精品解析：山东高密市第一中学卓越学院2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

山东高密市第一中学卓越学院2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题 2024.09 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A. B. C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义先求出集合，然后再把集合中所有元素相乘即可求解. 【详解】由题意，， 由集合的定义可知，集合中有以下元素：①，②，③，④， 根据集合中元素满足互异性去重得， 所以中所有元素之积为. 故选：C. 2. 已知 ，则下列结论错误的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 取值范围为 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误； 因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：B 3. “，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，不等式恒成立的充要条件，再根据必要不充分条件的定义可求出答案. 【详解】由“，关于的不等式恒成立”， 等价于，解得， 则“”的一个必要不充分条件是． 故选：A． 4. 命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是假命题可得命题的否定为真命题，写出命题的否定，再利用分离参数的方法求解即可． 【详解】因命题，使得成立， 所以命题的否定为：，成立， 而是假命题，故命题的否定为真命题． 所以在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即. 故选：A. 5. 若满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数的运算性质进行运算，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为满足， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 故的最小值为16， 故选：D. 6. 已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法求解. 【详解】 因为有8个数，且，所以分位数是第三个数5． 故选：D 7. 某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为和样本标准差分别为3，4，则总体方差（ ） A. 18.5 B. 19.2 C. 9.8 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可得. 【详解】总体样本平均数， 所以 . 故选：B. 8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ） A. 8080 B. 4040 C. 2020 D. 1010 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性的定义求出对称中心，再结合对称性进行分组计算函数值可得答案． 【详解】若的对称中心为，则，即 为奇函数的，必有且，解得， 则的对称中心为，所以， ，，， ，，所以 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的计算，解题关键是确定的对称中心，解题时根据定义，利用是奇函数得出对称中心，然后函数值配对求和． 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据第60百分位数约为85 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图各小矩形面积和为1计算判断A；利用频率分布直方图结合第p百分位数、平均数的意义计算判断BC；利用分层抽样求出抽取的人数作答. 【详解】对于A，由图知，解得，A错误； 对于B，成绩在内对应的频率为， 成绩在内对应的频率为， 因此第60百分位数位于区间内，， 所以估计样本数据的第60百分位数约为85，B正确； 对于C，平均数约为，C正确； 对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为，则应选取成绩在内的学生人数为，D正确. 故选：BCD 10. 若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. C. 不等式的解集为 D. 设x的不等式的解集为N，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而判断选项A和选项B；化简不等式的解集，判断选项C；设，，根据图象判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为 则,且关于的方程的根为，， 则，解之得， 则不等式为，所以解集为， ，所以A、B都正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，或，故C错误； 设，， 则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图， 所以不等式的解集为N，则，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，当时，，则（ ） A. B. C. 增函数 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B：根据题意直接赋值运算求解；对C：根据题意结合单调性的定义分析证明；对D：根据题意结合函数单调性分析运算. 【详解】对A：令，可得，解得，A正确； 对B：∵当时，，则， ∴，B错误； 对C：令，可得，即， 设，则，可得， 则，即， 故函数在内单调递增，C正确； 对D：∵函数在内单调递增， 故当时，，D正确. 故选：ACD. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15 分 12. 十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题，分别化简的值代入即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键. 13. 已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为______. 【答案】4 【解析】 【分析】在同一坐标系内作出与的图象，再利用图象的对称性即可求得与的图象所有交点的横坐标之和. 【详解】函数是偶函数，图象对称轴为，则函数的图象有对称轴， 所以函数的图象有对称轴， ，时，在上单调递减且， 定义在R上的偶函数满足， 则函数有对称轴，又当时，， 在同一坐标系在内作出与的图象， 由图象可得，与的图象有4个交点， 又与的图象均有对称轴， 则两函数所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 14. 已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】对，都，使得成立，等价于恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案. 【详解】函数，在上单调递增，所以， 当时，在区间上单调递增，， 所以，解得， 又因为，所以，解得； 当时，在区间上单调递增，其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，在上单调增， 其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，， 此时，无解； 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂运算性质求解即可， （2）利用对数的运算性质求解即可 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知函数． （1）当时，解关于x的不等式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集； （2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值. 【小问1详解】 由. 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：， 因为，所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 【小问2详解】 不等式即， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设， 当时，； 当时，，因为（当且仅当时取等号），所以. 所以 综上可知：的取值范围是 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 17. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】（1）当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 （2） 【解析】 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； 【小问2详解】 由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 18. 已知函数在区间上有最大值10和最小值1．设． （1）求的值; （2）证明：函数在上是增函数; （3）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质，结合待定系数法即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （3）利用参数分离法与换元法，结合指数函数与二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为，又， 所以开口向上，对称轴为， 因为在区间上有最大值10和最小值1， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以，设， ， ，， ，则 所以函数在，即上是增函数. 【小问3详解】 由，可化为， 化为，令，则， 因故则在上有解， 记，则在上单调递增， 因为故，则， 所以得取值范围是. 19. 一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表： 岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值 会计（1） 2 1 5 4 12 业务员（2） 5 2 3 5 15 后勤（3） 2 3 5 3 13 管理员（4） 4 5 4 4 17 对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标. （1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数； （2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录. （i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位； （ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值. 【答案】（1） （2）（i）小刚最适合业务员岗位；（ii）小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为 【解析】 【分析】（1）将合计分值从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求出结果； （2）（i）根据条件，先求出各个岗位的样本点，再根据题设定义即可求出结果；（ii）先根据条件得到的相关方程组，利用，，得到，再根据题设列出方程，利用，得出，再对三种情况分析讨论，即可求出结果. 【小问1详解】 将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据， 又，所以这组数据第三四分位数为. 【小问2详解】 （i）由图表知，会计岗位的样本点为，则， 业务员岗位的样本点为，则， 后勤岗位的样本点为，则， 管理员岗位的样本点为，则， 所以，故小刚最适合业务员岗位. （ii）四种职业的推荐率分别为，且， 所以，得到， 又均小于20，所以，且， 故可得到， 设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，且，， 依题有①， ②， ③， ④， 由①③得， ， 整理得：， 故有三组正整数解， 对于第一组解，代入④式有，不成立； 对于第二组解，代入①式有， 解得或，代入②④式均不成立； 对于第三组解，代入②式有， 解得，代入①②③④均成立，故； 故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为. 【点睛】关键点点晴：本题第（2）问的（ii）问的解决关键在于，根据题设定义列出的相关方程组，分析得，进而选择合适的式子得到，从而分析得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东高密市第一中学卓越学院2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题 2024.09 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A. B. C. 8 D. 16 2. 已知 ，则下列结论错误的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 取值范围为 3. “，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 命题，使得成立.若是假命题，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 12 D. 16 6. 已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 7. 某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为和样本标准差分别为3，4，则总体方差（ ） A. 18.5 B. 19.2 C. 9.8 D. 20 8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ） A. 8080 B. 4040 C. 2020 D. 1010 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第60百分位数约为85 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人 10. 若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. 不等式解集是 B. C. 不等式的解集为 D. 设x的不等式的解集为N，则 11. 已知函数的定义域为，当时，，则（ ） A. B. C. 是增函数 D. 当时， 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15 分 12. 十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则______________. 13. 已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为______. 14. 已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是______． 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知函数． （1）当时，解关于x不等式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 17. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 18. 已知函数在区间上有最大值10和最小值1．设． （1）求的值; （2）证明：函数在上是增函数; （3）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 19. 一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表： 岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值 会计（1） 2 1 5 4 12 业务员（2） 5 2 3 5 15 后勤（3） 2 3 5 3 13 管理员（4） 4 5 4 4 17 对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标. （1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数； （2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录. （i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位； （ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $