精品解析：江西赣州市南康区第三中学2025-2026学年第二学期高二数学综合作业（一）

南康三中2025-2026学年第二学期高二年级综合作业（一） 一、单选题 1. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列的下标和性质运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，所以. 2. 若数列满足，，则（    ） A. 1020 B. 1024 C. 2044 D. 2048 【答案】C 【解析】 【分析】整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 3. 设随机变量，满足：，，若，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入二项分布期望和方差公式，以及方差的性质，即可求解. 【详解】由条件可知，，则，, 所以. 4. 在等比数列中，已知，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件求出等比数列的公比，再由可计算出的值. 【详解】设等比数列的公比为，， ，，故选A 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，在求解等比数列的问题时，一般要结合题中条件求出公比的值，充分利用等比数列的性质求解，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题. 5. 已知在数列中，，，则数列的通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 6. 已知圆被直线所截得弧长之比为，则实数m的值是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给方程，求出圆心C和半径r，由条件分析可得圆心C到直线l的距离，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】将圆C化为标准方程可得，由得，， 则圆心，半径， 因为圆C被直线l所截得的弧长之比为， 则弧长对应的圆心角之比为，即劣弧所对的圆心角为，优弧所对的圆心角为， 如图所示，设直线l与圆交于A、B两点，则， 在中，，则圆心C到直线l的距离， 又圆心到直线l的距离， 所以，解得. 7. 已知数列满足，记的前项和为，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求. 【详解】由，得， 当时，， 以上各式相乘，得，又，所以， 因为满足上式，所以， 因为，所以. 故选:A. 8. 已知等腰梯形的四个顶点均在抛物线上，其中，并且，若四边形的面积为9，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】因为等腰梯形关于抛物线的对称轴对称，所以可设出A、B、C、D四点的坐标，利用抛物线方程和边长条件建立关系.又已知梯形的边长和面积，所以先根据等腰梯形面积公式，结合上下底长度，求出梯形的高.因为四个顶点在抛物线上，所以将顶点坐标代入抛物线方程，结合梯形的高的数值，建立关于p的方程求解. 【详解】四边形为等腰梯形，根据抛物线的对称性可知，轴，轴，不妨设在轴上方，如图所示， 因为，所以，所以，所以， 所以等腰梯形的高为，又因为四边形的面积为9， 所以4），解得. 故选:A. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为11 D. 对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A：相关系数的取值范围为，其绝对值越接近1，表示两个变量的线性相关程度越强； 越接近0，线性相关程度越弱，这是统计学中的基本结论，因此A正确； 对于B：已知，则均值， 由正态分布的对称性，得：，又已知， 所以因此B正确； 对于C：上四分位数的位置为， 故上四分位数为第8个数，因此C错误； 对于D：经验回归方程为，样本中心点为， 回归直线必过样本中心点，代入得， 解得，因此D错误. 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 直线与直线是异面直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用向量法求出点到直线距离判断B；利用线线角的向量法求解判断C. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 点， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，点到直线的距离为，B正确； 对于C，，直线与所成角的余弦值，C正确； 对于D，，即，又直线， 因此直线直线，点共面，直线与直线不是异面直线，D错误. 11. 已知等差数列的公差为，其前n项和为，且，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可得； 【详解】， 因为，得，故A错误； 因为，所以与异号，所以与异号，即，故B正确； 若，数列递增，否则所有项为负，无法满足条件，故，C错误； 若，，代入得，所以，D正确. 三、填空题 12. 已知数列满足，则＝______. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法和等差数列的前项和公式求解. 【详解】， ，，，，， ， . 13. 直线的倾斜角为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定方程，求出该直线斜率，结合诱导公式求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 而，所以. 故答案为： 14. 在的展开式中，的项的系数为_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为六个因式中五个提供，剩余一个因式提供常数，可得出含项， 合并同类项即可得出展开式中项的系数为. 四、解答题 15. 已知是数列的前项和，若是等差数列，且，. （1）求的值； （2）为何值时，的值最小？ 【答案】（1） （2）当或时，取得最小值20. 【解析】 【分析】（1）设出的公差，根据题目条件得到方程组，求出公差，得到，得到答案； （2）在（1）的基础上得到，进而得到，求出答案. 小问1详解】 设的公差为， 则，， 又，故，解得， 所以， 故； 【小问2详解】 由题意得， 故， 所以， 因为，所以当或时，取得最小值，最小值为. 16. 已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以. 【小问2详解】 ， ， 数列的前项和为. 17. 如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角为60°，如图2，M为CD的中点． （1）求三棱锥的体积． （2）求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，利用等体积法计算即可得出结果； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，所以. 所以. 【小问2详解】 以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 【点睛】 18. 已知数列满足，数列的前项和满足. （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由，构造新的等比数列求解即可；已知与的关系，分，检验求解即可； 利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由有：, 所以数列是以2为公比，首项为的等比数列， 所以，即 因为，当时，. 当时，由有：， 所以，，即 所以 所以 【小问2详解】 由（1）知， 所以——①， ——②， 由①-②得： 所以 19. 已知抛物线M：，若O为坐标原点，A、B为抛物线上异于O的两点． （1）若，P在抛物线上，求的最小值； （2）若．求证：直线AB必过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设抛物线上的点，由两点间的距离公式可求解； （2）设直线方程，和抛物线方程联立，借助一元二次方程根与系数的关系表示条件，可得直线过定点. 【小问1详解】 设， ∵P在抛物线上，∴． ∴． ∴当，即时，的最小值为． 【小问2详解】 显然直线斜率不为零，设直线AB的方程为，， 如图： 联立得， 有两个交点故． ∴，． ∵， ∴． ∴，得， ∴或（舍）． ∴直线AB过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康三中2025-2026学年第二学期高二年级综合作业（一） 一、单选题 1. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若数列满足，，则（    ） A. 1020 B. 1024 C. 2044 D. 2048 3. 设随机变量，满足：，，若，则（ ） A 3 B. C. 4 D. 4. 在等比数列中，已知，，那么等于（ ） A B. C. D. 5. 已知在数列中，，，则数列的通项公式（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆被直线所截得的弧长之比为，则实数m的值是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 7. 已知数列满足，记的前项和为，则（   ） A. B. C. D. 8. 已知等腰梯形的四个顶点均在抛物线上，其中，并且，若四边形的面积为9，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为11 D. 对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 直线与直线是异面直线 11. 已知等差数列的公差为，其前n项和为，且，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题 12. 已知数列满足，则＝______. 13. 直线的倾斜角为________． 14. 在的展开式中，的项的系数为_____． 四、解答题 15. 已知是数列的前项和，若是等差数列，且，. （1）求的值； （2）为何值时，的值最小？ 16. 已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 17. 如图1，等腰直角斜边，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角为60°，如图2，M为CD的中点． （1）求三棱锥体积． （2）求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值． 18. 已知数列满足，数列的前项和满足. （1）求通项公式： （2）设，求数列的前项和 19. 已知抛物线M：，若O为坐标原点，A、B为抛物线上异于O的两点． （1）若，P在抛物线上，求的最小值； （2）若．求证：直线AB必过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $