专题01 平面向量的概念与计算7大题型（高效培优专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题01 平面向量的概念与计算 题型一：平面向量的概念以及辨析 题型二：平面向量的模长 题型三：平面向量的夹角 题型四：平面向量的数量积 题型五：向量平行/垂直相关计算 题型六：向量的投影与投影向量 题型七：坐标法/代数法解决向量问题 题型一：平面向量的概念以及辨析 1．(25-26高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·)下列说法正确的是（   ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据零向量的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：由零向量的定义可知零向量与任意向量平行，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 2．(25-26高一上·湖北武汉外国语学校·期末)“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 3．(25-26高一上·北京顺义区·期末)设均为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义以及向量共线定理即可判断. 【详解】若与共线，且，则存在实数使得： 移项可得：即 故与共线，充分性成立； 若与共线，且，则存在实数使得： 代入得 故与共线，必要性成立. 综上，“与共线”是“与共线”的充分必要条件. 故选：C 4．(25-26高三上·山东·一模)下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可. 【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误. 故选：B. 5．(25-26高三上·北京第二中学·月考)已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量共线的性质，运用特殊值法结合充分条件的判断规则分析充分性，结合余弦函数的性质结合必要条件的判断规则分析必要性． 【详解】已知非零向量， 若“与共线”： 当时，，则，故充分性不成立； 若： 则，即，化简得， ，，即， ，，即，与共线，必要性成立； 故“与共线”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 6．(25-26高二上·吉林长春九台区师范高级中学·期中)如图所示，在正方体中，下列向量相等的是 （ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用观察向量的大小和方向即可作出判断. 【详解】因为与是大小相等，方向相反，所以与是相反向量，故A错误； 因为与也是大小相等，方向相反，所以与也是相反向量，故B错误； 因为，所以与不是相等向量，故C错误； 因为与是大小相等，方向相同，所以与是相等向量，故D正确； 故选：D 7．关于向量，，下列命题中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义可判断A、B的正误；根据零向量的定义可判断C的正误；根据平行向量的定义可判断D的正误． 【详解】向量的长度相等，方向不同时也不是相等向量，A错误； 向量相等，长度一定相等，B正确； 长度为0的向量是零向量，C正确； 相反向量一定是平行向量，D正确． 8．(25-26高一·贵州遵义第一中学·月考)下列说法正确的是（    ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反 B．向量的长度与向量的长度相等 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．若与同向，且，则 【答案】BC 【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错； B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对； C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对； D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错. 9．(25-26高一下·江苏盐城响水县清源高级中学·)下列选项中，错误的是（    ） A．若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则B，C重合 【答案】ABC 【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；根据平行四边形的定义与向量的定义即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据相等向量的定义即可判断选项D. 【详解】若，四点可能共线，故选项A错误； 在平行四边形中，方向相同、模相等，则，故选项B错误； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，的方向不确定，故选项C错误； 若非零向量与相等，因为起点相同，则终点，重合，故选项D正确. 10．(22-23高一·四川绵阳中学·期中)下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同 C．若，，则 D．对于任意非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【分析】A.由平面向量不能比较大小判断；B.由共线向量的定义判断；C.由判断；D.由单位向量的定义判断. 【详解】A.平面向量不能比较大小，故错误； B.若，则与的方向相同或相反，故错误； C.当时，不成立，故错误； D.对于任意非零向量，是一个单位向量，正确， 故选：ABC 题型二：平面向量的模长 11．已知向量，若向量满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由题意得：， 解得，所以. 12．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标表示可得，代入求，即可得模长. 【详解】因为平面向量，， 若，则，解得， 即，，则， 所以. 13．(25-26高三上·辽宁名校联盟·期末)已知向量满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得，，结合模长的平方关系运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，则， 所以. 故选：B. 14．(25-26高三上·北京顺义区·期末)已知向量，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的定义计算，再根据计算即可. 【详解】由题意可得，， 则， 故. 故选：D 15．(25-26高三上·河南湘豫名校联考·)已知向量，，若，则 （    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先根据结合平面向量的数量积的坐标表示求出，进而再根据模的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得， 则，故． 故选：B 16．(25-26高三上·贵州部分学校·)已知向量，，则＝（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的数量积表示及向量模求解即可. 【详解】因为， 所以， 即． 故选：D 17．(25-26高三·辽宁鞍山·)已知向量，若，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标关系求出，再结合向量的坐标运算和模长公式求解. 【详解】由，可得，解得， ， ，则. 故选：D. 18．(25-26高一上·辽宁县级重点高中协作体·期末)设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若，，则________. 【答案】 【分析】本题首先运用向量的加法求出向量的坐标，根据向量模的公式求解. 【详解】由题意可得，故. 故答案为：. 19．(24-25高一下·山东青岛·调研)已知向量与的夹角为，，若，，则________. 【答案】 【分析】求得，然后对两边平方，并等价转化为，恒成立，计算即可. 【详解】由题可知：不为零向量，， 化简为，所以，恒成立， 所以，则. 故答案为： 20．(24-25高一下·河北承德第二中学·月考)在中，为直角，的平分线交于，且有．若，则________． 【答案】 【分析】首先求得，然后结合数量积的运算律即可求解. 【详解】如图，过点作交于点，交于点， 则， 所以，即，． 因此，所以，，因此． 所以 ．由此得． 故答案为：. 题型三：平面向量的夹角 21．已知平面向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边同时平方得， 整理得：，， 所以与的夹角为. 22．(25-26高一下·重庆开州中学·)若平面向量模长相等，且，则（ ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】因为，则，两侧同时平方，再由平面向量模长相等求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以， 因为平面向量模长相等，设， 所以，所以解得. 23．(25-26高三上·辽宁营口普通高中·期中)已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两边平方，根据平面向量数量积的运算性质可得，然后由向量夹角公式求解． 【详解】因为均为单位向量，所以， 由，得， 则， 则，即， 则， 因为，所以. 则与的夹角的取值范围是. 故选：D. 24．(25-26高二上·湖北襄阳第四中学·月考)设，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的定义即可求解. 【详解】因为，，， 所以由，得， 因为，所以. 故选：A. 25．(24-25高一下·辽宁重点高中联合体·期末)已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式列式求解. 【详解】依题意，. 故选：C 26．(24-25高一下·海南部分学校·)已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】， 则，， 故，又， 则与的夹角. 故选：B. 27．(24-25高一下·四川自贡·期末)若，是夹角为的单位向量，则与夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式可解. 【详解】， ， ， ， 所以， 因为， 则与夹角为. 故选：C. 28．已知向量，，且与的夹角为，则______． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】向量，，则. 29．(25-26高三上·北京第一六一中学·期中)已知向量，，满足，与的夹角为__________. 【答案】/ 【分析】根据平面向量向量垂直的坐标关系求解的值，再根据向量坐标运算与夹角余弦公式即可得与的夹角. 【详解】向量，，满足， 则，所以，则， 所以与的夹角余弦值为， 又，所以，故与的夹角为. 故答案为：. 30．(25-26高二上·贵州名校协作体·)在中，，，，与交于，若，则______. 【答案】 【分析】设，且，由和三点共线，得到和，列出方程组，求得，得到，结合，求得，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设，且，则，如图所示， 因为三点共线，则存在实数使得， 又因为三点共线，则存在实数使得 所以，则 ，解得， 所以，且 因为，可得 ，解得， 所以， 因为，所以. 故答案为： 题型四：平面向量的数量积 31．已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】设，，利用向量垂直的坐标表示求出点的坐标，即可求出的值． 【详解】设，，由， 即，解得， 所以， 则， 所以． 32．已知均为单位向量，且满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意知，解得， 于是． 33．(25-26高一下·广东江门广雅中学等校·)已知，，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】结合平面向量的数量积运算化简整理原式，再结合题干垂直关系和向量的模求解. 【详解】由题意得， 因为，所以. 已知，，则，， 代入可得原式. 34．在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将表示为，利用向量的数量积求解. 【详解】由已知条件可得，， 则. 35．已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】中，由，得， ，又，且点在上，则， 所以. 36．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨第九中学·月考)已知非零向量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量数量积的运算律进行求解 【详解】设，则， ， 又，故，解得， 所以. 37．(25-26高二下·湖南长沙长郡中学·开学考)在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为的中点，则， 所以． 如图，分别取线段，的中点为，，因为为的外接圆圆心， 所以，， 则， ， 因此． 38．(25-26高三下·广东汕头·一模)为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义：    39．(25-26高一下·云南曲靖宣威民族中学、七中·)已知等边三角形的边长为2，点满足，则=___________． 【答案】3 【详解】由可知为中点，所以 40．如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 【答案】/ 【分析】以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案. 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则 . 题型五：向量平行/垂直相关计算 41．(25-26高一下·云南曲靖宣威民族中学、七中·)已知向量，，若与垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算坐标表示及数量积坐标运算计算即可求解. 【详解】，，， 由与垂直得，即，解得. 42．(24-25高一下·四川叙永县第三中学校·月考)已知平面向量，满足，，若，则（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为，所以，解得. 43．已知向量，，，，均为实数，且，，则（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行列方程，求得，，根据向量坐标运算求得正确答案. 【详解】因为，，所以，，得，， 所以， 故. 44．(25-26高一下·河南许昌襄城县实验高级中学等校·)已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【详解】由题设及，则，可得. 45．(25-26高三·四川德阳·)已知向量，，若，则（   ） A．0或 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】由平面向量平行的坐标充要条件可得：， 整理为：，解得或. 46．若向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，可得坐标，根据数量积的坐标公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，， 因为，所以， 则，解得. 47．(25-26高二上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·月考)已知向量，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A B，根据向量平行、垂直的坐标关系列方程即可求解；对于C，根据模的定义列方程可求解；对于D，根据数量积的坐标运算求解即可. 【详解】对于A，若，则，解得，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C错误； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：BD. 48．(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔第六中学校·月考)向量，下列叙述正确的是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【答案】ACD 【分析】根据向量平行的坐标表示可判断AC，再由向量垂直的坐标表示可判断选项BD，可得答案. 【详解】对于A，当时，即或时，，可知A正确； 对于B，若，可得, 显然此方程无解，即不存在，使得，因此B错误； 对于C，易知，若，可得； 解得或，满足题意，因此C正确； 对于D，若，可得； 显然当满足题意，因此D正确； 故选：ACD 49．已知向量，若，则实数__________． 【答案】4 【分析】由题意可知，则求解即可. 【详解】由题意得，因为，所以，解得 故答案为：4. 50．(24-25高一下·福建莆田莆田第三中学·月考)已知向量，，若，则________． 【答案】 【分析】根据向量坐标运算求出的坐标，再利用向量垂直的性质列出方程，最后求解方程得到的值. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，解得． 故答案为： 题型六：向量的投影与投影向量 51．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合已知条件求出，根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量，则， ，， 联立解得，或，，所以或. 当时，， 当时，， ， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 52．(25-26高一·陕西西安长安区第一中学·)已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设两个向量的夹角为，则， 所以向量在向量方向上的投影数量为， 所以投影向量为. 53．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)若，且与的夹角为，则当的模取最小值时，在的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意求出，再由模长公式结合二次函数性质求出和相应x的取值，由数量积运算律和投影向量定义计算得解. 【详解】由题可得， 所以， 所以，此时，， 所以此时在的投影向量为. 故选：A 54．(24-25高一下·陕西洛南中学·期中)已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式两边平方可求得，利用投影向量的定义可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以，所以， 解得或（舍去）， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 55．(24-25高一下·江苏镇江丹阳·)已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可求，再根据向量在向量上的投影向量为可解. 【详解】， 向量在向量上的投影向量为， 故选：A. 56．(24-25高一下·北京景山学校远洋分校·月考)已知向量，，则在上的投影数量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的投影数量的定义求解. 【详解】在上的投影数量是， 故选：A 57．已知平面向量，，，若，，则在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直和平行向量的坐标表示求出，，得到和的坐标，即可利用向量投影的公式进行求解. 【详解】由得． 由得，所以，． 所以，，，， 所以在方向上的投影数量为. 故选：B． 58．(23-24高一下·河南南阳·期中)已知向量，，，则（    ） A．在上的投影数量是 B．在上的投影向量是 C．与夹角的正弦值是 D． 【答案】AD 【分析】由平面向量的数量积运算计算可得，由投影向量计算可判断，；由夹角求法可判断；由数量积运算计算可判断. 【详解】因为，，， 所以，， 即，所以， 对于A，在上的投影数量是，故A正确； 对于B，在上的投影向量是，故B错误； 对于C，，所以， 故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：AD 59．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 【答案】 【分析】由在上的数量投影为，直接计算即可． 【详解】在上的数量投影为． 故答案为：． 60．(25-26高三上·福建福鼎第四中学·月考)已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】. 【分析】先利用向量垂直的性质，模长与数量积的关系等公式，逐步推导关键量（如）再计算向量的模长，最后将投影向量拆为“投影长度和方向单位向量”，代入已知量计算即可. 【详解】因为，为单位向量， 则，，所以，, 因为， 则 可得， 所以，向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 题型七：坐标法/代数法解决向量问题 61．(25-26高三上·北京朝阳区·期末)在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图建系，依题意设，，求出点的坐标，由，推得，利用基本不等式求出，利用向量数量积的坐标公式求解，利用二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】如图，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. 因正三角形的边长为1，则， 因分别在边上，不妨设，可得； 设，可得.则， 又，则，则（*） 因， 则， 将（*）代入上式，可得， 由（*）可得，当且仅当时取等， 由可得， 依题意，，设，则， 在上单调递减，故. 故选：A. 62．(25-26高一上·海南海口海南中学·模拟)如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】方法一，以点为坐标原点建系，设，根据，点在圆上，利用向量列出关于的方程求解即可；方法二，过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，，根据列出关于的方程求解即可. 【详解】方法一：以点为坐标原点，分别以、方向为轴正方向、轴正方向，建立平面直角坐标系， 设，则， 圆的方程，则，故， 设，则， 则， 因，则①， 因，则， 则，将其代入①式得， 即，得（舍，此时）或，则；    方法二： 因，则在中， 则， 因，，则， 则，有， 过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，    易证四边形是矩形，则有，则有， 设，于是有，， ，，， 在矩形中，有， 则，即，解得，即． 故选：C 63．(25-26高三上·北京房山区·)已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则, 则,，所以， 故， 故， 由于，故，故， 故选：C    64．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，利用向量的模以及数量积的坐标运算可得且，再根据向量模长的坐标运算公式计算取值范围即可. 【详解】根据题意，设，则，即， 因为，所以，即，所以. 因为，则， 所以， 又因为，即， 所以， 由可得，则的取值范围是. 故选：A. 65．(25-26高三上·安徽合肥第一中学·月考)已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设，则，，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，利用向量的夹角公式求出的值，即可得，再利用同角三角函数关系求得的值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则、，设，则，，故，. 所以， 当时，，即，则， 故， 则， 结合题意可知为锐角，则可得，则， 故. 故选：A 66．(24-25高一下·广东汕头第一中学·期末)如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：    依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 67．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解. 【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 故选：C 68．在平面四边形中，，若 的面积是的面积的2倍，则的长度为______. 【答案】 【分析】如图建立直角坐标系，设AC，BD交点为E，由 的面积是的面积的2倍可得E坐标，然后由B，E，D三点共线结合可得B 点坐标，即可得答案. 【详解】如图，以D点为原点，取AC中点为F，以DF所在直线为x轴， 以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系. 又 则. 过C，A两点作DB垂线，垂足为G，H，则. 又注意到，则.设，则， 则. 注意到B，E，D三点共线，则，则. 又 则或，又由图可得，则. 则. 故答案为：    69．(24-25高三下·天津和平区·)已知平面四边形满足，且，为的中点，则__________，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】推导出，，然后以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的模长公式可求得的值；设点、，其中，，利用平面向量数量积的坐标运算得出，再结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，可得， 因为，则， 因为，则，且，如下图所示： 以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如上图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， ； 设点、，其中，， ，， 所以，，可得， 因为，则，则，， 所以，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：；. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的概念与计算 题型一：平面向量的概念以及辨析 题型二：平面向量的模长 题型三：平面向量的夹角 题型四：平面向量的数量积 题型五：向量平行/垂直相关计算 题型六：向量的投影与投影向量 题型七：坐标法/代数法解决向量问题 题型一：平面向量的概念以及辨析 1．(25-26高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·)下列说法正确的是（   ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．(25-26高一上·湖北武汉外国语学校·期末)“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(25-26高一上·北京顺义区·期末)设均为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(25-26高三上·山东·一模)下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 5．(25-26高三上·北京第二中学·月考)已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(25-26高二上·吉林长春九台区师范高级中学·期中)如图所示，在正方体中，下列向量相等的是 （ ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．关于向量，，下列命题中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．(25-26高一·贵州遵义第一中学·月考)下列说法正确的是（    ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反 B．向量的长度与向量的长度相等 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．若与同向，且，则 9．(25-26高一下·江苏盐城响水县清源高级中学·)下列选项中，错误的是（    ） A．若，则A，B，C，D一定能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则B，C重合 10．(22-23高一·四川绵阳中学·期中)下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同 C．若，，则 D．对于任意非零向量，是一个单位向量 题型二：平面向量的模长 11．已知向量，若向量满足，则（    ） A．1 B． C． D． 12．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 13．(25-26高三上·辽宁名校联盟·期末)已知向量满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 14．(25-26高三上·北京顺义区·期末)已知向量，，，则（   ） A． B． C． D． 15．(25-26高三上·河南湘豫名校联考·)已知向量，，若，则 （    ） A．3 B．5 C． D． 16．(25-26高三上·贵州部分学校·)已知向量，，则＝（   ） A．1 B． C． D． 17．(25-26高三·辽宁鞍山·)已知向量，若，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 18．(25-26高一上·辽宁县级重点高中协作体·期末)设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若，，则________. 19．(24-25高一下·山东青岛·调研)已知向量与的夹角为，，若，，则________. 20．(24-25高一下·河北承德第二中学·月考)在中，为直角，的平分线交于，且有．若，则________． 题型三：平面向量的夹角 21．已知平面向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 22．(25-26高一下·重庆开州中学·)若平面向量模长相等，且，则（ ） A． B．0 C． D． 23．(25-26高三上·辽宁营口普通高中·期中)已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．(25-26高二上·湖北襄阳第四中学·月考)设，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 25．(24-25高一下·辽宁重点高中联合体·期末)已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 26．(24-25高一下·海南部分学校·)已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 27．(24-25高一下·四川自贡·期末)若，是夹角为的单位向量，则与夹角是（   ） A． B． C． D． 28．已知向量，，且与的夹角为，则______． 29．(25-26高三上·北京第一六一中学·期中)已知向量，，满足，与的夹角为__________. 30．(25-26高二上·贵州名校协作体·)在中，，，，与交于，若，则______. 题型四：平面向量的数量积 31．已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C．0 D． 32．已知均为单位向量，且满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 33．(25-26高一下·广东江门广雅中学等校·)已知，，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 34．在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 35．已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 36．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨第九中学·月考)已知非零向量满足，则（   ） A． B． C． D． 37．(25-26高二下·湖南长沙长郡中学·开学考)在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．10 B．20 C． D． 38．(25-26高三下·广东汕头·一模)为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 39．(25-26高一下·云南曲靖宣威民族中学、七中·)已知等边三角形的边长为2，点满足，则=___________． 40．如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 题型五：向量平行/垂直相关计算 41．(25-26高一下·云南曲靖宣威民族中学、七中·)已知向量，，若与垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 42．(24-25高一下·四川叙永县第三中学校·月考)已知平面向量，满足，，若，则（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 43．已知向量，，，，均为实数，且，，则（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 44．(25-26高一下·河南许昌襄城县实验高级中学等校·)已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．4 D．9 45．(25-26高三·四川德阳·)已知向量，，若，则（   ） A．0或 B．0 C． D． 46．若向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 47．(25-26高二上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·月考)已知向量，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 48．(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔第六中学校·月考)向量，下列叙述正确的是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 49．已知向量，若，则实数__________． 50．(24-25高一下·福建莆田莆田第三中学·月考)已知向量，，若，则________． 题型六：向量的投影与投影向量 51．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 52．(25-26高一·陕西西安长安区第一中学·)已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 53．(24-25高一下·福建漳州十校联盟·期中)若，且与的夹角为，则当的模取最小值时，在的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 54．(24-25高一下·陕西洛南中学·期中)已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 55．(24-25高一下·江苏镇江丹阳·)已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 56．(24-25高一下·北京景山学校远洋分校·月考)已知向量，，则在上的投影数量是（   ） A． B． C． D． 57．已知平面向量，，，若，，则在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 58．(23-24高一下·河南南阳·期中)已知向量，，，则（    ） A．在上的投影数量是 B．在上的投影向量是 C．与夹角的正弦值是 D． 59．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 60．(25-26高三上·福建福鼎第四中学·月考)已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量为______． 题型七：坐标法/代数法解决向量问题 61．(25-26高三上·北京朝阳区·期末)在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 62．(25-26高一上·海南海口海南中学·模拟)如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 63．(25-26高三上·北京房山区·)已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 64．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 65．(25-26高三上·安徽合肥第一中学·月考)已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（     ） A． B． C． D． 66．(24-25高一下·广东汕头第一中学·期末)如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 67．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 68．在平面四边形中，，若 的面积是的面积的2倍，则的长度为______. 69．(24-25高三下·天津和平区·)已知平面四边形满足，且，为的中点，则__________，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为__________. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $