精品解析：吉林地区普通中学2025-2026学年度高中毕业年级下学期考前预测数学试题

吉林地区普通中学2025—2026学年度高中毕业年级第三次调研测试 数学试题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚. 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知函数，对于正实数，定义集合，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，则（ ） A. 展开式共有7项 B. 常数项是第4项 C. 各二项式系数的和为 D. 各项系数的和为 10. 在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为1 D. 双曲线的离心率为 11. 设等差数列的前n项和为，且，.设，数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 12. 已知随机变量，若，则______. 13. 若双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为________. 14. 已知函数存在极值，则实数a的取值范围是_______，若对，恒成立，则实数a的最大值为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线C：的焦点F到直线的距离为. （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点的直线与抛物线C交于M，N两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 16. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若函数有唯一零点，求实数的取值范围. 17. 某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次. （1）设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的分布列和数学期望； （2）该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求k的值. 18. 在平面四边形中，，. （1）若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. （2）若，，与交于点.记，求当为何值时，. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，点M，N在线段上，，. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若垂直且平分，E是的中点，于点F，且，求三棱锥外接球H的表面积S的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林地区普通中学2025—2026学年度高中毕业年级第三次调研测试 数学试题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚. 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合交集运算求解，注意集合元素的特征. 【详解】联立方程，解得， 所以. 2. 若经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方向向量的定义，结合斜率的计算公式求解出的值. 【详解】由，，可得直线的斜率为. 由直线方向向量为，可得直线斜率为， 所以. 3. 等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质，可得，进而可得，即可求出的值，根据等比数列的通项公式，即可得答案. 【详解】因为为等比数列，所以，解得或（舍）， 则，设公比为q，则， 所以. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义得到，结合，相加得到周长. 【详解】由题意得，故，， 由椭圆定义得， 故的周长为. 故选：B 5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】A，由，，则平行或异面，错， B，由，，根据线面垂直的性质，垂直于任意平行于的直线，故，对， C，由，，则或，错， D，由，，则或或相交但不一定垂直，错. 6. 已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质结合古典概型求，，代入条件概率公式运算求解. 【详解】设样本空间为，则， 对于事件“函数是幂函数”，可知， 则，可得， 对于事件“幂函数在上单调递增”，则， 则，可得， 所以. 7. 已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为方程表示圆， 所以或. 当时，方程可化为，不表示圆； 当时，方程可化为，表示圆的圆心为. 故选项B正确. 8. 已知函数，对于正实数，定义集合，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论，且、且和，且三种情况，代入不同解析式，结合二次函数的性质，求出a的范围，综合分析，即可得答案. 【详解】当，且时，此时， 则，解得，不符合题意； 当且时，， 所以，整理得，在且内有根， 则在且内有根， 即与图象在且内有交点， 由图象可得，符合题意； 当，则，此时， 则，解得，不符合题意； 综上，的取值范围是. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，则（ ） A. 展开式共有7项 B. 常数项是第4项 C. 各二项式系数的和为 D. 各项系数的和为 【答案】ABC 【解析】 【详解】由知，其展开式共有7项，且二项式系数的和为，A、C对， 由该二项式的展开式的通项为， 令，则常数项为第四项，B对， 令，则各项系数的和为，D错. 10. 在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为1 D. 双曲线的离心率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据截面圆半径与底面圆半径之比可判断A；作，利用勾股定理可求得长轴长，可判断B；建立平面直角坐标系后可求得抛物线方程，根据焦点到准线距离为可判断C；在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，采用待定系数法，结合可求得，进而判断D. 【详解】由题意底面半径为1，圆锥高， 对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为， 为母线的中点，，， 椭圆的长轴长，B错误； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为， 以为x轴，在平面中建立平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为，则，解得：， 则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误. 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等， 则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程得，解得， 所以， 故双曲线的离心率为，D正确. 11. 设等差数列的前n项和为，且，.设，数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，进而可得，即可得，即可判断AB；根据整理可得，利用裂项相消法求和，即可判断CD. 【详解】因为，即， 且，则， 所以等差数列的公差，，故A正确； 所以，故B错误； 因为，则，即， 所以，即， 所以， 所以，故CD正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 12. 已知随机变量，若，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，且， 所以， 所以. 13. 若双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为________. 【答案】或 【解析】 【分析】分别讨论焦点在x轴和y轴两种情况，根据渐近线方程，可得a，b的关系，代入离心率公式，即可得答案. 【详解】渐近线变形为， 若焦点在x轴，则，则离心率； 若焦点在y轴，则，则. 14. 已知函数存在极值，则实数a的取值范围是_______，若对，恒成立，则实数a的最大值为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空一：求导可得，进而分、两种情况讨论求解即可； 空二：转化问题为对恒成立，设，，构造函数，利用导数分析其单调性，可得，当且仅当时等号成立，进而得到，即可求解. 【详解】空一：由，，则， 当时，，则函数在上单调递增，此时函数无极值； 当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在时取得极大值. 综上所述，要使函数存在极值，则实数a的取值范围是. 空二：由，则， 即对恒成立， 设，， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 而函数与在上有一个交点，则方程有解， 则，即，则， 所以实数a的最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线C：的焦点F到直线的距离为. （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点的直线与抛物线C交于M，N两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线焦点坐标公式及点到直线的距离公式求解参数，确定标准方程. （2）设出直线方程与抛物线联立，结合韦达定理，利用弦长公式与点到直线距离公式表示三角形面积，进而求解直线方程. 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为， 所以焦点到直线的距离为： 解得： 所以，抛物线的标准方程为： 【小问2详解】 由题意设过点的直线方程为，设. 联立方程，消去得：， 所以，， 所以， 由弦长公式，. 原点到直线的距离为. 所以， 化简可得：，解得 ，即. 所以直线方程为：或， 即或. 16. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若函数有唯一零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由导数的几何意义确定切线斜率，即可求解； （2）将零点问题转换成方程根的问题，通过单调性确定图象，进而可求解. 【小问1详解】 当 ​ 时，， 求导得： ， 即切线斜率 ，且 ，切点为 ， 切线方程是：，即. 【小问2详解】 当 时，，， 有唯一零点等价于方程 有唯一实根， 令 ， 求导得： ，  令 ，得 ， 当，，单调递增； 当时，，单调递减； 当，，单调递增， 所以极大值​，极小值 ； 又  时 ，时 ，恒成立， 画出函数图象，如下： 结合图象可知当或时， 与有一个交点， 故函数有唯一零点，求实数的取值范围是. 17. 某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次. （1）设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的分布列和数学期望； （2）该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求k的值. 【答案】（1） 0 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ ​ （2）6 【解析】 【分析】（1）由题意确定，即可求解； （2）由题意确定，得到，再通过作商法判断最大值即可. 【小问1详解】 由题意，每次抽奖抽到奖品的概率为​， 4位员工抽奖是独立重复试验，因此， 即， ，​ ，​ ，​ ， ， 因此的分布列为： 0 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ ​ 由二项分布期望公式，数学期望 【小问2详解】 由题意，， 作商得： ​，， 当，即时，​，即， 当，即时，，即​，数列递减； 因此为最大项， 即. 18. 在平面四边形中，，. （1）若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. （2）若，，与交于点.记，求当为何值时，. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，利用余弦定理可得.（i）由题意可得，进而可得和；（ii）根据面积公式可得，整理可得，进而分析最值； （2）利用余弦定理可得，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径，根据正弦定理已经圆的性质可得，运算求解即可. 【小问1详解】 设，，其中， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得； 即，可得. （i）若A，B，C，D四点共圆M，则， 可得，， 由可得，即， 则，即； （ii）因为四边形面积， 即，且， 又因为， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 所以四边形面积S的最大值为. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 则，即， 因为，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径， 则， 且，可知， 若，则， 即，可得， 又因为，则，可得，解得， 所以当时，. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，点M，N在线段上，，. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若垂直且平分，E是的中点，于点F，且，求三棱锥外接球H的表面积S的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题设易得，再根据平面平面可得平面，进而求证即可； （2）由题设可得，建立空间直角坐标系，进而利用空间向量求解即可； （3）由题设可得，建立空间直角坐标系，设，进而利用空间向量得到的轨迹方程为，且，分析可得球心在平面内，球心在线段的中垂面内，进而得到球心在两平面的交线上，设，半径为，可得，，或，进而求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 连接，因为，所以，且， 由（1）知，平面，因为平面， 所以，又， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知，，而，， 可得为等腰直角三角形，则， 又E是的中点，则， 因为，，所以， 在平面内，过点作，交于点， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 则， 所以，整理得， 又垂直且平分，所以的轨迹方程为，且， 且球心在平面内，因为球心在线段的中垂面内， 所以球心在两平面的交线上， 可设三棱锥的外接球球心为，半径为， 则， 所以， 则， 设，则且， 当时，函数单调递减，则； 当时，函数单调递减，则， 而，或， 则时，取得最小值2， 则外接球H的表面积S的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $