： A型机器人 B型机器人 单价（万元/台） 80 60 工作量（吨/天） 75 50 (1)如果某企业计划买15台A、B机器人，并且购买B机器人的总价不少于A机器人总价的三分之一，请问最多购入几台A型机器人？ (2)如果另一企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案． 24．（9分）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 25．（9分）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 26．（9分）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期中模拟卷 数学·考试版 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版七年级数学下册第15~17.2章一元一次不等式、相交线与平行线、三角形有关概念及内角和。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，则下列四个不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 3．下列说法中正确的是（    ） A．同位角相等 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 4．某品牌的液晶电视机进价为5600元，由于商场搞活动，按定价的9折销售时，利润不能低于700元，则该电视机定价最少为（    ） A．5000元 B．6000元 C．7000元 D．8000元 5．如图，下列说法正确的是（    ） A．如果，则 B．与是同旁内角 C．如果，那么 D．与是内错角 6．如图①，四边形纸片中，，．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好使得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设_________． 8．如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则______． 9．如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 10．如图，，与的度数之比为，则____． 11．关于的不等式组无解，则的取值范围是___________． 12．长方形一边长，另一边长为，又长方形周长不大于20，则的取值范围为______． 13．为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为___________． 14．某种商品的进价为300元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于，则至多可打______折． 15．如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 16．如果不等式的正整数解是1、2、3，那么偶数的值是______． 17．若关于的不等式组有且只有2个偶数解，关于的方程的解为非负数，则奇数______． 18．如图，直角三角形中，，，，为边上一点，为直线上一点，将图形沿翻折，得到点的对应点（位于上方），如果有一边平行于边，那么___________°． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解不等式： (1)； (2)． 20．（6分）按要求完成下列计算： (1)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)求不等式组的整数解． 21．（6分）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 22．（6分）如图，有以下三个几何关系，（1）（2）（3），请你在其中任选两个作为条件，第三个作为结论，出一道题并证明其正确性． 已知：____________ 求证：____________ 证明： 23．（7分）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某行业使用A、B两种型号的机器人搬运货物相关信息如表格所示，请根据表格完成下列问题： A型机器人 B型机器人 单价（万元/台） 80 60 工作量（吨/天） 75 50 (1)如果某企业计划买15台A、B机器人，并且购买B机器人的总价不少于A机器人总价的三分之一，请问最多购入几台A型机器人？ (2)如果另一企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案． 24．（9分）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 25．（9分）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 26．（9分）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 1 2 3 4 5 6 A r B C D 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 15 7.a/6825°9.410.1511.m≥3 12.3xs13 13.145° 14.6.615.∠CAB ∠DCG,∠AGE 16.12或14 17.-5或-3 18.30或15或60 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(6分) 【详解】(1)解： 63 3(x-1)-6x+6>1+8x 3x-3-6x+6>1+8x -3x+3>1+8x -11x>-2 +52 1…(3分) 2g小r 1,1.122 2+4-4x- 3122 x- 。X一 4433 3212 4-3x<43 1/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 x<-5…(6分) 20.(6分) 5x-1x+5-20 6 4 【详解】(1)解： 35-x≥2x+5②， 解不等式①，得x<-1, 解不等式②，得x≤2， ∴原不等式组的解集为x<-1, 解集在数轴上表示如图所示： 432012>.(3分) -2-@ (2)解：原不等式组可化为-4红-1<1回 5 3 解不等式①，得≤2， 解不等式②，得x>-9 4 “原不等式组的解集为4 s3 , -2,-1,0,1 不等式组的整数解为 …(6分) 21.(6分) 【详解】证明：延长线段BC至点F,并过点C作CE川AB, :CE‖AB, ∴.∠2=∠B(两直线平行，同位角相等).…(2分) 1=∠A(两直线平行，内错角相等)·…(4分) :∠ACB+∠1+∠2=180° .∠ACB+∠A+∠B=180°.…(6分) 22.(6分) 【详解】解：已知：AD∥BC,∠B=∠D, 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求证：∠E=∠F,…(2分) 证明：：AD∥BC, .∠B=∠DAE; ∠B=∠D, ∠D=∠DAE, DF∥BE, ∠E=∠F;…(6分) 已知：AD∥BC,∠E=∠F, 求证：∠B=∠D,…(2分) 证明：∠E=∠F, DF∥BE, ,∠D=∠DAE, AD∥BC, ∠B=∠DAE: ∠B=∠D:…(6分) 已知：∠B=∠D,∠E=∠F, 求证：AD∥BC,…(2分) 证明：∠E=∠F, ∴DF∥BE, .∠D=∠DAE, ∠B=∠D, .∠B=∠DAE, AD∥BC.…(6分) 23.(7分) 【详解】1)解：设购买A机器人x台，则B机器人15-台， 1 由题意得，60×15-x≥80×，x, 3 解得xs13 13 ≈10.38 因为x为整数， 所以最多购入10台A型机器人；…(3分) 3/8 6学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （2)解：设胸买A机器人'台，则B机器人15-列台， 80y+60(15-y)≤1000 由题意得， 75y+50(15-y)≥825， 解得3≤y≤5， 因为y为整数， 所以y取3,4,5， 所以有三种方案，方案1：购买A机器人3台，B机器人12台；方案2：购买A机器人4台，B机器人11台： 方案3：购买A机器人5台，B机器人10台.…(7分) 24.(9分) 【详解】解：(1)依题意，AC边上的高BG如下图所示： 之间的数量关系： 。 E B D C DE DF BG BG=DE+DF 证明：DE LAB,DF⊥AC,BG⊥AC,AB=AC, S.48C=S.4BD+S.ACD 六4C8G-8De+4Cr, 2 2 BG=DE+DF;…(3分) (2)BG与DE的数量关系为：BG=2DE, 理由：如图，过点B作BG⊥AC交AC于点G, A DE⊥AB,DF⊥AC,AB=AC, 4/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.ABC=S.4BD+S.ACD CG-AB.DE+AC.DF, 2 .BG=DE+DF, :AB=AC,点D为BC中点时， 5m=Sm即5-DE=24C-DF, .DE DF, .BG=DE+DF DE+DE=2DE, 故答案为：BG=2DE;…(6分) (3)DE,DF,BG之间的数量关系：DF=DE+BG. 理由：如图，过点B作BG⊥AC交AC于点G, G D B E :DE L AB,DF⊥AC,AB=AC, SAACD=SA0D+SAMC C.DFDE+CG, 2 .DF=DE+BG, 故答案为：DF=DE+BG.·(9分) 25.(9分) 【详解】(1)解：：∠A=70° .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°， :点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， 2BPC=180-A8c+∠4C8=180-×10=125°，(3分) (2)解：外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q, 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠QBC+∠QCB=(LMBC+∠NCB) =2360°-∠ABC-∠ACB) -2080+∠0 (3)解：延长BC至F, E B -F CQ△ABC 为 的外角<NCB 的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， .∠ACF=2∠ECF, :BE平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠EBC, ∠ECF=∠EBC+∠E, :.2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E, 又：∠ACF=∠ABC+∠A, 六∠A=2∠E, 即∠EA ∠EBQ=∠EBC+∠CBQ 6/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =∠ABC+∠A+∠ACB)=90°， 2 ∠Q+∠E=90° △BOE 如果 中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： @<E80=4E=90 ,则2E=2.5°.4=2∠E=45 ∠EBQ=4∠Q=90° ② ∠Q=22.5°，∠E=67.5°∠A=2∠E=135° ，则 国<0-4 .则2B=18 解得<1=36 @B=40,则2B= ，解得<1=144 综上所述，∠A的度数是36°或45°或135°或144°.…(9分) 26.(9分) 【详解】(1)证明：如图②，过点E作EF∥AB, B A F.------>E D C 图② .LB=∠BEF, :EF∥AB,AB∥CD, ∴.EF∥CD(平行于同一直线的两直线平行)， ∴∠D=∠DEF(两直线平行，内错角相等)， .∠BEF+∠DEF=∠B+∠D, 即∠BED=LB+∠D,…(3分) (2)如图③，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G. 7/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E D 图③ .∠EDC=∠BGD,∠DEB=∠EBF, AB∥CG. .∠BGD=∠ABF, ∴，∠EDC-∠ABF, ,∠DEB=∠EBF=∠ABE+∠ABF=∠ABE+∠EDC:·(6分) (3)如图④中， E D 图④ :EF平分∠AEC,DF平分∠EDC, ∴.∠AEF=∠CEF,∠CDF=∠EDF, 设∠AEF=∠CEF=x,∠CDF=∠EDF=y, ∠F=x+y 结合(1)可得： :∠CED=3∠F, ∠CED=3x+3y :AB∥CD, ∠BED=∠CDE=2y :'∠AEC+∠CED+∠DEB=180°， 5x+5y=180° x+y=36° .∠F=36°.…(9分) 8/8