八年级数学下学期期中模拟卷（上海专用，新教材沪教版八下第23～25.2章：四边形、平面直角坐标系、函数与正比例函数）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下学期期中模拟卷 数学·考试版 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版八年级数学下册第23~25.2章四边形、平面直角坐标系、函数与正比例函数。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 2．将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 4．顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 5．下列命题中正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．平行四边形对角线互相平分 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是菱形 6．如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 8．当________时，函数是正比例函数． 9．函数的自变量的取值范围为_____． 10．若点在y轴上，则点在第________象限． 11．若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 12．点和点之间的距离是_____． 13．如图，在平行四边形中，和交于点，过点的直线分别与、交于点、，若的面积为3，则四边形的面积等于____________． 14．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 15．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是___________． 16．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 17．定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 18．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)若，求函数的最小值． 20．（6分）（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 21．（6分）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 22．（6分）如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． (1)当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； (2)当的面积为4时，求E点的坐标． 23．（7分）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 24．（9分）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为：其中， 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（x轴、轴1个单位长度表示） 任务3：阴影部分图形的重心坐标是_____；（取3） 25．（9分）【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 26．（9分）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期中模拟卷 数学·考试版 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版八年级数学下册第23~25.2章四边形、平面直角坐标系、函数与正比例函数。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 2．将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 4．顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 5．下列命题中正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．平行四边形对角线互相平分 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是菱形 6．如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 8．当________时，函数是正比例函数． 9．函数的自变量的取值范围为_____． 10．若点在y轴上，则点在第________象限． 11．若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 12．点和点之间的距离是_____． 13．如图，在平行四边形中，和交于点，过点的直线分别与、交于点、，若的面积为3，则四边形的面积等于____________． 14．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 15．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是___________． 16．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 17．定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 18．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)若，求函数的最小值． 20．（6分）（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 21．（6分）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 22．（6分）如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． (1)当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； (2)当的面积为4时，求E点的坐标． 23．（7分）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 24．（9分）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为：其中， 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（x轴、轴1个单位长度表示） 任务3：阴影部分图形的重心坐标是_____；（取3） 25．（9分）【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 26．（9分）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版八年级数学下册第23~25.2章四边形、平面直角坐标系、函数与正比例函数。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 【答案】D 【详解】解：A、正方形的面积与边长的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； B、从甲地到乙地距离固定为，所用的时间和行驶速度的关系是，不是正比例关系，故选项不符合题意； C、圆的面积与它的半径的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； D、等边三角形的周长和边长的关系是，是正比例函数关系，故选项符合题意； 故选：D． 2．将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将点向左平移3个单位长度可得点的坐标为，即，再将点向下平移4个单位长度得到点，即． 3．如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴，不能判定四边形成为平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 4．顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【详解】解：如图，四边形的四边中点分别为，且四边形为菱形，连接四边形对角线， ∵中点分别为， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 即原四边形的对角线相等， 故符合题意的是矩形． 故选：C 5．下列命题中正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．平行四边形对角线互相平分 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是菱形 【答案】B 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； B、平行四边形的性质为对角线互相平分，故B正确，符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形才是矩形，仅有一个角是直角的四边形不是矩形，故 C错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，对角线互相平分只能判定四边形是平行四边形，不能判定是菱形，故D错误，不符合题意． 故选：B． 6．如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 故选：C． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点沿轴翻折后与点重合， ∴点的坐标为． 8．当________时，函数是正比例函数． 【答案】2 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， ∴． 9．函数的自变量的取值范围为_____． 【答案】 【详解】解：依题意得：， 解得：． 10．若点在y轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标为0，点在y轴上， ∴， 将代入点B的坐标得，， ∴点B的坐标为， ∵第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点B在第二象限． 11．若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 【答案】 【详解】解：由题意得，解得或（舍去）， 则该边形的内角和是：． 12．点和点之间的距离是_____． 【答案】 【分析】先表示出两点之间的横向的距离和纵向的距离，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， 所以点A和B之间的距离是． 13．如图，在平行四边形中，和交于点，过点的直线分别与、交于点、，若的面积为3，则四边形的面积等于____________． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 的面积的面积， 的面积为6， ∴平行四边形的面积为12． 平行四边形是中心对称图形， ∴四边形的面积平行四边形的面积． 14．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 15．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是___________． 【答案】 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 17．定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 【答案】或 【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为， ∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 18．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式； (2)若，求函数的最小值． 【详解】（1）解：∵，且是关于的正比例函数， ∴， ∴， ∴；……（3分） （2）解：在中，当时，， ∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∴当，函数的最小值为．……（6分） 20．（6分）（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 【详解】解：（1）设这个正多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，由题意可得 ： ， 解得， 多边形的外角和为， 这个多边形的边数为；……（3分） （2）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式可得： ， 解得， 这个多边形的对角线条数为， 即这个多边形共有27条对角线．……（6分） 21．（6分）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵E、F分别是边和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形；……（3分） （2）证明：由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形．……（6分） 22．（6分）如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． (1)当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； (2)当的面积为4时，求E点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点D的纵坐标为3时，代入得， 则，，， ∴E点的坐标为．……（3分） （2）∵， ∴， 设点D的坐标为， 则， ∴， 解得：（舍去）或． ∴点D的坐标为， ∴，，， ∴E点的坐标为．……（6分） 23．（7分）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴；……（3分） （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴．……（7分） 24．（9分）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为：其中， 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（x轴、轴1个单位长度表示） 任务3：阴影部分图形的重心坐标是_____；（取3） 【详解】解：任务1：∵矩形重心坐标为，矩形面积为，直角三角形重心坐标为，三角形面积为， ， ， ∴梯形薄板的重心坐标为；……（3分） 任务2：如下图， ∵矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， ， ， ∴薄板的重心坐标为；……（6分） 任务3：如图所示， 正方形的重心坐标为，即，面积为， 正方形的重心坐标为，即，面积为， 正方形内的空心圆的重心坐标为，面积为， 的重心坐标为，即，面积为， ∴正方形（含挖空）的重心的横坐标为，纵坐标为， 根据题干所给公式计算整个阴影部分的重心的横坐标和纵坐标为： 整个阴影部分的重心的横坐标为， 纵坐标为， ∴整个阴影部分的重心的坐标为．……（9分） 25．（9分）【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 【详解】（1）解：过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，如图， 则，， ∴． 故答案为：5；……（3分） （2）解：构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴当取得最小值时，的最小值的最小值． 作点E关于直线的对称点，连接，交于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， 则，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为；……（6分） （3）解：在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，如图， 则，，，， ∴，， ∴代数式的最小值的最小值， 作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， ∴ 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为．……（9分） 26．（9分）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为；……（3分） （2）解：如图，连接，连接，与交于点， ∵点分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当时，最小，从而最小，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴的最小值为；……（6分） （3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，米， ∵，， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，且时，最小，即长，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米．……（9分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 2 3 4 6 D D D B C 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7.（-22,-5 8.2 9.x≠-1 10.二 11.1800 12.√57 13.6 14.8 15.20° 16.3 17.3 18. 3-2 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(6分) 【详解】(1)解：：y=(k-2x3,且y是关于x的正比例函数， k2-3=1 k-2≠0' k=-2, y=(-2-2)x2-3=-4x;…(3分) (2)解：在y=-4x中，当x=2时，y=-4×2=-8, :在y=-4x中，-4<0， y随x增大而减小， 当x≤2，函数y的最小值为-8.…(6分) 20.(6分) 【详解】解：(1)设这个正多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角为3a+36),由题意可得： (3a+36)+a=180°， 解得a=36°， :多边形的外角和为360°， ·这个多边形的边数为360°÷36°=10；…(3分) 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设这个多边形的边数为n,根据多边形内角和公式可得： (n-2×180°=1260°， 解得n=9, ·这个多边形的对角线条数为m口-3】.9x9-3到-27， 2 2 即这个多边形共有27条对角线.…(6分) 21.(6分) 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :ADI‖BC,AD=BC, .ZFAC ZECA :E、F分别是边BC和AD的中点， CE=-BC.AF=AD .AF=CE, 又：AF I CE, .四边形AECF是平行四边形； :CA平分∠FCE, .∠ECA=LFCA, ∠FCA=LFAC, .AF CF, ·.平行四边形AECF是菱形；…(3分) (2)证明：由(1)可得四边形AECF是菱形， .AE CE, ∠ECA=LCAE, :∠GBC=LCAE, ∴∠GBC=LECA, ·AC∥BG; :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,即AB∥CG, :.四边形ABGC是平行四边形： :E为BC的中点，AE=CE, 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BE CE AE, ∠EAB=∠EBA, :∠EAB+∠EBA+∠CAE+∠ECA=I80°， ∴2∠EAB+2∠CAE=180°， ∴∠EAB+∠CAE=90°， ∴∠BAC=90°， .平行四边形ABGC是矩形.…(6分) 22.(6分) 【详解】(1)解：根据题意可得∠0DE=∠0CD=∠DBE=90°，C0=AB,BC=AO, .∠CD0=90°-∠BDE=∠BED, 又D0=DE, .△DBE≌△OCD(AAS, DC=BE,BD=CO, 当点D的纵坐标为3时，代入y=-3x得x=-1, DC=BE=1,BD=CO=3,BC=BD+DC=4,AO=BC=BD+DC=4,AE=3-1=2, …E点的坐标为(-4,2.…(3分) （2）:Same-2DE-D0=4, ∴D0=DE=2√2， 设点D的坐标为a,-3a, 则CD=a2,C0=9a2,D02=a2+9a2=10a2, 10a2=8, 25 解得：a= （舍去)或a= 2v5 5 5 点D的坐标为 2W56W5 55 .DC=BE= 2V5 BD-CO= v5 、Bc=A085AE=65-2545 5 5 5 5 5 .E点的坐标为 854v5 5、5 …(6分) 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(7分) 【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形，AC是对角线， :AB=AD,∠BAE=∠DAE. 在△ABE和△ADE中， AB=AD ∠BAE=∠DAE, AE=AE .△ABE≌△ADE(SAS), ∴BE=DE.∠EDF=∠ABE, 又：BE=EF, :DE EF, ∴∠DFE=∠EDF=∠ABE;…(3分) (2)解：：四边形ABCD是菱形，AC是对角线， AB=AD,∠BAE=∠DAE. 在△ABE和△ADE中， AB=AD ∠BAE=∠DAE, AE=AE .△ABE≌△ADE(SAS), .BE=DE· 又：BE=EF, :DE =EF, ∴△DEF是等腰三角形. 过点E作EM⊥AD于M,交BC于N, F D B 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “∠DEM=<DEF(等腰三角形三线合-) :四边形ABCD是菱形，AD‖BC,EM⊥AD, ∴∠BNE=∠EMD=∠CMF=90°， ∴∠FEM=90°-∠BEN=∠EBN, :DE=EF,MN⊥AD, :∠DEM=∠FEM=∠EBC=∠DEF, :AC是菱形对角线， ∴∠ECD=∠ECB, 又：CE=CE,CD=CB, .△CDE≌aCBE(SAS), :∠CDE=∠CBE=∠DEF=∠DEM, 2 :EMCD. 又：EM⊥AD, ∴∠ADC=∠EMF=90°. :四边形ABCD是菱形， :菱形ABCD是正方形， ∠ABC=90°.…(7分) 24.(9分) 【详解】解：任务1：：矩形重心坐标为(2,3)，矩形面积为3，=8，直角三角形重心坐标为5,2)，三角形面 积为52=4， :不=+2=2x8+5x4=3, S1+2 8+4 下=+hs2_ 3×8+2×48 S1+S2 8+4 3 ∴.梯形薄板的重心坐标为 】 33 …(3分) 任务2：如下图， 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D O :矩形0CDE重心坐标为A 0+44+0 2,2 即A2,2),面积为s=4×4=16, 矩形EFGH重心坐标为M 6+45+0 5 2,2 即M52 面积为S2=2×5=10, 矩形HJK重心坐标为N 8+62+0 2,2 即N(7,),面积为s=2×2=4, x=9+,+= 2×16+5×10+7×411 S1+S2+S3 16+10+4 3, =的++y9」 2x16+×10+1x461 S+s2+S3 16+10+4 30 :薄板的重心坐标为 1161 3’30月…(6分) 任务3：如图所示， y D 4 3 A F 、G 12345x 2+02+4 正方形ABCD的重心坐标为 2,2 即(1,3)，面积为2×2=4， 0+20+2 正方形ABFO的重心坐标为 、2,2 即1,1)，面积为2×2=4， 2 正方形ABFO内的空心圆的重心坐标为(1，)，面积为 2 Xπ=π， 2+2+50+0+3 △EFG的重心坐标为 3 3 即3，，面积为)×5-2×3-0=9 :正方形ABF0(含挖空)的重心的横坐标为4×1=πx =1,纵坐标为4×1-π×1=1， 4-元 4-π 根据题干所给公式计算整个阴影部分的重心的横坐标和纵坐标为： 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4×1+1×4-+3×9 整个阴影部分的重心的横坐标为 2_21.5-π_21.5-3_37 4+4-π+2 9 12.5-元12.5-3191 4×3+1x(4-π+1x9 纵坐标 20.5-π20.5-335 9 4+4-π+ 12.5-π12.5-3191 2 :整个阴影部分的重心的坐标为 3735 1919 …(9分) 25.(9分) 【详解】(1)解：过点A向x轴作垂线AN、过点B向y轴作垂线BM,垂足分别为N(-l,0)和M(0,-2), 直线AN和BM相交于点Q,这样就形成了一个直角三角形AQB,如图， VA Ni 则AQ=4,BQ=3, :AB=A02+BO2=5. 故答案为：5；…(3分) (2)解：构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作AB⊥BD,ED⊥BD,C为线段 BD上一动点，连接AC、EC.己知AB=4,DE=2,BD=12,设CD=x,则BC=12-x,如图， :AB⊥BD,ED⊥BD, :AC=√AB2+BC2=16+12-x2，CE=VCD2+DE2=VR+4, AC+CE=V16+(12-x2+V2+4, ·当AC+CE取得最小值时，16+12-x)2+V2+4的最小值=AC+CE的最小值. 作点E关于直线BD的对称点E,连接AE',交BD于点C,则此时AC+CE取得最小值，最小值为AE', 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点E作E'H⊥AB,交AB的延长线于点H,如图， B D 则DE=DE'=2,四边形BHE'D为矩形， .BH DE'=2,E'H BD =12, .AH AB+BH=6, AE'=V62+122=6V5, AE的最小值为65， V16+(12-x)2+V2+4的最小值为65；…(6分) (3)解：在平面直角坐标系中找出点A-1,3),B(4,1,C(x,0),过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作 BE⊥x轴于点E,如图， DO AD=3,CD=x+1,BE=1,CE=4-x, AC=AD2+DC2=x+1)+9,BC=CE2+BE2=+(4-x), 代数式x++9+V1+(4-x)2的最小值=AC+BC的最小值， 作点B关于x轴的对称点B'(4,-I),连接AB',交x轴于点C,则此时AC+CB取得最小值，最小值为AB', 过点B作B'F⊥AD,交AD的延长线于点H,如图， B DO C E 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴BE=B'E=1 则四边形DHB'E为矩形， .DH=B'E=1,B'H =DE=OD+0E=1+4=5, :AH AD+DH=4, AB'=V42+52=√41， :.代数式Vx+1+9+V1+(4-x2的最小值为④1.…(9分) 26.(9分) 【详解】(1)解：如图， E G B F C H :四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠BCD=∠DCH=90°， :GH∥EF, ∠EFB=∠GHC, BE=CG, .△EBF≌aGCH(AAS), .GH=EF=√6， .GH的长为√6；…(3分) (2)解：如图，连接CQ,连接BD,与AC交于点O, 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D :点M、N分别是PQCP的中点， ·.MN是△PQC中位线， :s=0 :当CQ⊥AB时，CO最小，从而MN最小，如图， B 0 D D :四边形ABCD是菱形， :AC L BD,0A=OC=1AC=3,OB=OD=BD, 21 2 ∠A0B=90°， OB=AB2-O4=5-3=4, .BD=8, :S菱形ABCD= AC×BD=AB×CQ, ×6×8=5×C9, 2 c0-登即c0最小恒为 号MN的最小值为：…(6分 (3)解：如图，取AB的中点T,作射线TQ,交CD延长线于H,在DC的延长线上截取CW=DE,连接 10/12