第7章 计数原理（知识清单+8大易错点）数学苏教版选择性必修第二册

第7章 计数原理 知识点 具体内容 两个基本计数原理 一、分类加法计数原理 1、定义：完成一件事情有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。 【注意】完成这件事的类方案是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要在用其他的方法。 2、解题思路： （1）分类：将完成这件事的方法分成若干类； （2）计数：求出每一类的方法数； （3）结论：将每一类的方法数相加得出结果。 3、应用分类加法计数原理的注意事项： （1）根据题目特点恰当选择一个分类标准； （2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复； （3）分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏。 二、分步乘法计数原理 1、定义：完成一件事需要个步骤，做第1步有中不同的方法，做第2步有中不同的方法，…，做第步有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。 【注意】完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不能完成。 2、解题思路： （1）分步：将完成这件事的过程分成若干步； （2）计数：求出每一步中的方法数； （3）结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果。 三、两种计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是完成一件事的不同方法的种数问题 不同点1 完成一件事有类不同方案，关键词是“分类” 完成一件事需要个步骤，关键词是“分步” 不同点2 每类方案都能独立完成这件事情，且每种方法得到的最后结果，只需一种方法就可以完成这件事 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 不同点3 各类方案之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 四、两种计数原理综合应用 1、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步； 2、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数； 3、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。 一、排列 1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做个不同元素中取出个元素的一个排列。 排列定义的两个要素：一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列” 2、对排列概念的两个关注点： （1）顺序性：每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列。 （2）选排列与全排列：在定义中规定，如果，一般称为选排列；如果，则称为全排列。 二、排列数 1、定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。 2、全排列：个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，且 阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。 3、排列数公式： 特别的：（且）；规定： 三、有限制条件排列问题常见类型 1、解有“相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。 2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。 3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法 解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主 一、组合 1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。 2、对组合概念的两点说明： （1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出； （2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。 二、组合数与组合数公式 1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。 2、组合数公式：（，且） 3、组合数的性质： （1）； （2）； （3）规定 三、解答有限制条件的组合应用题的基本方法 1、直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先选取特殊元素，再选取其他元素。 2、间接法：选择间接法的原则是“正难则反”，若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，可以考虑从反面问题入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键。 四、排列与组合的相同点与不同点 1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素” 2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排列问题，若无影响，则是组合问题。 一、二项式定理及相关概念 1、定义：公式称为二项式定理 （1）二项展开式： （2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数 （3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为： （4）在二项式定理中，若设，，则得到公式 2、二项展开式的特点 （1）展开式共有项； （2）各项的次数和都等于二项式的幂指数； （3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为。 二、二项式定理的性质 1、对称性：在的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即，，…， 2、增减性与最大值 当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小； 三、巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题 1、求二项式系数和： （1）令，则 （2）令,，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即 2、求各项系数和 （1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，； （2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为； （3）若，则的各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为 易错01 求解“至少”“至多”类计数问题时出现重复计数。 注意：在不同元素的分配、选取问题中，若直接分步选取容易造成重复统计，正确思路应坚持“先分组、后分配”原则，先将元素按要求分成符合条件的若干组，再对组别进行全排列，避免因分步选取导致同一结果被多次计算。 1．现有3张相同的电影票要分给11位学生，每位学生至多分得1张，则不同的分法种数为（    ） A．120 B．135 C．165 D．180 【答案】C 【详解】因每位学生至多分得1张，故只需将3张相同的电影票，在11位学生中随机选择3位即可， 故不同的分法种数为． 故选：C. 2．运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同的安排方法数为__________. 【答案】 【详解】从4名志愿者中选2个人为一组，其余2个人各为一组，共有种选法， 将分好的3组全排列，对应3个场地，共有种排法， 则满足题意的不同的安排方法数为种. 故答案为：. 3．在《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛蘅芜讽和螃蟹咏”中，史湘云做东，邀众姐妹和贾宝玉一起作诗．诗会以菊花为主题，共编拟了十首不同的咏菊诗名，假设分配贾宝玉作《访菊》､《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》､《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉､史湘云､探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（    ） A．150种 B．360种 C．450种 D．540种 【答案】C 【详解】第一类，将6首诗按的数量分给3人，有种； 第二类，将6首诗按的数量分给3人，有种， 所以不同的分工方案共有种． 故选：C. 4．某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（    ） A．30 B．45 C．60 D．75 【答案】C 【详解】依题意，将5名学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法； 由于甲同学不去观看电影《哪吒2》，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法； 按照分步乘法原理，共有种方法． 故选：C 5．有两户四口之家（父亲、母亲和两个孩子）要乘坐3艘不同的小船游玩，每艘小船至多坐三人，要求孩子必须与自己的父亲或母亲同船，则不同的乘坐方案共有（    ） A．20种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】D 【详解】由题可得不同家庭的两个孩子不能在同一条船上，则同一家庭两个孩子在同一条船上或有一个家庭的两名孩子在两条不同船上. 若两户家庭孩子均在同一船上，则有种方法， 再分别从两户家庭中选择一个大人安排进相应船上，有4种方法， 则剩下的两名家长坐第3条船，有1种方法， 则此种情况共有种乘坐方案； 若同一家庭中有孩子在不同船上，则先选择家庭有2种情况，再选择船有种情况， 则剩下的那两个孩子安排到第三条船，有1种方法， 对于孩子在不同船上的家庭，安排父母有2种方法， 对于孩子在同一条船上的家庭，安排一大人与孩子同乘有2种情况， 再安排剩下的家长选择其余两船坐下，有2种情况， 则此种情况下有种乘坐方案； 故满足题意的乘坐方案有种， 故选：D 易错02 与实数个数、取值相关的计数问题，忽略元素相等的特殊情况。 注意：在涉及数字组成、坐标计数、代数式取值计数等问题中，若未排除两数相等、多数相等的情形，会造成多算或错算，解题时必须先判断是否存在相等情况并单独处理。 6．从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 【答案】D 【详解】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为， 当不取时，底数有种，真数有种， 其中， 故此时有个， 所以共有个. 故选：D. 7．用3，4，5中的任意一个数作分子，6，8，10中的任意一个数作分母，则可构成（    ）个不同的分数． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】取3，4，5中取一个数作分子有种不同的取法，6，8，10中的任意一个数作分母有种不同的取法， 所以可以得到个分数，其中相同， 所以可得到个不同的分数. 故选：B 8．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的一次函数共有____________个，不同的二次函数共有____________个．（用数字作答） 【答案】 ； . 【详解】因为只有当且时，函数才是一次函数， 所以可组成不同的一次函数共有； 因为只有当时，函数才是二次函数， 所以可组成不同的二次函数共有， 故答案为：； 9．从八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数的系数，问： (1)共能组成多少个不同的二次函数？ (2)在这些二次函数中，图象关于轴对称的有多少个？ 【答案】(1)294 (2)42 【分析】 【详解】（1）方法一：因为， 所以确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有种，所以共有个不同的二次函数． 方法二：当中不含0时，有个； 当中含有0时，有个， 故共有（个）不同的二次函数． 方法三：共可构成个函数，其中当时，有个均不符合要求， 从而共有（个）不同的二次函数． （2）依题意图象关于轴对称，即， 所以共有（个）符合条件的二次函数． 易错03 分组问题混淆“均匀分组”与“非均匀分组”。 注意：分堆与分配问题最易出错，处理时需遵循三点：一是分配问题必须先分堆再分配；二是被分配元素不同、接收位置不同时要考虑排列；三是均匀分组时，出现几组元素个数相同，就要除以对应组数的全排列，避免重复计数。 10．2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种， 当分组为5,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为4,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,2,2时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,3,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 甲乙同组且丙丁同组的概率为. 故选：A. 11．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往三所学校支教（每所学校至少安排一名教师），则不同的分配方法有（ ）种. A．450 B．540 C．720 D．1080 【答案】B 【详解】将甲、乙、丙等六名教师按1，2，3分为三个组共有种不同的分法， 再将这三个组的教师分配到三所学校共有种不同的分法； 将甲、乙、丙等六名教师按2，2，2分为三个组有种不同的分法， 再将这三个组的教师分配到三所学校有种不同的分法； 将甲、乙、丙等六名教师按1，1，4分为三个组有种不同的分法， 再将这三个组的教师分配到三所学校有种不同的分法； 故共有种不同的分法. 故选：B. 12．2025年，江西省成功举办了城市足球超级联赛（简称赣超）．在某场比赛开始前，主办方安排了5名志愿者分别负责赛场3个不同入口的安保工作，要求每人只负责一个入口，每个入口至少有1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．90种 C．150种 D．240种 【答案】C 【详解】首先，将5名志愿者分成三组，有（种）， 然后，将这三组志愿者分配到三个入口，有（种）， 利用分步乘法原理，得不同的分配方案共有（种）． 故选：C． 13．将小文等5名大学生安排到三家企业进行实践学习，每名大学生只能安排去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，且安排小文独自去其中一家企业进行实践学习，则不同的安排方法种数为（    ） A．48 B．60 C．42 D．14 【答案】C 【详解】先安排小文选择一家企业，有种选择方式. 然后将剩余人安排到两家企业，每家企业至少安排1人，所以将人分为组，再安排企业，有两种分组方式： 第一种：人去一家企业，其余人去一家企业，有种方式； 第二种：每家企业各人，有种方式. 所以不同的安排种数为. 故选：. 14．现有幅书法作品，每一幅上分别写着“祝、你、数、学、一、百、五”的字样，幅作品全部奖励给成绩优异的小许、小妍、小皓位同学，每人至少得到一份，则不同的奖励方案有（     ）种 A．1470 B．1512 C．1806 D．2982 【答案】C 【详解】分四类： 第一类：当位同学分得的书法作品数为，，时，共有种； 第二类：当位同学分得的书法作品数为，，时，共有种， 第三类：当位同学分得的书法作品数为，，时，共有种； 第四类：当位同学分得的书法作品数为，，时，共有种， 由加法原理，知共有种不同分法. 故选：C. 易错04 计数时混淆“有序”与“定序”。 注意：定序问题指部分元素的相对顺序固定，若直接按全排列计算会出现错误，定序问题的通用解法是先全排列，再除以定序元素的全排列，本质可转化为只选不排的组合问题。 15．人的身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有__________排法． 【答案】252 【详解】由题意可知，每排5人，身高定序，选出5人即按序排好， 第一步，先定前排， 法一，从10人中选5人按身高排好，有种方法， 法二，从10人中选5人排在前排的5个位置，有种方法， 由于5人排序方法有种，但根据题意按身高排列只一种排序方法， 故除以去序，即有种方法； 第二步，再定后排， 前排选定后，余下5人在后排且定序排好，只1种排法. 由分步计数原理得，故共有种排法. 故答案为：252. 16．高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有________种（用数字作答） 【答案】40 【详解】先排除甲、乙、丙三个节目剩余的2个节目有, 因甲、乙、丙的排序为定序，只有2种排法， 则根据分步计数乘法原理满足条件的出场顺序共有种， 故答案为：40. 17．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 【答案】B 【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素， 此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式. 故选：B. 18．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑， 然后要求在的左边，在的右边， 由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种. 故选：C. 19．某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相． (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？ 【答案】(1)20种 (2)10种 【分析】 【详解】（1）5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定， 因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有（种）． （2）设符合条件的顺序共有种，用（1）的方法可得，解得， 所以符合条件的出场顺序有10种． 易错05 忽视排列数、组合数公式的隐含条件致误。 注意：排列数与组合数成立的前提是，且均为自然数，解题时必须先列出不等式组确定参数范围，再进行计算，否则会出现无意义解或增根。 20．若组合数，则_____________. 【答案】8 【详解】因为，则，解得或， 又因为，所以. 故答案为：8. 21．已知，则______． 【答案】3 【详解】因为，则或，解得或， 且，所以. 故答案为：3. 22．（1）求的值； （2）已知，求； （3）已知，求. 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】 【详解】（1）； （2）由， 得，解得； （3）因为 ， 所以， 所以或，解得或. 23．解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）由题意得， 则， 则同除得， 同乘得到， 则，又，故解得. （2）因为，所以， 又因为，所以，解得. （3）由题意得， 即，因为，所以， 得到，则， 化简可得，解得或， 又，即，所以解得. 24．已知，求、的值． 【答案】， 【详解】由，得，则，即， 由，得，即， 整理得，即，因此，. 易错06 忽略二项展开式通项对应的是第项而非第项。 注意：求展开式中常数项、有理项、特定幂次项时，必须牢记通项表示第项，先由幂次条件求出，再确定对应项数，这是最典型的低级失误点。 25．若的展开式中第4项为160，则__________. 【答案】 【详解】的展开式中第4项为， 所以，解得. 故答案为： 26．若的二项展开式中第项是常数项，则__________. 【答案】 【详解】的二项展开式中第项是常数项， 所以，解得. 故答案为：. 27．二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】二项式的通项为， 则． 故选：A. 28．的展开式中的第2项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】展开式中的第2项为． 29．的展开式的中间一项是（    ） A．20 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意展开共有7项，中间一项是第4项， 所以. 故选：B 易错07 混淆二项式系数与项的系数。 注意：二项式系数仅由和决定，只与展开式位置有关；而项的系数还受式子中常数、符号影响。二项式系数最大值只看奇偶，取中间项；系数最大值则需列不等式组比较相邻项大小才能确定。 30．若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【详解】的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为，， 由题意得，所以. 31．的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 32．的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（    ） A．9项 B．10项 C．20项 D．21项 【答案】B 【详解】因为展开式中仅有第30项的二项式系数最大， 所以，，， 所以当为的整数倍时，为有理项， 所以的取值依次为，共项． 33．二项式展开式中的常数项是________，若它的展开式中的二项式系数和为，各项系数和为，则________． 【答案】 -10 33 【详解】①二项式的通项公式为：. 令的指数为0，则，解得. 代入得常数项. ②二项式系数和. 令，各项系数和. 因此. 34．已知． (1)求各项的系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)求二项式系数最大的项． 【答案】(1)4096 (2)960 (3)． 【分析】 【详解】（1）令，各项的系数和： （2）设展开式中常数项为第项， 即， 令，得. （3）由题可得，展开式中最大的二项式系数为， ∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即， ∴二项式系数最大的项为． 易错08 三项式展开转化不合理、不规范。 注意：遇到类三项式问题，不能盲目展开，正确做法是将其中两项看成整体，先转化为二项式再展开，转化过程要注意字母范围、分组合理性，做到不重不漏、分步拆解。 35．展开式中的系数为（   ） A．200 B．230 C．120 D．180 【答案】A 【详解】， 由通项公式可得，， 则的系数由来确定，由其通项公式可得，. 由，得或， 所以的系数为. 故选：A. 36．若，则（   ）． A．1 B．5 C．10 D．15 【答案】B 【详解】由题设，对于项，取0次，取1次，1取4次，故. 故选：B 37．的展开式中的系数为_________________. 【答案】 【详解】因为， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得或或或， 因此，展开式中的系数为 . 故答案为：. 38．的展开式中，的系数为_______． 【答案】 【详解】把变形为，可得： 要得到，则的展开式中的次数与的次数之和为，即，解得. 当时，. 再根据二项式定理展开，要得到，则，此时该项系数为. 因为中展开式中的系数为，所以展开式中的系数为. 故答案为:. 39．展开式中含的项的系数是______． 【答案】 【详解】其展开式为， 根据题意可得：. 当时，则，展开式为. ,，则含的项的系数为. 当时，则， 展开式为，， 则含的项的系数为. 当时, 则, 展开式为， ，则含的项的系数为.nn 综上所述:：含的项的系数为. 故答案为： 1．某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）． 【答案】18 【详解】先将3名男生和2名女生按要求分成两组，有两类分组方法： 第一类：由1男1女组成一组，其余2男1女组成一组，有种分法； 第二类：由1男2女组成一组，其余2男组成一组，有种分法. 所以共有种分组方法. 再将分好的两组分配到甲、乙两地参加社会调研，有种分法， 根据乘法分步原理，不同的安排方案有种. 2．从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的，则经过坐标原点的不同直线有__________条（用数值表示） 【答案】54 【详解】依题意，，从任取两个不同元素分别作为的值有种， 其中重合的直线，按有序数对， 有：重合，重合，重合，重合，重合， 有：重合，重合，重合，重合，重合， 所以经过坐标原点的不同直线条数是. 故答案为：54 【点睛】思路点睛：涉及部分排列组合问题，用直接法求解，分类复杂，可以求出不考虑条件的所有结果，再去掉不符合要求的结果，即运用逆向思维，间接求解． 3．三所医院派出5名医生到乡镇卫生院指导，要求每所医院至少派遣一名医生，则不同的派出方法有（    ） A．300种 B．150种 C．120种 D．90种 【答案】B 【详解】根据题意：分两步计算 （1）将5名医生分成三组，有两种方式即1，1，3与1，2，2； ①分成1，1，3三组的方法有， ②分成1，2，2三组的方法有， 所以，一共有种分组方法； （2）将分好的三组全排列有种方法，则不同的派出方法有种. 故选：B. 4．用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（   ） A．48 B．96 C．60 D．120 【答案】A 【详解】万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位， 则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为， 所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为． 故选：A. 5．已知，则_______． 【答案】720 【详解】由，得，则， 即，解得，所以. 故答案为：720 6．（多选）关于的展开式中，正确的是（   ） A．二项式系数之和为 B．存在常数项 C．第6项的二项式系数最大 D．各项系数之和为 【答案】ABC 【详解】由二项式系数的和的性质可知，在中，， 所以其展开式的二项式系数之和为，故A正确； 因为的展开式的通项为， 令，解得.因为，且，所以满足条件， 即的展开式中存在常数项，故B正确； 由二项式系数的性质可知，当是偶数时，二项式系数最大的为中间一项， 即，所以第6项的二项式系数最大，故C正确； 在中，令，即可得展开式的各项系数之和为， 故D错误. 故选：ABC 7．展开式中的系数为__________. 【答案】 【详解】得项类型一：从6个因式中选择1个提供，5个提供2， 此时的系数为； 类型二：从6个因式中选择2个提供，4个提供2， 此时的系数为； 合并同类项，含的项为. 故答案为：. 8．在的展开式中，第三项系数与第二项的系数的比值为. (1)求n的值； (2)该展开式中是否有常数项，若有，请求出；若没有，请说明理由. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）二项式的通项公式为： ， 因为第三项系数与第二项的系数的比值为， 所以有，或舍去， 即； （2）由（1）可知：该二项式的通项公式为：， 令，所以存在常数项，为. 9．已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． (1)求； (2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项． 【答案】(1)； (2)系数绝对值最大的项和系数最大的项分别为，； 【分析】 【详解】（1）因为二项式展开式中间项的二项式系数最大，而只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共有11项，得． （2）展开式的通项是， 系数的绝对值为，若它最大，则，整理得． 因为，所以．故系数绝对值最大的项是第4项，即． 系数最大的项应在项数为奇数的项之中，即当取偶数0，2，4，6，8，10时， 相应各项系数分别为． 故系数最大的项是第5项为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 计数原理 知识点 具体内容 两个基本计数原理 一、分类加法计数原理 1、定义：完成一件事情有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事共有_________种不同的方法。 【注意】完成这件事的类方案是_________的，无论哪种方案中的哪种方法都可以_________这件事，而不需要在用其他的方法。 2、解题思路： （1）_________：将完成这件事的方法分成若干类； （2）_________：求出每一类的方法数； （3）结论：将每一类的方法数_________得出结果。 3、应用分类加法计数原理的注意事项： （1）根据题目特点恰当选择一个_________； （2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能_________； （3）分类时除了不能交叉重复外，还不能有_________。 二、分步乘法计数原理 1、定义：完成一件事需要个步骤，做第1步有中不同的方法，做第2步有中不同的方法，…，做第步有种不同的方法，则完成这件事共有_________种不同的方法。 【注意】完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不能完成。 2、解题思路： （1）_________：将完成这件事的过程分成若干步； （2）_________：求出每一步中的方法数； （3）结论：将每一步中的方法数_________得最终结果。 三、两种计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是完成一件事的不同方法的种数问题 不同点1 完成一件事有类不同方案，关键词是“_________” 完成一件事需要个步骤，关键词是“_________” 不同点2 每类方案都能_________这件事情，且每种方法得到的最后结果，只需一种方法就可以完成这件事 任何一步都_________这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 不同点3 各类方案之间是_________的、_________的、_________的 各步之间是_________的、_________的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 四、两种计数原理综合应用 1、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要_________还是需要_________； 2、分类要做到“_________”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数； 3、分步要做到“_________”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。 排列 一、排列 1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的_________排成一列，叫做个不同元素中取出个元素的一个排列。 排列定义的两个要素：一是“_________”，二是“将元素按一定顺序排列” 2、对排列概念的两个关注点： （1）顺序性：每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列。 （2）选排列与全排列：在定义中规定，如果，一般称为选排列；如果，则称为全排列。 二、排列数 1、定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号_________表示。 2、全排列：个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，且 阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。 3、排列数公式：_________ 特别的：（且）；规定：_________ 三、有限制条件排列问题常见类型 1、解有“相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“_________法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。 2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素不相邻的排列，通常采用“_________法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。 3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法 解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主 组合 一、组合 1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。 2、对组合概念的两点说明： （1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出； （2）组合的特性：元素是_________的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。 二、组合数与组合数公式 1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号_________表示。 2、组合数公式：_________（，且） 3、组合数的性质： （1）_________； （2）_________； （3）规定 三、解答有限制条件的组合应用题的基本方法 1、直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素_________选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先选取特殊元素，再选取其他元素。 2、间接法：选择间接法的原则是“_________”，若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，可以考虑从反面问题入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键。 四、排列与组合的相同点与不同点 1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素” 2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与_________有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排列问题，若无影响，则是组合问题。 二项式定理 一、二项式定理及相关概念 1、定义：公式称为二项式定理 （1）二项展开式： （2）二项式系数：各项的系数_________叫做展开式的二项式系数 （3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为：_________ （4）在二项式定理中，若设，，则得到公式 2、二项展开式的特点 （1）展开式共有_________项； （2）各项的次数和都等于二项式的幂指数； （3）字母的幂指数按_________排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按_________排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为。 二、二项式定理的性质 1、对称性：在的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即，，…，_________ 2、增减性与最大值 当时，随的增加而_________；当时，随的增加而_________； 三、巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题 1、求二项式系数和： （1）令_________，则 （2）令_________,_________，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即 2、求各项系数和 （1）形如，求各项系数之和，只需令_________，则各项系数和分别为，； （2）形如求各项系数之和，只需令_________，则各项系数之和为； （3）若，则的各项系数之和为， 奇数项系数之和为_________， 偶数项系数之和为_________ 易错01 求解“至少”“至多”类计数问题时出现重复计数。 注意：在不同元素的分配、选取问题中，若直接分步选取容易造成重复统计，正确思路应坚持“先分组、后分配”原则，先将元素按要求分成符合条件的若干组，再对组别进行全排列，避免因分步选取导致同一结果被多次计算。 1．现有3张相同的电影票要分给11位学生，每位学生至多分得1张，则不同的分法种数为（    ） A．120 B．135 C．165 D．180 2．运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同的安排方法数为__________. 3．在《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛蘅芜讽和螃蟹咏”中，史湘云做东，邀众姐妹和贾宝玉一起作诗．诗会以菊花为主题，共编拟了十首不同的咏菊诗名，假设分配贾宝玉作《访菊》､《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》､《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉､史湘云､探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（    ） A．150种 B．360种 C．450种 D．540种 4．某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（    ） A．30 B．45 C．60 D．75 5．有两户四口之家（父亲、母亲和两个孩子）要乘坐3艘不同的小船游玩，每艘小船至多坐三人，要求孩子必须与自己的父亲或母亲同船，则不同的乘坐方案共有（    ） A．20种 B．72种 C．96种 D．120种 易错02 与实数个数、取值相关的计数问题，忽略元素相等的特殊情况。 注意：在涉及数字组成、坐标计数、代数式取值计数等问题中，若未排除两数相等、多数相等的情形，会造成多算或错算，解题时必须先判断是否存在相等情况并单独处理。 6．从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 7．用3，4，5中的任意一个数作分子，6，8，10中的任意一个数作分母，则可构成（    ）个不同的分数． A．6 B．7 C．8 D．9 8．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的一次函数共有____________个，不同的二次函数共有____________个．（用数字作答） 9．从八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数的系数，问： (1)共能组成多少个不同的二次函数？ (2)在这些二次函数中，图象关于轴对称的有多少个？ 易错03 分组问题混淆“均匀分组”与“非均匀分组”。 注意：分堆与分配问题最易出错，处理时需遵循三点：一是分配问题必须先分堆再分配；二是被分配元素不同、接收位置不同时要考虑排列；三是均匀分组时，出现几组元素个数相同，就要除以对应组数的全排列，避免重复计数。 10．2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（   ） A． B． C． D． 11．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往三所学校支教（每所学校至少安排一名教师），则不同的分配方法有（ ）种. A．450 B．540 C．720 D．1080 12．2025年，江西省成功举办了城市足球超级联赛（简称赣超）．在某场比赛开始前，主办方安排了5名志愿者分别负责赛场3个不同入口的安保工作，要求每人只负责一个入口，每个入口至少有1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．90种 C．150种 D．240种 13．将小文等5名大学生安排到三家企业进行实践学习，每名大学生只能安排去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，且安排小文独自去其中一家企业进行实践学习，则不同的安排方法种数为（    ） A．48 B．60 C．42 D．14 14．现有幅书法作品，每一幅上分别写着“祝、你、数、学、一、百、五”的字样，幅作品全部奖励给成绩优异的小许、小妍、小皓位同学，每人至少得到一份，则不同的奖励方案有（     ）种 A．1470 B．1512 C．1806 D．2982 易错04 计数时混淆“有序”与“定序”。 注意：定序问题指部分元素的相对顺序固定，若直接按全排列计算会出现错误，定序问题的通用解法是先全排列，再除以定序元素的全排列，本质可转化为只选不排的组合问题。 15．人的身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有__________排法． 16．高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有________种（用数字作答） 17．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 18．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（    ） A． B． C． D． 19．某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相． (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？ 易错05 忽视排列数、组合数公式的隐含条件致误。 注意：排列数与组合数成立的前提是，且均为自然数，解题时必须先列出不等式组确定参数范围，再进行计算，否则会出现无意义解或增根。 20．若组合数，则_____________. 21．已知，则______． 22．（1）求的值； （2）已知，求； （3）已知，求. 23．解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 24．已知，求、的值． 易错06 忽略二项展开式通项对应的是第项而非第项。 注意：求展开式中常数项、有理项、特定幂次项时，必须牢记通项表示第项，先由幂次条件求出，再确定对应项数，这是最典型的低级失误点。 25．若的展开式中第4项为160，则__________. 26．若的二项展开式中第项是常数项，则__________. 27．二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 28．的展开式中的第2项是（    ） A． B． C． D． 29．的展开式的中间一项是（    ） A．20 B． C． D． 易错07 混淆二项式系数与项的系数。 注意：二项式系数仅由和决定，只与展开式位置有关；而项的系数还受式子中常数、符号影响。二项式系数最大值只看奇偶，取中间项；系数最大值则需列不等式组比较相邻项大小才能确定。 30．若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 31．的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 32．的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（    ） A．9项 B．10项 C．20项 D．21项 33．二项式展开式中的常数项是________，若它的展开式中的二项式系数和为，各项系数和为，则________． 34．已知． (1)求各项的系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)求二项式系数最大的项． 易错08 三项式展开转化不合理、不规范。 注意：遇到类三项式问题，不能盲目展开，正确做法是将其中两项看成整体，先转化为二项式再展开，转化过程要注意字母范围、分组合理性，做到不重不漏、分步拆解。 35．展开式中的系数为（   ） A．200 B．230 C．120 D．180 36．若，则（   ）． A．1 B．5 C．10 D．15 37．的展开式中的系数为_________________. 38．的展开式中，的系数为_______． 39．展开式中含的项的系数是______． 1．某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）． 2．从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的，则经过坐标原点的不同直线有__________条（用数值表示） 3．三所医院派出5名医生到乡镇卫生院指导，要求每所医院至少派遣一名医生，则不同的派出方法有（    ） A．300种 B．150种 C．120种 D．90种 4．用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（   ） A．48 B．96 C．60 D．120 5．已知，则_______． 6．（多选）关于的展开式中，正确的是（   ） A．二项式系数之和为 B．存在常数项 C．第6项的二项式系数最大 D．各项系数之和为 7．展开式中的系数为__________. 8．在的展开式中，第三项系数与第二项的系数的比值为. (1)求n的值； (2)该展开式中是否有常数项，若有，请求出；若没有，请说明理由. 9．已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． (1)求； (2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $