第2单元 比例 A卷 母子题培优专项卷-【王朝霞培优100分】2025-2026学年六年级数学下册同步单元卷（北师大版2012）

2号×314x2÷2×3=314(em) 【解析】左边正方形旋转后会得到一个底面半 径为2cm、高为4cm的圆柱，根据圆柱的体积 94.2÷3.14=30(分) 公式V=Th,即可求出这个圆柱的体积；右边 答：不能免单，因为餐厅30分钟时正好上齐菜品。 正方形旋转后可得到两个底面半径为3cm、高 五、1.3.14×0.8×15=37.68(m) 也为3cm且底面重合的圆锥，根据圆锥的体 37.68×1.6=60.288(m2) 答：这台压路机每分钟前进37.68m,每分钟压 积公式一言h,即可求出这两个圆锥的体 过的面积是60.288m。 积。再根据比的意义求出两个立体图形的体 2.3.14×102×2+2×3.14×10×20+2×3.14× 积之比即可。 6×6+2×3.14×4×4=2210.56(cm2) 2.(1)145【解析】根据水面高度h(cm)与注 答：剩下木块的表面积是2210.56cm。 水时间t(s)之间的关系，可得圆柱形容器的高 3×314x1Px1.2x×1530-=4867g】 为14cm;然后用圆柱形容器的底面积乘“几何 4 体”顶部到容器的顶部高度即30×(14一11)， 答：这堆沙子大约重486.7kg。 再除以水从刚漫过“几何体”到注满容器用的 4.6.28×4×2=50.24(cm3) 时间即42-24=18(s),就可以求出匀速注水 50,24÷+号}÷(8.14×2）=3cm） 的水流速度。 (2)“几何体”上方圆柱的高为11一(5×18)÷ 答：它们的高是3cm。 (30-15)=5(cm) 5.50.24÷4=12.56(cm2) 解：设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm。 12.56÷3.14=4 5×(30-S)=5×(24-18)S=24 4=2×280÷2÷(2×2)=10(cm) 答：“几何体”上方圆柱的高为5cm,底面积为 表面积： 24cm2。 12.56×2+3.14×2×2×10=150.72(cm2) 【解析】首先根据圆柱的体积公式，求出“几何 体积：12.56×10=125.6(cm3) 体”下方圆柱的高为多少，再用“几何体”的高 答：原来圆柱形木料的表面积为150.72cm, 减去“几何体”下方圆柱的高，求出“几何体”上 体积为125.6cm。 方圆柱的高是多少；然后设“几何体”上方圆柱 附加题 的底面积为Scm2,则5×(30-S)=5×(24 2 1.3.14× ×4=024em 18),据此求出S的值是多少。 第二单元A卷 母子题培优专项卷 50.24:56.52=8:9 重难点1 答：得到的两个立体图形的体积之比是8：9。 母题9 52 培优100分数学六年级下册BS版 【解析】 第一个比的后项减去4后，变为20一4=16。 比例尺1：3000000，图上距离80cm 1 80÷ 此时两外项积为18×40=720。 3000000 实际距离240000000cm,图上距离48cm 根据比例的基本性质，两内项积也应为 720,所以第二个比的前项=720÷16=45。 48:240000000 第二个比的前项应增加45-36=9。 比例尺1：5000000 子题3300 子题130 【解析】方法一：假设A、B两地的实际距离是xcm, 子题2减去2（答案不唯一） 再根据在两幅地图上的图上距离相差15cm,可列出 子题3除以9（答案不唯一）【解析】根据题意可 方程解答。 解：设A、B两地的实际距离是xcmo 知bc=ad,即bc=d。假设变化后第二个比的后项为 a y 1 400000* 500000=15x=30000000 x,则有(3a): g=c:x,即3ax≥ 3,所以 bc 9a 30000000cm=300km 1 1 。所以要使比例仍然成立，d应除以9或乘 方法二：在比例尺是1：400000的地图上，A、B两地 之重难点2 的困上距离是实际距离的4000在比例尺是 1:500000的地图上，A、B两地的图上距离是实际距 母题 6 1 离 【解析】虽然比例尺发生了变化，但是A地到B地的 5000O0,而A、B两地的实际距离是一定的，所 1 1 实际距离不变。 以15cm是实际距离的 因此用 400000 500000 比例尺1：3000000，图上距离约是8cm 除法可求出实际距离。 1 15÷ y 1 8. 30000000(cm) 3000000 400000 500000 实际距离约是24000000cm,比例尺1：4000000 30000000cm=300km 1 三重难点3 24000000× 4000000 母题416 图上距离约是6cm 【解析】 由题意知，原来长方形的长是5cm,宽是 子题140 3cm,将长方形按4：1的比放大，放大后 长方形的长是20cm,宽是12cm. 子题21：5000000 【解析】虽然图上距离发生了变化，但是甲、乙两个 分别求出原来长方形和放大后长方形的周 城市之间的实际距离不变。 长和面积，再用除法计算出对应的倍数。 子题1 11 思路二： 2 4 从书法社调50人 子题2 25 3 到绘画社后，两个 两个社团原有成员 社团的成员人数比 子题316 的人数比为5：3。 为5：7。 【解析】由题意可知，缩小后长方形的面积与原来长 5+7=12,书法社 方形面积的比等于缩小比的平方，即1：16。设原来 5+3=8,书法社原 现有成员的人数 有成员的人数占两 占两个社团总人数 长方形的宽为xcm,则(20x一300)：20x=1:16,可 个社团总人数的5 ° 的、5 12° 得原来长方形的宽为16cm。 重难点4 50人占总人数的 5 6 12 母题方法一：解：设书法社原来有5x人，绘画社原 子题1解：设甲修河队原来有7x人，乙修河队原来 来有3x人。 有3x人。 (5x-50):(3x+50)=5:7x=30 (7x-30):(3x+30)=3:2x=30 5x=5×30=150 7x=7×30=210 3x=3×30=90 3x=3×30=90 方法二：5+3=85+7=12 答：甲修河队原来有210人，乙修河队原来有90人。 子题2解：设原来乐器室里大提琴有3x把，小提 总人数：50： 5 5 812 =240(人) 琴有2x把。 书法社：240×8150（人） (3x+12):2x=2:1x=12 3x=3×12=36 绘画社：240-150=90（人） 2x=2×12=24 答：书法社原来有150人，绘画社原来有90人。 答：原来乐器室里大提琴有36把，小提琴有24把。 【解析】思路一： ≈重难点5 书法社原有成员的人数：绘画社原有成员的人数 母题 白鸭：架鸭-号：号6：55+6=1 =5：3;从书法社调50人到绘画社后，两个社团 的成员人数比为5：7。 白鸭：55×6=30（只） 11 黑鸭：55×5=25（只） (书法社原有成员的人数一50)：（绘画社原有成 11 员的人数+50)=5：7 答：李爷爷家白鸭有30只，黑鸭有25只。 【解析】 设书法社原来有5x人，则绘画社原来有3x人，根 由题意知，白鸭×=黑鸭×。 2 据对应量之间的关系列比例解答。 根据比例的基本性质，可得： 根据A社团人数的号等于B社团人数的二， 2 自鸭：黑鸭=3：1 2 以及比例的基本性质得到A社团和B社团 化简可得：白鸭：黑鸭=6：5。 的人数比。 根据按比分配应用题的解法进行解答。 根据按比分配应用题的解法求出A社团 和B社团的人数。 子题1 文艺书：科技书=号 1=12:5 三重难点6 12+5=17 1 母题 13÷ =46800000(cm) 文艺书：680×12=480（本） 3600000 17 46800000cm=468km 科技书：680×5=200（本） 468÷1.5=312(千米/时)3+5=8 17 答：文艺书买了480本，科技书买了200本。 甲车速度：312×3=117（千米/时） 8 子题2现在A堆：现在B堆品号3：2 乙车速度：312×-=195（千米/时） 3+2=5 答：甲车的速度是117千米/时，乙车的速度是195千 现在A堆：180×3=108() 米/时。 5 【解析】由题意可得： 现在B堆：180×2=72() 比例尺1：3600000，图上距离13cm 原来A堆：108+20=128(t) 原来B堆：72-20=52(t) 两地的实际距离 答：A堆石子原来有128t,B堆石子原来有 1.5小时后两车相遇路程和÷时间=速度和 52 to 两车的速度和 子题3C社团：150×30（人） 按比分配3：5 A社团和B社团总人数：150-30=120（人） 两车的速度 A社闭：B社闭=号：号2：832+3=5 1 子题16÷ =30000000(cm) 5000000 A社团：120×2=48（人） 30000000cm=300km 5 300÷2=150(千米/时) B社团：120×号=72人) 甲、乙两车所行路程的比是3：2，时间相同，故甲、乙 两车的速度比也是3：2 答：A社团有48人，B社团有72人，C社团 3+2=5 有30人。 甲车速度：150×3=90（千米/时） 【解析】 根据C社团人数占总人数的，先求出C 乙车速度：150×号-60千米时) 社团人数，用总人数减去C社团人数即可 得到A社团与B社团的人数和。 答：甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千 米/时。 培优100分 数学六年级 下册BS版 53 1 子题25÷ =30000000(cm) 6000000 450÷(g-4)×4x1-引 =150(m2) 30000000cm=300km 答：餐厅占地150m。 300÷1.5=200(千米/时)11+9=20 A车速度：200×0-110（千米/时） 【解折】从题图中可以看出，正方形西叔的(1-}》 20 与圆面积的1-》都是餐厅的面积，也就是正方形 B车速度：200× 9=90(千米/时) 20 1.5×(110-90)=30(km) 的面椒×1-》国的西积×1-引，正方彩的西 答：两车相遇时，A车比B车多行驶30km。 积：画的西椒=1-》：1-引=4：7。等乐场 已重难点7 比花坛多占地450m,也就是圆的面积比正方形的 母题A的面积：B的面积= 5-5:7 1. 7 面积大450m,可得正方形的面积是450÷(7一4)× 80X 4=600(m),进而求出餐厅的面积。 =112(cm2) 答：B的面积是112cm。 第二单元B卷培优验收综合卷 【解析】 一、1.4【解析】在一个比例中，两个外项的积等于 根据“重叠部分的面叔是A的写是B的 两个内项的积。题中两个外项的积是8，其中 可得A西教的B百积的宁 一个内项是最小的质数，为2，所以另一个内项 是8÷2=4。 根据比例的基本性质，可得： 2.20:1 A面教：B面教=号：号 3.12 化简可得：A面积：B面积=5：7。 4.2 5.50190019【解析】由题可知，图上1cm 根据A的面积即可求得B的面积。 表示实际距离50km。根据比例尺= 子题1方法一：A的面积：B的面积=}：=2：3 图上距离可知，A、B两地间的高铁线路实际长 64 实际距离 B的面积=12×g-18(cm) 50×38=1900(km),1900km=190000000cm 由于实际距离不变，再根据图上距离=比例 18-12=6(cm2) 尺X实际距离可知，在另一幅地图上A、B两 方法二：A的面积：B的面积一君：}一2：3 地间的高铁线路长190000000÷10000000= 19(cm)。 12x(g-1=6(em) 6.3:4=8:32 6:8=4:9 答：B比A的面积多6cm。 7.1:2a 子题2(1-》：1-引-4：7 83 【解析】假设宝鸡到北京的实际距离是acm, 54 培优100分数学六年级下册BS版 那么在甲图上宝鸡到北京的距离 a 在以选项A为比例尺的图纸上，A、B两地距离 1000000cm, 为4000000÷1000=4000(cm);在以选项B为 在乙图上宝鸡到北京的距离是 cm, 1500000 比例尺的图纸上，A、B两地距离为4000000÷ 所以甲图上宝鸡到北京的距离是乙图上这两 50000=80(cm);在以选项C为比例尺的图纸 地之间距离的 a a 3 上，A、B两地距离为4000000÷80000=50(cm); 100000015000002° 在以选项D为比例尺的图纸上，A、B两地距离 9.(1)二第二杯蜂蜜和水的比值最大 为4000000÷200000=20(cm)。所以选用选 (理由合理即可) 项D的比例尺最合适。 (2)12:60=14:70(答案不唯一) 6.D 10.3264【解析】用一个放大镜看1cm的线 7.D【解析】根据图上距离和错误的实际长度 段，长为2cm,说明这个放大镜相当于将图 可计算出错误的比例尺是1：300，将这个比例 形按2：1放大，所以用这个放大镜在同样情 尺的前后项互换，可知正确的比例尺是 况下看边长是4cm的正方形，看到的正方形 300：1,再用图上距离除以比例尺可计算出实 的边长是4×2=8(cm),周长是8×4=32(cm), 际长度是0.05cm。 面积是8X8=64(cm2)。 8.C 11.95【解析】两正方形的面积之比等于周 长比的平方，则小正方形面积：大正方形面 四、1.8：2=x:5 7.5_x 2.53 积=32：52=9：25。已知两个正方形的面积 解：2x=1.8×5 解：2.5x=7.5×3 之差是16cm,所以小正方形的面积为16÷ 2x=9 2.5x=22.5 (25-9)X9=9(cm),小正方形的边长为3cm, x=4.5 x=9 两正方形的边长之比等于周长比，所以大正 2.4:x=72:3 6:40%=3:x 方形的边长为3×号=5(cm)。 解：72x=2.4×3 解：6x=3X40% 二、1.×2.√3.× 72x=7.2 6x=1.2 4.×【解析】比例中的两个外项的积等于两个 x=0.1 x=0.2 内项的积，所以当8和4同为内（外）项时，m是 2:x=1:3 :1=1:2 x:- 24 453 8X4÷6=只：当8和6同为内（外）项时，0是 解：2=2×号 1 4 解：3x=45 8×6÷4=12;当4和6同为内（外）项时，m是 13 21 4X6=8=3。所以m可能是9,12,3. 2=2 3x=20 x=3 5.× 40 三、1.C2.A3.B4.B 五、1.(1 5.D【解析】选择合适的比例尺时，要满足所画 尺寸小于图纸的尺寸。40km=4000000cm,培优100分数学六年级下册BS版 【答案见P52】 第二单元比例 A卷 母子题培优专项卷 拍照批改+错题本 本单元比例在小学数学试卷占9分左右，常考考点中，解决比例中某项的变化问题、用抓不变量法解决有 关比例尺的实际问题、图形放大或缩小前后周长和面积的变化规律、运用解比例解决较复杂的实际问题等是试 卷中的重难点，也是最容易失分的地方。在日常学习中，紧抓重难失分点，是期末冲满分、进阶培优的关键。请 同学们先做母题，学习答题方法或策略，再完成对应的子题。加油吧！ 麻 之重难点1解决比例中某项的变化问题 位 母题】 在比例18：20=36：40中，如果第一个比的后项减去4， 那么要使比例成立，第二个比的前项应增加( )。 弥 子题1 在比例1.5：5=12：40中，如果第一个比的前项加上4.5， 母题视频讲解 线 内 那么要使比例成立，第二个比的后项应减去( ) 培优攻略 要 子题2 在比例4：15=8：30中，如果第一个比的后项增加5， 解决此类题时，先求出变 化后的内项积（或外项 题 那么第二个比的前项应该( )才能使比例仍然成立。 积)，再利用比例的基本性 子题3已知a:b=c:d(a、b、c、d均大于0)，如果a乘3，b除以3， 质求解变化后的某项。 c不变，要使比例仍然成立，那么d应该( )o ≈重难点2解决有关比例尺的实际问题一 抓不变量法 母题 在比例尺是1：3000000的地图上测得A地与B地的距 离约是8cm,在另一幅比例尺是1：4000000的地图上， A地与B地的距离约是( )cmo 子题1小华在比例尺是1：1000000的地图上量得甲、乙两地相 母题视频讲解 距32cm,若在比例尺是1：800000的地图上，这两地的 培优攻略 图 距离为( )cmo 解决有关比例尺的实际问 子题2 在一幅比例尺为1：3000000的地图上，量得甲、乙两个城 题的关键在于找到不变 量—实际距离。 市之间的距离是80cm。在另一幅地图上，甲、乙两个城 市之间的距离是48cm,另一幅地图的比例尺是( ) 子题3A、B两地在比例尺是1：400000的地图上量得的距离比 在比例尺是1：500000的地图上量得的距离要长15cm, A、B两地的实际距离是( )kmo 重难点3图形放大或缩小前后周长和面积的变化规律 母题把一个长5cm、宽3cm的长方形按4：1的比放大，放大 后长方形的周长是原来长方形的( )倍，放大后长 方形的面积是原来长方形的( )倍。 母题视频讲解 子题1 把一个边长为8cm的正方形按1：2的比缩小，缩小后 培优攻略 正方形的周长是原来正方形的( ),缩小后正方形 把一个平面图形按a:1(a 的面积是原来正方形的( )。 大于1)的比放大，周长是 子题2如果把一个边长为4cm的正方形先按5：1的比放大，再 原来的a倍，面积是原来的 a倍；把一个平面图形按照 按1：3的比缩小，那么现在正方形的周长是原来正方形 1:a(a大于1)的比缩小， 的( ),现在正方形的面积是原来正方形的( )。 周长是原来的二，面积是原 子题3一个长方形的长为20cm,将这个长方形按1：4缩小，缩 小后长方形与原来长方形的面积之差是300cm2,那么原 来的子 来长方形的宽为( )cmo ≈重难点4运用解比例解决较复杂的实际问题 母题书法社和绘画社两个社团原有成员的人数比为5：3，从 书法社调50人到绘画社后，两个社团成员的人数比为5：7。两 个社团原来各有多少人？ 母题视频讲解 子题1甲、乙两个修河队原来的人数的比是7：3，如果从甲队 调30人到乙队，那么两队的人数比就成了3：2。甲、乙两个修河 队原来各有多少人？ 子题2乐器室里大提琴和小提琴原来的数量比为3：2，又往乐 “培优小贴士一 器室里运进12把大提琴之后，小提琴的数量是大提琴数量的一 由“小提琴的数量是大提琴 半。原来乐器室里大提琴与小提琴各有多少把？ 数量的一半”可知，现在大 提琴的数量：小提琴的数 量=2：1。 培优100分数学六年级下册BS版 ≈重难点5利用等积化比解决实际问题 母题李爷爷家养白鸭和黑鸭共55只，其中白鸭只数的号正好 等于照鸭只数的李爷爷家白鸭和架鸭各有多少只？ 母题视频讲解 “培优攻略 解决此题的关键是先根据 比例的基本性质，把等积 子题1图书馆买了科技书和文艺书共680本，文艺书本数的号 式转化为比例，然后求出 两个量的比，再用按比分 等于科技书本数的。两种书各买了多少本？ 配的思路进行解答。 子题2A、B两堆石子共180t,如果从A堆里取出20t放人B 堆，那么A堆的等于B堆的8。A,B两堆石子原来各有多少吨？ 5 子题3某校三个社团共有150人，已知A社团人数的号等于B “培优小贴士 根据“C社团人数占总人数 社团人数的，C社团人数占总人数的。A、B、C三个社团各有多 的兮”可知，A社团与B社 少人？ 团的人数和占总人数的1 、1、4 5=50 ≈重难点6解决与比例尺结合的行程问题 母题在比例尺是1：3600000的地图上，量得A、B两地之间 的距离是13cm。甲、乙两列动车同时从A、B两地相对开出，经 过1.5小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是3：5，甲、乙两车 母题视频讲解 的速度各是多少？ 8 培优100分数学六年级下册BS版 子题1在比例尺是1：5000000的地图上，量得A、B两地相距 6cm,如果甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，2小时后相 遇，这时甲、乙两车所行路程的比是3：2。甲、乙两车的速度各是 “培优攻略 多少？ 相遇时间=路程和÷速度和 速度和=路程和÷相遇时间 弥 子题2在一幅比例尺是1：6000000的地图上，量得甲、乙两地 间的铁路线长5cm。A、B两列火车同时从甲、乙两地相对开出， 封 1.5小时后相遇，已知A、B两列火车的速度比为11：9。两车相遇 时，A车比B车多行驶多少千米？ 线 ≈重难点7解决图形重叠的面积问题 母题如图，两个长方形A和B重叠在一起，重叠部分的面积 内 是A的号，是B的7已知A的面积是80cm,那么B的面积是多 少平方厘米？ 母题视频讲解 B 不 培优攻略 先找到两个图形面积的等 量关系，然后表示出两个 子题1如图，两个平行四边形A和B重叠在一起，重叠部分的 图形的面积比，再根据已 要 面积是A的子，是B的行。已知A的面积是12cm,则B比A的面 知图形面积求出另一个图 形的面积。 积多多少平方厘米？ 答 周 子题2如图，正方形的子是花坛，圆的是游乐场，游乐场比 题 花坛多占地450m,餐厅占地多少平方米？ 花坛 游乐场餐厅