精品解析：陕西师范大学附属中学2025-2026学年度高一年级第二学期第二次月考（6月）数学试题

陕师大附中2025—2026学年度高一年级 第二学期第二次月考数学试题（6月） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分. 1. 已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4， 则，解得. 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得共5个数据， 由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6. 2. 如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 【答案】B 【解析】 【详解】平均数受极端值影响，中位数，众数不受极端值影响， 由于图象“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，B项满足. 3. 设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，由 ，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误； 对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误； 对于C，由线面平行的判定定理可知C错误； 对于D，过直线作平面，且， 因为，所以， 过直线作平面，且， 同理可得， 所以， 因为，（若，则与重合） 所以， 因为，且， 所以，，故D正确. 4. 样本数据、、、、的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出这组数据的平均数，利用方差公式求解即可. 【详解】这组数据的平均数为， 故这组数据的方差为. 5. 已知样本数据的平均数为6，方差为11；样本数据的平均数为9，方差为20，现将两组样本数据合并，则新的样本数据的方差为（ ） A. 19 B. 20 C. 26 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，， ， 利用分层抽样的方差公式可得新的样本数据的方差为. 6. 在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. 112 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则底面，过点作于点，则底面， 则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以， 故，所以， 故该正四棱台的体积为. 7. 已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定四边形为经过，D ，E三点的正方体的截面，结合四边形的周长公式求解即可. 【详解】正方体中，平面，则平面与平面的交线与平行， 取中点F，连接，，因为，有， 所以四边形为经过，D ，E三点的正方体的截面， 在梯形中，，，，， 所以四边形周长为. 8. 四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设上靠近D的三等分点为E，连接， 因为，分别为棱，上靠近点的三等分点， 所以，则且， 四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角， 因此线面角，得，则, 由.得且，则且， 则四边形为平行四边形，故， 则（或其补角）即为异面直线，所成角； 作，垂足为F，则，则， 故，则； 由平面，平面，则， 结合，平面，则平面， 则平面，平面，则， 而，故， 在中，，则, 即异面直线，所成角的余弦值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若， B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据复数除法运算法则即可求得；B选项，设，，根据共轭复数及复数的运算法则求解；C，D选项通过举反例可判断. 【详解】对于，因为当时，，选项A正确； 对于B，设，， ， 则 ， ，所以，选项B正确； 对于C，当，，则，但， ，，选项C错误． 对于D，，时，，但，选项D错误． 故选：AB. 10. 某高中为了调查本校学生一个月内在学习用品方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 估计众数为45 B. 支出在的频率为0.25 C. 估计平均数为43 D. 估计分位数是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的频率分布直方图，求出众数判断A；求出在的频率判断B；求出支出费用的平均数判断C；求出分位数判断D. 【详解】对于A，最高的矩形为第三个矩形，其中点的横坐标为，因此估计众数为，A正确； 对于B，前三个矩形的面积和为，所有矩形面积之和为， 则第四个矩形的面积为，因此支出在的频率为，B错误； 对于C，平均数为，C错误； 对于D，由选项B知，第百分数位于第四组， 由，可以估计第百分数为，D正确. 故选：BC 11. 如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则的轨迹长度为 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：先找平行的平行平面，确定过且与该平面平行的平面和底面的交线，该交线即为点的轨迹，再计算轨迹长度；对于B：先找过三点的平面与正方体各棱的交点，确定截面的形状，再用对应多边形面积公式计算截面面积；对于C：利用等体积法将三棱锥的体积转化为的体积，判断点到平面的距离是否为定值，即可判断体积是否为定值；对于选D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，利用长方体的外接球计算半径，再代入球的体积公式计算. 【详解】对于A：取的中点，连接， 因为是中点，是中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，，，所以，又因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面， 要想平面，只需在平面内运动即可，又因为在平面内运动，所以点的轨迹为平面与平面在正方体内部的交线， ，即点的轨迹长为2，A正确； 对于B：，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，且，所以四点共面， 所以截面即为梯形，并且，，， 所以等腰梯形的高， 故其面积，B正确； 对于C：，为定值， C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以体积，D错误. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 已知平面向量，则与的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量夹角的坐标表示求解， 【详解】由题意得，，， 故答案为： 13. 一个圆柱的内切球的体积为36，则圆柱的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】设内切球半径为，由球的体积公式，代入得，解得，即， 圆柱的内切球与圆柱的上下底面、侧面都相切，因此圆柱底面半径，圆柱的高， 圆柱表面积为，代入得. 14. 如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的柱长和结构特征得到截面的各边长. 【详解】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以动点P的轨迹为直四棱柱的截面五边形. 由平行线分线段比例可知：， 故，故为等腰直角三角形， 所以，故，则， . 所以五边形的边长为： . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，为边上一点，且． （1）求； （2）若，求． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）在△中，由余弦定理，即可求. （2）在中，由正弦定理，即可求. 【详解】（1）在△中，，，， 由余弦定理得：， ∴． （2）在中，，，， 由正弦定理得：，即， ∴． 16. 已知复数，，. （1）当时，求和； （2）设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数求复数标准式，由复数的乘法以及加减，结合模长公式，可得答案； （2）由复数的几何意义写出点的坐标，根据数量积的坐标计算以及三角函数的辅助角公式，可得答案. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 则. 【小问2详解】 由已知得，， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，即. 17. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 18. （本题若使用建系的方法，相关步骤不得分）如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求三棱锥的外接球的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定证明； （2）由正方体性质易证平面，则为直线与平面所成的角,结合边长关系求解. （3）先证明三棱锥的外接球的球心在线段上，再结合勾股定理求解. 【小问1详解】 证明：连接，与交于点，连接， 因为为侧面的中心，所以为的中点， 连接，因为，，且，， 所以，且， 则四边形为平行四边形， 因为为的中点，易知，又平面，平面， 故平面. 【小问2详解】 连接，则，则， 易知四边形为平行四边形， 在正方体中，平面， 又平面，所以， 因为，故平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，易求，， 所以，则. 故直线与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 因为的外接圆的圆心为，所以平面， 由（1）可知，，平面，所以平面， 因此球心在线段上， 易求，，由，解得， 故三棱锥的外接球的表面积为. 19. （本题若使用建系的方法，相关步骤不得分）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）连接，设， 则，，， 其中，则 ， 解得，则为的中点， 因为分别为的中点， 所以，，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）在中，，， ， 因为分别为的中点，所以，， 所以， 又，所以，所以， 由（1）可知，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积结合垂直条件得出为中点，得，用线面平行判定定理完成证明； （2）先算出长度，通过勾股逆定理证，结合得，再由证垂直平面，进而推出面面垂直； （3）作确定为二面角平面角，依次求出三边，用余弦定理算出余弦值，再开方得到正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作交于点，设， 由，得， 又由（2）知，， 又平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 因为，所以， 解得，同理得， 在中，，， ，， 因为分别为的中点，所以， 所以，所以， 所以，即， 因为，且是的中点，所以是的中点，， 由（1）知是的中点，所以， 因为分别为的中点，所以为的重心，所以， 所以，所以，即， 在中，，，， ， 因为，所以， 所以二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕师大附中2025—2026学年度高一年级 第二学期第二次月考数学试题（6月） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分. 1. 已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 2. 如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 3. 设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 样本数据、、、、的方差为（ ） A. B. C. D. 5. 已知样本数据的平均数为6，方差为11；样本数据的平均数为9，方差为20，现将两组样本数据合并，则新的样本数据的方差为（ ） A. 19 B. 20 C. 26 D. 30 6. 在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. 112 C. D. 7. 已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面周长为（ ） A. B. C. D. 8. 四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若， B. C. 若，则 D. 若，则 10. 某高中为了调查本校学生一个月内在学习用品方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 估计众数为45 B. 支出在的频率为0.25 C. 估计平均数为43 D. 估计分位数是 11. 如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则的轨迹长度为 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球体积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 已知平面向量，则与的夹角为______. 13. 一个圆柱的内切球的体积为36，则圆柱的表面积为_________． 14. 如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，为边上一点，且． （1）求； （2）若，求． 16. 已知复数，，. （1）当时，求和； （2）设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求. 17. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 18. （本题若使用建系的方法，相关步骤不得分）如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求三棱锥的外接球的表面积. 19. （本题若使用建系的方法，相关步骤不得分）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $