专题02 三角函数的概念与诱导公式（高效培优专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题02 三角函数的概念与诱导公式 题型一：三角函数的定义运用 题型二：已知正切，求正余弦齐次式值 题型三：正余弦和差与乘积关系的运用 题型四：诱导公式在三角函数化简、求值中的运用 题型五：诱导公式在证明恒等式中的运用 题型一：三角函数的定义运用 1．(25-26高一上·湖北宜昌县域重点高中·期末)已知角的终边经过点，且，则（   ） A．8或 B． C．8 D． 2．(25-26高一上·山西长治某校·期末)若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 3．(25-26高一下·广西钦州文实中学·月考)已知角终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一下·甘肃兰州第一中学·开学考)已知点在角的终边上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高一上·云南大理·)在平面直角坐标系中，角的终边过点，则（   ） A． B．0 C． D．4 6．(25-26高三上·湖南娄底·期末)在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边为射线，已知点，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）若角的终边在直线上，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于，则（   ） A． B． C． D． 9．(25-26高一·安徽六安独山中学·月考)已知角的终边过点，且，则________，________ 10．(25-26高一下·安徽天一·开学考)已知是第二象限角，且终边在直线上，则_______． 题型二：已知正切，求正余弦齐次式值 11．(25-26高一上·浙江金华部分示范高中·)已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 12．(24-25高一下·云南宣威部分学校·)已知，则（   ） A． B． C．5 D．10 13．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)设，则（    ） A． B．2 C． D． 15．(24-25高一上·山西运城·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 16．(24-25高一下·河南郑州部分学校·开学考)已知，则（ ） A．4 B．0 C． D． 17．(22-23高一上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)已知，则的值为_________. 18．(22-23高一上·湖北襄阳·期末)已知，则______. 19．(23-24高一下·湖南株洲渌口区第三中学·期末)若，则______. 10．(22-23高一下·上海黄浦区·期末)若，则______． 题型三：正余弦和差与乘积关系的运用 21．已知 ， 则（    ） A． B． C． D． 22．已知锐角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．(24-25高一上·广东汕头潮阳区·期末)已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 24．(24-25高一上·贵州六盘水·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 25．(23-24高一上·湖北部分学校·期末)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 26．(25-26高一下·辽宁铁岭·)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 27．(25-26高一上·内蒙古赤峰松山区·期末)已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 28．(24-25高一上·浙江海宁静安高级中学·)已知为第二象限角，且满足，则________. 29．(23-24高一上·广东深圳外国语学校·)已知是关于x的方程的两个根，则_______． 20．已知是第四象限角，且满足，则______． 题型四：诱导公式在三角函数化简、求值中的运用 31．(24-25高二上·云南曲靖宣威第十中学·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 32．已知，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 33．(23-24高一下·广西钦州·期末)已知，则（    ） A． B． C．2 D． 34．(25-26高一上·四川金堂中学校等多校·期末)已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 35．(25-26高一·陕西咸阳永寿县中学·期末)化简的结果是（   ） A． B． C． D． 36．(25-26高一·广东汕尾·期末)的值是（   ） A． B． C． D． 37．下列各式不正确的是（   ） A． B． C． D． 38．(25-26高一下·天津河西区北京师范大学附属中学·开学考)________．（且） 39．(25-26高一上·广东广州第七十五中学·)已知角的终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______． 40．(25-26高一下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·)已知，则 ____. 题型五：诱导公式在证明恒等式中的运用 41．(25-26高一上·安徽皖江名校联盟·期末)“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．(23-24高一上·河南洛阳强基联盟·)已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 43．设，，则“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 44．(25-26高一上·江苏南京第一中学·)已知角和的终边关于x轴对称，则（    ） A． B． C． D． 45．若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 46．已知，求证：. 47．证明：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数的概念与诱导公式 题型一：三角函数的定义运用 题型二：已知正切，求正余弦齐次式值 题型三：正余弦和差与乘积关系的运用 题型四：诱导公式在三角函数化简、求值中的运用 题型五：诱导公式在证明恒等式中的运用 题型一：三角函数的定义运用 1．(25-26高一上·湖北宜昌县域重点高中·期末)已知角的终边经过点，且，则（   ） A．8或 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】根据题意可得：，且坐标为负数，所以， 所以 . 又，所以. 2．(25-26高一上·山西长治某校·期末)若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，角的终边经过点， 所以. 3．(25-26高一下·广西钦州文实中学·月考)已知角终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求点到原点的距离，再根据三角函数定义求解即可； 【详解】由角终边过点，故点到原点的距离为， 所以，根据三角函数定义，. 4．(25-26高一下·甘肃兰州第一中学·开学考)已知点在角的终边上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义，先由求出的值（结合象限判断符号），再计算点到原点的距离，最后代入求解. 【详解】已知点在角的终边上，因此：横坐标，纵坐标； 点到原点的距离（，距离恒为正）， 由，结合的定义式，列方程： 对等式两边平方，消去根号和符号： 交叉相乘并整理方程： 由，且，可知角的终边在第四象限，因此纵坐标，故： 将代入，得： 根据的定义式，代入、： 故选：A 5．(25-26高一上·云南大理·)在平面直角坐标系中，角的终边过点，则（   ） A． B．0 C． D．4 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数定义计算求解. 【详解】已知角的终边过点， 由正弦函数的定义得， 由余弦函数的定义得， 所以， 故选:B. 6．(25-26高三上·湖南娄底·期末)在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边为射线，已知点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边过点，所以. 故选：A 7．（多选）若角的终边在直线上，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】利用三角函数定义求解即可. 由角的终边在直线上， 当角的终边在第二象限时，在的终边上任取一点， 则， 所以； 当角的终边在第四象限时，在的终边上任取一点， 则， 所以． 8．如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为是一个任意角，它的终边与单位圆交于， 由任意角的三角函数定义得， 所以AC正确，BD错误. 9．(25-26高一·安徽六安独山中学·月考)已知角的终边过点，且，则________，________ 【答案】 【详解】由三角函数的定义， ， ． 10．(25-26高一下·安徽天一·开学考)已知是第二象限角，且终边在直线上，则_______． 【答案】/ 【分析】根据角的余弦值的定义，设出点的坐标，直接求出结果即可. 【详解】终边在直线上且在第二象限，设点坐标为， 则. 题型二：已知正切，求正余弦齐次式值 11．(25-26高一上·浙江金华部分示范高中·)已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合诱导公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 所以． 故选：A. 12．(24-25高一下·云南宣威部分学校·)已知，则（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的商数关系与诱导公式计算即可. 【详解】由题意得，即， 由正切函数诱导公式可得，由， 解得，故. 故选：C. 13．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则 . 故选：A. 14．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)设，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简原式，再分子分母同时除以即可得到结果. 【详解】． 故选：D 15．(24-25高一上·山西运城·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系求齐次式的值. 【详解】因为 . 故选：B 16．(24-25高一下·河南郑州部分学校·开学考)已知，则（ ） A．4 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式先对所求式子化简，再利用弦化切即可求得结果. 【详解】 . 故选：C 17．(22-23高一上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)已知，则的值为_________. 【答案】 【分析】利用诱导公式得，对原式化简得，代入数据即可. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：3. 18．(22-23高一上·湖北襄阳·期末)已知，则______. 【答案】6 【分析】利用诱导公式求得的值，然后在所求分式的分子和分母中同时除以，可将所求分式转化为只含的代数式，代值计算即可. 【详解】由诱导公式可得，因此，. 故答案为：6. 19．(23-24高一下·湖南株洲渌口区第三中学·期末)若，则______. 【答案】 【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为，所以 . 故答案为： 10．(22-23高一下·上海黄浦区·期末)若，则______． 【答案】 【分析】利用诱导公式对所求进行化简，把条件代入求值即可. 【详解】 又，所以原式 故答案为： 题型三：正余弦和差与乘积关系的运用 21．已知 ， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等式两边平方，求出的值，再利用切化弦可求得的值. 【详解】在等式两边平方可得，可得， 所以. 故选：B. 22．已知锐角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件和求出，从而联立方程可求出，再根据即可求得答案. 【详解】由题意，①， 则，又， 所以， 所以， 因为为锐角，所以，所以②， 由①和②联立可解得， 所以. 故选：B. 23．(24-25高一上·广东汕头潮阳区·期末)已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【详解】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 24．(24-25高一上·贵州六盘水·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过变形可以得到，从而先对平方求出，进一步化简求值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故选：A. 25．(23-24高一上·湖北部分学校·期末)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合同角公式求出即可得解. 【详解】由，得，解得， 由，得，则，于是， 解得，所以. 故选：C 26．(25-26高一下·辽宁铁岭·)已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A：根据三角函数值的符号分析判断即可；对于B：根据同角三角关系结合齐次式问题运算求解即可；对于CD：根据、与之间的关系运算求解，注意三角函数值的符号. 【详解】对于选项A：因为，，则，， 所以，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：因为， 所以 ，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以，故D错误． 27．(25-26高一上·内蒙古赤峰松山区·期末)已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由条件等式两边平方，结合平方关系可得判断A；结合可得判断B；求得的值，可求判断C；解方程求得，进而利用商数关系计算可判断D. 【详解】对于A，由，得， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，结合中,所以，所以，故B正确； 对于C，， 又因为，，所以， 所以，故C错误； 由，可得，所以，故D错误. 故选：AB. 28．(24-25高一上·浙江海宁静安高级中学·)已知为第二象限角，且满足，则________. 【答案】 【分析】利用同角三角函数之间的关系将式子平方可得，再根据为第二象限角即可计算出，可得结果. 【详解】由可得， 即，因此； 所以； 可得，又为第二象限角，所以, 所以； 联立，解得， 因此. 故答案为： 29．(23-24高一上·广东深圳外国语学校·)已知是关于x的方程的两个根，则_______． 【答案】/ 【分析】根据根与系数关系可以求得，然后利用，求出的值，然后即可求解. 【详解】由题意得：，是的两个根，即：，解得：或， 由根与系数的关系得：，所以：， 即：，解得：，（舍去）， . 故答案为：. 20．已知是第四象限角，且满足，则______． 【答案】 【分析】根据得到，利用三角函数的基本关系式，求得，进而求得，联立方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由是第四象限角，可得，则， 因为，可得， 可得， 又由， 因为，可得， 联立方程组，可得，所以. 故答案为：. 题型四：诱导公式在三角函数化简、求值中的运用 31．(24-25高二上·云南曲靖宣威第十中学·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式结合齐次式问题分析求解即可. 【详解】因为，解得. 故选：B. 32．已知，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式可得，即可得结果. 【详解】因为， 且，所以. 故选：C. 33．(23-24高一下·广西钦州·期末)已知，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及同角的三角函数关系化简，即可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C 34．(25-26高一上·四川金堂中学校等多校·期末)已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再根据诱导公式化简并求值即可． 【详解】因为角的终边经过点，所以， ． 故选：A． 35．(25-26高一·陕西咸阳永寿县中学·期末)化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简计算可得结果. 【详解】易知. 故选：C 36．(25-26高一·广东汕尾·期末)的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为， ， ， 所以， 故选：A 37．下列各式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式结合三角函数的单调性逐项分析判断. 【详解】因为， 而， 为减函数， 所以，故A不正确； ，， 而，为减函数， 所以，选项B不正确； ，， ，为减函数， 所以，故C正确； 因为，， 所以选项D不正确． 故选：ABD. 38．(25-26高一下·天津河西区北京师范大学附属中学·开学考)________．（且） 【答案】1 【分析】根据诱导公式化简即可. 【详解】根据诱导公式可得：. 39．(25-26高一上·广东广州第七十五中学·)已知角的终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义可求出，再结合点的对称性可求出，最后根据诱导公式可求解. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 又角与的终边关于x轴对称， 所以角的终边经过点，所以. 所以. 40．(25-26高一下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·)已知，则 ____. 【答案】 【分析】先根据已知结合诱导公式求出的值，再利用诱导公式以及同角三角函数关系式中商数关系转换为只含有的表达式求解即可. 【详解】因为，所以，解得： 由 . 题型五：诱导公式在证明恒等式中的运用 41．(25-26高一上·安徽皖江名校联盟·期末)“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正弦的诱导公式结合充分不必要条件定义判断求解. 【详解】由，得或， 所以“”是“，”的必要不充分条件 故选：B. 42．(23-24高一上·河南洛阳强基联盟·)已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角和的终边关于轴对称，可得，，代入各个选项，根据诱导公式即可判断． 【详解】由角和的终边关于轴对称，可得，， 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确， 对于D，由，故D错误， 故选：C． 43．设，，则“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得或，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可知，或，， 所以“”是“，”的必要不充分条件． 故选：B． 44．(25-26高一上·江苏南京第一中学·)已知角和的终边关于x轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件可得，再利用诱导公式逐项判断得解. 【详解】角和的终边关于x轴对称，得，， 对于A，，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误. 故选：BC 45．若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用三角形内角和为及诱导公式即可逐项判断． 【详解】∵，∴，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C正确； ，选项D正确． 故选：ACD． 46．已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 47．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $