专题03 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变换与模型运用-解答题6大考点（高效培优期中专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题03 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变换与模型运用 考点01 三角函数平移伸缩变换 考点02 三角函数求单调性或单调区间 考点03 三角函数求最值或值域 考点04 三角函数求参数最值或范围 考点05 三角函数在几何中的应用 考点06 三角函数的实际应用 考点01 三角函数平移伸缩变换 1．(25-26高二上·广西南宁“4N”联盟学校·期中)已知函数的图象与的图象关于轴对称，将图象的横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得函数的图象. (1)求图象的对称中心； (2)求取最大值时自变量的取值集合. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据图象变换的法则得到函数的解析式，再利用图象与平衡位置的交点为对称中心求解即可； （2）根据函数取得最大值的条件进行求解即可. 【详解】（1）由题可知， 图象的横坐标缩短为原来的可得， 再将所得函数图象向左平移个单位长度可得 ， 令，解得， 故图象的对称中心为. （2）因为， 令, 得， 所以取最大值时自变量的取值集合为. 2．(23-24高二上·广东深圳深圳科学高中·期中)已知函数（其中）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求与的解析式； (2)求方程在区间内的所有实数解的和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由函数图象得及周期，即可求，再利用待定系数法求，求出函数的解析式，再根据平移变换写出函数的解析式； （2）根据已知得，结合及余弦函数的周期性求解，进而求它们的和. 【详解】（1）由图知，函数的周期，所以， 所以，又， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以； （2）由题设，则， 由，则，故或或或， 所以或或或，则所有解的和为. 3．(24-25高三上·河北唐山玉田县·期中)已知函数在上的值域为. (1)求； (2)将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的解析式与单调递增区间. 【答案】(1) (2)，单调递增区间为() 【分析】（1）采用换元法令，先分析的单调性，然后根据的最小值求解出的值； （2）先根据图象变换求解出的解析式，然后根据单调递增区间的公式结合整体替换法求解出的单调递增区间. 【详解】（1）因为，所以， 令，因为，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 所以，且， 所以. （2）的图象上所有点的横坐标变为原来的可得， 的图象上所有点的纵坐标变为原来两倍可得； 令 ， 所以 ， 所以的单调递增区间为(). 4．(23-24高一下·河南南阳六校·期中)已知函数的图象关于直线对称． (1)求的解析式及零点； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）由题意先求出，再求出的零点； （2）由图象平移与变换法则得到，再利用整体代入法即可得解. 【详解】（1）的图象关于直线对称， ，得， 又，，， 令，即，得， 的零点为. （2）由将的图象向右平移个单位长度， 得到的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到， 令，，可得，， 故的单调递减区间为． 5．(23-24高三上·辽宁名校联盟·)已知函数的最大值为． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，得到的图象，求满足的x的取值集合． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角恒变换得，再由函数的最大值为，得，，根据周期公式和正弦函数的单调性计算即可； （2）根据三角函数的平移及伸缩变化得，由可得，由正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）解： ． 因为的最大值为，所以， 解得， 所以， 的最小正周期． 令，解得， 所以的单调递减区间为． （2）解：将的图象向右平移个单位长度， 得到的图象，再将横坐标缩短为原来的，得到． 若，则， 令， 解得． 综上，满足的x的取值集合为． 6．(24-25高一下·贵州六盘水部分学校·期末)已知函数，且. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据特殊值计算结合角的范围求解； （2）先根据平移伸缩得出，再结合二倍角余弦公式化简应用单调性解三角不等式即可. 【详解】（1）因为，所以，，可得，， 又，所以，所以. （2）将的图象向右平移个单位长度得的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍得到的图象，所以，所以原不等式化为. 令，，则，不等式化为， 所以，所以， 所以， 结合函数在上的图象得， 所以，即不等式的解集为. 考点02 三角函数求单调性或单调区间 7．(23-24高一下·上海长征中学·期中)求下列函数的单调区间． (1)； (2) 【答案】(1)在上单调递增；在上单调递减 (2)在上单调性递增，在上单调递减． 【分析】（1）利用正弦函数的性质可求单调区间； （2）利用整体法结合余弦函数的性质可求单调区间. 【详解】（1）与的单调性相同， 故的递增区间为， 递减区间为. （2）令，则， 令，则， 故的减区间为，增区间为， 而，故在上单调性递增，在上单调递减． 8．(24-25高一上·山东实验中学·)已知. (1)求函数的最小正周期： (2)求函数在上的单调区间. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）利用正弦函数求解函数的最小正周期， （2）结合正弦函数的单调区间求解出此函数的单调区间. 【详解】（1）最小正周期为： 令则 由 所以的单调递增区间为， （2）令则 由, 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 9．(23-24高一下·陕西渭南富平县·月考)已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)求在区间上的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入正弦函数的对称轴公式，即可求解； （2）首先求的范围，再根据正弦函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）函数，令， 得， 所以图象的对称轴方程为； （2）当，， 当，得，即在区间上函数单调递增， 当，得，即在区间上函数单调递减， 当，得，即在区间上函数单调递增， 当，得，即在区间上函数单调递减， 当，得，即在区间上函数单调递增， 所以函数在区间上的单调增区间是和和， 单调递减区间是和. 10．(24-25高一下·山东德州夏津第一中学·月考)已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式. (2)将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式； （2）利用图象变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间. 【详解】（1）由图形可知，，得 过点，，即， ， 函数的解析式 （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍， 得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度， 得到的图象， 即， 由，得 所以的对称中心为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 11．(24-25高一上·甘肃平凉第一中学·期末)已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据题意，结合函数的图像分别求得，再由正弦型函数的对称中心公式代入计算，即可得到结果； （2）由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果； （3）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）根据函数的部分图像， 可得，，所以， 再根据五点法作图，可得，， 又因为，可得，所以， 令，，解得，， 故函数对称中心为，． （2）因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值域为． （3）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，得到的图像， 即． 令，，解得，， 可得的减区间为，． 12．(21-22高一下·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)的图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求的对称中心和单调减区间． 【答案】(1)； (2)对称中心为；单调减区间为. 【分析】（1）利用三角函数图象变化规律可得的解析式； （2）利用正弦函数的性质可得. 【详解】（1）将函数的图象向左平移个单位， 可得函数的图象； 再把所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象. （2）令，解得 可得的对称中心为 令， ， ∴， ∴的单调减区间为. 考点03 三角函数求最值或值域 13．(25-26高一上·山东新泰第一中学·)已知函数． (1)求的单调递增区间和对称中心的坐标； (2)当 ，求的最值及此时的值． 【答案】(1)单调递增区间为；对称中心为 (2)当时，取最大值；当时，取最小值 【分析】（1）根据正弦函数单调性及对称中心即可求出的单调递增区间和对称中心； （2）根据正弦函数的图象即可求出答案. 【详解】（1）令， 解得， 所以的单调递增区间为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）因为，所以， 不妨设， 当时，取最大值，的最大值为，此时，解得， 所以当时，取最大值， 当时，取最小值，的最小值为，此时，解得， 所以当时，取最小值． 所以当时，取最大值；当时，取最小值． 14．(23-24高一下·上海华东师范大学附属周浦中学·期末)已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的对称中心为； （2）令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 15．(24-25高一上·河北衡水河北冀州中学·期中)设函数，若函数的图象关于直线对称，且 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用函数对称轴以及可解得，再由正弦函数单调性可得结果； （2）利用整体代换法，由函数单调性即可求得函数在区间上的最值. 【详解】（1）∵函数的图象关于直线对称， 所以，； 又，所以时，， 因此； 令，解得； ∴函数的单调递减区间为 （2）由（1）得， 因为，得， ，得 函数在区间上的最大值为，最小值为 16．(24-25高一下·山东临沂兰陵县·期中)已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的表达式； (2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求的值域以及取最大值时的值. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据的图象结合五点法可得，，，即可得函数解析式； （2）先由图象变换得到，然后由整体思想结合正弦函数性质得的值域. 【详解】（1）根据函数图象可得，， 又， 得， 又. 所以； （2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到 再向右平移个单位，得到 ∴. 当时，. ∴，∴ 即的值域为， 当时，，得 ∴取最大值时的值为. 17．(24-25高一下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移，再向下平移2个单位，得到函数的图象.若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象分别求出即可； （2）根据图象变换得到，再根据三角函数的图象求指定区间上的值域. 【详解】（1）由图象可得，， 所以，所以， 又，所以，， 又，所以，所以. （2）， 由可得，. . 18．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据函数图象确定函数最值与周期，再代入点坐标，可得函数解析式； （2）利用整体代入法可得函数单调区间； （3）可得在上的值域，再利用换元法结合二次函数性质可得值域. 【详解】（1）由图象可知， 且，即， 又，所以； 所以， 又， 解得，， 又，则， 所以； （2）令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 又， 所以函数在上的单调递增区间为和； （3）当，则， 即 设， 则，， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为， 故在上的值域为. 考点04 三角函数求参数最值或范围 19．(24-25高一下·云南玉溪第一中学·期中)如图函数的部分图象． (1)求和，并求的单调增区间； (2)若在区间恰好有三个零点，， ，求实数k的取值范围，并求的值． 【答案】(1)，，，； (2)， 【分析】（1）根据，结合可得，再根据周期的范围与求解可得，进而可得单调增区间； （2）将题意转化为与在区间有三个交点，再数形结合可得，再结合三角函数的对称轴求解即可. 【详解】（1）由，又，得 由，得， 得，取，， ，由， 得增区间，； （2）在区间恰好有三个零点， 即与在区间有三个交点，，， ， 得. 又的对称轴为，即，故在区间有两条对称轴和. ∴，． 20．(24-25高一下·广东佛山顺德区镇街学校等·期中)已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意的，，都有 ，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，即，再由，得到，求得，得到，结合三角函数的图象变换，即可求得的解析式； （2）由，得到，结合正弦型函数的性质，即可求得不等式的解集； （3）当，求得，根据题意，转化为恒成立，进而转化为恒成立，设，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是， 可得，解得，所以，即， 又由，可得， 因为，所以，所以， 将的向右平移个单位长度，可得函数， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知：，不等式，即为， 可得，解得， 所以不等式的解集为. （3）解：由（1）知：， 当，可得，当时，， 因为对任意的 ，，都有， 即当时，恒成立，即恒成立， 即当时，恒成立， 设，可得恒成立， 令， 当时，即时，即时，， 所以，即，即实数的取值范围为. 21．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域； (3)若函数在区间上恰好有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图象即可求解周期，进而得，根据即可求； （2）根据图象的变换先求，令，最后利用单调性即可求解； （3）令，先求函数的值域，最后利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由题设，所以，则，故， 由，则，即， 又，当时，则，故； （2）将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，再将图象向右平移个单位长度， 所以； ，则， 所以 所以函数在上的值域： （3），则， 由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为； 函数在区间上有且仅有两个零点， 即在上只有两个解，有图可知. 22．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)函数的最小正周期为T，且． (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若，，且的最小值为．当时，方程有四个不等的实数解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出的解析式，再利用正弦函数的单调性求解. （2）正弦函数零点的意义，结合给定条件，求出的解析式，再探讨在指定区间内取值情况，换元并借助二次函数零点分布求出范围. 【详解】（1）由，得，则， 而，则，即，由，得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． （2）由，得， 则， 解得， 则，， 即，因此，由，得， 当，每个值均有两个x值与之对应，设，， 方程化为，方程有4个不等实根， 等价于有两个不同的零点，且， 而，则在有两个不同的零点或在有两个不同的零点， 当在有两个不同的零点时，，解得； 当在有两个不同的零点时，，此不等式无解， 所以m的取值范围为． 23．已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若当时，的值域为，求实数的取值范围． (3)设，若函数在上有两个不同零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先分简解析式，根据已知条件求出周期，即可确定； （2）根据的范围，可得，结合正弦函数的性质可得，求解即可； （3）把函数在上有两个不同零点，转化为直线直线与函数在的图象有两个公共点，结合函数在上的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）依题意 又因为相邻两个对称轴之间的距离为，所以，所以， 所以，解得，因此. （2）若，则， 当时，， 要使的值域为，则，解得， 所以实数解得的取值范围为． （3） 由，所以， 可得函数在上单调递增，在上单调递减， 作出函数在的图象，如图所示， 由，得，函数在上有两个不同零点， 即直线与函数在的图象有两个公共点，有对称性可得， 此时，所以实数的取值范围是. 24．(24-25高一下·北京八一学校·期中)设函数（，）． (1)若，求的值； (2)若直线和直线是的两条相邻的对称轴，求的解析式及的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)；单调递增区间为 (3) 【分析】（1）由题意可得，再由，即可得答案； （2）由题意可得，可得，再根据一条对称轴为，可得，即可得函数的解析式，再求函数的单调区间即可； （3）由，可得，分、及，分别代入，求解即可. 【详解】（1）因为，即，又因为，所以； （2）因为直线和直线是的两条相邻的对称轴， 所以，所以，即，解得， 又是的一条对称轴，所以，， 解得，， 又，所以，所以； 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为； （3）当时，， 所以，则函数， 当时，恒成立； 当时，，所以只需，解得； 当时，，所以只需，解得； 综上，． 考点05 三角函数在几何中的应用 25．(23-24高一下·上海五爱高级中学·期中)如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. (1)试用和表示矩形的面积，并求其定义域； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 【答案】(1)； (2)；. 【分析】（1）利用三角函数将矩形的长、宽表示出来，即可得到矩形的面积，进而得解； （2）利用三角函数的性质求最值即可得解. 【详解】（1）依题意，，，则，， 所以矩形的面积，定义域为. （2）因为，所以当时，取得最大值. 26．(23-24高一上·山东青岛·期末)如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记． (1)记四边形的面积为的函数，周长为的函数， （i）证明：； （ii）求的最大值； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2)答案见解析 【分析】（1）（i）根据已知条件求出，，结合同角三角函数的平方关系即可求解； （ii）根据（i）的结论及重要不等式即可求解； （2）根据已知条件求出四边形的面积的表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）（i）由题知：，． 所以 ． （ii）由（i）知：， 当时，时取等号， 所以， 故当时，的最大值为． （2）因为 ． 令，所以， 令， 对称轴为，开口向上，由二次函数的性质知， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以． 若，则在上单调递减， 所以， 综上，当时，四边形面积最小值为； 当时，四边形面积最小值为. 27．(23-24高一下·上海开放大学附属高级中学中侨分校·期中)一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】(1)； (2)详见解析；元. 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【详解】（1）在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 （2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 28．(19-20高一上·江苏南通如皋·期末)高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设，    (1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； (2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值. 【答案】(1)时，达最大值 (2)当时，达到最大值 【分析】（1）由三角形为直角三角形，，得到，在直角中，易得，再由点为半圆上一点，得到，，从而得到然后求解； （2）在直角中，利用等面积法得到，再在直角中，得到，从而求解. 【详解】（1）因为三角形为直角三角形，， 所以， 在直角中，因为，所以. 因为点为半圆上一点，所以，又因为， 所以， 所以 ， 因为， 所以当，即时，达最大值； （2）在直角中，因为， 所以， 因为，所以， 又因为所以， 在直角中，， 所以，   ，， 所以当即时，达到最大值， 答：当时，达到最大值. 29．(21-22高一下·安徽皖中名校·期中)某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园，如图所示．已知扇形的圆心角，半径为200米．现需要修建的花园为平行四边形，其中、分别在半径、上，在上． (1)求扇形的弧长和面积； (2)设，平行四边形的面积为S．求S关于角的函数解析式，并指出函数的定义域． 【答案】(1)米；平方米； (2)，． 【分析】(1)根据弧长公式和扇形面积计算公式即可计算； (2)过作于，过作于，根据几何关系用θ表示出HN和NP，根据平行四边形面积公式即可求出S关于θ的函数解析式． 【详解】（1）扇形的弧长为(米)． 扇形的面积为(平方米)． （2）过作于，过作于． ∵，∴，， ∴． 故 =， 即，定义域为． 30．(21-22高一下·浙江金华第一中学·期中)如图，四边形ABCD是一块边长为2m的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为1.8m，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一点，，工人师傅想在末被腐蚀部分截下一个边在BC与CD上的矩形铁皮． (1)将矩形铁皮PQCR的面积表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当的值取多少时，矩形铁皮PQCR的面有最大值. 【答案】(1)，其中； (2) 【分析】（1）根据扇形半径及角，利用三角函数表示出所求矩形的边长，即可求解； （2）根据已知条件，结合换元法以及二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）依题意得： 矩形铁皮PQCR的面积为： ，其中； （2）令 则 开口向上，对称轴， 当，即时，. 考点06 三角函数的实际应用 31．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】(1) (2)该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，所以卸货最多只能用4小时时间. 【分析】（1）画出散点图，根据图象可求出，，，进而可求得； （2）依题意，其中，解不等式即可. 【详解】（1）根据表中数据可画出如图所示的散点图， 由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （2）由题意可得，化简得， 所以，解得，， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 32．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值. (1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值； (2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释. 【答案】(1)4 (2)，合理解释见解析 【分析】（1）首先利用代入法求函数的最大值和最小值，再根据条件列不等式，即可求解；（2）根据题意求解不等式的解集，并根据三角函数的图象变换和性质进行解释. 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以的最大值为4. （2）因为，所以. ①当时，令，即， 所以，解得，， 又，所以，所以. ②当时，，即， 所以，解得，， 又，所以，所以，所以. 解释：函数， 可以由向左平移12个单位得到.从实际意义来看， 可以把前一天中午12点到第二天中午12点看成一天，故需降温时长不变. 33．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 34．(24-25高一下·天津第五中学·期中)“天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 (1)的解析式； (2)甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ (3)游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为，由题意可求周期，进而可求函数解析式； （2）代入，即可求解． （3）根据和差角公式以及三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为， 设函数解析式为， 摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以， 由题意可得，， 所以，解得， 当时，，即，可取， 所以， （2）由（1）知， 当时，， （3）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则， 经过后，乙距离地面的高度， 点相对于始终落后， 甲距离地面的高度为， 令，， 即，， 由，可得：， 经验证符合， 所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等. 35．(24-25高一上·云南昭通第一中学教研联盟·期末)某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． (1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时的值； (3)记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为米，求当取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)14或22； (3). 【分析】（1）设1号座舱与地面距离与时间的函数关系为根据已知得，，再由周期性及初始点求、，即可得解析式； （2）根据（1）及已知得，结合求解，即可得答案； （3）根据解析式，两座舱高度差绝对值为，结合正弦型函数的性质求取得最大值时的值. 【详解】（1）设1号座舱与地面距离与时间的函数关系为 由题意知，，则， 依题意，则， 当时，，可得，故. （2）令，即，整理得， 由，则，所以或，解得或， 所以或时，1号座舱与地面的距离为16米． （3）依题意，， 所以 ， 令，解得， 所以当，取得最大值． 36．(23-24高一下·河南南阳六校·)深圳别称“鹏城”，“湾区之光”摩天轮位于深圳，是目前亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的直径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，摩天轮运行时按逆时针方向匀速旋转，转一周需要．    (1)游客甲从最低点坐上摩天轮的座舱，转动后距离地面的高度为，求在转动过程中，关于的函数解析式； (2)已知游客在距离地面时的高度能够获得最佳视觉效果，记某游客从坐上摩天轮后达到最佳视觉效果的时刻依次为，求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系求出解析式即可； （2）令，解出时间，即为达到最佳视觉效果的时刻，求解即可. 【详解】（1）以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系．    由题意，摩天轮的角速度 所以甲所在的位置的纵坐标 则． 所以关于的函数解析式 （2）令，则． 或， 或， 可得当时，，．当时，， 综上所述，该游客坐上摩天轮后第四次达到最佳视觉效果的时刻． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变换与模型运用 考点01 三角函数平移伸缩变换 考点02 三角函数求单调性或单调区间 考点03 三角函数求最值或值域 考点04 三角函数求参数最值或范围 考点05 三角函数在几何中的应用 考点06 三角函数的实际应用 考点01 三角函数平移伸缩变换 1．(25-26高二上·广西南宁“4N”联盟学校·期中)已知函数的图象与的图象关于轴对称，将图象的横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得函数的图象. (1)求图象的对称中心； (2)求取最大值时自变量的取值集合. 2．(23-24高二上·广东深圳深圳科学高中·期中)已知函数（其中）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求与的解析式； (2)求方程在区间内的所有实数解的和． 3．(24-25高三上·河北唐山玉田县·期中)已知函数在上的值域为. (1)求； (2)将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的解析式与单调递增区间. 4．(23-24高一下·河南南阳六校·期中)已知函数的图象关于直线对称． (1)求的解析式及零点； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间． 5．(23-24高三上·辽宁名校联盟·)已知函数的最大值为． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，得到的图象，求满足的x的取值集合． 6．(24-25高一下·贵州六盘水部分学校·期末)已知函数，且. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 考点02 三角函数求单调性或单调区间 7．(23-24高一下·上海长征中学·期中)求下列函数的单调区间． (1)； (2) 8．(24-25高一上·山东实验中学·)已知. (1)求函数的最小正周期： (2)求函数在上的单调区间. 9．(23-24高一下·陕西渭南富平县·月考)已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)求在区间上的单调区间. 10．(24-25高一下·山东德州夏津第一中学·月考)已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式. (2)将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 11．(24-25高一上·甘肃平凉第一中学·期末)已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 12．(21-22高一下·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)的图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求的对称中心和单调减区间． 考点03 三角函数求最值或值域 13．(25-26高一上·山东新泰第一中学·)已知函数． (1)求的单调递增区间和对称中心的坐标； (2)当 ，求的最值及此时的值． 14．(23-24高一下·上海华东师范大学附属周浦中学·期末)已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 15．(24-25高一上·河北衡水河北冀州中学·期中)设函数，若函数的图象关于直线对称，且 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最值. 16．(24-25高一下·山东临沂兰陵县·期中)已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的表达式； (2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求的值域以及取最大值时的值. 17．(24-25高一下·江西上饶横峰县横峰中学·期中)已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移，再向下平移2个单位，得到函数的图象.若，求的值域. 18．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期中)已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)求函数在区间上的值域． 考点04 三角函数求参数最值或范围 19．(24-25高一下·云南玉溪第一中学·期中)如图函数的部分图象． (1)求和，并求的单调增区间； (2)若在区间恰好有三个零点，， ，求实数k的取值范围，并求的值． 20．(24-25高一下·广东佛山顺德区镇街学校等·期中)已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意的，，都有 ，求的取值范围． 21．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域； (3)若函数在区间上恰好有两个零点，求实数的取值范围. 22．(24-25高一下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)函数的最小正周期为T，且． (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若，，且的最小值为．当时，方程有四个不等的实数解，求实数m的取值范围． 23．已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若当时，的值域为，求实数的取值范围． (3)设，若函数在上有两个不同零点，求实数的取值范围． 24．(24-25高一下·北京八一学校·期中)设函数（，）． (1)若，求的值； (2)若直线和直线是的两条相邻的对称轴，求的解析式及的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 考点05 三角函数在几何中的应用 25．(23-24高一下·上海五爱高级中学·期中)如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. (1)试用和表示矩形的面积，并求其定义域； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 26．(23-24高一上·山东青岛·期末)如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记． (1)记四边形的面积为的函数，周长为的函数， （i）证明：； （ii）求的最大值； (2)求四边形面积的最小值． 27．(23-24高一下·上海开放大学附属高级中学中侨分校·期中)一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 28．(19-20高一上·江苏南通如皋·期末)高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设，    (1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果； (2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值. 29．(21-22高一下·安徽皖中名校·期中)某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园，如图所示．已知扇形的圆心角，半径为200米．现需要修建的花园为平行四边形，其中、分别在半径、上，在上． (1)求扇形的弧长和面积； (2)设，平行四边形的面积为S．求S关于角的函数解析式，并指出函数的定义域． 30．(21-22高一下·浙江金华第一中学·期中)如图，四边形ABCD是一块边长为2m的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为1.8m，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一点，，工人师傅想在末被腐蚀部分截下一个边在BC与CD上的矩形铁皮． (1)将矩形铁皮PQCR的面积表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当的值取多少时，矩形铁皮PQCR的面有最大值. 考点06 三角函数的实际应用 31．(24-25高一下·江西南昌第十九中学·期中)在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 32．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值. (1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值； (2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释. 33．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 34．(24-25高一下·天津第五中学·期中)“天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 (1)的解析式； (2)甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ (3)游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 35．(24-25高一上·云南昭通第一中学教研联盟·期末)某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． (1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时的值； (3)记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为米，求当取得最大值时的值． 36．(23-24高一下·河南南阳六校·)深圳别称“鹏城”，“湾区之光”摩天轮位于深圳，是目前亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的直径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，摩天轮运行时按逆时针方向匀速旋转，转一周需要．    (1)游客甲从最低点坐上摩天轮的座舱，转动后距离地面的高度为，求在转动过程中，关于的函数解析式； (2)已知游客在距离地面时的高度能够获得最佳视觉效果，记某游客从坐上摩天轮后达到最佳视觉效果的时刻依次为，求． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $