专题01 任意角、弧度制与诱导公式-选填题6大考点（高效培优期中专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题01 任意角、弧度制与诱导公式 考点01 象限角及其表示 考点02 角度与弧度互化 考点03 扇形弧长与面积计算 考点04 扇形中的最值问题 考点05 诱导公式化简求值 考点06 诱导公式整体代换 考点01 象限角及其表示 1．(23-24高一上·山西吕梁孝义部分学校·月考)角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】找到给定角终边相同的最小正角，即可判断所在象限. 【详解】由，又的终边在第三象限， 所以角的终边在第三象限． 故选：C 2．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·月考)的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角判断即可. 【详解】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限. 故选：B 3．(22-23高一下·广西钦州第四中学·月考)已知集合第一象限的角，锐角，小于的角，下列四个命题： ①；②；③；④ 其中正确命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出集合、、的包含关系，可得出合适的选项. 【详解】因为集合第一象限的角，锐角，小于的角， 则，，但、无包含关系，故①②③④均错. 故选：A. 4．(25-26高一上·内蒙古赤峰全优质高中联盟·月考)是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】根据象限角的定义求解即可. 【详解】因为， 所以与终边相同，是第一象限角， 故选：A 5．(25-26高一上·天津新华中学·)已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】C 【分析】由题意可得，可得，讨论的取值，即可确定答案. 【详解】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C 6．(25-26高一上·安徽A10联盟·)下列说法正确的是（    ） A．第三象限的角一定大于第二象限的角 B．终边在轴负半轴上的角的集合为 C．若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D．函数的零点是 【答案】BC 【分析】利用赋值法可判断A；根据角的终边可直接得到角的集合，判断B选项；根据象限角的范围求得的范围，结合象限角的范围判断C选项；求得函数的零点判断D选项. 【详解】对于A，是第三象限角，是第二象限角，但，故A错误； 对于B，终边在轴负半轴上的角的集合为，故B正确； 对于C，若是第三象限角，则，则， 当时，，所以是第四象限角， 当时，，所以是第二象限角，故C选项正确； 对于D，令，得，解得， 所以函数的零点是.故D选项错误. 故选：BC. 7．(23-24高一下·安徽淮北国泰中学·月考)角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【分析】分为奇数、偶数两种情况讨论，分别判断角所在的象限. 【详解】当时，，故为第三象限角； 当时，，故为第一象限角． 故角的终边落在第一或第三象限． 故选：AC 8．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县私立行知高级中学·月考)已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围_____________. 【答案】 【分析】根据题意先求解终边在角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形即可求解. 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. 9．(24-25高一上·海南海口某校·月考)在的范围内，与终边相同的角是______． 【答案】 【分析】利用终边相同的角的定义求解即可. 【详解】由， 可得在的范围内，与终边相同的角是. 故答案为：. 10．(24-25高一上·湖南长沙望城区第一中学·月考)已知为第二象限角，那么是第_________象限角． 【答案】一、二、四 【分析】结合第二象限角的表示可得，讨论确定其所在选项. 【详解】∵为第二象限角， ∴， ∴， 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，，属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故答案：一、二、四 考点02 角度与弧度互化 11．(25-26高一上·天津河西区·期末)将化成弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角度和弧度的互化公式化简可得结果. 【详解】. 故选：C. 12．(25-26高一下·广西钦州文实中学·月考) 对应的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 13．(25-26高一上·陕西咸阳实验中学·)时钟的分针在8点10分到8点20分这段时间里转过的弧度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念和角度与弧度制的转换即可得到答案. 【详解】时钟的分针从8点10分到8点20分顺时针转动了， 所以转过的弧度数为. 故选：B. 14．(25-26高一上·云南昆明外国语学校禄劝分校（禄劝民族中学）·月考)弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弧度制与角度制的互化关系进行互化. 【详解】根据角度制与弧度制的互化关系，得. 故选：A 15．(24-25高一上·北京大学附属中学元培学院·期中)角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（    ） A．，第一象限 B．，第一象限 C．，第二象限 D．，第二象限 【答案】D 【分析】利用角度与弧度的互化以及象限角的定义判断即可. 【详解】因为，且， 因为为第二象限角，故为第二象限角， 故选：D. 16．(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔第六中学校·月考)弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式直接求解即可. 【详解】解:根据角度制与弧度制的互化关系得 故选：B 17．(25-26高一上·江苏泰州中学·)以下说法正确的有（   ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为的圆中，圆心角为的弧长为 【答案】AD 【分析】利用角度与弧度的互化可判断AB选项；利用弧度的定义可判断C选项；利用扇形的弧长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是，C错； 对于D选项，在半径为的圆中，圆心角为的弧长为，D对. 故选：AD. 18．(24-25高一上·云南昭通延津县第二中学·月考)下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成弧度是 C．化成角度是 D．化成角度是 【答案】ABD 【分析】根据弧度制和角度制的转化公式求得正确答案. 【详解】对于A：，所以化成弧度是，故A正确. 对于B，，化成弧度是，故B正确. 对于C， 化成角度是，故C错误. 对于D，，化成角度是，故D正确. 故选：ABD. 19．(23-24高一上·福建龙岩第九中学·月考)将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 20．(23-24高一下·陕西渭南富平县蓝光中学·期中)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD. 【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误． 对C，，则与终边相同，而与终边相同， 且化为角度制即为，则与的终边相同， 则是与的终边相同的角的表达式，故C正确； 对D，由C得与终边相同， 则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确． 故选：CD． 考点03 扇形弧长与面积计算 21．(25-26高一上·湖北武汉外国语学校·期末)一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由扇形面积公式与弧长公式直接计算即可. 【详解】由题意得，解得，则， 故选：D. 22．(25-26高一·安徽铜陵·期末)已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长、半径和圆心角的关系，可求得扇形半径，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，由题意圆心角为， 所以弧长，解得， 则该扇形的面积. 故选：B 23．(25-26高一·江苏锡山高级中学·期末)某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出小轮每分钟转的圈数，进而求得小轮每秒钟转的弧度数，从而求出小轮每秒转过的弧长. 【详解】由大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈， 得小轮每分钟转的圈数为，因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：B. 24．扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用内切圆半径表示扇形半径，再利用圆面积公式及扇形面积公式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，扇形内切圆半径为，则， 因此内切圆面积，扇形面积， 所以. 故选：B 25．(25-26高一上·江苏南通海安·期末)若面积为的扇形与面积为的正方形的周长相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示扇形的周长，正方形的周长，利用，得，再表示扇形面积，正方形的面积，计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，正方形的边长为， 则扇形的周长，正方形的周长， 扇形周长和正方形周长相等， ，即， ， ， ， 即， . 故选：D 26．(25-26高一上·江西科技学院附属中学·期末)已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（   ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，应用基本不等式计算判断选项D. 【详解】由题意知：，，， 对于选项A：当时，，可得，故选项A不正确； 对于选项B、C：，当时取等，该扇形面积的最大值为1，此时，，故选项B、C正确； 对于选项D： 当且仅当时，取最小值为，故选项D正确． 故选：BCD 27．在半径为r的圆中，扇形的弧长，面积为，圆心角，弦，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】BC 【分析】设扇形半径为，根据弧长公式，扇形面积公式，逐一分析每个选项进行求解. 【详解】 设扇形半径为，作， 在直角中，，A选项错误， 结合弧长公式，B选项正确； 根据扇形的面积公式，，C选项正确 ； ，D选项错误. 故选：BC 28．(24-25高一上·广东肇庆·期末)在半径是2的圆形金属板上截取一块扇形板，使其半径等于圆形金属板半径，已知该扇形的圆心角为，则下列说法正确的是（    ） A．该扇形的弧长为 B．该扇形的周长为 C．该扇形的面积为 D．该圆形金属板的周长为 【答案】BC 【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式逐项判断即可. 【详解】选项A：该扇形的弧长，故A说法错误； 选项B：该扇形的周长，故B说法正确； 选项C：该扇形的面积，故C说法正确； 选项D：该圆形金属板的周长，故D说法错误； 故选：BC 29．(25-26高一上·安徽芜湖普通高中·月考)一个扇形的周长为8cm，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为__________． 【答案】6或 【分析】设出扇形的半径与圆心角，根据周长与面积公式，可得答案. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角为．由题可知， 由①可得，代入②可得， 即，解得或3，则或． 故答案为：6或 30．(25-26高一上·河北邢台·月考)如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______.    【答案】 【分析】由主动轮和被动轮转过的弧长相等即可得结果. 【详解】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为， 由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即，即， 故答案为：. 考点04 扇形中的最值问题 31．(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 32．(21-22高一下·陕西咸阳实验中学·)已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】设扇形的圆心角为，弧长为，半径为， 则周长，面积， 所以当时面积取得最大值为， 此时，对应. 故选：A 33．(22-23高一上·广东深圳光明区深圳外国语学校博雅高中·期末)若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半径和圆心角，从而结合三角函数得到，求出答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长， 故，则， 故扇形面积为， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故， 此时， 由对称性可知， 设内切圆的圆心为，因为，故， 过点作⊥于点， 则，在中，，即， 解得. 故选：B 34．(24-25高一上·江苏梅村高级中学·)体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【详解】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 35．(23-24高一上·浙江浙南名校联盟·)如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，扇形周长为定值，圆心角为，若，则当取得最大值时，圆心角为的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先利用扇形的周长得到推得，再利用扇形的面积公式将问题转化为二次函数的最值问题，从而得解. 【详解】依题意，知，则，， 因为，所以，不妨设，则， 因为扇形周长为定值，所以，则， 因为， 扇形的面积为， 则， 对于，其开口向下，对称轴为， 故当，即时，取得最大值，即取得最大值， 此时，. 故选：B. 36．(22-23高一下·河北张家口·期中)如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出，，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出， 由可得， 所以，扇形的面积为， 当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时． 因为，则扇形的圆心角， 取线段的中点，由垂径定理可知， 因为，则， 所以，. 故选：A. 37．(25-26高一上·山东枣庄第三中学·)已知扇形的周长为，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是___． 【答案】 【分析】根据扇形周长公式得出弧长与半径的关系，再结合扇形面积公式，利用二次函数的性质求出面积最大时半径的值，进而求出圆心角的弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 已知扇形的周长，由扇形周长公式， 可得，移项可得， 又扇形面积， 将代入面积公式可得， 根据二次函数的图像性质，可得当时，面积取得最大值， 当时，可得， 所以圆心角. 故答案为： 38．(25-26高一上·河南安阳天一大联考·期中)用一根长度为的绳子围成一个扇形，则该扇形面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，其中，利用扇形的面积公式与基本不等式可求得该扇形面积的最大值. 【详解】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，其中， 故该扇形的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该扇形面积的最大值为. 故答案为：. 39．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大， 此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值. 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 40．(24-25高一下·河北张家口尚义县第一中学等校·)周长为cm的扇形取得面积最大值时的半径为__________. 【答案】1 【分析】利用扇形周长公式和面积公式，由二次函数性质可得当时，面积最大. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 因此，即, 扇形面积为， 可知当时，面积最大为. 故答案为：1 考点05 引导公式化简求值 41．(25-26高一下·浙江四校（含精诚联盟）·)已知是角终边上的一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角三角函数的定义及诱导公式求解即可. 【详解】点到原点的距离为，所以. 则. 42．已知，且角是第四象限角，则（   ） A．－4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简即可得答案. 【详解】依题意，，则， 当时， . 故选：A 43．(25-26高一上·浙江金华部分示范高中·)已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合诱导公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 所以． 故选：A. 44．(25-26高一上·江苏启东中学·)已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简表达式，再根据任意角三角函数的定义求值． 【详解】因为， 又点在角的终边上，则， 所以的值为. 故选 ：A. 45．(25-26高二上·广东中山三鑫学校·月考)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为， 所以，或， 解得：，或， 所以推不出， 当，即时，， 又，所以， 所以推出， 因此”是“”的必要不充分条件， 故选：B 46．(25-26高一上·贵州铜仁·月考)已知，下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的解析式,利用诱导公式化简即得. 【详解】由已知得： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：ABD. 47．(24-25高一下·河南环际大联考“逐梦计划”·)已知角和的终边关于x轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合诱导公式逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为角和的终边关于x轴对称，可得，． 对于A，由，A错误； 对于B，由，B正确； 对于C，由，C正确； 对于D，由，D错误． 故选：AC． 48．(24-25高一下·广西南宁琼林高级中学·月考)对于，下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由诱导公式逐一判断即可. 【详解】，所以选项正确. ，选项正确. ，选项错误. ，选项正确. 故选：ABD. 49．(25-26高一上·浙江强基联盟·)已知，则___________ 【答案】/ 【分析】由诱导公式化简即可求解. 【详解】， 故答案为：. 50．(25-26高一上·天津宁河区芦台第一中学·月考)_____. 【答案】/ 【分析】应用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】 故答案为：. 考点06 诱导公式整体代换 51．(25-26高一·安徽六安独山中学·月考)已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则． 因为，所以， 所以. 52．(25-26高一上·北京第十二中学·)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】， 故选：A. 53．(24-25高一下·广东湛江廉江第二中学·月考)若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助诱导公式计算即得. 【详解】. 故选：D. 54．(25-26高一上·广东广州番禺区·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：B. 55．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属中学·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的诱导公式进行计算. 【详解】. 故选：B 56．(24-25高二上·浙江杭州西湖区绿城育华·期末)若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据范围计算范围，再结合的正负性，得出，则可计算，最后利用诱导公式化简即可. 【详解】，则， 又，则， 故， . 故选：A 57．(25-26高一上·福建莆田第二中学·月考)已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【详解】因为， 所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则 . 故选：D. 58．(24-25高三上·重庆第八中学校·)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式结合已知角与未知角的关系、诱导公式计算即可. 【详解】已知， 则. 故选：D. 59．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)已知，则__________． 【答案】 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】由，得， . 故答案为：. 60．(25-26高二上·上海格致中学·期中)已知，则______． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式化简求解即可. 【详解】. 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 任意角、弧度制与诱导公式 考点01 象限角及其表示 考点02 角度与弧度互化 考点03 扇形弧长与面积计算 考点04 扇形中的最值问题 考点05 诱导公式化简求值 考点06 诱导公式整体代换 考点01 象限角及其表示 1．(23-24高一上·山西吕梁孝义部分学校·月考)角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】找到给定角终边相同的最小正角，即可判断所在象限. 【详解】由，又的终边在第三象限， 所以角的终边在第三象限． 故选：C 2．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·月考)的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角判断即可. 【详解】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限. 故选：B 3．(22-23高一下·广西钦州第四中学·月考)已知集合第一象限的角，锐角，小于的角，下列四个命题： ①；②；③；④ 其中正确命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出集合、、的包含关系，可得出合适的选项. 【详解】因为集合第一象限的角，锐角，小于的角， 则，，但、无包含关系，故①②③④均错. 故选：A. 4．(25-26高一上·内蒙古赤峰全优质高中联盟·月考)是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】根据象限角的定义求解即可. 【详解】因为， 所以与终边相同，是第一象限角， 故选：A 5．(25-26高一上·天津新华中学·)已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】C 【分析】由题意可得，可得，讨论的取值，即可确定答案. 【详解】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C 6．(25-26高一上·安徽A10联盟·)下列说法正确的是（    ） A．第三象限的角一定大于第二象限的角 B．终边在轴负半轴上的角的集合为 C．若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D．函数的零点是 【答案】BC 【分析】利用赋值法可判断A；根据角的终边可直接得到角的集合，判断B选项；根据象限角的范围求得的范围，结合象限角的范围判断C选项；求得函数的零点判断D选项. 【详解】对于A，是第三象限角，是第二象限角，但，故A错误； 对于B，终边在轴负半轴上的角的集合为，故B正确； 对于C，若是第三象限角，则，则， 当时，，所以是第四象限角， 当时，，所以是第二象限角，故C选项正确； 对于D，令，得，解得， 所以函数的零点是.故D选项错误. 故选：BC. 7．(23-24高一下·安徽淮北国泰中学·月考)角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【分析】分为奇数、偶数两种情况讨论，分别判断角所在的象限. 【详解】当时，，故为第三象限角； 当时，，故为第一象限角． 故角的终边落在第一或第三象限． 故选：AC 8．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县私立行知高级中学·月考)已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围_____________. 【答案】 【分析】根据题意先求解终边在角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形即可求解. 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. 9．(24-25高一上·海南海口某校·月考)在的范围内，与终边相同的角是______． 【答案】 【分析】利用终边相同的角的定义求解即可. 【详解】由， 可得在的范围内，与终边相同的角是. 故答案为：. 10．(24-25高一上·湖南长沙望城区第一中学·月考)已知为第二象限角，那么是第_________象限角． 【答案】一、二、四 【分析】结合第二象限角的表示可得，讨论确定其所在选项. 【详解】∵为第二象限角， ∴， ∴， 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，，属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故答案：一、二、四 考点02 角度与弧度互化 11．(25-26高一上·天津河西区·期末)将化成弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角度和弧度的互化公式化简可得结果. 【详解】. 故选：C. 12．(25-26高一下·广西钦州文实中学·月考) 对应的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 13．(25-26高一上·陕西咸阳实验中学·)时钟的分针在8点10分到8点20分这段时间里转过的弧度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念和角度与弧度制的转换即可得到答案. 【详解】时钟的分针从8点10分到8点20分顺时针转动了， 所以转过的弧度数为. 故选：B. 14．(25-26高一上·云南昆明外国语学校禄劝分校（禄劝民族中学）·月考)弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弧度制与角度制的互化关系进行互化. 【详解】根据角度制与弧度制的互化关系，得. 故选：A 15．(24-25高一上·北京大学附属中学元培学院·期中)角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（    ） A．，第一象限 B．，第一象限 C．，第二象限 D．，第二象限 【答案】D 【分析】利用角度与弧度的互化以及象限角的定义判断即可. 【详解】因为，且， 因为为第二象限角，故为第二象限角， 故选：D. 16．(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔第六中学校·月考)弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式直接求解即可. 【详解】解:根据角度制与弧度制的互化关系得 故选：B 17．(25-26高一上·江苏泰州中学·)以下说法正确的有（   ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为的圆中，圆心角为的弧长为 【答案】AD 【分析】利用角度与弧度的互化可判断AB选项；利用弧度的定义可判断C选项；利用扇形的弧长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是，C错； 对于D选项，在半径为的圆中，圆心角为的弧长为，D对. 故选：AD. 18．(24-25高一上·云南昭通延津县第二中学·月考)下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成弧度是 C．化成角度是 D．化成角度是 【答案】ABD 【分析】根据弧度制和角度制的转化公式求得正确答案. 【详解】对于A：，所以化成弧度是，故A正确. 对于B，，化成弧度是，故B正确. 对于C， 化成角度是，故C错误. 对于D，，化成角度是，故D正确. 故选：ABD. 19．(23-24高一上·福建龙岩第九中学·月考)将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 20．(23-24高一下·陕西渭南富平县蓝光中学·期中)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD. 【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误． 对C，，则与终边相同，而与终边相同， 且化为角度制即为，则与的终边相同， 则是与的终边相同的角的表达式，故C正确； 对D，由C得与终边相同， 则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确． 故选：CD． 考点03 扇形弧长与面积计算 21．(25-26高一上·湖北武汉外国语学校·期末)一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由扇形面积公式与弧长公式直接计算即可. 【详解】由题意得，解得，则， 故选：D. 22．(25-26高一·安徽铜陵·期末)已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长、半径和圆心角的关系，可求得扇形半径，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，由题意圆心角为， 所以弧长，解得， 则该扇形的面积. 故选：B 23．(25-26高一·江苏锡山高级中学·期末)某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出小轮每分钟转的圈数，进而求得小轮每秒钟转的弧度数，从而求出小轮每秒转过的弧长. 【详解】由大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈， 得小轮每分钟转的圈数为，因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：B. 24．扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用内切圆半径表示扇形半径，再利用圆面积公式及扇形面积公式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，扇形内切圆半径为，则， 因此内切圆面积，扇形面积， 所以. 故选：B 25．(25-26高一上·江苏南通海安·期末)若面积为的扇形与面积为的正方形的周长相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示扇形的周长，正方形的周长，利用，得，再表示扇形面积，正方形的面积，计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，正方形的边长为， 则扇形的周长，正方形的周长， 扇形周长和正方形周长相等， ，即， ， ， ， 即， . 故选：D 26．(25-26高一上·江西科技学院附属中学·期末)已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（   ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，应用基本不等式计算判断选项D. 【详解】由题意知：，，， 对于选项A：当时，，可得，故选项A不正确； 对于选项B、C：，当时取等，该扇形面积的最大值为1，此时，，故选项B、C正确； 对于选项D： 当且仅当时，取最小值为，故选项D正确． 故选：BCD 27．在半径为r的圆中，扇形的弧长，面积为，圆心角，弦，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】BC 【分析】设扇形半径为，根据弧长公式，扇形面积公式，逐一分析每个选项进行求解. 【详解】 设扇形半径为，作， 在直角中，，A选项错误， 结合弧长公式，B选项正确； 根据扇形的面积公式，，C选项正确 ； ，D选项错误. 故选：BC 28．(24-25高一上·广东肇庆·期末)在半径是2的圆形金属板上截取一块扇形板，使其半径等于圆形金属板半径，已知该扇形的圆心角为，则下列说法正确的是（    ） A．该扇形的弧长为 B．该扇形的周长为 C．该扇形的面积为 D．该圆形金属板的周长为 【答案】BC 【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式逐项判断即可. 【详解】选项A：该扇形的弧长，故A说法错误； 选项B：该扇形的周长，故B说法正确； 选项C：该扇形的面积，故C说法正确； 选项D：该圆形金属板的周长，故D说法错误； 故选：BC 29．(25-26高一上·安徽芜湖普通高中·月考)一个扇形的周长为8cm，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为__________． 【答案】6或 【分析】设出扇形的半径与圆心角，根据周长与面积公式，可得答案. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角为．由题可知， 由①可得，代入②可得， 即，解得或3，则或． 故答案为：6或 30．(25-26高一上·河北邢台·月考)如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______.    【答案】 【分析】由主动轮和被动轮转过的弧长相等即可得结果. 【详解】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为， 由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即，即， 故答案为：. 考点04 扇形中的最值问题 31．(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 32．(21-22高一下·陕西咸阳实验中学·)已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】设扇形的圆心角为，弧长为，半径为， 则周长，面积， 所以当时面积取得最大值为， 此时，对应. 故选：A 33．(22-23高一上·广东深圳光明区深圳外国语学校博雅高中·期末)若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半径和圆心角，从而结合三角函数得到，求出答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长， 故，则， 故扇形面积为， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故， 此时， 由对称性可知， 设内切圆的圆心为，因为，故， 过点作⊥于点， 则，在中，，即， 解得. 故选：B 34．(24-25高一上·江苏梅村高级中学·)体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【详解】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 35．(23-24高一上·浙江浙南名校联盟·)如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，扇形周长为定值，圆心角为，若，则当取得最大值时，圆心角为的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先利用扇形的周长得到推得，再利用扇形的面积公式将问题转化为二次函数的最值问题，从而得解. 【详解】依题意，知，则，， 因为，所以，不妨设，则， 因为扇形周长为定值，所以，则， 因为， 扇形的面积为， 则， 对于，其开口向下，对称轴为， 故当，即时，取得最大值，即取得最大值， 此时，. 故选：B. 36．(22-23高一下·河北张家口·期中)如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出，，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出， 由可得， 所以，扇形的面积为， 当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时． 因为，则扇形的圆心角， 取线段的中点，由垂径定理可知， 因为，则， 所以，. 故选：A. 37．(25-26高一上·山东枣庄第三中学·)已知扇形的周长为，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是___． 【答案】 【分析】根据扇形周长公式得出弧长与半径的关系，再结合扇形面积公式，利用二次函数的性质求出面积最大时半径的值，进而求出圆心角的弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 已知扇形的周长，由扇形周长公式， 可得，移项可得， 又扇形面积， 将代入面积公式可得， 根据二次函数的图像性质，可得当时，面积取得最大值， 当时，可得， 所以圆心角. 故答案为： 38．(25-26高一上·河南安阳天一大联考·期中)用一根长度为的绳子围成一个扇形，则该扇形面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，其中，利用扇形的面积公式与基本不等式可求得该扇形面积的最大值. 【详解】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，其中， 故该扇形的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该扇形面积的最大值为. 故答案为：. 39．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大， 此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值. 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 40．(24-25高一下·河北张家口尚义县第一中学等校·)周长为cm的扇形取得面积最大值时的半径为__________. 【答案】1 【分析】利用扇形周长公式和面积公式，由二次函数性质可得当时，面积最大. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 因此，即, 扇形面积为， 可知当时，面积最大为. 故答案为：1 考点05 引导公式化简求值 41．(25-26高一下·浙江四校（含精诚联盟）·)已知是角终边上的一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角三角函数的定义及诱导公式求解即可. 【详解】点到原点的距离为，所以. 则. 42．已知，且角是第四象限角，则（   ） A．－4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简即可得答案. 【详解】依题意，，则， 当时， . 故选：A 43．(25-26高一上·浙江金华部分示范高中·)已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合诱导公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 所以． 故选：A. 44．(25-26高一上·江苏启东中学·)已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简表达式，再根据任意角三角函数的定义求值． 【详解】因为， 又点在角的终边上，则， 所以的值为. 故选 ：A. 45．(25-26高二上·广东中山三鑫学校·月考)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为， 所以，或， 解得：，或， 所以推不出， 当，即时，， 又，所以， 所以推出， 因此”是“”的必要不充分条件， 故选：B 46．(25-26高一上·贵州铜仁·月考)已知，下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的解析式,利用诱导公式化简即得. 【详解】由已知得： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：ABD. 47．(24-25高一下·河南环际大联考“逐梦计划”·)已知角和的终边关于x轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合诱导公式逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为角和的终边关于x轴对称，可得，． 对于A，由，A错误； 对于B，由，B正确； 对于C，由，C正确； 对于D，由，D错误． 故选：AC． 48．(24-25高一下·广西南宁琼林高级中学·月考)对于，下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由诱导公式逐一判断即可. 【详解】，所以选项正确. ，选项正确. ，选项错误. ，选项正确. 故选：ABD. 49．(25-26高一上·浙江强基联盟·)已知，则___________ 【答案】/ 【分析】由诱导公式化简即可求解. 【详解】， 故答案为：. 50．(25-26高一上·天津宁河区芦台第一中学·月考)_____. 【答案】/ 【分析】应用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】 故答案为：. 考点06 诱导公式整体代换 51．(25-26高一·安徽六安独山中学·月考)已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则． 因为，所以， 所以. 52．(25-26高一上·北京第十二中学·)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】， 故选：A. 53．(24-25高一下·广东湛江廉江第二中学·月考)若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助诱导公式计算即得. 【详解】. 故选：D. 54．(25-26高一上·广东广州番禺区·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：B. 55．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属中学·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的诱导公式进行计算. 【详解】. 故选：B 56．(24-25高二上·浙江杭州西湖区绿城育华·期末)若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据范围计算范围，再结合的正负性，得出，则可计算，最后利用诱导公式化简即可. 【详解】，则， 又，则， 故， . 故选：A 57．(25-26高一上·福建莆田第二中学·月考)已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【详解】因为， 所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则 . 故选：D. 58．(24-25高三上·重庆第八中学校·)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式结合已知角与未知角的关系、诱导公式计算即可. 【详解】已知， 则. 故选：D. 59．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)已知，则__________． 【答案】 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】由，得， . 故答案为：. 60．(25-26高二上·上海格致中学·期中)已知，则______． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式化简求解即可. 【详解】. 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $