精品解析：四川成都市实验外国语学校2025-2026学年下期中考第一次诊断数学学科试题

成都市实验外国语学校2025−2026学年度下期 第一次诊断数学学科试题 考试时间：120分钟，总分：150分 注：1．本卷分为A、B两卷，A卷100分，B卷50分； 2．所有题目在答题卷上作答． A卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 2. 如图是由5个相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：几何体的左视图为 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算正确，符合题意． 4. 在平面直角坐标系中，点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点所在象限的判断，解题关键是掌握各象限内点的坐标符号特征，以及平方数的非负性，先判断横纵坐标的符号，再根据象限特征判断即可． 【详解】解：∵任何实数的平方都为非负数，即， ∴， ∴， 又∵点的纵坐标为， 根据象限坐标特征，第二象限内点的横纵坐标符号为（负，正）， ∴点在第二象限． 5. 在进行了一段时间的身体素质训练后，体育老师随机抽取班上10名男生进行立定跳远测试，其成绩（单位：cm）如下：235，205，237，235，240，239，216，245，235，257．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 236，235 B. 236，239 C. 235，236 D. 235，235 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数的定义，按照定义先对数据排序，再分别计算中位数和众数即可得到结果． 【详解】解：将这组数据从小到大排序，得：， ∵数据总个数为，是偶数， ∴中位数为排序后第个和第个数据的平均数，即中位数， ∵在这组数据中出现次数最多，共次， ∴众数为， 因此这组数据的中位数和众数分别是，故选A． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 同位角相等 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理，矩形的性质，平行线的性质和等边三角形的判定定理，逐一判断各命题的真假即可． 【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是真命题，符合题意； B、矩形的对角线相等，不一定垂直，原命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； D、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题，不符合题意． 7. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺，问木条长多少尺？”现设木条长尺，绳子长尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组；设木条长尺，绳子长尺，根据绳子比木条长尺，木条比对折后的绳子长1尺列出方程组即可． 【详解】解：设木条长尺，绳子长尺，根据题意得： ， 故选：D． 8. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图象的顶点坐标是 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时，y有最小值为 D. 图象的对称轴是直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点式得到开口方向，顶点坐标和对称轴，再逐项判断即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为，是顶点式， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，故选项A，D错误； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值为，故选项C错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故选项B正确． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，设，，代入计算求值即可． 【详解】解：， 设，， 则有． 10. 若，为实数，且满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出和的值，再代入所求代数式中计算即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ． 11. 若反比例函数满足：当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：反比例函数， 当时，随的增大而增大， ， 解得． 12. 如图，是正五边形的外接圆，点F是弧上一点，连接，，则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心角定义求出和的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵是正五边形的外接圆， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以A为圆心，为半径画弧与边相交于点E；②分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；③连接，射线交边于点G．若，，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形性质和作图①，用勾股定理求出、．步骤②的作图是作线段的垂直平分线，因此G在垂直平分线上，得．设，用勾股定理在中建立方程，解出x． 【详解】解：在矩形中： ，，． 由作图①：以为圆心、为半径画弧交于，因此． 在中，由勾股定理： ∴． 由作图②得，直线是线段的垂直平分线， ∴ 设，则， 由得 ． 在中，，，， ∴ ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算负整数指数幂运算，二次根式化简，特殊角的三角函数值，绝对值化简，再合并同类项即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的口诀确定最终解集． 【小问1详解】 解：原式    ； 【小问2详解】 解：，  解不等式得：， 解得 解不等式得：，  ，  解得 原不等式组的解集为． 15. 为了丰富学生的体育活动，实外为初一和初二的同学们增设了A（体操）、B（球类）、C（棋类）、D（田径）四大类锻炼项目，每位同学只能选择其中一类．为了了解学生的爱好情况，学校从两个年级随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题： （1）本次接受抽样调查的总人数是_______人，扇形统计图中D类的圆心角度数为_______； （2）请补全两幅统计图中空缺的信息； （3）在活动过程中，指导老师发现有两位男生和两位女生围棋水平较高，于是准备随机选择两位同学去参加市上的围棋比赛．请用树状图法或列表法，求所选两人正好一男一女的概率． 【答案】（1）120； （2） 补全统计图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）用B类的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，用360度乘以D类的人数占比可求出对应的圆心角度数； （2）求出C类的人数和A类的人数占比，再补全统计图即可； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到所选两人正好一男一女的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：人， ∴本次接受抽样调查的总人数是120人， 扇形统计图中D类的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：条形统计图中C类的人数为人， 扇形统计图中A类的人数占比为； 【小问3详解】 解：用表示两名男生，表示两名女生，列表如下： 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中所选两人正好一男一女的结果数有8种， ∴所选两人正好一男一女的概率为． 16. 为了在校园内测量校园外面一棵银杏树的高度，我校初三某数学兴趣小组在校内选择了一个与树底端B在同一水平高度的点C作为观测点，利用无人机进行测量．当无人机从点C向上垂直飞行4米到达点D时，测得树顶A的仰角为，当无人机从点D再次垂直上升16米到达点E时，测得树底端B的俯角为， （1）求B、C两点的距离； （2）根据测量数据计算银杏树的高度（结果精确到个位），（参考数据：，，，，） 【答案】（1）15米 （2）米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，解直角三角形即可解答； （2）过点作于点，根据题意可得，解直角三角形求得，即可求得． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 根据题意可得， 米， ∴米 17. 如图，在中，D为边上一点，是的外接圆，为的直径，点E为的延长线上一点，且满足，连接交于点F． （1）若，求证：是的切线； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径和的长度． 【答案】（1） 证明：连接， ， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）的半径为， 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角可得，由圆周角定理得出，再结合题意得出，即可得证； （2）证明，由相似三角形的性质计算即可得出的半径，结合勾股定理可得，，作于，于，由等面积法求出，证明，求出，由勾股定理可得，求出，从而可得，连接，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴的半径为； ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，， 如图：作于，于， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、证明直线是圆的切线等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）设点D为y轴上一点，线段的垂直平分线正好经过点A，求点D的坐标． （3）点P为反比例函数位于第三象限图象上的一点，连接，若的面积为，求点P的坐标． 【答案】（1），； （2）点的坐标为或； （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先求出点，再求出反比例函数解析式，联立即可求出点的坐标； （2）根据两点间的距离公式求出，，再根据线段垂直平分线的性质得到，求解即可； （3）设，求出的解析式，得到点的坐标，利用三角形面积公式得到，整理得，分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， ∴， 联立得：， 解得：， ∴点； 【小问2详解】 解：如图，设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵线段的垂直平分线正好经过点A， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，设， 设的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，即， ∴， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴， 当时，即， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴， 综上，点P的坐标为或． B卷 一、填空题（本大题共5个小题：每小题4分，共20分） 19. 已知，，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式的变形，求出，将代数式化为，利用整体代入法进行计算求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴当，； ，． 20. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，且分别为的两条直角边的长度，则该直角三角形的斜边长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再利用勾股定理列式，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵a，b分别为的两条直角边的长度， ∴该直角三角形的斜边长． 21. 如图，将半径为4的圆位于弦下方部分沿翻折后正好经过圆心O，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，连接，先证明弓形与弓形的面积相等，再计算，然后根据阴影部分的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，连接， 则，垂直平分， ∴， 由折叠的性质得：，弓形与弓形的面积相等， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 22. 在学习了三角函数后，我们知道：当直角三角形的一个锐角确定后，直角三角形的三边比就唯一确定，反之亦然，所以我们可以利用三角函数建立直角三角形的边与角的关系．与之类似，我们会发现等腰三角形的顶角确定后，它的三边比也唯一确定，反之亦然．那么，我们也可以尝试建立等腰三角形的边角关系．我们定义：等腰三角形的底边长与腰长的比叫做顶角的正对（的正对记作：），例如，如图，在等腰三角形ABC中，，，则． （1）若，我们可以通过构造等腰三角形的方式计算，则的值为_______； （2）在中，已知，，，则_______． 【答案】 ①. 或 ②. 或 【解析】 【分析】（1）根据，分为锐角和钝角两种情况，构造腰长为的等腰三角形，利用勾股定理求出底边长，进而求出的值； （2）根据的定义及，构造等腰三角形，分两种情况讨论：当点在线段上时和当点在的延长线上时，分别构造以为顶角的等腰三角形，根据勾股定理结合的定义列式计算即可． 【详解】解：（1）设等腰三角形的腰长， 过点作于点， 在中，， ， 由勾股定理得， 当为锐角时，点在线段上，， 在中，， ； 当为钝角时，点在的延长线上， 在中，， ； 综上所述，的值为或； （2）如图所示， ， ， ， 故是底边，腰长的等腰三角形， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， ， ， ， ， 当点在线段上时，延长到点使得， 在中，， ． 在中， ， ； 当点在的延长线上时，在上取点，使得， ，， ． ． 在中，， ， 综上所述，的值为或． 23. 在平面直角坐标系中，点，，是二次函数上的三点，且满足，则a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得， ，，求出，解不等式取交集即可． 【详解】解：由题意得： ， ，， 由 ，得， 当 时，符合题意， 当时，得 ， 由 ，得 ，解得：， 综上所述，得． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某家电子产品商城计划购机A、B两种不同型号的平板电脑，每台A型平板电脑的购进价格比B型多1000元，用万元购买A型的台数与用万元购买B型的台数相等． （1）求A、B两种型号的购进单价分别是多少？ （2）该商城计划购进A、B两种不同型号的平板电脑共100台，售卖A、B两型平板电脑的单价分别为4200元、3000元，要求购进A型平板电脑的数量不超过B型的2倍，如何购进A、B两型平板电脑，才能使总利润最高？最高是多少？ 【答案】（1）A型号的平板电脑的购进单价为3500元，则B型号的平板电脑的购进单价为元； （2）购进A型平板电脑66台，B型平板电脑34台时总利润最高，最高总利润为63200元 【解析】 【分析】（1）设A型号的平板电脑的购进单价为x元，则B型号的平板电脑的购进单价为元，根据用万元购买A型的台数与用万元购买B型的台数相等建立方程求解即可； （2）设购进A型号的平板电脑m台，获得的总利润为W元，根据利润（售价进价）销售量表示出A型号和B型号的利润，进而得到W关于m的关系式，求出m的取值范围，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型号的平板电脑的购进单价为x元，则B型号的平板电脑的购进单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型号的平板电脑的购进单价为3500元，则B型号的平板电脑的购进单价为元； 【小问2详解】 解：设购进A型号的平板电脑m台，获得的总利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴W随m的增大而增大； ∵购进A型平板电脑的数量不超过B型的2倍， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴m的最大值为66， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， 答：购进A型平板电脑66台，B型平板电脑34台时总利润最高，最高总利润为63200元． 25. 在学习了相似三角形后，某数学兴趣小组对四边形中的一类旋转型全等和相似进行了层层深入的探究． 在中，点E为边上的一点，连接，以为边作，边交的延长线于点F． （1）【初步感知】如图1，当是正方形时，求证：． （2）【深入探究】如图2，当是矩形时，，，连接，分别交和于点M、N，若点E为的中点，求的值． （3）【拓展探究】如图3，在中，，当时，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可证明，，再证明，得到，则可证明； （2）由矩形的性质可得，，，，由线段中点的定义可得；证明， 推出，；延长交的延长线于点T，证明，得到，，则；证明，推出，则可得到，即可得到； （3）由平行四边形的性质可得，；可证明；解直角三角形得到，设，则；过点E作交的延长线于点D，设交于点P，则，解直角三角形得到，设，则，，证明，解直角三角形得到，则；证明， 得到，则，可推出，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵点E为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 如图所示，延长交的延长线于点T， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，； ∵， ∴，即； ∵， ∴， 设，则； 如图所示，过点E作交的延长线于点Q，设交于点P，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 26. 如图，直线与抛物线交于、两点，与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）若，点为抛物线上一点，过点作，与直线相交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的横坐标． （3）设抛物线的对称轴与轴交于点，直线、分别交抛物线于点、，连接，为的中点，试探究的横坐标是否为定值？若是，请求出的横坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的横坐标为或2或 （3）点的横坐标为定值 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，整理可得：与解析式比较求出和的值，即可得到抛物线的解析式； （2）当时，直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，所以，根据点、的坐标可以求出，根据平行四边形的性质可知，可得方程，解方程求出的值即为点的横坐标； （3）设点的坐标为，点的坐标为，因为点是抛物线的对称轴与轴交点，所以点的坐标是，把点和点的横坐标表示出来，根据平面直角坐标系中的中点坐标公式求出点的横坐标即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 整理得：， 抛物线的解析式为， ，，， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标为， 点， ， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， ， ， 当时， 整理可得：， 解得：，， 当时， 解得：，（此时、重合，舍去）， 综上所述，点的横坐标为或2或； 【小问3详解】 解：点的横坐标为定值， 设点的坐标为，点的坐标为， 则、是方程的解， 整理可得：， ，， 点的坐标为， 点的坐标为， 设的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 解方程 整理得：， 方程的解应是点和点的横坐标， ， ， ， 同理可得：， 点的横坐标为， 整理可得： ， 点的横坐标为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实验外国语学校2025−2026学年度下期 第一次诊断数学学科试题 考试时间：120分钟，总分：150分 注：1．本卷分为A、B两卷，A卷100分，B卷50分； 2．所有题目在答题卷上作答． A卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图是由5个相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 5. 在进行了一段时间的身体素质训练后，体育老师随机抽取班上10名男生进行立定跳远测试，其成绩（单位：cm）如下：235，205，237，235，240，239，216，245，235，257．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 236，235 B. 236，239 C. 235，236 D. 235，235 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 同位角相等 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 7. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺，问木条长多少尺？”现设木条长尺，绳子长尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图象的顶点坐标是 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时，y有最小值为 D. 图象的对称轴是直线 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则_______． 10. 若，为实数，且满足，则_______． 11. 若反比例函数满足：当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_______． 12. 如图，是正五边形的外接圆，点F是弧上一点，连接，，则的度数是_______． 13. 如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以A为圆心，为半径画弧与边相交于点E；②分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；③连接，射线交边于点G．若，，则线段的长为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）解不等式组：． 15. 为了丰富学生的体育活动，实外为初一和初二的同学们增设了A（体操）、B（球类）、C（棋类）、D（田径）四大类锻炼项目，每位同学只能选择其中一类．为了了解学生的爱好情况，学校从两个年级随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题： （1）本次接受抽样调查的总人数是_______人，扇形统计图中D类的圆心角度数为_______； （2）请补全两幅统计图中空缺的信息； （3）在活动过程中，指导老师发现有两位男生和两位女生围棋水平较高，于是准备随机选择两位同学去参加市上的围棋比赛．请用树状图法或列表法，求所选两人正好一男一女的概率． 16. 为了在校园内测量校园外面一棵银杏树的高度，我校初三某数学兴趣小组在校内选择了一个与树底端B在同一水平高度的点C作为观测点，利用无人机进行测量．当无人机从点C向上垂直飞行4米到达点D时，测得树顶A的仰角为，当无人机从点D再次垂直上升16米到达点E时，测得树底端B的俯角为， （1）求B、C两点的距离； （2）根据测量数据计算银杏树的高度（结果精确到个位），（参考数据：，，，，） 17. 如图，在中，D为边上一点，是的外接圆，为的直径，点E为的延长线上一点，且满足，连接交于点F． （1）若，求证：是的切线； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径和的长度． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）设点D为y轴上一点，线段的垂直平分线正好经过点A，求点D的坐标． （3）点P为反比例函数位于第三象限图象上的一点，连接，若的面积为，求点P的坐标． B卷 一、填空题（本大题共5个小题：每小题4分，共20分） 19. 已知，，则代数式的值为_______． 20. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，且分别为的两条直角边的长度，则该直角三角形的斜边长为_______ 21. 如图，将半径为4的圆位于弦下方部分沿翻折后正好经过圆心O，则阴影部分的面积为_______． 22. 在学习了三角函数后，我们知道：当直角三角形的一个锐角确定后，直角三角形的三边比就唯一确定，反之亦然，所以我们可以利用三角函数建立直角三角形的边与角的关系．与之类似，我们会发现等腰三角形的顶角确定后，它的三边比也唯一确定，反之亦然．那么，我们也可以尝试建立等腰三角形的边角关系．我们定义：等腰三角形的底边长与腰长的比叫做顶角的正对（的正对记作：），例如，如图，在等腰三角形ABC中，，，则． （1）若，我们可以通过构造等腰三角形的方式计算，则的值为_______； （2）在中，已知，，，则_______． 23. 在平面直角坐标系中，点，，是二次函数上的三点，且满足，则a的取值范围为_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某家电子产品商城计划购机A、B两种不同型号的平板电脑，每台A型平板电脑的购进价格比B型多1000元，用万元购买A型的台数与用万元购买B型的台数相等． （1）求A、B两种型号的购进单价分别是多少？ （2）该商城计划购进A、B两种不同型号的平板电脑共100台，售卖A、B两型平板电脑的单价分别为4200元、3000元，要求购进A型平板电脑的数量不超过B型的2倍，如何购进A、B两型平板电脑，才能使总利润最高？最高是多少？ 25. 在学习了相似三角形后，某数学兴趣小组对四边形中的一类旋转型全等和相似进行了层层深入的探究． 在中，点E为边上的一点，连接，以为边作，边交的延长线于点F． （1）【初步感知】如图1，当是正方形时，求证：． （2）【深入探究】如图2，当是矩形时，，，连接，分别交和于点M、N，若点E为的中点，求的值． （3）【拓展探究】如图3，在中，，当时，，求的值． 26. 如图，直线与抛物线交于、两点，与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）若，点为抛物线上一点，过点作，与直线相交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的横坐标． （3）设抛物线的对称轴与轴交于点，直线、分别交抛物线于点、，连接，为的中点，试探究的横坐标是否为定值？若是，请求出的横坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $