安徽合肥一六八中学教育集团淮北五中分校2025-2026学年度第一学期期末考试高二数学试题卷

合肥一六八中学教育集团淮北五中分校2025-2026学年度 第一学期期末考试高二数学试题卷 (考试时间120分钟，满分150分) 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.复数5=() 2-i A.2+i B.-2+i C.-2-i D.2-i 2.若直线1：x+2y-3=0与直线1，：x-2y+1=0(k∈R)平行，则这两条直线间的距离为 () A.5 B.2V5 D.45 5 5 c 5 3.已知向量a=(2,-1,2),五=(x,-2,4),且a/6,那么=() A.4 B.5 C.6 D.√34 4.抛物线C:y2=6x的焦点到其准线的距离为() 43 B.3 C.3 D.6 4 5.已知空间向最a-(W50,6=兮，0，则a在万上的投影向量为() .o 6.双曲线二上=1的渐近线方程为() 24 A.y=t√2x B.y=±2x C.x=±2y D.x=±2y 7.若直线2x+y-1=0是圆x2+(y+a)2=1的一条对称轴，则圆心坐标为() A.(0,1) B.(0,-1) c. D0,月 8已知O为坐标原点，过双曲线C千Ca>0,b>0》的右焦点F作一条 近线的垂线，垂足为点M,过M作x轴的垂线，垂足为N,若N为OF的中点，则双 曲线的离心率为() A.1 B.√ C.5 D.2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知点P(-1,2)到直线1：4x-3y+C=0的距离为1，则C的值可以是() A.5 B.10 C.-5 D.15 10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是() A.两条不重合直线1,1，的方向向量分别是ā=(2,3，-1)，万=（-2，-3,1)，则1川2 B.两个不同的平面&，B的法向量分别是=(2,2，-1)，=(-3,4,2)，则x上p C.直线1的方向向量a=(（1,-1,2),平面a的法向量是i=(6,4,-1),则1Ma D.直线1的方向向量a=(0,3,0),平面a的法向量是i=(0,-5,0),则1/ 11.如下图，直角梯形ABCD中AB=2,CD=4,AD=2.则下列说法正确的是() A.以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为16√2π B.以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为327 C.以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为20π+4√2π D.以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为28V2 3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分： 12.过点(-4,3)的圆(x+3)2+(y-1)2=1的切线方程为 13.两平面的法向量分别为i=(0,-1,0),=(0,1,1),则两平面的夹角为 14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为FA为C上一点，且|AF=5,O为坐标原点，则 △OAF的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分(13+15+15+17+17=77)。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 15.求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)经过点(2,3)，且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点： (2)经过P(-2√3,1)，Q(V3,-2)两点 16.如图所示，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，0为AC的中点.设 AB=a,AD=B,AA=c D C JE D八 -b B (1)用a,b,c表示AO; (2)设E是棱DD上的点，且D2=2DD,用a,6,c表示O 17.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC, PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点，E为线段PC上一点 B (1)求证：PA⊥BD;(2)求证：平面BDE⊥平面PAC; (3)当PAI∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积. 已知椭圆C扩+片a>b>0)的一个焦点为(W5,0),离心幸头 3 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若动点P(x,,)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程 19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2W2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC 的中点 B M (1)证明：PO⊥平面ABC: (2)若点M在棱BC上，BM=BC,∈(O,1),且二面角M-PA-C的大小为30°，求 的值 参考答案 1.答案：A 解析： 5 5(2+i) 5(2+i=2+i. 2-i(2-i)(2+i)5 故选：A 2.答案：B 解析：因为直线1：x+2y-3=0与直线1，：x-2y+1=0k∈R)平行， 所以-21，所以k=-1, 12-3 所以直线1，：-x-2y+1=0即x+2y-1=0, 所以这两条直线间的距离为日=上1-（3》25 V12+225 故选B 3.答案：C 解析：因为a6,所以=2-A,解得x=4, 2-12 所以=V42+(-2}+42=6, 故选：C 4.答案：C 解析：可知抛物线C:y2=6x,则焦点为 ，0线为一 2 则焦点到其准线的距离为3， 故选：C. 5.答案：A 解折：空间向量a-5,06=0,5,则a-万=5,11， 所以i上的超影利量为2学6-马停0 1b12 2 故选：A 6.答案：A 解析：由题意可知，双曲线女-卫=1的渐近线方程为±=0，即y=士V2x 24 √22 故选：A 7.答案：A 解析：圆x2+(y+a2=1的圆心为(0，-a), 因为直线2x+y-1=0是圆的一条对称轴， 所以圆心(0，-a)在直线2x+y-1=0上， 所以2×0+(-a)-1=0,解得a=-1, 故圆心坐标为(0,1) 故选：A 8.答案：B 解析： 如图所示：双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y-bx的距离为bc1-c=b, a+b2 c 得1FM=b,又OF=c,在Rt△OFM,lOM=|OF-M=c2-b2=a2, 所以OM=a,又N⊥OF且N为OF中点，所以a=b, b2 即该双陆线为等轴双由线，所以离心丰=冬=5： 故选：B 9.答案：AD 解析：由点线距离公式有 -4-6+C-11C-105→C=15或C=5, V4+(-3)2 故选：AD 10.答案：AB 解析：对A,两条不重合直线1,1，的方向向量分别是=(2,3，-1)，b=(-2,-3,1), 则6=-a,所以11，A正确： 对B,两个不同的平面a，B的法向量分别是=(2,2，-1)，=(-3,4,2) 则元立=2×(-3)+2×4-1×2=0，所以a⊥B,B正确： 对C,直线1的方向向量a=(1,-1,2),平面的法向量是i=(6,4,-1), 则a:i=l×6-1×4+2×(-1)=0,所以1/a或1ca,C错误； 对D,直线1的方向向量ā=(0,3,0)，平面x的法向量是i=(0,-5,0), 则i=-a,所以11a,D错误 故选：AB 11.答案：BCD 解析：延长DA、CB交于点E,如图， B A D 由题意得，AE=AD=2, BE-BC=ADC)2 对于A,以AD所在直线为轴旋转， 得到一个圆台，此圆台由大圆锥切去小圆锥得到， 所以圆台的侧面积S=8元x4W5-4红×2V)=12V2x,A错误： 对于B,以CD所在直线为轴旋转， 得到一个以2为底面半径以2为高的圆柱与一个 以2为底面半径以2为高的圆锥的组合体， 以该组合体的体积为：V=2×2元+女2×2元元，B正 3 对于C,以AB所在直线为轴旋转，得到一个圆柱挖去一个圆锥的旋转体，如图， B 所以该旋转体表面积为：S=4π+2×2×4r+2√2×2元=20元+4W2元，C正确： 对于D,以BC所在直线为轴旋转， 得到一个圆锥的体积和一个圆台的体积的和切去一个小圆锥的体积，如图， ”x(23x25π+×2+W2时×2W元+(23刘 xW5-号(W2:x5x285 ,D正确 故选：BCD 12.答案：x=-4或3x+4y=0 解析：当切线的斜率不存在时， 切线的方程为x=-4,圆心(3,1)到该直线的距离等于半径1，符合题意， 当切线的斜率存在时， 设过点(-4,3)的切线方程为y-3=k(x+4),即x-y+4k+3=0, 圆心到直线x-y+4k+3=0的距离等于半径， -3+3到-1解得长-子 Vk2+1 .切线方程为3x+4y=0, 综上所述，切线方程为x=-4或3x+4y=0. 故答案为：x=-4或3x+4y=0. 13.答案： 4 解析：两平面的法向量分别为m=(0,-1,0),=(0,1,1) 设两平面的夹角为0，所以如s(杭列=网网 mn √2√2 V2×√2 2 因为0≤日≤刀，所以6=亚，即两平面的夹角为亚 4 4 故答案为：刀 4 14.答案：2 解析：根据题意，抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0), 设A(m,n),则AF=m+1=5,.=4.n=±4， S号14-2 故答案为：2 15.答案：(1)y+x =1 1510 (2) =1 155 解析：（1)椭园方程可变形为+上=1， 49 故椭圆的焦点在y轴上，且c=√5， 设所求杨国的标准方程为芹一秀06四。 十 [a2-b2=5, a2=15, 所以9+4=1 解得 1b2=10, 所以所求椭圆的标准方程为二+二-1. 1510 (2)设所求椭圆的方程为x2+y2=1（m>0,n>0), 把P(-25,),Q(5,-2)代入，得12m+n=1, 3m+4n=1, 1 解得 -15 ”所以所求椭圆的标准方程为+ -=1 1 155 n=5 16.答案：(1)40=1a+6- (2)0=a-i-2c 223 解折：(D因为40-}40-40+-号D+号丽， 且AB=a,AD=i,A4=c, 则4o=AA+A0=a+方-c. 22 2)o-助+0-0+片i+0c-a5- 17.答案：(1)证明见解析 (2)证明见解析 解析：(1)证明：因为PA⊥AB,PA⊥BC, 且AB∩BC=B,ABC平面ABC,BCC平面ABC, 所以PA⊥平面ABC: 又因为BDC平面ABC,所以PA⊥BD (2)证明：因为AB=BC,D为AC的中点，所以BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD,且PA∩AC=A,ACC平面PAC,PAC平面PAC, 所以BD⊥平面PAC 又BDC平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC (3)因为PA∥平面BDE,PAc平面PAC,平面PAC∩平面BDE=DE, 所以PA/DE 因为D为AC的中点，所以DE=1PA=1,BD=DC=√ 由(1)知，PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC, 合肥一六八中学教育集团淮北五中分校2025-2026学年度 第一学期期末考试高二数学试题卷 （考试时间120分钟 ， 满分150分） 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分. 每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．复数( ) A. B. C. D. 2．若直线与直线平行,则这两条直线间的距离为( ) A. B. C. D. 3．已知向量，，且，那么( ) A.4 B.5 C.6 D. 4．抛物线的焦点到其准线的距离为( ) A. B. C.3 D.6 5．已知空间向量,,则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 6．双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 7．若直线是圆的一条对称轴,则圆心坐标为( ) A. B. C. D. 8．已知O为坐标原点，过双曲线（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为( ) A.1 B. C. D.2 二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。 9．已知点到直线的距离为1,则C的值可以是( ) A.5 B.10 C. D.15 10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( ) A.两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B.两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C.直线l的方向向量，平面的法向量是，则 D.直线l的方向向量，平面的法向量是，则 11．如下图，直角梯形ABCD中，，．则下列说法正确的是( ) A.以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B.以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 C.以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为 D.以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分. 12．过点的圆的切线方程为________. 13．两平面的法向量分别为,,则两平面的夹角为__________________. 14．已知抛物线的焦点为F,A为C上一点,且,O为坐标原点,则的面积为________. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分（13+15+15+17+17=77）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）经过点，且与椭圆有共同的焦点； （2）经过，两点. 16．如图所示,在平行六面体中,O为AC的中点.设,,. （1）用,,表示; （2）设E是棱上的点,且,用,,表示. 17．如图，在三棱锥中，，，，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点. （1）求证：；（2）求证：平面平面PAC； （3）当平面BDE时，求三棱锥的体积. 18．已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程. 19．如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点. (1)证明：平面ABC； (2)若点M在棱BC上，，，且二面角的大小为，求的值. 参考答案 1．答案：A 解析：. 故选:A 2．答案：B 解析：因为直线与直线平行, 所以,所以, 所以直线即, 所以这两条直线间的距离为. 故选:B. 3．答案：C 解析：因为，所以，解得， 所以， 故选：C 4．答案：C 解析：可知抛物线,则焦点为,准线为, 则焦点到其准线的距离为3. 故选:C. 5．答案：A 解析：空间向量,,则, 所以在上的投影向量为. 故选:A 6．答案：A 解析：由题意可知,双曲线的渐近线方程为,即. 故选:A 7．答案：A 解析：圆的圆心为, 因为直线是圆的一条对称轴, 所以圆心在直线上, 所以,解得, 故圆心坐标为. 故选:A. 8．答案：B 解析： 如图所示：双曲线的右焦点到渐近线的距离为， 得，又，在，， 所以，又且N为OF中点，所以， 即该双曲线为等轴双曲线，所以离心率； 故选：B 9．答案：AD 解析：由点线距离公式有或. 故选:AD 10．答案：AB 解析：对A，两条不重合直线，的方向向量分别是，， 则，所以，A正确； 对B，两个不同的平面，的法向量分别是，， 则，所以，B正确； 对C，直线l的方向向量，平面的法向量是， 则，所以或，C错误； 对D，直线l的方向向量，平面的法向量是， 则，所以，D错误. 故选：AB 11．答案：BCD 解析：延长DA、CB交于点E，如图， 由题意得，,， . 对于A，以AD所在直线为轴旋转， 得到一个圆台，此圆台由大圆锥切去小圆锥得到， 所以圆台的侧面积，A错误； 对于B，以CD所在直线为轴旋转， 得到一个以2为底面半径以2为高的圆柱与一个 以2为底面半径以2为高的圆锥的组合体， 所以该组合体的体积为：，B正确； 对于C，以AB所在直线为轴旋转，得到一个圆柱挖去一个圆锥的旋转体，如图， 所以该旋转体表面积为：，C正确； 对于D，以BC所在直线为轴旋转， 得到一个圆锥的体积和一个圆台的体积的和切去一个小圆锥的体积，如图， ，D正确. 故选：BCD 12．答案：或 解析：当切线的斜率不存在时, 切线的方程为,圆心到该直线的距离等于半径1,符合题意, 当切线的斜率存在时, 设过点的切线方程为,即, 圆心到直线的距离等于半径, ,解得, 切线方程为, 综上所述,切线方程为或. 故答案为:或. 13．答案： 解析：两平面的法向量分别为, 设两平面的夹角为,所以, 因为,所以,即两平面的夹角为. 故答案为：. 14．答案：2 解析：根据题意,抛物线的焦点为, 设,则,,, . 故答案为:2 15．答案：（1） （2） 解析：（1）椭圆方程可变形为， 故椭圆的焦点在y轴上，且， 设所求椭圆的标准方程为， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为. （2）设所求椭圆的方程为（，）， 把，代入，得 解得所以所求椭圆的标准方程为. 16．答案：（1） （2） 解析：（1）因为, 且,,, 则. （2） 17．答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 解析：（1）证明：因为，， 且，平面，平面ABC， 所以平面ABC. 又因为平面ABC，所以. （2）证明：因为，D为AC的中点，所以. 由（1）知，，且，平面，平面PAC， 所以平面PAC. 又平面BDE，所以平面平面PAC. （3）因为平面，平面PAC，平面平面， 所以. 因为D为AC的中点，所以，. 由（1）知，平面ABC，所以平面ABC， 所以三棱锥的体积. 18．答案：（1） （2） 解析：（1）由题设可知，，则，，故椭圆C的标准方程为. （2）设两切线为，， ①当轴或轴时，对应轴或轴，可知； ②当与x轴不垂直且不平行时，，设的斜率为k,，则的斜率为， 的方程为，联立 消去y，整理得， 因为直线与椭圆相切，所以， 所以， 则. 所以k是方程的一个根， 同理是方程的另一个根， 所以，得，其中， 此时点P的轨迹方程为， 因为满足上式， 所以点P的轨迹方程为. 19．答案：(1)证明见解析 (2) 解析：(1)证明：连接BO. ，O为AC的中点， 且. ， ， ，且， ，， 又，平面ABC. (2)如图，以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. ，点M在棱BC上， ，，. 设平面PAM的一个法向量为， 则即 令，则(，，)， 易知平面PAC的一个法向量为. 二面角的大小为， ， 解得或(舍去)，故. 学科网（北京）股份有限公司 $