精品解析：甘肃省武威市凉州区丰乐九年制、永丰中学2025-2026学年第二学期九年级中考一模数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 2. 下列四个数中，最小是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的大小，相反数，绝对值求解即可； 【详解】解：，， 且，故最小； 3. 如果，，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 4. 一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程根与系数的关系：、，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，方程， 由根与系数的关系得：、， 故选：B． 5. 如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质得，由圆周角定理得． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 用如图两个转盘进行“配紫色”游戏，每个转盘都被分成面积相等的五个扇形，配成紫色（两个转盘分别转出的一个是红，一个是蓝）的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列出含有所有可能性的表格，找出其中符合要求的可能，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 红 蓝 蓝 红 红 红 × √ √ × × 蓝 √ × × √ √ 蓝 √ × × √ √ 红 × √ √ × × 蓝 √ × × √ √ 结合表格可知，共有种等可能的情况，其中配成紫色（两个转盘分别转出的一个是红，一个是蓝）的情况数是种， 配成紫色（两个转盘分别转出的一个是红，一个是蓝）的概率是． 7. 如图，一次函数图象上有，两点，点P是反比例函数图象上第一象限内的动点，当点P在第一象限双曲线上移动时总有，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点在反比例函数图象上设，由两点间距离公式求出，根据列式得出，从而得出． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴设， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∴ 整理得：， ∴， ∴． 8. 如图，与是位似图形，位似中心为点．若，且的面积为2，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】由位似图形的性质可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点， ∴，， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为． 9. 如图，在正方形中，点E在的延长线上，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接，，则的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出的余弦值． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵点F是的中点， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴，即C选项符合题意． 10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴④正确， ∵抛物线与y轴交于原点， ∴， ∴， ∴①错误， 由对称轴，可知抛物线与x轴交于，两点， ∴，方程的两个根为，， ∴②⑤正确， ∵当时，，即， ∴③错误， 故正确的有②④⑤，共3个． 二、填空题（共24分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式的各项，发现都含有公因数，先提取公因式得到；接着观察括号内的式子，它符合平方差公式的形式，再利用平方差公式进一步分解即可． 【详解】解： ． 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据算术平方根的性质确定的取值范围，再将方程两边平方化为一元二次方程求解，最后验根舍去增根，得到符合条件的的值． 【详解】解：根据算术平方根的性质得 ， 解得， 方程两边同时平方，得 ， 整理，得， 因式分解，得， 或， 解得，， 检验：当时，不满足，且左边，右边，是增根，舍去； 当时，左边，右边，等式成立，符合条件； ∴． 【点睛】解无理方程必须验根，因为平方操作可能会引入不满足原方程的增根，这是本题的易错点． 14. 已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式得出抛物线对称轴以及开口方向，然后根据两点距对称轴的距离判断大小即可． 【详解】解：根据解析式可知抛物线对称轴为，开口向下， ∴两点离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴． 15. 如图，在正方形中，沿虚线剪去，则__________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据外角的性质再结合三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图， ，， ． 16. 如图，是的直径，切于点A，交于C，连接、，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由切线的性质得出，进一步得出，由直径所对的圆周角是直角，得出，根据含角的直角三角形的性质得出，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：切于点A， ， ． ， ． 是的直径， ， ， ， ． 17. 如图，与是两个全等的直角三角形，三点在同一直线上，，分别是与的中点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设与相交于点，利用勾股定理先求得，由与是两个全等的直角三角形，可得，再证明，，可得，，可得，则可求得，，再由分别是与的中点，可得，则可得，，再由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：设与相交于点， ∵与是两个全等的直角三角形，，， ∴， ∵与是两个全等的直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵分别是与的中点， ∴，， ∴，， 在中，， ∴． 18. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为个，最少为个，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据三视图判断立体图形的形状．利用俯视图确定几何体底层小立方块的行列分布与数量（地基），结合主视图分析几何体有几层，且每层至少有几个并排的小立方块，进而得到和的值，并代入代数式求值． 【详解】解：由俯视图可知底层第一列有个小立方块，第二列有个小立方块， 由主视图可知，几何体有层，且每层至少有个并排的小立方块， 当上层每个“可放置位置”（对应俯视图中列的位置）都放满小立方块时，上层最多有小立方块(个)，下层也有个， ∴最大总数量， 当上层只需满足主视图的“两层结构”，即第一列、第二列各至少放个时，上层最少有(个)，下层有个， ∴最小总数量， ∴． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移个单位长度后得到，请画出； （2）把绕原点旋转后得到，请画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点即可． （2）分别作出的对应点即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所画； 【小问2详解】 解：如图，即为所画． 20. 计算与化简 （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂、二次根式化简和特殊角三角函数值、分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）按照运算法则分别计算各部分，再按运算顺序计算即可； （2）先对多项式分母因式分解，再将除法转化为乘法约分，最后通分计算减法，即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 【答案】该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为． 【解析】 【分析】设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x．两年后的产量达到，建立方程解答即可． 【详解】解：设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为． 22. 我市义务教育学校全面施行优化课间时长，课间时长从10分钟延长为15分钟，上午、下午各安排一次30分钟的大课间体育活动．某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A．踢足球，B．踢毽子，C．跳绳，D．丢沙包，E．跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次参与抽样调查的学生共有______人； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1000名学生，请估计选择“踢毽子”的学生有多少人？ （4）在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）100名 （2）见解析 （3）200名 （4） 【解析】 【分析】本题考查了统计图和概率，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，补全条形统计图，样本估计总体，列表法或画树状图法求概率，是解题的关键． （1）用A项数据计算； （2）总人数减去A、B、C、E的人数得到D项有人数，补上条形图即可； （3）1000乘踢毽子人数的占比即得； （4）列表求出所有等可能情况总数和同时选中甲乙的情况总数，用概率公式计算即得． 【小问1详解】 解：（名）； 故答案为：100； 【小问2详解】 解：（名）； 【小问3详解】 解：（名）； 故选择“踢毽子”的学生有200人； 【小问4详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 —— 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 —— 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 —— 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 —— 共有12种等可能结果，其中选中甲乙结果有两种， ∴． 故被选取的两人恰好是甲和乙的概率为． 23. 如图，在正方形中，对角线上有一点P，连接，． （1）求证：． （2）将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上点Q处，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到、，证得，根据全等三角形的性质得到； （2）设交于点M，由全等三角形的性质结合等腰三角形的性质易得到，进而得到，从而求出的度数． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，为对角线 、 ； 【小问2详解】 解：设交于点M， 、， ， ， ， ， 、， ， ． 24. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若，求的面积． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； （2）的面积为． 【解析】 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 25. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线； （2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的长． 【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对圆周角， ∴∠ACB=90°， ∵OC，OB是圆O的半径， ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC， 又∵∠DCA=∠ABC， ∴∠DCA=∠OCB， ∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°， ∴OC⊥DC， 又∵OC是圆O的半径， ∴DC是圆O的切线； （2）∵， ∴，化简得OA=2DA， 由（1）知，∠DCO=90°， ∵BE⊥DC，即∠DEB=90°， ∴∠DCO=∠DEB， ∴OC∥BE， ∴△DCO∽△DEB， ∴，即， ∴DA=EB， ∵BE=3， ∴DA=EB=， 经检验：DA=是分式方程的解， ∴DA=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键． 26. 小聪升国旗时站在距旗杆底部30m的B处，他看旗杆顶部D的仰角为39°，他的眼睛A到地面距离，求旗杆顶端到地面CD的高（）． 【答案】26m 【解析】 【分析】过点作于点，求出和即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， 则，， 在中，， 答：旗杆的高度约为26m． 27. 如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）8或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）分两种情况：①当点为直线下方的抛物线上的一个动点时，先求出点的纵坐标，再代入计算即可；②当点为直线上方的抛物线上的一个动点时，设与轴交于点，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可； （3）设点的坐标为，分三种情况：①，②和③，利用勾股定理建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①如图，当点为直线下方的抛物线上的一个动点时， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为， 将代入得：， 解得或（点的横坐标）， ∴此时点的横坐标为8； ②如图，当点为直线上方的抛物线上的一个动点时， 设与轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴此时点的横坐标为； 综上，点的横坐标为8或． 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 由题意，设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ②当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ③当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个数中，最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 3. 如果，，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 4. 一元二次方程两个实数根为，，下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 6. 用如图的两个转盘进行“配紫色”游戏，每个转盘都被分成面积相等的五个扇形，配成紫色（两个转盘分别转出的一个是红，一个是蓝）的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数图象上有，两点，点P是反比例函数图象上第一象限内的动点，当点P在第一象限双曲线上移动时总有，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 如图，与是位似图形，位似中心为点．若，且的面积为2，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 9. 如图，在正方形中，点E在的延长线上，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接，，则的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 2 10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共24分） 11. 计算：__________． 12. 因式分解：________． 13 已知，则______． 14. 已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______． 15. 如图，在正方形中，沿虚线剪去，则__________°． 16. 如图，是的直径，切于点A，交于C，连接、，若，，则______． 17. 如图，与是两个全等的直角三角形，三点在同一直线上，，分别是与的中点，则的长为___________． 18. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为个，最少为个，则______． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移个单位长度后得到，请画出； （2）把绕原点旋转后得到，请画出． 20. 计算与化简 （1） （2） 21. 某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品产量的年平均增长率． 22. 我市义务教育学校全面施行优化课间时长，课间时长从10分钟延长为15分钟，上午、下午各安排一次30分钟的大课间体育活动．某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A．踢足球，B．踢毽子，C．跳绳，D．丢沙包，E．跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次参与抽样调查的学生共有______人； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1000名学生，请估计选择“踢毽子”的学生有多少人？ （4）在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 23. 如图，在正方形中，对角线上有一点P，连接，． （1）求证：． （2）将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上点Q处，求的度数． 24. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若，求的面积． 25. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 26. 小聪升国旗时站在距旗杆底部30m的B处，他看旗杆顶部D的仰角为39°，他的眼睛A到地面距离，求旗杆顶端到地面CD的高（）． 27. 如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $