第2单元 长方体（一） A卷 母子题培优专项卷-【王朝霞培优100分】2025-2026学年五年级数学下册同步单元卷（北师大版2012）

培优100分数学五年级下册BS版 【答案见P53】 第二单元长方体（一） A卷 母子题培优专项卷 拍照批改+错题本 本单元长方体（一）在小学数学试卷占11分左右，常考考点中，用排除法解决相对面问题、用分析法解决绳 长问题、用列举法解决长（正）方体拼接后表面积变化问题、用综合法求组合图形的表面积等是试卷中的重难 点，也是最容易失分的地方。在日常学习中，紧抓重难失分点，是期末冲满分、进阶培优的关键。请同学们先做 母题，学习答题方法或策略，再完成对应的子题。加油吧！ 麻 之重难点1相对面问题一排除法 母题 有一个正方体，六个面分别写着A、B、C、D、E、F,请根据 下面三种不同的摆法推测A、B、C相对的面上的字母。 母题视频讲解 封 “培优攻略 不要 解决此类题目时，可以从与 图1 图2 图3 这个面相邻的面上的字母 题 A相对的面上的字母是( );B相对的面上的字母 或数字入手进行分析。 南 是( );C相对的面上的字母是( ) 子题1 老师特制了4个完全相同的正方体，并将它们按图1的方 式放置，分别旋转后放置如图2，则图2中4个正方体底面 上的点数之和是( )。 图1 图2 子题2下面是由4个完全相同的正方体拼成的长方体。每个正 方体的6个面分别涂着红、紫、黄、绿、蓝、黑6种颜色，请判断相对的 面的颜色。 “培优小贴士 先找出出现次数较多的颜 绿 黑 色，然后找出与这个颜色相 邻的颜色是什么，一一排 除，再判断这个面相对面上 的颜色。 之重难点2绳长问题一分析法 母题一个长25cm、宽20cm、高12cm的长方体盒子，如果沿图 中所示的虚线用绳子将其捆起来，不计接头处的绳子长度，那么需 要多长的绳子？ 母题视频讲解 培优攻略 解决此类求绳子长度的问 题时，要弄清绳子长度和 长方体各棱长之间的关系， 可以从长方体的棱长出发 子题1如图所示，一个长6dm、宽4dm、高2dm的纸箱，用三根 思考。 铁丝捆起来，三个打结处都用去了1dm长的铁丝。这三根铁丝的 总长度是多少分米？ 子题2用一根5m长的彩带捆扎礼品盒（如图），已知接头处的彩 “培优小贴士” 带长32cm,这根彩带最多能捆扎几个这样的礼品盒？ 求这根彩带最多能捆扎几 个这样的礼品盒，用“去尾 法”取近似数。 之重难点3长（正）方体拼接后表面积变化问题一列举法 母题把4个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少 多少平方厘米？ 母题视频讲解 “培优攻略 将多个相同的小正方体拼 接成一个长方体时，往往有 子题1把6个棱长为1cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体 多种拼接方式，不同的拼接 的表面积是多少平方厘米？ 方式表面积也不同，解题时 可以先将所有的方式列举 出来，以免遗漏或重复。 培优100分数学五年级下册BS版 5 子题2用两个长6cm、宽2cm、高4cm的小长方体拼成一个大长 方体，大长方体的表面积最大是多少平方厘米？ ≈重难点4求组合图形的表面积—综合法 母题一种组合高低柜是由一个长80cm、宽45cm、高60cm的 长方体柜子和一个长80cm、宽45cm、高100cm的长方体柜子组合 成的（如图）。工人要给这个高低柜刷油漆，底面不刷，需要刷油漆 母题视频讲解 的面积是多少平方厘米？（把手处忽略不计） “培优攻略 80 45 80 解决此类问题时，先明确要 求哪几个面的面积，然后观 60 100 00 察各个面的特，点，再选择合 45 (单位：cm) 适的方法计算。 子题1刘师傅用一个长方体木块和一个正方体木块制作成一个 模具（如下），并打算给这个模具的表面涂上油漆（底面不涂），需要 涂油漆的面积是多少？ 12 cm 12 cm 6 cm cm 25 cm 子题2三个正方体按如图方式摆放，它们的棱长分别为8cm、 4cm和2cm,求组合体的表面积（包括底面）。 子题3一个颁奖台，如图所示（单位：cm),它是由三个长方体合 培优小贴士 并而成的。现在将它的前后两面涂上红色油漆，其他露出来的面 本题要弄清楚哪几个面涂 涂上灰色油漆。涂红色油漆和灰色油漆的面积各是多少？ 红色油漆，哪几个面涂灰色 油漆。 55 40 40 40 40 40 6 培优100分数学五年级下册BS版 ≈重难点5长（正）方体挖去一部分后的表面积计算 母题一个长5dm、宽3dm、高2dm的长方体，现从一个角挖去 一个棱长为1dm的小正方体。剩下部分的表面积是多少平方分米？ 母题视频讲解 2dm 3 dm 培优攻略 5dm 弥 运用平移法或转化法把某 些面平移或转化，可以使一 些求不规则物体表面积的 实际问题简单化。 封 子题1从棱长为10cm的正方体木块上锯下一个长10cm、宽 8cm、高2cm的小长方体（如图），求剩下部分的表面积。 线 内 子题2如图，用27个棱长为1cm的小正方体组成一个棱长为 3cm的大正方体，现自上而下挖掉中间的3个小正方体。剩下部分 不 的表面积是多少？ 要 答 子题3一个棱长为4cm的正方体，先从正方体的上面正中间向 “培优小贴士” 下挖一个棱长为2cm的正方体小洞，接着在该小洞的底面正中间 周 正方体的上面虽然少了一 再向下挖一个棱长为1cm的正方体小洞（如图），最后得到的立体 个边长为2cm的正方形，但 图形的表面积是多少平方厘米？ 运用平移的方法可以补上 题 这个正方形，所以现在这个 立体图形的表面积比原来 正方体的表面积多了8个面 的面积。2. 5+2+3 838 3-号号 4.(1)7 1531 16 32 (2)255 256 5+3+2 =8+83 四、1.1+213 5 20 -1+号 =3-1 答：这两种剪纸共占剪纸总数的 20° =2 2g+甘器时) 525 -+引 9<1没超出 6318 答：李叔叔没超出计划的摆放时间。 1+5 =618 97 3.(1)7-2+732 1591545 =1一7 答：制作圆形宫灯的学生和方形宫灯的学生共 占全部学生的 45 9++ (2)1-324=1 451545 9+》+品+别 答：制作人角形宫灯的学生占全部学生的行 4.方法- 43 =1+1 60 方法二 3 =2 7+1 10T20 20 1号日品0动 答：五年级人数占总人数的 09 附加题 2 12 5 12 12 4 -1-号 3 6 (填法不唯一) 6 【解析】先把分数化成同分母分数：212 64 3.x+3=1 12 102 X-63 是合包是合品品通分后发现这9 个分数的分子是1~9这9个数，只要将这9个 解以=日 3 数填到圆圈里，使横、竖、斜每条直线上的3个 君 一6 数相加的和相等，最后换为原分数即可。 1 2 12 变为 5 解=8日 原数12 12 2.2238=18(kg) ≈重难点3 588 20 母题 答：这时第 袋比第二袋还重1 5×5×6=150(cm2) 20 或5×5×8=200(cm) 【解析】根据题意画出线段图： 答：·表面积减少150cm或200cm。 【解析】4个相同的正方体可能拼成的长方体的所有 第一袋L 情况如下图。由图可以发现，减少的面积等于正方 第二袋L ，由图可知要从 3 体拼接面的面积之和。图1中减少了6个面，即5× 3 8kg 5×6=150(cm);图2中减少了8个面，即5×5×8= 原来相差的度量里西减去2个号g才是现在 200(cm). 第一袋比第二袋多的质量。 图1 图2 第二单元 A卷母子题培优专项卷 子题1 第一种拼法： 之重难点1 方法-(6×1+6×1+1×1)×2=26(cm) 母题DEF 方法二1×1×(6×6-10)=26(cm) 【解析】观察三幅图发现，三幅图中都有字母C,运用 第二种拼法： 排除法依次确定C、A、B相对的面上的字母。 方法-(3×2+3×1+2×1)×2=22(cm) 确定C相对的 由图1、图2、图3可知，C的 方法二1×1×(6×6-14)=22(cm) 面上的字母 邻面是A、B、D、E。 C与F相对 答：这个长方体的表面积是26cm或 确定A相对的 由图1、图3可知，A的邻面 面上的字母 A与D相对 22cm2。 是B、C、E,且C与F相对。 【解析】把6个相同的正方体拼成一个长方体，有以 确定B相对的 由以上可知，C与F相对，A 面上的字母 B与E相对 与D相对。 下两种拼法。 子题116 图示 子题2 黑色的对面是蓝色，黄色的对面是绿色，紫 长是6cm,宽和高都 长是3cm,宽是2cm, 色的对面是红色。 方法 是1cm。 高是1cmo (6×1+6×1+1×1) (3×2+3×1+2×1) 重难点2 ×2=26(cm2) ×2=22(cm2) 母题 25×4+20×6+12×6=292(cm) 拼之前有(6×6)个正 拼之前有(6×6)个正 答：需要292cm长的绳子。 方形，拼接后少了10方形，拼接后少了14 方法二 个正方形。 个正方形。 【解析】从图中可以看出，绳子在长的方向捆了4段， 1×1×(6×6-10)= 1×1×(6×6-14)= 在宽和高的方向各捆了6段，即绳子的总长为4个 26(cm2) 22(cm) 长、6个宽和6个高的长度和。 子题2 (64+6×2+2×4)×2×2=176(cm) 子题16×2+4×4+2×6+1×3=43(dm) 176-2×4×2=160(cm) 答：这三根铁丝的总长度是43dm。 答：大长方体的表面积最大是160cm。 【解析】从图中可以看出，铁丝的总长度=纸箱的2 【解析】求拼成后的大长方体的表面积最大是多少， 条长的长度十4条宽的长度十6条高的长度十打结处 只需用两个小长方体的表面积之和减去两个最小的 的长度。将数据代入求解即可。 拼接面之和。已知两个小长方体表面积之和是(6X 子题210×2+7×2+5×4+32=86(cm) 4+6×2+2×4)×2×2=176(cm),最小的拼接面 5m=500cm500÷86≈5（个） 的面积是2×4=8(cm),所以大长方体的表面积最 答：这根彩带最多能捆扎5个这样的礼品盒。 大是176-8×2=160(cm)。 培优100分数学五年级 下册BS版 53 三重难点4 答：涂红色油漆的面积是12800cm,涂灰 母题 前、后两个面：(80×60+100×80)×2= 色油漆的面积是10000cm。 25600(cm2) ≈重难点5 左、右两个面：100×45×2=9000(cm) 母题 (5×3+5×2+3×2)×2=62(dm) 上面：(80+80)×45=7200(cm2) 答：剩下部分的表面积是62dm。 需要刷油漆的面积：25600+9000+7200= 【解析】由图可知，挖去一个小正方体后，减少了小 41800(cm2) 正方体的上面、前面、右面3个面，同时增加了下面、 答：需要刷油漆的面积是41800cm。 后面、左面3个面，因此从总体上看，表面积没有变 【解析】高低柜的底面不刷油漆，把手处忽略不计， 化。根据长方体表面积计算公式求解即可。 可以把除底面以外的面积相加。前、后两个面是 子题110×10×6-8×2×2=568(cm2) 相同的，都可看成由长是80cm、宽是60cm和长是 答：剩下部分的表面积是568cm。 100cm、宽是80cm的两个长方形组成，如图1；左、 【解析】如图，锯下一个小长方体后，减少了小长方体 右两个面是相同的，都可以看成长是100cm、宽是 上面、前面、左面和右面的面积，同时增加了下面和 45cm的长方形，如图2；上面可以看成长是(80十 后面的面积。故剩下部分的表面积=大正方体的表 80)cm、宽是45cm的长方形，如图3。 面积一小长方体左面和右面的面积之和。 80 40 80 100 100 60 60 45 45 子题23×3×6-1×1×2+1×3×4=64(cm2) 图1 图2 答：剩下部分的表面积是64cm2。 80 80 【解析】自上而下挖掉中间的3个小正方体后，大正 45 (单位：cm) 方体的表面积减少了上面和下面2个(1×1)的面积， 图3 中间增加了4个(1×3)的面积，故剩下部分的表面 子题1 前后两个面：(12×12+25×6)×2=588(cm) 积=大正方体的表面积一减少的上、下面面积之 左、右两个面：(6+12)×12×2=432(cm2) 和十增加的面积之和。 上面：25×12=300(cm2) 子题34×4×6+2×2×4+1×1×4=116(cm2) 588+432+300=1320(cm2) 答：最后得到的立体图形的表面积是 答：需要涂油漆的面积是1320cm。 116cm2。 子题2前、后两个面：(8×8+4×4+2×2)×2= 168(cm) 第二单元B卷培优验收综合卷 左、右两个面：8×8×2=128(cm) -、1.C2.A3.C4.B5.C 上、下两个面：(8×8+4×4+2×2)×2= 6.D【解析】长方体的底面面积是9cm,3× 168(cm2) 3=9,所以它的底面正方形的边长是3cm。 表面积：168+128+168=464(cm2) 答：组合体的表面积是464cm。 如图： 它展开后的侧面是边长为 子题3涂红色油漆：(55×40+65×40+40×40) ×2=12800(cm) 3 cm 涂灰色油漆：65×40×2+(40+40+40)× 4×3=12(cm)的正方形，所以它的侧面积是 40=10000(cm2) 12×12=144(cm2)。 54 培优100分数学 五年级下册BS版 7.D【解析】用题中给出的小棒可以搭成的长 长是3×4=12(cm),宽是3cm,高是3cm,所 方体或正方体情况如下表： 以原来长方体的棱长总和是(12+3十3)×4= 序号 长 宽 高 72(cm),表面积是(12×3+12×3+3×3)× ① 2=162(cm2)。 12 cm 8cm 6cm 8.2【解析】由题意知长方体的长、宽、高分别 ② 12cm 12cm 8cm 为2cm、2cm、5cm,故长方体的表面积是(2X ③ 12cm 12cm 6cm 2+2×5+2×5)×2=48(cm2)。正方体的表 ④ 12cm 8cm 8 cm 面积是2×2×6=24(cm),故表面积扩大到原 ⑤ 8cm 8cm 6cm 来的48÷24=2倍。 ⑥ 12cm 12 cm 12 cm 9.96288256【解析】正方体的棱长是4cm, 共有6种。 则它的表面积为44×6=96(cm);如果把4 8.B【解析】在本题图中任意放上1个同样的小 个这样的正方体拼成一个长方体，有以下两种 正方体，搭成新立体图形的表面积有3种情 挤况4m支子m 16cm 4 cm 8cm,表面积是 况：①把这个小正方体放在第二层棱的中间， 8 cm 16×4×4+4×4×2=288(cm)或8×8×2+ ,表面积与原来一样；②把这个小 8×4×4=256(cm2)。 10.(1)357911132m+1 正方体放在第二层的顶点上，如 表 (2)201804dm 面积比原来增加2cm;③把这个小正方体 11 序号 长/cm宽/cm高/cm ① 3 放在第三层或第一层 。如 表面积比 ② 4 2 2 ③ 5 2 原来增加4cm。所以表面积不可能比原来增 ④ 6 【答案不唯一) 加5cm2。 三、 二、1.8612相同相等相等 2.3654 3 cm 3.6154.业 3 cm 5.(1)600450300 2100(2)260 6cm 6.52【解析】 2.48前上（后两空答案不唯一） 切割方式 增加的表面积 3.(6×3+6×3+3×3)×2=90(cm2) ① 增加了两个前（或后）面的面积。 答：制作这个长方体至少要90cm的纸板。 四、1.长：14-2×2=10(m) ② 增加了两个上（或下）面的面积。 (10×6+10×2+6×2)×2=184(m2) ③ 增加了两个左（或右）面的面积。 2.(20×8+20×6+8×6)×2+3×3×4=692(cm) 按三种方式切割之后增加的面积之和正好是 五、1.2.5×0.8×4=8(dm2) 原来长方体的表面积，所以原来长方体的表面 答：这条装饰纸的面积至少是8dm。 积是16+24+12=52(cm)。 2.6×2+2×4+2×6+2=34(dm) 7.72162【解析】当去掉最左边的一个正方 答：捆扎这个礼盒至少需要准备34dm长的彩带。 体时，表面积比原来减少了4个正方形的面，可 3.8×5+(8×3.5+5×3.5)×2-3=128(m2) 算出一个正方形的面积是36÷4=9(cm2),即 128×3.5=448(元) 小正方体的棱长是3cm,那么原来长方体的 答：一共需要448元。