海南九师联盟2026届高三3月联考数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，当时，有，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形ABCD中，为BC的中点，将沿直线AC折起至处，使得点在平面ABC上的射影在直线AE上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ） A B. 1 C. D. 8. 已知函数，存在，，满足．设，函数，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（ ） A. 若的极差为9，则 B. 若的分位数是6，则 C. 若的平均数为3，则 D. 若的方差为6.8，则 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 3是极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 11. 已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过的直线与交于、两点（在第一象限），过、分别向的准线作垂线，垂足分别为、，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则的斜率为 B. 存在直线，使得的面积为 C. 若为等边三角形，则 D. 若的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中所有奇数项的系数和为________． 13. 已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 14. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，若，且存在，使得，则______；______．（用表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，， ． （1）求； （2）若为边上一点，，，证明：． 16. 如图，在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为棱BC中点，平面ABCD，且． （1）证明：平面平面； （2）若为棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，，求的取值范围． 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交于A，B两点． （1）求的大小； （2）若为的上顶点，斜率为的直线与交于M，N两点（异于的上、下顶点），记直线DM，DN的斜率分别为． （i）若，求的方程； （ii）若，过作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． （1）当时，求； （2）证明：； （3）已知每个宕机节点每个月会造成万元经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】121 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）（ii）存在点，使得为定值 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）（万元） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学参考答案、提示及评分细则 1D由得==2品=-2-i故选n 2 2B由|a+b=3,得a2+2a·b+=3,结合a=b1=1,得a…b=号，所以cos(a,b)=,又<a,b>∈[0，]，所 以a与b的夹角为于.故选B. 3A由(x-a)(x十1)≤0(a>0),得-1≤x≤a;由x=,1∈N,得x=1,2,3,6,所以B=1,23,6,又BCA,所以 a≥6.故选A. 4.B法1：设{a}的公差为d,由a4十a,=20,得2a6=20,即a6=10.由S,=28,得7C@十@》=7X2a=7a4=28,所以 2 2 a4=4,所以d=二是=102=3所以am=a6十5d=10+15=25.故选B 6-4 f(a,+2ad)+(a+8d)=20,n1a+5d=10,g 法2：设{an》的公差为d,由题意，得 7a+21=28, 即〈 解得d=3,a1=-5.所以a1=a1十 a1+3d=4. 10d=-5+10×3=25.故选B. 5.C由题意知圆心C(0,1),直线1过定点D(1,0),|CD|=√2，当⊥CD时，|AB|最小，此时|AB引=2√4-（√2） =2√2，即|AB|的最小值为2√2.故选C 6.D由题意知0<a<1,c<0,b的符号不确定，故A,B错误，若b区0，因为c<0,由f(x)在（一∞，0]上单调递减，满足 题意，此时b+c<0;若b>0,由f(c)>f(b),得1-3>3一1，即30+3<2，又3+3>2√3+，所以2√3+<2，所 以3+<1，所以b十c<0,综上可知b十c<0,故错误，因为0<a<1,c<0,所以3+3>1，又f(c)>f(a),所以1- 3>3-1,即3+3<2，故D正确.故选D. 7.A记AC∩BD=O,P在平面B(上的射影为点F,则F在AE上，连接CF.由 PF⊥平面ABC,PA=PC,可得AF=CF,又BO是线段AC的中垂线，所以F在 BO上，即AE∩BO=F.因为三棱锥P-ABC外接球的表面积为8π，所以该球的半 D 径为√2，又OP=OA=C=OB,所以OP=OA=OC=OB=√2；因为E为BC'的中 点，0为AC的中点，所以F为△ABC的重心，所以OF=0B-号，AB=BC=2, B“ PF=VO-Om=号，所以三棱能P-ABC的体积V=片S8e·PF=子×2×号=8.故选A 2 8Cf)=os2,则-1≤fa)≤1，-1≤f)<1,所以号≤1 f)+是 ≤2，若存在，x2,满足f(0)十 =3,则当月仅当f(x1)=1,f(x2)=一1时等号成立，所以2x1=2k1π(k,∈7)，2x2=r十2k2π(k2∈Z), fa)+号 解得=1元(1∈Z),x=受+π(k:∈2)，所以m=|-=至g(x)=f(受x）-3f(2x)=c0s3- 3cos x,cos 3x=cos (2x+x)=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2eus2r+)cos x-2sin2xcos x=2cos3x-cos x- 2(1-cos2x)cosx-4cos3x-3cosx,所以g(x)=cos3r-5c0s24cosx-6cosx,令cosx=,当x∈[0，交]时，1的 取值范围是[0,1门.令h)=4-61(∈0,1])，则()=12r-6,当1∈(0，号)时，h'()<0,h()单调递减：当 1(号.1)时，N)>0,A)单调递增，所以A>a=h(号）=4×（停）°-6×号=-2反，所以g在[0，m]上的 【3月30日·数学参考答案第1页（共6页）】 最小值为一2√2.故选C. 9.AB对于A,因为a∈N,其极差为9，所以a一1=9，所以a=10,故A正确：对于B,M中共5个数，5×80%=4，则80% 分位数是从小到大排列后第4个数和第5个数的平均数，因为80%分位数是6，则必有一数小于6，一数大于6，故“士 =6,解得a=4,故B正确；对于C,由1+2+3+α十8=3，解得a=1,故C错误；对于D,M的平均数为14十4，所以 5. 号[(1-4)+(2-4)+(3-14)°+(a-4生)°+(8-4)门=6.8，化简得d2-7a+6=0,解得 a=1,或a=6,故D错误.故选AB. 10.ACf(x+1)+4=子(x+1)-(x+1)-3(x+1)-号+4=号2-4，显然=f(x+1)+4是奇函数，所以A 正确；f(x)=x2-2x一3=(x十k)(x一3)，易得f(x)在(-∞，-1)，(3，十∞)上单调递增，在（一1,3）上单调递 减，所以f(x)在x=3处取得极小值，故B错误；f(4)=5,f(4)=一7，故曲线y=∫(x)在点(4，f(4))处的切线方 程为y一(-7)=5（一）.即6x一y-27=0,故C正确：由上知f(x)在x=-1处取得极大值号，由f(x)=号，得 x=-1或x=5,所以若f(x)在(-2，a)上存在最大值，则a满足一1<a≤5，故D错误.故选AC 1.ACD由题意知-号=-1，解得p=2,故C的方程为y2=4,F(1,0):设A(n),B().对于A,因为 1下A=3,由抛物线的定义，得1+=3，解得=2，又4>0听=8，所以y=22,此时1的斜率为22二0=22， 2-1 故A正确；设1的方程为x=my十1，代人C的方程并化衡，得y2一4my一4=0，所以y十y2=4m,y2=一4，所以 SAm=合1DF到I力-=√+w-n西=V16m+16≥4，所以不存在直线1，使得Sam=子，故B错 误；若△A'AF为等边三角形.则（的斜率为√3，此时1的方程为√5x一y一√3=0，所以点D到l的距离d= -r6,由上知△ABD的面积为Vm+T6-√6信)+I-房：所以宁AB1d一是解得 W/(W3)2+(-1)3 IAB到-号，故C正确；易得∠A'FB'=受，号|AF·BF=ar=号|DFIy-为=Sam=45,所以 |A'F|·|B'F|=8√3，故D正确.故选ACD. 12121展开式的通项为T41=C()》”（2v厅)=（生2x青=20x型，k=01,2.5,当=02,4时，= x-5,T3=40.x-2,T5=80x,其系数和为1十40十80=121 1(1,2]法1：双线C导-苦=a>0,6>0)的右顶点A(a,0),不纺取渐近线方程为y一台，.设M(m,☐)， 则=(。一m,-但).店=(3a-m,-织）.由Mi.M店=0，得(a-m)(3a-加+片m=0,整理得(1+号)m 2 -4ma十3a2=0,由题意知该关于m的方程有解，所以△=16a2-41+号)·d≥0，可得a2≥3=3(2-a2),即 32<,所以e=<2,又>1，所以1<2号.即C的离心率的取值范围是(1,2] a 法2：由MA·MB=0知，点M在以AB为直径的圆D:(.x一2a)2十y=a2上，由题意知，C的渐近线与圆D有公共点， 所以D到C的渐近线x±ay=0的距离满足2abL≤a,即2≤c,所以4(-a2)≤2，所以3≤4d,所以e≤ 62+a2 2,又>1，所以1<<29，即C的离心率的取值范围为(1,2] (a<b<a+b, 14.3(3分)3×22-3+2-2(2分)a1<b1<a2<b2<3台a<b<a十b<ab<a+2b台a十b<ab,台 ab<a+26, 【3月30日·数学参考答案第2页（共6页）】 3<,所以一<2号，又>1.所以1<<2，即C的离心率的取值范围是(1,29] 法2：由MA·M店=0知，点M在以AB为直径的圆D:(.x一2a)2十yY=a2上，由题意知，C的渐近线与圆D有公共点， 所以D到C的渐近线x士ay=0的距离满足2abL≤a,即2b≤，所以4(e2-d)≤2，所以3≤4d,所以≤ 0+a 29,又>1，所以1<<2，即C的离心串的取值范图为(，2] a<b<a+b, 14.3(3分)3X2-+2-2(2分)a1<h<a2<b2<ag台a<b<a+b<ab<a+2b台 a+b<ab,曰 \ab<a+2b, 2 【3月30日·数学参考答案第2页（共6页）】 0<a<b, (0<a<b, (0<a<b, a十b-ab-1<-1,(a-1)(1-b)<-1,(a-1)(b-1)>1,考虑到a,b∈N·,分情况讨论 ab-a-2b+2<2, (a-2)(h-1)<2, (a-2)(b-1)<2, (0<a<2, (1)若b-1=1,则a-1>1.a无解； a-2<2, (0<a<3, (2若6-1=2.则a-1>2所以6=3.a=2: a-2<1, 0<a<k+1, （3若一1=k23.则@-1太所以b=k+1≥4a=2 -2<是， 综上，-k(3,∈N),a=2. 由a么得3计(m-1D6-b:2,所以23n又>a-2.cN,所以2-+1-1,6-3此时 m=21,所以a十4十…十a.=2m+mm卫X3=2+号-(21-1)=3X23+2。 15.()解：由asin2B=2sinA及b=2,得1osB 由正弦定理，得A-B…4分 所以cosB=7,又BC0x所以B=苓 …小nw小…6分 (2)证明：由(1)知∠门=受，因为∠ABM=石，所以∠CBM=号，w…7分 由SA+Saw=Sa及BM=3,得2c·BMsin∠ABM青·BMsip∠CBM=之asin∠ABC, 所以a十c=ac, …9分 由余弦定理，得仔=a2十2-2 accos B,即一(r)*-3ac,…10分 所以（a十)2-3(a十c)=4,解得a千一4学l,…11分 所以a=c=2,又b=2,所以△4BC为身边三角形， 又∠ABM=∠CBM,所BM.…13分 16.(1)证明：连接BD,因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=受，所以△BCD为正三角形. 又E为BC的中点，所以DE⊥BC,………1分 因为AD∥BC,所以AD⊥DE. 因为DE⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以AD⊥D1T…必……2分 又DE,D1EC平面DED,且DEnD,E=E,所以ADL平mhDE,…3分 又ADC平面ADD,所以平面ADD,⊥平面DD,E. 分别取DD1,AD1的中点H,G,连接EH,HG,BG,则HG∥AD,HG=2AD. 又BE∥AD,BE=AD,所以HG∥BE,HG=BE, 所以四边形EHGB为平行四边形，所以BG∥EH.…………4分 因为ED=ED1,H为DD1的中点，所以EH⊥DD,所以BG⊥DD, 因为AD⊥平面DDE,EHC平面DDE,所以AD⊥EH,所以AD⊥BG 【3月30日·数学参考答案第3页（共6页）】 又DD,ADC平面ADD,且DD∩AD=D,所以BG⊥平面ADD1.6分 又BGC平面ABD,所以平面ABD⊥平面ADD.… 7分 (2)解：由(1)知EB,ED,ED两两垂直，以E为原点，直线EB,DE,ED分别为 x轴，y轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,一√3,0)， D(0,-3,0),D(0,03),C(-1,0,0),B(1,0,0),又CC-BB-Dd= (05.所以G(-15w5)B1w55)F(-1,号.号) 所以Di=(2,0,0),Dd=(03W3),D高=(13,0) D=(-1,9,-) …9分 m·DA=0, 2x=0, 设平面ADD,的一个法向量m=(x,,2),则 即 m·Dd=0, 5y+5z=0, 令y=1,解得x=0,x=一1， 因为AD∥BC,所以AD⊥DE 因为DE⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以AD⊥D1E,…2分 又DE,DEC平面DED,且DEOD E=E,所以AD⊥平面DD,E, …3分 又ADC平面ADD,所以平面ADD⊥平面DDE. 分别取DD,AD,的中点H,G,连接EH,HG,BG,则HG∥AD,HG=之AD, 又BE∥AD,BE=AD,所以HG∥BE,HG-BE, 所以四边形EHGB为平行四边形，所以BG∥EH.… …4分 因为ED=ED1,H为DD1的中点，所以EH⊥DD1,所以BG⊥DD, 因为AD⊥平面DD,E,EHC平面DDE,所以AD⊥EH,所以AD⊥BG 【3月30日·数学参考答案第3页（共6页）】 又DD,ADC平面ADD,且DD∩AD=D,所以BG⊥平面ADD …6分 又BGC平面ABD,所以平面ABD⊥平面ADD.… 7分 (2)解：由(1)知EB,ED,ED两两垂直，以E为原点，直线EB,DE,ED,分别为 x轴，y轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,一√3,0)， D(0,-3,0),D(0,05),C(-1,0,0),B1,0,0),又CC-BE,-D= 055.所以G(-1w5w5).B15w5).r(-1.号号） 所以DA=(2,0,0),DD-(05,5),DB=(13,0) D=(-1,,-) …9分 m·DA=0, 设平面ADD,的一个法向量m-(5y,e),则 2x=0, 令y=1,解得x=0,2=一1， m·DD=0,5y+5x=0, 所以m=(0,,,1).… …11分 n·DB,=0, a+3b=0, 设平少F的一个法向量n=(a,b,c),则 n·DF=0, -+9- 令b=1,解得a=-√5，c=3. c=0, 所以n=(-√/3,1,3).……13分 26 设平面ADD,与平面片DF的夹角为0.则e0-:六EX2示=要 所以平面ADD,与平面B1D,F的文角的余旅值为否， …15分 =a(2x+1)-2 17.解：(1)f(x)的定义域为之，t0)小且f（x)=a一2x中=2z+1 …1分 当a<0时，(x<沙作(-合，十o∞)上恒成立，所以fx)在(-，)上和测递减：…3分 当>0时，令了(x)>0,得>日-合令了x)<0.得告告-壹所以x)在(-，日-号)止单调递 减，在（日-之，+∞）上单调递增 ，…4…小…5分 (2)由e[0,+∞)，fx)≤2+有tin1+2r)-ax-1≥0. 4.xe2 令g(x)=2币十h(1+2x3at1(≥0)，则g（x)=2xfi十1中2x一a,…7分 2 16x2 令hD=g(.则)=4X4)一2+4X2+D+2z+D≥0 (2.x+1)3 所以h(x),即g(x)在[0，十o∞)上单调递增，从而g'(x)≥g(0)=2-a.…8分 当2-a≥0，即a≤2时，g(x)≥0，则g(x)在[0，十o∞)上单调递增，从而ga)g(0)=0, 此时符合题意；……∽……9分 当2-a<0,即a>2时，g(0)=2-a<0. 设p(.x)=c-2(x>1),则p(x)=e-2x,令m(a)一p(x),则m(x)=C-2>0,则m(x),即p(x)在 (1,十o∞)上单调递增，所以p(x)>p(1)=e-2>0,从而p(x)在(1，+o∞)上单调递增，所以(x)>(1)=e-1> 0,故g>x2(x>1).…11分 又g(号+1)= (号+1)e +30+异3->2at2+2+异- .2 (a+3)2 -2+6a2+17a+22>0, (a+3)3 由零点存在定理及g(x)在[0，十∞)上单调递增可知存在唯一的xo∈(0，号十1)，使得g(x0)=0,…13分 【3月30日·数学参考答案第4页（共6页）】 所以当0<x<xo时，g(x)<0,则g(x)在(0，xo)上单调递减，从而g(x)<g(0)=0,此时不符合题意. 综上，a的取值范围为（一0∞，2].……15分 18.解：1)设F的坐标为(c,0),由题意知÷=号，所以a=3 又a2=十2,所以b=√2c,…2分 将<代人号+号=1后+号=1所以1=号-詹 …3分 2c tan∠AFF2=号=S,又∠AF,F,∈(O,受)，所以∠AFF2=若 …4分 由椭圆的对称性知∠AFB=受 …5分 /2因为021为的上面古=2.肌万=2所 万2=足+2=6.匠刊C的方程为2+ 当2-a≥0，即a≤2时，g(x)≥0，则g(x)在[0，十o∞)上单调递增，从而g(x)≥g(0)=0, 此时符合题意；……9分 当2-a<0,即a>2时，g(0)=2-a<0. 设p(x)=e-x2(x>1),则p(x)=c-2x,令m(x)=p'(x),则m(x)=c-2>0,则m(x),即p(x)在 (1,十∞)上单调递增，所以p(x)>p(1)=e一2>0，从而p(x)在(1，十∞)上单调递增，所以p(x)>p(1)=e-1> 0,故e>x2(.x>1). 又g(号+1)= (号+1)e+ ++异>22+品-a 2 (a+3)2 -d+6a2+17a+2>0, (a+3)2 由零点存在定理及g(x)在[0，十∞)上单调递增可知存在唯一的x∈(0，号+1)，使得g(0)=0,…13分 【3月30日·数学参考答案第4页（共6页）】 所以当0<x<zo时，g(x)<0,则g(x)在(0，xo)上单调递减，从而g(x)<g(0)=0,此时不符合题意。 综上，a的取值范围为（一0∞，2].……15分 1风解：1设的坐标为(c,0).由题意知片-号所以a=5。 又2=十2，所以b=√2c,……2分 将=代入号+芳=-1，得后+芳-1，所以=公= ，…3分 2c 由椭圆的对称性知∠A5兰 5分 (2)因为D0:)为（柄上顶点，所以b=2,即/反c=2.所以〔=厄，所以d=+=6,所以C的方程为号+号-1. -…6分 (i)名M=1,k2=-2,则直线DM,DN的方程分别为y=x十2，y=-2x十2， y=x+2, +片 得52+12x=0,所以w=-号，所以y-号，所以M(-号，-号)，同理可求得N(号，-9)， ……9分 -(） 所以直线！的斜率为 _12 ·},所以1的方程为y+号=-(x+号) 即x十4y十4=0.… ...7 …11分 Xkx十m, (i)设直线l的方程为y=kx十m(m≠士2)，M(1,y),Nx:w,由 += 消去y并整理，得(2+3k)x2 +6mk.x+3m2-12=0, 则△=36k2㎡2-4(2+3k2)(3m2-12)=21(6m2上4)>0， 且0十= 3k2+2x-3m-1 3k+2 …13分 由ka=-1,得妇-(k+些2)使+m=2)=+m=2)十2k+m-22 ILt2 (m-2)(-3k2)k =k2+ （m-2) 3m =k2mk2 4(m-2)(3k2十2) 12 m+2 3(m+2) k2+2 3k2十2 24 =3m+2) 1 …15分 解得m=一号，满足△>0，所以直线1的方程为y=kx一号微1过定点E(0,一号)， 由题意知点P在以DE为直径的圆上，所以当点Q为线段DE的中点(0，专)时，lPQ=之引DE=。,为定值， …17分 19.(1)解：初始状态X=2,即2个在线，3个宕机.第1个月选中在线节点的概率为号，此时X=2:选中宕机节点的概率 为号，其中修复成功的概率为p=弓，此时X=3:修复失败的概率为号，此时X=2 所以P(X=2)=号+号×号-P(X=3)=号X分-…2分 PX=31X=2)=是×号-吉，P(X=31X=3)=音+号×号-器 【3月30日·数学参考答案第5页（共6页）】 所以P(X2=3)=P(X=2)·P(X2=3|X1=2)+P(X1=3)·P(X2=3|X=3) =×号+号×是=+是-= 放当p=号时，P(X=3)=号 …4分 (2)证明：由题意知X+1=2,3,4,5, 所以P(X1=2)=p(X=2[号+是1-p)]=(1-）P(X=2,…5分 PX+1=3)=[g+号1-p)]P(X=3)+号pP(X=2)=(1-23)PX,=3)+p(X=2,…6分 P(X+1=4)=[号+号(1-p)]P(X=4)+号pP(X=3)=(1-)P(X=4)+号P(X=3),…7分 所以P(X2=3)=P(X1=2)·P(X2=3|X1=2)+P(X1=3)·P(X2=3|X1=3) =号×+号×会+-第= 故当=时，P(=3)=宁 …4分 (2)证明：由题意知X+1=2,3,,5, 所以P(X1=2)=PsX=2)[号+是1-p)]-(1-)P(X=2. 5分 P(X1=3y[号卡号1-p)]P(X=3)+号P(X=2)=(1-号)P(X.=3)+号P(X=2),…6分 P(X,1=4)-[台+号1-p)]P(X=4)+号P(X=3)=(1-号)P(X=4)+3P(X=3), …7分 P(X=50=[号+g(1-p)]P(X.=5)+号P(X4)=P(X.=5)+号P(X=40,…8分 所以E(X+1)=2·P(X+1=2)+3·P(X+1=3)+4·P(X+1=4)+5·P(X+1=5) =(2+)P(X=2)+(3+2)P(X,=3)+(4+号)P(X,=4)+5P(X=5). …9分 因为P(Xn=2)十P(Xm=3)+P(Xm=4)+P(Xm=5)=1, 所以p=p·[P(Xm=2)+P(X,3)+P(X=4)十P(X=5)],… …10分 所以(1-号)E(X1+p=(1-号)[2P(X.=2)+3P(X.=3)+4P(X,4)+5P(X,=5)]+p =(2-)P(X=2)+(3-碧)P(X,=3)+(4-等)PX,1y-(5-p)P(X=5)+b·[P(X.=2)+ P(X,=3)+P(X.=4)+P(X=5)] =(2+号)P(x,=2)+(3+号)P(X,=3)4+0)P(X=4)+5P(X=5), 所以E(X+1)=(1-号)E(X)+n.… …11分 (3)解：因为E(X+1)=(1-2)ExX)+p,设E(X+1)+x=(1-)[E(X.)+x], 所以E(X+1)+a=(1-号)E(X)+X-号x, 所以-号x=p,x=-5,E(X+1)-5=(1-号)[E(X)-5],， 所以{E(X,)-5}是以1一号为公比的等比数列， 13分 E(X)=2,E(X)-5=-3,EX)=2[号+号(1-p)+3×号p=2+号p, 故EX1)-5=号p-3=-3(1-号)， 所以E(X,)-5=[(X)-5](1-是)》=-3(1-号)”， 所以E(X)=5-3(1-号）”，… 15分 第n个月的期望宕机节点数为5-E(X)=5-[5-3(1-号)”门=3(1-号)”. 每台宕机节点每月损失2万元，故第m个月的经济损失的期望为2×3(1-考”=6(1-号)” 设从第1个月开始的n个月的经济损失的总期望为L, 则--号》台1-)]_5-s0号) 三（万元). …17分 1-(1-号) 6页（共6页）】