八年级数学下学期期中模拟卷（新教材北师大版）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册第1~3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 6．如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（    ） A．82° B．83° C．84° D．85° 7．如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象，若该图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 10．如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．点关于原点对称的点的坐标是 ． 12．若在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 13．如图，在中，，，交延长线于点，则的长为___________． 14．若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 15．在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与A关于原点对称，则的值为_____． 16．在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 18．（6分）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若D为中点，，，求的长． 19．（6分）如图，是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 20．（6分）已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． (1)画出将向下平移6个单位长度得到； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 22．（8分）某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示： 口罩 普通医用口罩 进价（元/包） 19 7 售价（元/包） 23 10 若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题． (1)求出利润y与x的函数关系式． (2)已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值． 23．（8分）如图，将的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的角平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由； (3)求的度数． 24．（12分）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 25．（12分）综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册第1~3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 6．如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（    ） A．82° B．83° C．84° D．85° 7．如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象，若该图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 10．如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．点关于原点对称的点的坐标是 ． 12．若在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 13．如图，在中，，，交延长线于点，则的长为___________． 14．若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 15．在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与A关于原点对称，则的值为_____． 16．在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 18．（6分）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若D为中点，，，求的长． 19．（6分）如图，是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 20．（6分）已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． (1)画出将向下平移6个单位长度得到； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 22．（8分）某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示： 口罩 普通医用口罩 进价（元/包） 19 7 售价（元/包） 23 10 若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题． (1)求出利润y与x的函数关系式． (2)已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值． 23．（8分）如图，将的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的角平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由； (3)求的度数． 24．（12分）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 25．（12分）综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册第1~3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； B、若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可得答案． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3．若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得，故A正确． B、∵， ∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得，故B正确． C、∵， ∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C正确． D、∵， ∴不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，与选项式子不符，故D错误． 4．已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特点，解不等式组，熟练掌握各象限内点的坐标特点，是解题的关键．根据第二象限点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列出关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴横坐标，纵坐标， 即， 解不等式组得：， ∴m的取值范围是． 故选：C． 5．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点旋转，得到， ， 当旋转方向为顺时针时，旋转角度为； 当旋转方向为逆时针时，旋转角度为． 故选：A． 6．如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（    ） A．82° B．83° C．84° D．85° 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、正多边形的内角和、四边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键． 先根据等边三角形的性质可得，则，再根据正五边形的性质可得，则，最后根据四边形的内角和即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴在四边形中，． 故选：C． 7．如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 首先根据勾股定理求出的长度，根据角平分线和线段平行的性质，可证出，故的周长可转换为，将长度代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵由平移得到， ∴， ∴， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴其周长为， 故选C． 8．如图，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象，若该图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是正确理解题意，能根据一次函数的增减性列出符合题意的不等式组．根据题意，直线的图象沿x轴翻折后的函数关系式是，两函数与x轴的交点坐标为，且对，当时；对，当时，；据此列出不等式组，再求解即可． 【详解】解：根据题意，直线的图象沿x轴翻折后的函数关系式是， 把代入得：， 解得：， ∴两函数与x轴的交点坐标为：， 对，当时； 对，当时，； 可列出不等式组， 解得：． 故选：A． 9．如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形面积计算，熟练掌握相应知识是解题的关键．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行判断即可求解． 【详解】解：由平分，与不一定相等，因此不一定垂直平分，故不正确； ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴点到的距离等于点到的距离， 如图，过点作于，则，连接， ∴点到的距离大于，故不正确； 如图，连接，过点作于，过点作于，过点作于， ∵、分别平分、， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确． 故选：C． 10．如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形，故①正确． 由轴对称可知，，， ，故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ， ． ． 平分，故③正确． ，， ． ， ． ，故④正确． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标为，即横、纵坐标均互为相反数．依据该特征，将已知点的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对应对称点的坐标． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， ∴点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12．若在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 13．如图，在中，，，交延长线于点，则的长为___________． 【答案】 【分析】根据，得到，从而得到，结合，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求得不等式组中每个不等式的解集，再根据题意得到不等式，即可得出答案．正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与A关于原点对称，则的值为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换——平移，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象平移规律“横坐标左加右减”，“纵坐标上加下减”，是解题的关键 根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据x轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 【详解】解：∵直线（m为常数）与x轴交于点A， ∴当时，， 解得， ∴， ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度， ∴平移得到， ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后与x轴交于点， ∴当时，， 解得， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故答案为：3． 16．在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，分类讨论是解题的关键． 点在轴正半轴上，设坐标为，三角形为等腰三角形，有三种情况：，．分别计算每种情况下的值，排除无效点． 【详解】点，点， 情况1：； 情况2：， 平方得，解得； 情况3：， 则， ， 即或（舍去），； 综上，的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，图见解析 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集，解题关键是熟练掌握解不等式组． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，然后表示在数轴上． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 将其解集在数轴上表示出来为： 18．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若D为中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关性质与勾股定理． （1）利用等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余，证明； （2）利用勾股定理在中求解，先求出的长度，再计算． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在中，； 在中，． ∵ ， ∴ ． 又∵ （对顶角相等）， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． （2）解：∵ ，为中点， ∴ 在中，，， 由勾股定理得： ． 答：的长为． 19．如图，是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平移的性质及线段垂直平分线的判定与性质． （1）由等边三角形性质得出，再由E是的中点，根据等边三角形三线合一得出平分，从而求得结果； （2）由，结合得出的度数，再利用平移性质得到平行关系，紧接着证明，结合得垂直平分，从而求出的度数，最后证明的三个角均为，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴平分， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 由平移性质可得：， ∴，， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 20．已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）通过角平分线定理，再结合三角形内角和为，推导出各图中与的关系； （2）若选择图1，由角平分线定理得，，再结合内角和，可推出；若选择图2，由角平分线定理得，，再结合三角形内角和为，可推出；若选择图3，由角平分线定理得，，可推出． 【详解】（1）解：如图1，； 如图2，； 如图3，； （2）证明：选择图1， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 或选择图2， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴. ∵， ∴； 或选择图3， ∵平分，平分 ∴，. ∴， ∴. 21．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． (1)画出将向下平移6个单位长度得到； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为， 故答案为：． 22．某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示： 口罩 普通医用口罩 进价（元/包） 19 7 售价（元/包） 23 10 若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题． (1)求出利润y与x的函数关系式． (2)已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由该药店购进普通医用口罩x包，则购进型口罩包，再根据利润公式列函数关系式即可； （2）先列函数关系式，再求解自变量的取值范围，利用函数的性质根据最大值列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该药店购进普通医用口罩x包，则购进型口罩包， 由题意得，， 即； （2）解：设除去捐款后获得的利润为元， 由题意得，， 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍， ， ， 中，， W随x的增大而减小，即当时，W取最大值11000， ， 解得． 23．如图，将的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的角平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出； （3）根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，即，根据三角形外角的性质得到，即，则，根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； （2）解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ； （3）解：∵点在的角平分线上， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴ ∵是的外角， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可； （2）解方程组求出，，再代入不等式，求出的取值范围； （3）解方程组，用含有的代数式表示，，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：， ∴不是此不等式的解； ②， 解得：， ∴是此不等式的解； ③， 解得：， ∴是此不等式组的解； ∴方程的解是此方程与②③的“理想解”， 故答案为：②③； （2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”， ∴，， 解方程组，得：， ∴， ∴， 即的取值范围为； （3）解：解方程组，得：， ∵关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数）， ∴， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， ∴不等式组的解集为， 即的取值范围． 【点睛】本题考查解一元一次方程、二元一次方程组和解一元一次不等式（组），解题关键是熟练掌握解一元一次方程、二元一次方程组和解一元一次不等式（组）的一般步骤． 25．综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)4 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； （3）解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题， 每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 A C C C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.(-2,1 12≤ 13.5 14.m>-1 15.3 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 【详解】解：解不等式x-4<3(x-2),得x>1, 解不等式1+2x +1>x,得x<4, 3 :不等式组的解集为1<x<4,3分 将其解集在数轴上表示出来为： 上6分 -1012345 18.(6分) 【详解】(1)证明：AB=AC, .∠B=∠C. :DE⊥BC, 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DEB=∠DEC=90°. 在Rt△BDE中，∠B+∠BDE=90°； 在RtAFEC中，∠C+∠F=90°. .∠B=∠C, .∠BDE=∠F. 又：∠BDE=∠ADF(对顶角相等)， .∠ADF=∠F, .AD =AF, △ADF是等腰三角形.3分 (2)解：：AB=AC=10,D为AB中点， 8D4B=5 在Rt△BDE中，BD=5,BE=3, 由勾股定理得：DE=√BD2-BE =V52-32=√25-9=V16=4. 答：DE的长为4.6分 19.(6分) 【详解】(1)解：：ABC是等边三角形， ∠ACB=60°， E是AB的中点， .CE平分∠ACB, .LBCE=LACE=30°.3分 (2)证明：：CD⊥BC, .∠BCD=90°， .∠ECD=∠BCD-∠BCE=60°， 由平移性质可得：FD∥EC, .∠DAC=∠ACE=30°，∠ACD=90°-∠ACB=30°， .AD=DC,∠ADC=180°-2∠DAC=120°， 又：BA=BC, ·.BD垂直平分AC, 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∠BDC=2∠HDC=60, .∠DGC=180°-∠BDC-∠ECD=60°， .∠DGC=LBDC=∠ECD=60°， .△CDG是等边三角形.6分 20.(6分) 【详解】(1)解：如图1，∠0=90°+∠A: 如图2、0：A, 红覆，0=90心-A:3分 (2)证明：选择图1， A O B 图1 :BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 0c-4c,∠ocB-4cm, 2 :∠0BC+∠0CB=∠ABC+∠ACB)=180°-∠A, 20=180-(<08c+∠0c8=90+5A, 或选择图2， A 图2 :BO平分∠ABC,CO平分∠ACD, 208c-a8c,∠0cn-acD, ZACD ZABC +ZA, 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠0CD-∠ABC+∠4 :∠0CD=∠0BC+∠0， a20=20cD-∠0c-4Bc+54号48c=4, 2 或选择图3， E 0 图3 :BO平分∠EBC,CO平分∠BCD 20aC=5BBc,∠0CB=5BcD ∠OsC+∠0CB-∠EBC+∠BcD)-=∠A+∠ACB+∠BcD-∠A+180, ∠0=180-(08C+∠0c8=90-A6分 21.(8分) 【详解】(1)解：如图，△AB,C即为所求； 3 2 1 2分 3 10 2 45X (2)解：如图，△4，B,C即为所求； 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 3 .5分 5-43210 2 345 1 2 -3 -4 5 (3)如图，旋转中心为点M,可知旋转中心的坐标为0,3)， 2 8分 5 43210 123 2 故答案为：(0,3)· 22.(8分) 【详解】(1)解：设该药店购进普通医用口罩x包，则购进N95型口罩(4000-x)包， 由题意得，y=(23-19)×4000-x+(10-7)x=-x+16000, 即y=-x+16000;3分 (2)解：设除去捐款后获得的利润为W元， 由题意得，W=y-4000a=-x+16000-4000a, :N95口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍， ·4000-x≤3x, .x≥1000， :W=-x+16000-4000a中，k=-1<0, 5/9 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :W随x的增大而减小，即当x=1000时，W取最大值11000， 11000=-1000+16000-4000a, 解得a=1.8分 23.(8分) 【详解】(1)证明：作PD⊥AC于D, M :PB平分∠ABC,PA平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF, D :PM =PN,PM=PD, .PM PN PD 点P在∠ACF的角平分线上：2分 (2)解：AM+CN=AC,理由如下， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， PA=PA PM=PD' :Rt△PAM≌Rt△PAD(HL), :AD=AM, 同理：RtaPCD≌RtAPCN(HL), :CD=CN, AM+CN=AD+CD=AC;5分 (3)解：点P在∠ACF的角平分线上， PCF-ACF :BP是∠ABC的角平分线， :∠PBF=∠ABC, :∠PCF是△PCB的外角， .∠PCF=LPBF+∠BPC=∠PBF+25°， 6/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即∠PCF-∠PBF=25°， :∠PCF=∠ACF,∠PBF=∠ABC, 2 2 ÷4cac-25, 2 .ZACF-ZABC =50 :∠ACF是△ABC的外角， :∠ACF=LABC+LBAC, 即∠ACF-∠ABC=∠BAC=50°， .∠MAC=180°-∠BAC=130°， RtAPAM≌RtAPAD, .∠MAP=∠CAP, :∠MAP=∠CAP=号∠MAC=65°.…8分 2 24.(12分) 【详解】(1)解：3x-5=1, 解得：x=2, ①2x-3>4x+1, 解得：x<-2, x=2不是此不等式的解； ②2x+1-125, 解得：x22, x=2是此不等式的解； [3x-5>2(x-3) ®带1 解得：-1<x≤2， x=2是此不等式组的解； .方程3x-5=1的解是此方程与②③的“理想解”， 故答案为：②③；4分 x=m (2)解：： 是方程组 y=n x-2y=5+9与不等式x-y>1的理想解， 2x-y=2q+1 7/9 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [m-2n=5+g (2m-n=2g+1'm-n>1, [m-2n=5+q m=9-1 解方程组 2m-n=2g+1'得： n=-3 .9-1--3)>1, .9>-1, 即q的取值范围为q>-1;8分 x+y=3a+5 x=4a+1 (3)解：解方程组 x-y=5a-3'得： y=4-a1 :关于x,y的方程组 x-少=5a-3与不等式+2y≥a+10的理想解”均为正数（即理想解中的七，y均 x+y=3a+5 为正数)， 4a+1>0① {4-a>0② (4a+1)+2(4-a≥a+10③ 解不等式①，得：a>-4 1 解不等式②，得：a<4, 解不等式③，得：a≥1， 不等式组的解集为1≤a<4, 即a的取值范围1≤a<4.12分 25.(12分) 【详解】(1)解：：旋转， .AD=AE,∠BAC=∠DAE, .LBAC-LCAD=LDAE-LCAD,即：∠BAD=∠CAE, 又：AB=AC, △ABD≌△ACE, .BD CE 故答案为：BD=CE;3分 (2)成立，理由如下： 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “旋转， AD=AE,LBAC=∠DAE, .LBAC-LCAD=∠DAE-∠CAD,即：∠BAD=∠CAE, 又：AB=AC, .△ABD≌△ACE, BD=CE;6分 (3)解：延长AC至点F,使CF=AC,连接FE,作CH⊥EF,则：AF=2AC, H 图③ :∠ACB=90°，∠ABC=30°， :∠BAC=60°，AB=2AC=AF, :旋转， ∠DAE=60°=∠BAF,AD=AE, ∠BAD=LFAE, .△BAD≌△FAE, .∠AFE=LABD=30°， .点E在射线FE上运动， :垂线段最短， :当点E与点H重合时，CE的长最短，为CH的长， :CF=AC=8,∠CFH=30°， :CH=-CF=4: 2 故CE的最小值为4.…12分 9/9