第八章 整式乘法【期中复习讲义】基础版-2025-2026学年数学苏科版七年级下册

2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册期中复习精讲精练讲义【题型讲练】 第八章 整式乘法【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+20个题型讲练+能力提升训练 共50题】 （原卷版） 题型序列 题型讲练 题型讲练一 计算单项式乘单项式 题型讲练二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型讲练三 计算单项式乘多项式及求值 题型讲练四 单项式乘多项式的应用 题型讲练五 利用单项式乘多项式求字母的值 题型讲练六 计算多项式乘多项式 题型讲练七 (x+p） (x+q）型多项式乘法 题型讲练八 多项式乘多项式—化简求值 题型讲练九 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型讲练十 多项式乘多项式与图形面积 题型讲练十一 多项式乘法中的规律性问题 题型讲练十二 整式乘法混合运算 题型讲练十三 运用平方差公式进行运算 题型讲练十四 平方差公式与几何图形 题型讲练十五 运用完全平方公式进行运算 题型讲练十六 通过对完全平方公式变形求值 题型讲练十七 完全平方公式在几何图形中的应用 题型讲练十八 求完全平方式中的字母系数 题型讲练十九 完全平方式在几何图形中的应用 题型讲练二十 整式的混合运算 知识点一 整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点拨】 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点二 乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点拨】 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点拨】 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 题型讲练一 计算单项式乘单项式 【例题】计算 (1) (2) 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）“三角”表示，“方框”表示，则________． 题型讲练二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例题】（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 【变式】如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 题型讲练三 计算单项式乘多项式及求值 【例题】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为______ （提示：） 【变式】（25-26七年级下·四川达州·开学考试）计算： (1) ； (2)． 题型讲练四 单项式乘多项式的应用 【例题】（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）如图是小明家房子的结构图，小明的爸爸打算把卧室和客厅铺上地板砖． (1)至少需要买多少平方米的地板砖？ (2)当，时，且每平方米的地板砖价格为320元，小明爸爸要花多少钱？ 【变式】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）观察下列等式： ， ， ， (1)根据上述各式反映出的规律填空：___________． (2)设这类等式左边两位数的十位数字为，请用一个含的代数式表示其结果___________． (3)推广应用：请写出的简便计算过程及结果． 题型讲练五 利用单项式乘多项式求字母的值 【例题】（24-25八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【变式】（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 题型讲练六 计算多项式乘多项式 【例题】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1) ； (2)． 【变式】（25-26七年级下·江苏无锡·月考）阅读材料解决问题：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． (1)用“”或“”填空：因为__________0，所以__________； (2)已知为自然数，，试比较与的大小． 题型讲练七 (x+p） (x+q）型多项式乘法 【例题】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）一个正方形的林地，若将一边增加米，另一边增加米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米，则原正方形的边长是（    ）米． A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 题型讲练八 多项式乘多项式—化简求值 【例题】（24-25七年级下·全国·周测）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【变式】先化简再求值 (1)，其中，． (2)若，，求的值． 题型讲练九 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例题】使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若关于x的多项式化简后不含有x一次项，则实数k的值为________． 题型讲练十 多项式乘多项式与图形面积 【例题】（25-26八年级上·福建漳州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【变式】（24-25七年级下·宁夏银川·月考）一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 题型讲练十一 多项式乘法中的规律性问题 【例题】利用规律计算 (1)计算并观察下列各式： 　　； 　　； 　　； (2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格． （ ）； (3)利用你发现的规律计算： 　　； (4)利用该规律计算 ． 【变式】．（25-26七年级下·江西九江·月考）课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： (1)根据规律写出的展开式：___________． (2)根据规律写出的展开式：___________． (3)利用上述规律计算：． 题型讲练十二 整式乘法混合运算 【例题】（25-26七年级下·广东揭阳·月考）已知， (1)求； (2)若的值与的取值无关，当时，求A的值． 【变式】（25-26七年级上·四川成都·期末）【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 题型讲练十三 运用平方差公式进行运算 【例题】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式】（24-25七年级下·吉林长春·月考）根据等式：，，，，…的规律，则可以推算得出等于（    ） A． B． C． D． 题型讲练十四 平方差公式与几何图形 【例题】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 题型讲练十五 运用完全平方公式进行运算 【例题】（25-26七年级下·河南·月考）毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6…，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9…，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．设第n个图形三角形数为x，第个图形三角形数为y，第个图形正方形数为z，则x、y、z之间的等量关系为______． 【变式】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： （1） ； （2）． 题型讲练十六 通过对完全平方公式变形求值 【例题】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）在数学活动中，数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解代数问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到代数恒等式． ②如图2，是用长为a、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到另一个代数恒等式． 基于上述内容，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形．求阴影部分的面积． 【变式】（25-26八年级上·吉林白山·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 题型讲练十七 完全平方公式在几何图形中的应用 【例题】（25-26七年级下·浙江杭州·月考）如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为_________． 【变式】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像， (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 题型讲练十八 求完全平方式中的字母系数 【例题】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【变式】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：______． 【问题解决】 (2)当时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 (3)若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．小颖是这样做的，请按照小颖的思路补全过程． 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，…… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为，…… 题型讲练十九 完全平方式在几何图形中的应用 【例题】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则______________． 【变式】（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 题型讲练二十 整式的混合运算 【例题】先化简，再求值． ，其中． 【变式】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）分别求出下列式子的值． (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知，求的值． 1．（25-26七年级下·广东揭阳·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若二次三项式是一个完全平方式，则的值是___________． 5．（25-26七年级下·江苏南通·月考）已知，则______． 6．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）观察下列各式及其展开式 …… 请你猜想的展开式中含项的系数是________． 7．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； 8．（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 9．（25-26七年级下·河南·月考）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座雕像然后将阴影部分进行绿化． (1)求绿化的面积；（用含a、b的代数式表示） (2)当，时，求绿化的面积． 10．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)观察图，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：______； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册期中复习精讲精练讲义【题型讲练】 第八章 整式乘法【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+20个题型讲练+能力提升训练 共50题】 （解析版） 题型序列 题型讲练 题型讲练一 计算单项式乘单项式 题型讲练二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型讲练三 计算单项式乘多项式及求值 题型讲练四 单项式乘多项式的应用 题型讲练五 利用单项式乘多项式求字母的值 题型讲练六 计算多项式乘多项式 题型讲练七 (x+p） (x+q）型多项式乘法 题型讲练八 多项式乘多项式—化简求值 题型讲练九 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型讲练十 多项式乘多项式与图形面积 题型讲练十一 多项式乘法中的规律性问题 题型讲练十二 整式乘法混合运算 题型讲练十三 运用平方差公式进行运算 题型讲练十四 平方差公式与几何图形 题型讲练十五 运用完全平方公式进行运算 题型讲练十六 通过对完全平方公式变形求值 题型讲练十七 完全平方公式在几何图形中的应用 题型讲练十八 求完全平方式中的字母系数 题型讲练十九 完全平方式在几何图形中的应用 题型讲练二十 整式的混合运算 知识点一 整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点拨】 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点二 乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点拨】 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点拨】 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 题型讲练一 计算单项式乘单项式 【例题】计算 (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【思路引导】本题考查实数运算和整式乘法的基础计算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）运用乘方的定义、负整数指数幂运算法则、零指数幂运算法则，分别计算每一项后求和即可； （2）先计算乘方，再按照单项式乘单项式的运算法则计算，系数相乘，同底数幂相加指数即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）“三角”表示，“方框”表示，则________． 【答案】 【思路引导】考查新定义和单项式与单项式相乘相结合，按照法则计算即可求解． 【规范解答】解：原式， 故答案为：． 题型讲练二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例题】（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 【答案】(1) (2)①，② 【思路引导】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，单项式乘以多项式与图形面积． （1）如图，标注图形各顶点，，，，，再利用建立方程求解即可． （2）①结合（1）可得：，进一步分析即可； ②先表示，，，，可得，进一步可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，标注图形各顶点， 由题意可得：， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为， ∴， 解得：． （2）解：①结合（1）可得： ， ∴（1）中的值每增加的值增加． ②∵， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为： ， ∵的值不随的值的变化而变化， ∴， 解得：． 【变式】如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 【答案】 4 【思路引导】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【规范解答】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 题型讲练三 计算单项式乘多项式及求值 【例题】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为______ （提示：） 【答案】/ 【思路引导】本题考查了数字类规律探究，根据前几个式子得到规律，，即可求解． 【规范解答】解：根据规律可得 故答案为：． 【变式】（25-26七年级下·四川达州·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算负整数指数幂、有理数的乘方运算、零指数幂、绝对值，再计算加减运算即可； （2）先利用积的乘方、单项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型讲练四 单项式乘多项式的应用 【例题】（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）如图是小明家房子的结构图，小明的爸爸打算把卧室和客厅铺上地板砖． (1)至少需要买多少平方米的地板砖？ (2)当，时，且每平方米的地板砖价格为320元，小明爸爸要花多少钱？ 【答案】(1)至少需要买平方米的地板砖； (2)元． 【思路引导】（1）根据题意求各部分的面积之和即可； （2）求出实际面积，再用实际面积乘以单价即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意可得， （平方米）， 即至少需要买平方米的地板砖； （2）解：当，时，（平方米）， （元）， 即小明爸爸要花元． 【变式】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）观察下列等式： ， ， ， (1)根据上述各式反映出的规律填空：___________． (2)设这类等式左边两位数的十位数字为，请用一个含的代数式表示其结果___________． (3)推广应用：请写出的简便计算过程及结果． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）观察前面三个式子可知，个位数字为5的两位数的平方等于十位数字乘以十位数字加1的积再乘以100后加上25，据此规律求解即可； （2）根据（1）中规律即可得到答案； （3）利用（2）的规律求解即可； 【规范解答】（1）解：①， ②， ③， ……， 以此类推， 第9个等式为； （2）解：由（1）可知； （3）解：由（2）可知，． 题型讲练五 利用单项式乘多项式求字母的值 【例题】（24-25八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【规范解答】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 【变式】（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【规范解答】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 题型讲练六 计算多项式乘多项式 【例题】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【思路引导】（1）根据负整数指数幂、零指数幂和绝对值法则进行计算即可； （2）利用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 【变式】（25-26七年级下·江苏无锡·月考）阅读材料解决问题：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． (1)用“”或“”填空：因为__________0，所以__________； (2)已知为自然数，，试比较与的大小． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）利用整式的加减法则，进行计算，作答即可； （2）利用作差法比较大小即可． 【规范解答】（1）解：， 故； （2）解：∵， ∴ ， ∴． 题型讲练七 (x+p） (x+q）型多项式乘法 【例题】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）一个正方形的林地，若将一边增加米，另一边增加米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米，则原正方形的边长是（    ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了整式的运算以及一元一次方程的运用，根据题意正确列出等式是解答本题的关键． 设原正方形的边长是米，根据扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米可得：，化简解之即可． 【规范解答】解：设原正方形的边长是米，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：A． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 【答案】的值为． 【思路引导】本题考查多项式乘多项式和新定义问题，解题的关键是理解题意，对新定义的理解． 根据定义化简，可得出，，，， ，再化简，代入求值即可． 【规范解答】解： ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 的值为． 题型讲练八 多项式乘多项式—化简求值 【例题】（24-25七年级下·全国·周测）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 【规范解答】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 【变式】先化简再求值 (1)，其中，． (2)若，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，再利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则求出，代入计算即可求出答案； （2）原式利用同底数幂的乘法逆运算法则，幂的乘方逆运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【规范解答】（1）解： ； ∵，， ∴原式； （2）解：∵，，， ∴． 题型讲练九 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例题】使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路引导】先根据多项式乘以多项式把展开，再合并同类项，让和项的系数为0即可． 【规范解答】解：原式, ∵乘积中不含和项， ∴， 解得． 故选：A． 【变式】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若关于x的多项式化简后不含有x一次项，则实数k的值为________． 【答案】5 【思路引导】先将多项式展开并合并同类项，再根据不含x一次项的条件，令一次项系数为0，从而求解k的值． 【规范解答】解： ， 由化简后不含一次项，得一次项系数为， 解得． 题型讲练十 多项式乘多项式与图形面积 【例题】（25-26八年级上·福建漳州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为平方米 (2)此时种植区的总面积S为130平方米 【思路引导】（1）把两个阴影长方形拼成一个长为米，宽为米的长方形，根据长方形面积公式列式，再进行多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）把，代入即可求解． 【规范解答】（1）解： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）． 答：此时种植区的总面积S为130平方米． 【变式】（24-25七年级下·宁夏银川·月考）一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路引导】（1）图（2）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，三个边长为x、y的长方形，一个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （2）图（3）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，五个边长为x、y的长方形，二个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （3）根据题意，画出长为，宽为的长方形，再将图形划分，利用面积关系说明等式． 【规范解答】（1）解：由图（2）的面积关系可知，； 故答案为； （2）解：由图（3）的面积关系可知，； 故答案为； （3）解：以长为，宽为画长方形，如图所示， 由图可知，． 题型讲练十一 多项式乘法中的规律性问题 【例题】利用规律计算 (1)计算并观察下列各式： 　　； 　　； 　　； (2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格． （ ）； (3)利用你发现的规律计算： 　　； (4)利用该规律计算 ． 【答案】(1)，， (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可得； （2）根据（1）的规律即可得； （3）根据（2）发现的规律即可得； （4）将原式变形为，根据（2）发现的规律计算即可． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：观察（1）可知， 第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 则； （3）解：由（2）中规律可知，； （4）解：原式， ． 【变式】．（25-26七年级下·江西九江·月考）课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： (1)根据规律写出的展开式：___________． (2)根据规律写出的展开式：___________． (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)64 【思路引导】（1）根据给定的式子推导出的展开式即可； （2）将代入（1）中的结论，即可得出结果； （3）根据算式的特点，得到 ，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：． （2）解：∵， ∴当时：； （3）解： ， 符合展开式（系数为）， ∴ ． 题型讲练十二 整式乘法混合运算 【例题】（25-26七年级下·广东揭阳·月考）已知， (1)求； (2)若的值与的取值无关，当时，求A的值． 【答案】(1) (2)4 【思路引导】（1）根据整式乘法运算法则进行计算即可； （2）的值与x的取值无关，得出，最后将代入代数式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ； （2）解：的值与x的取值无关， ， ， 当时，． 【变式】（25-26七年级上·四川成都·期末）【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式加减运算中的无关型问题： （1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解； （2）先将所给整式化简，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解． 【规范解答】（1）解：， 的值与x的取值无关， ， ； （2）解： ， 整式的值与x无关， ， ． 题型讲练十三 运用平方差公式进行运算 【例题】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则进行计算． （2）先用完全平方公式和单项式乘多项式，展开各项，再合并同类项即可； （3）根据积的乘方逆运算以及平方差公式进行计算即可． （4）先利用平方差公式计算，再用完全平方公式计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式】（24-25七年级下·吉林长春·月考）根据等式：，，，，…的规律，则可以推算得出等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据规律，将原式变形后计算即可． 本题考查数式规律问题，平方差公式，将原式进行正确的变形是解题的关键． 【规范解答】解： ． 题型讲练十四 平方差公式与几何图形 【例题】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【规范解答】解：由图形可得， ， 故选：A． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方差公式的几何背景及图形面积的计算，解题的关键是通过计算两种不同图形的面积，建立等式，从而推导出平方差公式． （1）用大正方形面积减去小正方形面积，得到图①阴影部分的面积； （2）观察图形，确定图②中平行四边形的底边长和高，再用底乘高计算其面积； （3）根据两个图形中阴影部分面积相等，列出等式，推导出平方差公式． 【规范解答】（1）解： 故答案为：． （2）解：底边长为；对应的高为； 故答案为：；；． （3） 故答案为：． 题型讲练十五 运用完全平方公式进行运算 【例题】（25-26七年级下·河南·月考）毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6…，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9…，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．设第n个图形三角形数为x，第个图形三角形数为y，第个图形正方形数为z，则x、y、z之间的等量关系为______． 【答案】 【思路引导】由题意知第n个三角形数为，第n个正方形数为，第个图形正方形数为，即可求解． 【规范解答】解：由题意知第n个三角形数为， 第n个正方形数为，第个图形正方形数为， ∵第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 题型讲练十六 通过对完全平方公式变形求值 【例题】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）在数学活动中，数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解代数问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到代数恒等式． ②如图2，是用长为a、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到另一个代数恒等式． 基于上述内容，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形．求阴影部分的面积． 【答案】(1)17 (2)13 (3)28 【思路引导】（1）根据代入数值计算即可； （2）设，根据题意可得，，根据代入数值计算即可； （3）设，推导出，，进而求出，得到，求出，则阴影部分面积为，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：设，由正方形边长为x， ，得 ， ∴， ∵已知长方形面积为48， ∴， 将代入，得 ， ， ， 将代入，得 ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴阴影部分面积为． 答：阴影部分的面积为28． 【变式】（25-26八年级上·吉林白山·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【思路引导】（1）用2种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，利用完全平方公式变形计算即可． 【规范解答】解：（1）由图可知：． （2）∵，， ∴． （3）由题意，得： ． （4）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型讲练十七 完全平方公式在几何图形中的应用 【例题】（25-26七年级下·浙江杭州·月考）如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为_________． 【答案】10 【思路引导】设正方形的边长为正方形①的边长为则长方形②的长为宽为，根据各图形的放置方式，可用含的代数式表示出，结合，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【规范解答】解：设正方形的边长为正方形①的边长为则长方形②的长为宽为， ∴，，． ∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 【变式】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像， (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)63平方米 【思路引导】（1）根据大长方形的面积减去中间正方形的面积即可求解； （2）将，代入（1）中化简结果进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解： （平方米） 答：绿化的面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米） 答：绿化的面积为63平方米． 题型讲练十八 求完全平方式中的字母系数 【例题】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】D 【思路引导】利用完全平方公式的结构特征求解． 【规范解答】解：∵代数式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴t的值为或． 【变式】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）【问题提出】 当多项式是某一个多项式的平方时，有理数a、b、c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 (1)当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：； 当，，时，，发现：______． 【问题解决】 (2)当时，猜想a、b、c之间的数量关系，并验证你的结论； 【拓展运用】 (3)若多项式加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．小颖是这样做的，请按照小颖的思路补全过程． 解：①当这个单项式为乘积2倍时，设单项式为，…… ②当单项式为一个整式的平方时，设单项式为，…… 【答案】(1) (2)猜想：a，b，c之间的关系为，验证见解析 (3)单项式为或或 【思路引导】（1）根据示例可得到结果； （2）猜想规律为，利用完全平方公式展开后，可得到结果； （3）根据题意，分类讨论，可得到结果． 【规范解答】（1）解：根据示例可发现：； （2）解：猜想：a，b，c之间的关系为， 验证：， ，，， ， ； （3）解：①这个单项式为乘积2倍时，设单项式为， ， ， 这个单项式为或， ②这个单项式为一个整式的平方时，设单项式为， ， 这个单项式为， 综上所述，单项式为或或． 题型讲练十九 完全平方式在几何图形中的应用 【例题】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则______________． 【答案】 【思路引导】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【规范解答】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 【变式】（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键； （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【规范解答】（1）由图可知，大正方形面积为或， ， ， （2）由图可知，∵四边形和都是正方形， ， ， ，又， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 （3）由图得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4），， 由得， ， 题型讲练二十 整式的混合运算 【例题】先化简，再求值． ，其中． 【答案】，1 【思路引导】先根据平方差公式以及完全平方公式，单项式乘以多项式的法则将式子展开，然后合并同类项，最后代入求值即可． 【规范解答】解：原式 当时，原式． 【变式】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）分别求出下列式子的值． (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)13 【思路引导】（1）原式先根据完全平方公式、平方差公式和积的乘方运算法则计算各项后，再合并得到最简结果，最后把，的值代入计算即可； （2）将所求代数式整理为，再把变形为，最后整体代入计算即可． 【规范解答】（1）解： ； 当时，原式； （2）解： ； ∵， ∴， ∴原式． 1．（25-26七年级下·广东揭阳·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据幂的运算性质与完全平方公式计算每个选项，即可判断出正确结果． 【规范解答】对选项A，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘， ∵，∴A错误； 对选项B，根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减， ∵，∴B错误； 对选项C，根据积的乘方法则：每个因式分别乘方，再将幂相乘， ∵，∴C正确； 对选项D，根据完全平方公式展开， ∵，∴D错误． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方式的定义，对应各项系数关系求解m即可． 【规范解答】解：完全平方公式为． ∵ 是完全平方式，其中首项为，末项 ∴中间项满足 ．即． 解得． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【规范解答】解：图①中，图②中， ∴． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若二次三项式是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】6或 【思路引导】直接利用完全平方公式求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即或． 【考点剖析】掌握完全平方公式是解题的关键． 5．（25-26七年级下·江苏南通·月考）已知，则______． 【答案】 【思路引导】将两边平方后移项可得． 【规范解答】解：， ，即， ， ． 6．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）观察下列各式及其展开式 …… 请你猜想的展开式中含项的系数是________． 【答案】28 【思路引导】观察展开式，找到右边各项系数的规律，首位是1，第二个数为上一列两数的和，且对称分布，进而分别列举出指数分别为 6，7，8 的等式的右边各项的系数，找到项，即可求得项的系数． 【规范解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为： 1，6，15，20，15，6，1； 1，7，21，35，35，21，7，1； 1，8，28，56，70，56，28，8，1； 故 含项的系数是28． 7．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； 【答案】(1) 10 (2) 【思路引导】利用完全平方公式变形计算即可. 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：. 8．（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【思路引导】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【规范解答】解： ， 当时， 原式 ． 9．（25-26七年级下·河南·月考）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座雕像然后将阴影部分进行绿化． (1)求绿化的面积；（用含a、b的代数式表示） (2)当，时，求绿化的面积． 【答案】(1)平方米 (2)129平方米 【思路引导】（1）根据绿化面积矩形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可求出值． 【规范解答】（1）解：依题意得：平方米， 答：绿化面积是平方米． （2）解：当，时， （平方米）． 答：绿化面积是129平方米． 10．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)观察图，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：______； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 【答案】(1) (2) ； 【思路引导】（1）根据，表示出各正方形和长方形的面积，即可得答案； （2）①根据，代入，，求出的值即可； ②令，，得出，，根据求出的值即可． 【规范解答】（1）解：由图2可知：， ∴． （2）解：①∵，，， ∴． ，求 ②令，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $