期中复习5大类型39个题型（前4章）（举一反三期中专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

期中复习5大类型39个题型（前4章） 【新教材苏科版】 【核心概念建构】 2 【题型1 普查与抽样调查】 2 【题型2 总体、个体、样本、样本容量】 3 【题型3 从统计图表获取信息】 4 【题型4 频数与频率】 8 【题型5 频数分布表】 9 【题型6 频数分布直方图】 10 【题型7 随机事件】 12 【题型8 概率的意义】 14 【题型9 频率估计概率】 15 【题型10 四边形的判定】 17 【题型11 四边形的性质运用】 19 【题型12 梯形】 21 【题型13 因式分解的定义】 23 【题型14 公因式的概念】 24 【能力层级提升】 25 【题型15 统计图表的综合】 25 【题型16 频数分布表和频数分布直方图的综合】 29 【题型17 简单概率的计算】 34 【题型18 证明四边形】 36 【题型19 中位线性质应用】 40 【题型20 运动形成四边形】 42 【题型21 四边形角度计算】 45 【题型22 四边形边长计算】 47 【题型23 判断能否用公式法分解因式】 51 【题型24 利用因式分解求参数】 53 【运算素养强化】 54 【题型25 提公因式分解因式】 54 【题型26 运用公式法分解因式】 55 【题型27 提公因式与公式法综合运用分解因式】 56 【题型28 与平行四边形有关的面积计算】 58 【题型29 利用特殊四边形的判定与性质求线段长度】 61 【题型30 特殊四边形的面积计算】 65 【几何直观实操】 69 【题型31 绘制统计图】 69 【题型32 绘制频数分布直方图】 72 【题型33 尺规作四边形】 77 【题型34 利用四边形的性质格点作图】 83 【综合思维突破】 87 【题型35 存在性探究题】 87 【题型36 四边形综合证明】 94 【题型37 四边形动点最值问题】 101 【题型38 几何变换综合】 104 【考点39 因式分解的应用】 108 【核心概念建构】 【题型1 普查与抽样调查】 1．（25-26九年级下·重庆·月考）下列调查中，最适合采用普查方式的是（   ） A．调查全国中学生参与家务劳动的情况 B．调查某市市民垃圾分类的情况 C．调查某品牌新能源电池的使用寿命 D．调查某机场搭乘某航班的旅客是否携带违禁物品 【答案】D 【分析】根据普查要求结果准确、适合范围小且无破坏性调查的特点，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵普查适合要求结果准确，调查不具有破坏性，范围合适的调查， ∴、调查全国中学生参与家务劳动的情况，范围过大，适合抽样调查，不符合要求； 、调查某市市民垃圾分类的情况，范围较大，适合抽样调查，不符合要求； 、调查某品牌新能源电池的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，不符合要求； 、调查某机场该航班旅客是否携带违禁物品，必须保证结果准确，需要逐一检查，适合采用普查，符合要求． 2．为了解全国中学生视力状况，你认为应采用调查的方式是__．（请在“普查”或“抽样调查”中选一个） 【答案】抽样调查 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，据此可解答． 【详解】解：为了解全国中学生的视力情况，全国中学生人数众多，依此应用抽样调查． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）某校为了解全校720名学生的家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，对八年级某班全体学生家长进行了调查，这种调查方式是___________．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【分析】本题考查抽样调查和普查的区别．普查是对所有个体进行全面调查，抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查． 全校有720名学生的家长，但只调查了八年级某班全体学生家长，因此属于抽样调查． 【详解】解：由于只调查了八年级某班全体学生家长来推断全校家长的意见，并非对所有家长进行调查，因此这种调查方式是抽样调查． 故答案为：抽样调查． 【题型2 总体、个体、样本、样本容量】 1．为了了解某校七年级名学生期中数学考试情况，从中抽取了名学生期中数学成绩进行了统计，下面四个判断中正确的有（    ） ①这种调查的方式是抽样调查；      ②名学生是总体； ③每名学生的期中数学成绩是个体；      ④80名学生是总体的一个样本． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：只从总体中抽取部分对象调查，属于抽样调查，故结论①正确；本次考察的总体是某校七年级1000名学生的期中数学成绩，不是1000名学生本身， 故②判断错误；个体就是每名学生的期中数学成绩，故结论③正确；样本是抽取的80名学生的期中数学成绩，不是80名学生本身，故结论④错误． 综上所述：正确的判断有①③，共2个． 2．为了更好地落实“双减政策要求，某中学从全校共900名学生中随机抽取100名学生的每天课外作业负担情况进行调查，此次调查的样本容量是_____． 【答案】100 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目． 【详解】解：为了更好地落实“双减政策要求，某中学从全校共900名学生中随机抽取100名学生的每天课外作业负担情况进行调查，则此次调查的样本容量是100． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象． 3．一批灯泡共有万个，为了考察这批灯泡的使用寿命，从中抽查了个灯泡的使用寿命，在这个问题中，样本是________． 【答案】抽取的只灯泡的使用寿命 【分析】本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物”．我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本． 【详解】在题目中，因为要了解灯泡的寿命，故样本是抽取的50只灯泡的使用寿命． 【点睛】本题主要考查样本的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【题型3 从统计图表获取信息】 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）小龙在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的社区里1500户居民的家庭收入情况，他从社区的A，B，C，D四个小区中按各小区实际户数的随机调查了若干户居民家庭的收入情况，结果显示该社区中等收入的家庭达到．图①、图②反映的是根据本次抽样中的具体数据所制作的各小区被调查家庭数占调查总数比率的扇形统计图、各小区中等收入家庭数的条形统计图（单位：户）．根据以上信息，有下列判断：①A区中等收入家庭的比率最高；②B区中等收入家庭的比率低于；③按抽样估计C区中等收入家庭约120户； ④D区实际家庭数为450户．其中正确的是（　　） A．只有①② B．只有②④ C．只有①④ D．只有②③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，熟练掌握条形统计图、扇形统计图信息的互补性，用样本估计总体，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 根据扇形统计图和条形统计图提供的信息对每一项分别进行计算即可求出正确的结论． 【详解】解：该社区中等收入的家庭数是：， C区抽查的中等收入家庭数是：， A区抽查的家庭数是：（户）， 中等收入家庭的比率是：， B区抽查的家庭数是：（户）， 中等收入家庭的比率是：， C区抽查的家庭数是：（户）， 中等收入家庭的比率是：， D区抽查的家庭数是：（户）， 中等收入家庭的比率是：， C区中等收入家庭的比率最高， ∴①错误； B区中等收入家庭的比率低于， ∴②正确； C区中等收入家庭约户， ∴③正确； D区实际家庭数为户， ∴④正确． 故选：D． 2．（25-26九年级下·宁夏银川·月考）如图是某班去年月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（　　）． A．每月阅读数量的平均数是 B．每月阅读数量的中位数是 C．每月阅读数量的众数是 D．每月阅读数量的方差是 【答案】C 【详解】解：由统计图可知，这个月的课外阅读数量从小到大排列为： ，，，，，，，， 平均数为， ∴A错误； 这组数第个数是，第个数也是， ∴中位数为，故B错误； 出现次，出现的次数最多， ∴众数为，故C正确； 方差为 ， ∴D错误． 3．“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（    ） A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B．2023年低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D．2026年低空经济市场规模将突破万亿元 【答案】B 【分析】本题考查了条形统计图与折线统计图，根据统计图逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、2021至2026年低空经济市场规模逐年上升，说法正确，不符合题意； B、2022年低空经济市场规模增量（亿元）， 2023年低空经济市场规模增量（亿元）， 2024年低空经济市场规模增量（亿元）， 2025年低空经济市场规模增量（亿元）， 所以2025年低空经济市场规模增量最多，选项说法错误，符合题意； C、从2024年开始低空经济市场规模增长率变小，说法正确，不符合题意； D、2026年低空经济市场规模约亿元，将突破万亿元，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【题型4 频数与频率】 1．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）八年级某班有男生人，女生占全班人数的，则男生出现的频率和女生出现的频数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1． 首先根据各小组频率之和等于1求出男生出现的频率．再根据频率、频数的关系先求出全班人数，再求出女生出现的频数． 【详解】解：男生出现的频率， 全班人数，女 生出现的频数． 故选：D． 2．某班50名学生的身高被分为5组，第组的频数分别为7、12、13、8，则第5组的频率是___________． 【答案】0.2 【分析】此题主要考查了频数与频率，先结合已知求出第5组的频数，然后直接利用频率的定义求出频率即可． 【详解】解：∵某班50名学生的身高被分为5组，第组的频数分别为7、12、13、8， ∴第5组的频数是：， 故第5组的频率是：． 故答案为：0.2． 3．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）在一个不透明的袋子中，装有11个白球和若干个红球，它们除颜色外完全相同，若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色玻璃球的频率稳定在，则袋子中有________个红球． 【答案】9 【分析】本题考查了已知频率求频数． 设布袋中红球有x个，根据频率公式即可列出方程，解方程即可求得． 【详解】解：设布袋中红球有x个， 根据题意得：， 解得， 经检验：是原方程的解， 故布袋中红球有9个， 故答案为：9． 【题型5 频数分布表】 1．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表： 通话时间 频数（通话次数） 14 16 8 10 2 则通话时间不超过的频率是（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】本题考查了频数分布表，求频率，解题的关键是了解“频率频数总数”． 用不超过的通话次数除以所有的通话次数即可求得通话时间不超过的频率． 【详解】解：不超过10分钟的通话次数为（次）， 通话总次数为（次）， 通话时间不超过的频率为：． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了如下频数分布表： 通话时间 频数（通话次数） 20 16 9 5 则通话时间不超过15min的通话次数占5月份总通话次数的百分比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查频数分布表，用不超过15min的通话次数除以总的通话次数进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 3．（25-26九年级上·河北邢台·月考）为了解某果园中苹果树的产量情况，果农随机抽取了20棵苹果树，统计其苹果产量，得到如下频数分布表． 产量（千克） 频数（苹果树数量） 3 7 5 2 1 抽取的这20棵苹果树的平均产量为______千克． 【答案】57.5 【分析】本题主要考查了求加权平均数， 先求出频数b，再根据平均数的公式计算即可. 【详解】解：由， ∴抽取的这20棵苹果树的平均产量为（千克）. 故答案为：57.5. 【题型6 频数分布直方图】 1．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是某班40名学生一分钟跳绳测试成绩（次数为整数）的频数直方图，从左起四个小长方形的高的比依次为，那么该班一分钟跳绳次数在100次以上（不包含100次）的学生有______人． 【答案】20 【分析】根据频数分布直方图得出一分钟跳绳次数在100次以上的即第三、四组所占比例，然后用：100次以上的学生数总人数比例，计算即可． 【详解】解：从左起第一、二、三、四个小长方形的高的比为，即各组频率之比为； 一分钟跳绳次数在100次以上的即第三、四组，所占比例为， 故该班一分钟跳绳次数在100次以上（不包含100次）的学生有(人)． 2．（25-26八年级上·广东河源·期末）2025年，广州某区为加强学生安全意识，特在某班级举行交通安全知识竞赛，其竞赛成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（   ） A．该班的总人数为 B．得分在分之间的人数最多 C．得分在分之间的人数占总人数的 D．及格(不低于分)的人数为 【答案】D 【分析】本题考查了频数分布直方图的相关知识，关键是从直方图中读取各分数段的人数，再结合选项进行判断． 【详解】解：由频数分布直方图可知，各分数段的人数分别为：分有4人，分有人，分有人，分有8人，分有2人． 总人数为人，故A选项正确； 得分在分之间的人数为人，是各分数段中人数最多的，故B选项正确； 得分在分之间的人数为2人，占总人数的比例为，故C选项正确； 及格(不低于分)的人数为人，不是人，故D选项错误． 故选：D． 3．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）小远同学统计了某校部分学生每天阅读书籍的时间，并绘制了统计图（如图）．下面有四个推断： 小远此次一共调查了名学生； 每天阅读书籍的时间在分钟的人数多于分钟的人数； 每天阅读书籍的时间超过分钟的人数超过调查总人数的一半； 每天阅读书籍的时间在分钟的人数最多． 根据图中信息，上述说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查频数分布直方图，根据频数分布直方图中的数据，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】解：由直方图可得，小远此次一共调查了学生：（名），故正确； 每天阅读书籍的时间在分钟的人数60人多于分钟的人数20人，故正确； 每天阅读书籍的时间超过分钟的人数为（名），没有超过调查总人数的一半，故错误； 每天阅读书籍的时间在分钟的人数最多，故错误； 综上可得：正确， 故选：． 【题型7 随机事件】 1．（25-26九年级上·天津河东·期末）下列说法，正确的是（    ） A．“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件 B．概率很大的事件一定会发生 C．掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖 【答案】C 【分析】本题考查了事件的概率，事件的分类，理解概率、事件分类的概念是解题的关键．根据概率、事件分类的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，故“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是必然事件，不是随机事件，故选项说法错误，不符合题意； B、概率很大的事件不一定发生，故选项说法错误，不符合题意； C、掷两枚均匀的硬币一次，每枚硬币有正反两种可能，且相互独立，故共有种等可能结果：正正、正反、反正、反反，故选项说法正确，符合题意； D、中奖概率为表示每次抽奖中奖的可能性是，但抽奖次不一定恰好中奖次，可能中奖次或多次，故选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级下·湖南常德·月考）“拔苗助长”是一个______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） 【答案】不可能 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“拔苗助长”是一个不可能事件， 故答案为：不可能． 3．（24-25七年级下·山西太原·期中）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．检测一把圆珠笔芯的质量，从中随机抽出的一支不合格 B．将一滴花生油滴入水中，油浮在水面上 C．小明投篮训练中，投出一球投中篮框 D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为1 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件、必然事件，正确掌握相关定义是解题的关键． 直接利用在一定条件下，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，分别分析得出答案． 【详解】A．检测一把圆珠笔芯的质量，随机抽出一支，有可能合格，也有可能不合格 ，结果具有不确定性，属于随机事件，不是必然事件，故本选项不符合题意； B．由于花生油的密度比水小，根据物理原理，将一滴花生油滴入水中，油必然会浮在水面上，这是一定会发生的，属于必然事件，故本选项符合题意； C．小明投篮训练中，投出一球是否投中篮框受到多种因素影响，比如投篮的力度、角度、当时的状态等，投中与否是不确定的，属于随机事件，故本选项不符合题意； D．掷一枚质地均匀的骰子，骰子有1、2、3、4、5、6、这6种点数情况，掷出的点数为1只是其中一种可能，具有随机性，属于随机事件． 故选：B． 【题型8 概率的意义】 1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 【答案】C 【分析】根据事件的类型及概率的意义找到正确选项即可． 【详解】A选项：不一定，属随机事件，不符合题意； B选项：不一定，摸出白球的概率为 ，不符合题意； C选项：朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等，均为，符合题意； D选项：不一定，属随机事件，不符合题意． 2．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（    ） A．4个 B．5个 C．不足4个 D．6个或6个以上 【答案】D 【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案． 【详解】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大， ∴红球的个数比白球个数多， ∴红球个数满足6个或6个以上， 故选D． 【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可． 3．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（   ） A．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次 B．连续抛掷10次不可能都正面朝上 C．抛掷硬币确定谁先发球的规则是公平的 D．连续抛掷2次必有1次正面朝上 【答案】C 【分析】根据概率的意义逐一判断即可得． 【详解】A. 大量反复抛掷每100次出现正面朝上接近50次，此选项错误； B. 连续抛掷10次可能都正面朝上，但可能性较小，此选项错误； C. 通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的，此选项正确； D. 连续抛掷2次可能有1次正面朝上，此选项错误. 故选C 【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． 【题型9 频率估计概率】 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 【详解】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（    ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率，先计算已知数据中“针与直线相交”的频率，观察频率的稳定值，再用该稳定值乘以投掷次数，估算频数． 【详解】解：计算各组“针与直线相交”的频率： 频率稳定在0.314附近， 当投掷次数为时，频数， 最接近选项中的． 故选B． 3．（25-26九年级上·福建福州·月考）在一个不透明的袋子里，装有枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色外都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色球的频率稳定在，由此估计袋子里黑色球的个数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用及根据频率求概率，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解． 由摸到白色球的频率稳定在，得到摸到白色球的概率为，再利用概率公式列方程求解即可得答案． 【详解】解：设袋子里黑色球有个，则总球数为个， ∵摸到白色球的频率稳定在， ∴摸到白色球的概率为， ∴， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ∴袋子里黑色球的个数为． 故答案为： 【题型10 四边形的判定】 1．如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用平行四边形的判定逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意；     B． ，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意；     C． ，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意；     D． ，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，∴A错误． ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，∴B错误． ∵一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，∴C错误． ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴D正确． 3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键． 根据对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，逐项判断是否能使得对角线垂直或邻边相等即可． 【详解】解：A：由等角对等边，可知邻边相等，可以说明是菱形； B：，故由图中数据可知对角线垂直，可以说明是菱形； C：根据图中数据，只能说明对边平行，不能说明是菱形； D：通过平行四边形的性质，可以推出所给角的内错角也为，即由对角线分成的两个三角形为等边三角形，故邻边相等，可以说明是菱形， 故选：C． 4．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是______．（填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记平行四边形的判定与性质、矩形的判定是解决问题的关键．先由平行四边形性质，结合题意得到，，进而判定四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个内角是的平行四边形是矩形；分别考虑添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则，， ， ， 在四边形中，，，则四边形是平行四边形， ①当时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或者，均可使四边形是矩形； ②当或或或时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或或或，均可使四边形是矩形； 故答案为：（答案不唯一）． 【题型11 四边形的性质运用】 1．如图，在中，若，则_____°． 【答案】 【详解】解：根据平行四边形对角相等可得 2．如图，矩形的对角线与相交于点，若，则_____． 【答案】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点，， ∴ 3．（24-25八年级下·广西北海·期中）已知菱形的两对角线长分别为和，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【详解】∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知该菱形两对角线长分别为和， ∴菱形的面积． 4．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，已知，，则正方形的边长为(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据正方形的性质以及已知条件，根据等角的余角相等，得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型12 梯形】 1．下列说法正确的个数有（　　） ①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定 ②两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形 ③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形 ④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连接两底中点的直线 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据梯形中位线的性质，等腰梯形的判定，梯形的分类，等腰梯形的性质逐个判断，即可得出进行解答． 【详解】解：①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定，故符合题意； ②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形，故不符合题意； ③直角梯形和等腰梯形梯形是梯形的特殊形式，故不符合题意； ④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连结两底中点的直线，故符合题意； 综上：正确的有2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了梯形中位线的性质，等腰梯形的判定，梯形的分类，等腰梯形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点并熟练运用． 2．（24-25八年级下·上海闵行·月考）在梯形中，，，，，，则______． 【答案】9或3 【分析】本题考查的是梯形的性质、勾股定理，正确作出辅助线、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．过点作于，根据勾股定理求出，分两种情况计算即可． 【详解】解：如图，在梯形中，过点作于， 则四边形为矩形， ，，， 由勾股定理得：， ， 在梯形中，， 则的长为9或3， 故答案为：9或3． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，结合等角对等边，进而求解即可． 【详解】解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，，，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确； 则正确的是①②④． 【题型13 因式分解的定义】 1．（24-25七年级下·山东聊城·月考）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A．右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意， B．左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意， C．左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故该选项符合题意， D．右边的不是整式，因此右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意． 2．根据下边图形写一个关于因式分解的等式________．    【答案】 【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式． 【详解】解：图形的面积， 又图形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键． 3．观察下列从左到右的变形： （1）； （2）； （3）； （4）； 其中是因式分解的有______（填序号）． 【答案】（3） 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式（或因式分解） （1）不是因式分解，不符合题意； （2）不是因式分解，不符合题意； （3）是因式分解，符合题意； （4）是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：（3）. 【点睛】本题考查了整式的因式分解，正确理解整式的因式分解是解本题的关键． 【题型14 公因式的概念】 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的公因式是___________． 【答案】3xy/ 【分析】本题考查了公因式，解题关键是能利用公因式的概念确定公因式．本题可以找出多项式各项系数的最大公约数和字母部分的最低次幂，取它们的积即可求解． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为9、3、，其最大公约数为3； 各项均含有和，且的最低指数为1，的最低指数为1， 因此公因式为， 故答案为： 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解和公因式的概念，平方差和完全平方公式．先对每个多项式进行因式分解，即可找出公有的因式． 【详解】解：∵，， ∴ 公因式为． 故选：B 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查多项式的公因式判断，通过因式分解检查各组是否有公因式即可． 【详解】解：A：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； B：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； C：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； D：∵，，且与无公因式， ∴没有公因式，故此选项符合题意． 故选：D． 【能力层级提升】 【题型15 统计图表的综合】 1．（25-26六年级上·山东威海·期末）学校要举办一项球类比赛，针对学生意愿（喜欢举办哪类比赛，且只能从中选择一种）随机调查了部分学生，并将调查的结果绘制成如下不完整的统计图： 根据图中所给出的信息解答下列问题： (1)求调查了多少人； (2)a的值为 ；（直接写结果） (3)若这所学校共有1000人，估算喜欢举办足球比赛的学生约有多少人． 【答案】(1)人； (2)； (3)人 【分析】（1）利用喜欢篮球的人数及其占调查总人数的百分比，通过除法运算求出调查的总人数； （2）用调查总人数减去喜欢篮球、排球的人数得到喜欢排球的人数，再用排球人数除以总人数并转化为百分数，进而确定的值； （3）单位1减去篮球、排球的占比得到喜欢足球的人数占调查总人数的百分比，再用学校的总人数乘该百分比，借助样本估计总体的方法估算出学校喜欢举办足球比赛的学生人数． 【详解】（1）解：喜欢篮球的有人，占调查总人数的， 所以调查的总人数为(人)； （2）解：喜欢排球的有(人)， 所以， ； （3）解：， 喜欢足球的比例为，学校共有人， 估算喜欢举办足球比赛的学生约有(人)． 2．（25-26七年级上·全国·期末）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查其中：A表示每次都戴；B表示经常戴；C表示偶尔戴；D表示不戴，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表 类别 人数 A 68 B C 510 D 177 合计 1000 (1)在“活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表”中，B类别对应人数a不小心被污损，请计算a的值． (2)①为了更直观的反映A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是_______选填“扇形统计图”“条形统计图”或“折线统计图”②宣传活动前，抽取的市民中哪一类别的人数占比最大？若要绘制扇形统计图，求其所在扇形圆心角的度数． (3)小明认为，宣传活动后骑电瓶车不戴安全帽的人数为178，比活动前还增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法． 【答案】(1)245 (2)①扇形统计图；② (3)小明分析数据的方法不合理，交警部门开展的宣传活动有效果，见解析 【分析】本题考查了用样本估计总体，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （1）用总人数减去其它三类人数可得a的值； （2）①根据“扇形统计图”“条形统计图”或“折线统计图”的特征解答即可； ②由统计表可知宣传活动前，在抽取的市民中C类“偶尔戴”的人数占比最大，进而可求出其所在扇形圆心角的度数； （3）先求出宣传活动后骑电瓶车都不戴安全帽的百分比，再求出活动前全市骑电瓶车都不戴安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果． 【详解】（1）解：； （2）①扇形统计图 ②解：宣传活动前，在抽取的市民中C类“偶尔戴”的人数占比最大； 绘制扇形统计图时，其所在扇形圆心角的度数为； （3）解：小明分析数据的方法不合理．理由如下： 宣传活动后骑电瓶车不戴安全帽的百分比： ， 宣传活动前骑电瓶车不戴安全帽的百分比：， ， 因此交警部门开展的宣传活动有效果． 3．（25-26六年级上·山东东营·期末）某中学开展“人工智能机器人知识”网上答题竞赛，对收集到的数据进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） 根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查____________名学生，____________，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为____________度； (3)小明查阅到某数据中心给出的年中国跨境电商出口规模及预测图，与前一年相比，哪一年增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条． 【答案】(1)，，统计图见解析 (2) (3)2020年的同比增长率最高；从图中还能发现，年中国跨境电商出口规模逐步增长．（合理即可） 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图及用频数分布表．解题的关键是读懂统计图，能从条形统计图，扇形统计图中得到准确的信息． （1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用乘以D等级人数所占的百分比得出等级D所对应的扇形的圆心角度数；用总人数减去其他等级的人数，求出C等级的人数，从而补全统计图； （3）根据年中国跨境电商出口规模及预测图解答即可． 【详解】（1）解：本次共调查名学生， 故答案为：，． （2）解：扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为， 故答案为：； （3）从年中国跨境电商出口规模及预测图中发现，年的同比增长率最高；从图中还能发现，年中国跨境电商出口规模逐步增长． 【题型16 频数分布表和频数分布直方图的综合】 1．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）为了弘扬航天精神，某市一中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理（满分为100分，将抽取的成绩在分之间的记为A组，分之间的记为B组，分之间的记为C组，分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分），得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图： (1)请求出学校抽取的七年级同学的人数； (2)补全频数分布直方图；扇形统计图中圆心角______； (3)学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校七年级共有440名学生，请估计七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 【答案】(1)40 (2)补图见解析，72 (3)约为人 【分析】（1）根据B组人数与所占百分比求解； （2）先求出D组人数，再补全频数分布直方图；乘以D组所占的比例即可求出； （3）440乘以D组所占的比例即可． 【详解】（1）解：由B组人数12与所占百分比可得，样本容量为：， 答：学校抽取的七年级同学的人数40人； （2）解：D的频数为：， 补全频数分布直方图如下： ∴； （3）解：由题意可得，（人）， 答：七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数约为人． 2．2021年世界园艺博览会已于2021年4月8日在仪征枣林湾开幕，吸引了大批游客参观游览．已知开园前三天平均每天入园人数大约是8万人，小丽等5名同学组成的学习小组，随机调查了开园前三天入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 参观时间的频数分布表如下： 时间t（时） 频数（人数） 频率 合计 参观时间的频数分布直方图如图： 根据以图表提供的信息，解答下列问题： (1)表中 ， ， ； (2)请补全频数分布直方图； (3)请你估算开园前三天平均每天参观时间小于4小时的游客约有多少万人？ 【答案】(1)；，； (2)图见解析 (3) 【分析】（1）从表格中获取信息：当频数为人时，频率为，即可利用总数频数频率求出总数，再利用总数频率求解即可； （2）由（1）中求出的值作图即可； （3）利用总体小于4的频率运算求解即可． 【详解】（1）解：由表可得：当频数为人时，频率为， ∴总人数， ∴，，； （2）解：由（1）得， ∴如图所示即为所求： （3）解：开园前三天每天参观时间小于4的频率， ∴， 答：开园前三天平均每天参观时间小于4小时的游客约有万人． 3．（25-26七年级上·山西太原·期末）世界阅读日又称世界图书与版权日，日期为每年4月23日．某校为了解全校学生课外阅读时长情况，组织全校同学进行了课外阅读时长调查． 【收集数据】小丽从七年级课外阅读时长调查结果中随机抽取了40名同学的每周课外阅读时长（单位：小时），情况如下： 2.1  3.2  1.5  4.3  2.8  3.0  2.1  3.2  4.1  2.5 3.2  3.8  2.5  1.8  4.5  3.5  2.8  3.2  4.3  1.5 2.8  3.5  4.1  2.1  5.7  5.5  4.5  1.3  1.4  2.7 3.1  3.2  1.0  2.4  2.9  1.2  2.8  1.6  3.3  4.7 【整理数据】小丽将这组数据以1为组距，分成5组（每组包含最小值，不包含最大值），整理成如下的表格： 阅读时长/小时 1.0～2.0 2.0～3.0 3.0～4.0 4.0～5.0 5.0～6.0 人数（频数） 8 12 _____ _____ 2 小丽根据表格绘制了如图1所示的频数直方图． 请根据以上信息，解决下列问题： (1)本次调查中获取的数据是_____数据（选填“定性”或“定量”）； (2)请将表格及频数直方图补充完整； (3)小丽进一步随机调查了若干名八年级同学课外阅读时长的情况，并将数据整理成如图2所示的扇形统计图，请根据上述统计图表，写出七、八年级学生课外阅读时长情况的一个相同点． 【答案】(1)定量 (2)11；7；图见解析 (3)七、八年级学生课外阅读时长在2～3小时的学生人数最多（答案不唯一） 【分析】（1）根据用数值来表示的数量数据是定量数据，不用数值表示的数据是定性数据，进行判定即可； （2）根据收集的数据，结合“每组包含最小值，不包含最大值”，完成频数统计表，再根据频数分布表绘制频数分布直方图； （3）通过各组所占的百分比的大小进行解答即可． 【详解】（1）解：本次调查中获取的数据是定量数据． （2）解：由题意可得，阅读时长在3.0～4.0范围的有11人，阅读时长在4.0～5.0范围的有7人，补全的统计表格如下： 阅读时长/小时 1.0～2.0 2.0～3.0 3.0～4.0 4.0～5.0 5.0～6.0 人数（频数） 8 12 11 7 2 补全频数直方图如下： （3）解：根据上述统计表可知，七、八年级学生课外阅读时长在2～3小时的学生人数最多（答案不唯一）． 【题型17 简单概率的计算】 1．随机从2男1女三位学生中抽取两人，被抽中的两人性别不同的概率是_______． 【答案】 【分析】先列出抽取两人的所有等可能结果，再找出两人性别不同的结果数，根据概率公式计算即可. 【详解】解：记两名男生分别为男1，男2，女生为女， 随机抽取两人，所有等可能的结果为： ，，，共种， 其中被抽中两人性别不同的结果有种， 根据概率公式， 得． 2．在名男生和名女生的班级，随机抽签确定一名学生代表，则_____做代表的可能性较大（填写“男生”或“女生”）． 【答案】男生 【分析】依题意，分别求出男生作代表和女生做代表的概率，比较之即可求得答案． 【详解】选男生做代表的概率为：， 选女生作代表的概率为：， ． 男生做代表的可能性较大． 故答案为：男生． 【点睛】本题考查了概率的应用，掌握概率的简单计算是解题的关键． 3．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 【答案】(1) (2)十位 【分析】（1）根据转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，可知小颖下一次转出的数大于的概率为； （2）根据转盘上小于的数字有个，所以小颖下一次转出的数字小于的概率为，所以小颖下一次转出的数字小于的概率大，因为在十位上应该填入一个较大的数，所以数字应该放在十位上． 【详解】（1）解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个， 她下一次转出的数字大于的概率为； （2）解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为， 转盘上小于的数字有个， 小颖下一次转出的数字小于的概率为， ， 小颖下一次转出的数字小于的概率大， 在十位上应该填入一个较大的数， 数字应该放在十位上． 【题型18 证明四边形】 1．（25-26九年级下·江苏宿迁·月考）如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)四边形 是平行四边形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由线段的和与差得，然后通过“”即可证明； （）由全等三角形性质可得，所以，然后通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（）得， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形． 2．在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接． (1)求证： (2)若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【分析】由证明三角形全等，由和是边的中点得到和是等腰三角形，再根据三角形内角和定理得出，再证明四边形是平行四边形，可得出结论； 【详解】（1）证明：， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 和是边的中点， ， 和是等腰三角形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形． 【点睛】求解图形证明题一定要合理应用题目中包含的隐藏条件，比如对顶角相等，往往会成为解题的突破口． 3．如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； (3)当_____时，四边形是正方形（只写结论，不需证明）． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形是菱形，说明见解析； (3)当时，四边形是正方形． 【分析】（1）根据矩形的性质，可得，，根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）根据三角形中位线的性质，则，；，，根据菱形的判定，即可； （3）当时，四边形是正方形，根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论． 【详解】（1）解：证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． （2）解：四边形是菱形，证明如下： ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）解：当时，四边形是正方形，证明如下： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 由（2）可得，四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【题型19 中位线性质应用】 1．如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可． 【详解】解： E，F分别是，的中点，， ， ，， ， ． 2．如图，中，，，，D，E分别是和上的点，且，，连接，．G、H分别是和的中点，连接，则线段的长为______． 【答案】 【分析】作的中点F，连接、，利用中位线可求得、的长度，并且可证得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作的中点，连接、， 点是的中点， ，且， ， 同理：，且， ， ， ． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线，与三角形的中位线有关的计算： （1）延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，从而可得结论； （2）根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型20 运动形成四边形】 1．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，动点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，当点F运动到点C时，两个点均停止运动．当运动时间_____时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】考查了平行四边形的判定，根据题意得：，，则，当时，四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：根据题意得：，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 故答案为：3． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为，当为______时，四边形是菱形． 【答案】6 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，能根据题意得出当时，四边形为菱形是解此题的关键．根据矩形的性质得出，，，先证明四边形为平行四边形，得出当时，四边形为菱形，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ∵点、的速度都是， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， 即当为时，四边形是菱形． 故答案为：6． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，，，，，点P从A点出发，以的速度向D点运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B点运动，规定一个动点到达端点时，另一个动点也停止，运动时间为t． (1)当运动t秒时，线段______，______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，四边形是矩形； (3)在（2）的条件下，若四边形是正方形，请直接写出的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，列代数式，熟知正方形和矩形的性质是解题的关键． （1）根据路程等于时间乘以速度可得，进而可得的长； （2）根据矩形对边相等得到，则，解方程即可得到答案； （3）根据正方形邻边相等得到，再根据（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵矩形是正方形， ∴． 【题型21 四边形角度计算】 1．如图，在四边形中，，，，则度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理逆定理，证明四边形是平行四边形，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 故答案为：． 2．如图，菱形中，，相交于，于，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】由题意根据菱形的性质得出∠DAO=∠BAD=20°，AC⊥BD，DO=BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根据垂直的定义求出∠ADE=90°，∠DEB=90°，求出∠ADO，∠ODE的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OD=OE，求出∠ODE=∠OED即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=40°， ∴∠DAO=∠BAD=20°，AC⊥BD，DO=BO，AD∥BC， ∴∠DOA=90°， ∴∠ADO=90°-∠DAO=70°， ∵AD∥BC，DE⊥BC， ∴DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∴∠ODE=∠AD∠E-∠ADO=20°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=90°， ∵DO=BO， ∴OE=BD=OD， ∴∠OED=∠ODE=20°， 故答案为：20°． 【点睛】本题考查菱形的性质和平行线的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解答此题的关键． 3．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD=，则∠APB的度数为_______．    【答案】105° 【分析】过点P作PH⊥AB于H，由全等可知∠BAP=∠DAP=45°，从而得到∠APH=45°，然后通过AP可求出HP的长，从而得到∠BPH，即可得到∠APB的度数． 【详解】解：过点P作PH⊥AB于H，    ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， 在△APB和△APD中 ∴△APB≌△APD， ∴∠BAP=∠DAP， 由∠BAD=90°，可知∠BAP=∠DAP=45°， ∴∠APH=90°-45°=45°， ∴PH=AH, ∵PA=1， 在中，由勾股定理可得：， ∵PB=， ∴∠PBA=30°， ∴∠BPH=90°-30°=60°， ∴∠APB=∠APH+∠BPH=45°+60°=105° 故答案为：105° 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 【题型22 四边形边长计算】 1．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图， 在中， 于点E， 延长至点F， 使， 连接、、． (1)求证： 四边形是矩形； (2)若， ， ， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质得，，再根据得，由此可判定四边形为平行四边形，然后再根据可得出结论； （2）根据矩形性质得，再根据勾股定理的逆定理证明，然后根据三角形的面积公式即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， 即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）∵四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， 即， 由三角形的面积公式得：， ∴． 【点睛】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，利用平行四边形的性质证明，利用平行四边形性质和判定证明，证明四边形是矩形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质，平行四边形的性质． 3．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键． 【题型23 判断能否用公式法分解因式】 1．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确能用平方差公式分解因式的条件：多项式为两项，两项符号相反，且每一项都可化为平方的形式，再逐一判断即可得出符合条件的个数． 【详解】解：①，两项同号，不符合，不能分解； ②，符合条件，能分解； ③，符合条件，能分解； ④不是多项式，无法进行因式分解； ⑤，符合条件，能分解； 综上符合条件的共有3个． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式分解因式的应用，需依据完全平方公式的结构特征（）逐一分析选项． 【详解】解：完全平方公式的结构为 A、，缺少中间的项，不符合完全平方公式结构，不能用其分解因式； B、，中间项应为，而非，不符合结构，不能用其分解因式； C、，符合平方差公式结构，可用平方差公式分解，而非完全平方公式； D、，符合完全平方公式结构，能用其分解因式； ∴故选D 3．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 【题型24 利用因式分解求参数】 1．（25-26八年级上·山东·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知多项式可分解因式为，则为_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 计算，进而根据“多项式可分解因式为”即可得出的值． 【详解】解：， ∵多项式可分解因式为， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若多项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】13 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求参数，代数式求值，将因式分解的结果展开，与原多项式比较系数，求出a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， 根据题意得， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13． 【运算素养强化】 【题型25 提公因式分解因式】 1．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）运用提公因式法进行因式分解，即可作答； （2）先运用提公因式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 3．因式分解． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式，即可因式分解； （2）将化为，再提公因式，即可因式分解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【题型26 运用公式法分解因式】 1．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先将看作整体根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先将多项式变形为，再利用完全平方公式分解因式，然后利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25八年级上·山西太原·月考）计算与因式分解 (1)计算： (2)因式分解：； 【答案】(1)9991 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，平方差公式，熟知乘法公式是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型27 提公因式与公式法综合运用分解因式】 1．（24-25七年级下·山东聊城·月考）把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）把看作一个整体，直接利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）直接利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ． （3）解： ， ． （4）解： ， ， ， ． 2．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再对剩余部分利用完全平方公式进行因式分解． （2）先将变形为，提取公因式，再对剩余部分利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级下·山东青岛·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型28 与平行四边形有关的面积计算】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，点E是边的中点，点F是边的中点．若的面积是3，则的面积是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握面积比与底之比的转化是解题的关键． 连接，由点E是边的中点，点F是边的中点，则，那么由得，再由求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴与等底共高， ∴， ∵四边形是平行四边形，点F是边的中点 ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 2．中，在上，且，连接交于，则、、、的面积比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，不等底但等高三角形面积的关系等知识．熟练掌握平行四边形的性质，不等底但等高三角形面积的关系是解题的关键． 设，，，，如图，则，，得，，则，，由，可得，由，，可得，即，，可求，则，，然后求面积比即可． 【详解】解：设，，，， 如图， ∵， ∴，， 得，， ∴，， 由题意知，，即， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，整理得，， 解得，，（舍去）， ∴，， ∴、、、的面积比为， 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是______． 【答案】16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的计算，根据平行四边形的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：16． 【题型29 利用特殊四边形的判定与性质求线段长度】 1．如图，在菱形中，，，E，F分别是边和上的点，于点F，则线段的长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定以及勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键．过点E作交于点G，先运用菱形的性质求出，结合直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半，求出的长度，最后在中，运用勾股定理求出线段的长度． 【详解】解：过点E作交于点G， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， 即． 2．（25-26九年级上·江西萍乡·月考）如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．由 ， ，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴，即， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 【题型30 特殊四边形的面积计算】 1．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．根据，，可得四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线平分，可得，由此可推出，再结合菱形的判定可知平行四边形即为菱形，进而判断①说法错误； 根据菱形的性质，可得、上一些对应条件，则可得出两三角形是否全等，判断②说法正确； 根据只有当为中点，为中点时，比较四边形的面积与的面积的关系，进而得到③说法错误； 根据菱形性质可得，，据此判断④说法正确，从而完成解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 同理可得四边形是菱形， 即有3个菱形，菱形、菱形、菱形， ①说法错误； 四边形是菱形， ， 在和中，， ， ②说法正确； 只有当为中点，为中点时，四边形的面积等于的面积的一半， ③说法错误； 易证四边形、四边形是菱形，四边形、四边形是平行四边形， ， ， 同理， 四边形的周长=四边形的周长， ④说法正确； 故答案为：②④． 2．将两张全等的等腰直角三角形纸片与和一张正方形纸片按照如图所示的方式拼成一个平行四边形，同时形成了剩余部分（即，，，），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（    ） A．的面积 B．的面积 C．平行四边形的面积 D．剩余部分的面积之和与正方形面积和 【答案】A 【分析】连接，根据等边对等角，正方形的性质，得到，进而得到，推出，得到，设阴影部分的面积为，即可求出的面积，延长交于点，则四边形为矩形，进而可求出平行四边形的面积，用平行四边形的面积减去阴影部分的面积即可求出剩余部分的面积之和与正方形面积和，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵与是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设阴影部分的面积为， 则：， ∵平行四边形， ∴， ∴和全等， ∴， ∴， 故的面积可求； ∴， 延长交于点，则四边形为矩形， ∴， ∴， 故平行四边形的面积可求； ∴剩余部分的面积之和与正方形面积和等于，可求； 故只有的面积无法求出； 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是添加辅助线构造平行线和特殊图形． 3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 【几何直观实操】 【题型31 绘制统计图】 1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）省教育厅推出的“学习园地”平台已成为学生们的有效学习方式．某校为了解学生对“学习园地”平台使用的熟练程度，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图（表示“非常熟练”，表示：“比较熟练”，表示“基本熟练”，表示“不太熟练或不熟练”）．请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次问卷调查中，一共调查了_____名学生，请将上面的条形统计图补充完整； (2)求所对圆心角的度数是多少？ (3)学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有1500名学生，求该校需要培训的学生人数大约是多少？ 【答案】(1)；图形见解析 (2) (3)该校需要培训的学生人数大约是人 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，准确从统计图中获取信息是解题的关键． （1）根据部分除以占比算出总数，求出等级人数，补全统计图即可； （2）根据所对百分比求出圆心角度数即可； （3）利用样本估计整体进行计算即可． 【详解】（1）解：名学生， 等级人数：人， 补全统计图如下： （2）解：； （3）解：人， 答：该校需要培训的学生人数大约是人． 2．某中学学生会为考察该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次考察中一共调查了多少名学生？ (2)补全条形统计图； (3)若全校有1800名学生，试估计该校喜欢篮球的学生约有多少人． 【答案】(1)人 (2)见解析 (3)人 【分析】（1）由喜欢其他运动的人数除以占比即可求解总人数； （2）先求出喜欢足球的人数，即可补全条形统计图； （3）用总人数乘以占比即可求解． 【详解】（1）解：（人） 答：在这次考察中一共调查了60名学生； （2）解：， 补全条形统计图为： （3）解：（人）， 答：该校喜欢篮球的学生约有人． 3．（25-26七年级上·全国·期末）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍．现想了解学生的选择意向，随机抽取七年级A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查，将调查得到的数据进行整理，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)求扇形统计图中交通监督所占的百分比； (2)求D班选择环境保护志愿者队伍的学生人数，并补全折线统计图； (3)若该校共有学生2000人，请你估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍的人数． 【答案】(1) (2)15人，图见解析 (3)估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍的人数为760人 【分析】本题考查折线统计图、扇形统计图及用样本估计总体的综合应用，灵活运用各统计图数据间的关系及用样本估计总体的方法求解是解题关键． （1）由折线统计图可以算出4个班交通监督的总人数，除以调查总人数再乘以100%即可得到答案； （2）由已知条件可以算出4个班选择环境保护的总人数，减去前面3个班选择环境保护的总人数，即可得到4班选择环境保护的人数，然后可以补全折线统计图； （3）用1减去“环境保护”、“交通监督”及“都不选择”三项的总比例，再乘以学校总人数即可． 【详解】（1）解：． 所以扇形统计图中交通监督所占的百分比为． （2）解：（人），（人）． 所以D班选择环境保护志愿者队伍的学生人数为15人． 补全折线统计图如图： 各班级选择环境保护和交通监督志愿者队伍的学生人数折线统计图 （3）解：（人） 答：估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍人数为人． 【题型32 绘制频数分布直方图】 1．（24-25七年级下·吉林松原·期末）为了庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办了名为“弘扬航天精神，共绘航天梦想”的知识竞赛，并从全校1200名学生中随机抽取了部分学生的成绩，绘制成尚未完成的频数分布表和频数分布直方图． 分组 频数 百分比 b 合计 c 根据图表信息，解答下列问题： (1)______；______；______． (2)补全频数分布直方图． (3)请估计该校成绩达到80分以上的人数． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)人 【分析】（1）由频数分布表可知，样本中竞赛成绩在的频数为，频率为，根据频率=频数÷总数可求出样本容量，即c的值，再根据频率=频数÷总数可求出a，b的值即可； （2）根据的频数，即可补全频数分布直方图； （3）求出样本中成绩达到80分以上（含80分）的人数所占的百分比，估计总体中成绩达到分以上（含80分）的人数所占的百分比，由频率=频数÷总数进行计算即可． 本题考查频数分布表，频数分布直方图以及样本估计总体，掌握频率=频数÷总数是正确解答的关键． 【详解】（1）解：（名）， 即， ， 即，，， （2）补全频数分布直方图如下： （3）解：（人）， 答：估计该校成绩达到分以上的人数为人． 2．网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，下面是根据调查结果绘制成的不完整的统计图表： 组别 学习时间 频数（人数） A 8 B 24 C 32 D E 4 请根据图表中的信息解答下列问题： (1)表中的______，扇形统计图中B组对应的圆心角为______°． (2)请补全频数分布直方图． 【答案】(1)12，108 (2)见详解 【分析】（1）根据组的频数和百分比求出总人数，再利用组的百分比求出的值，总人数组的百分比；圆心角 组占比； （2）由（1）中的值可得． 【详解】（1）解：被调查的总人数为， 则， ∵总人数为 80人， ∴扇形统计图中组对应的圆心角为， 故答案为：12，108； （2）解：如下图： 3．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）某校为了解本校3000名初中生对安全知识掌握情况，随机抽取了60名初中生进行安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析，绘制了如下不完整的频数统计表和频数分布直方图： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 6 第2组 10 第3组 a 第4组 b 第5组 12 请结合图表完成下列各题： (1)频数表中的_____，_____； (2)将频数分布直方图补充完整： (3)若测试成绩不低于90分定为“优秀”，你估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的大约有多少人？ 【答案】(1)18，14 (2)作图见详解 (3)600人 【分析】（1）结合频数分布直方图可得出的人数，再用总抽取人数减去各组的人数即可得到的人数； （2）由（1）知，，在频数分布直方图中对应的小组画出高度为18的直条即可； （3）先求得抽取的60名学生中“优秀”的人数为的小组频数占样本容量比例，即频率，再根据样本中“优秀”的比例来估计总体中“优秀”等级的估计人数． 【详解】（1）解：由频数分布直方图可知，的人数为18，即， 的人数为：（人），即， 故答案为：18，14． （2）解：由（1）知，， 如图所示，频数分布直方图为所求： （3）解：由题意知，测试成绩不低于90分的频率为：， ∴估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的人数为：（人）， 即估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的人数大约有600人． 【题型33 尺规作四边形】 1．（2026·重庆·一模）请按照题意，补全图形和证明过程． 如图，A是直线上一点，O是的中点，平分． (1)用尺规完成作图，作的角平分线，在的右侧，作．直线交于点B，交于点D，连接，． (2)求证：四边形是矩形． 证明：平分， ， 平分， ① ． ② ， （ ③ ）． ． ． 是的中点， ④ ． ． 四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)；；同位角相等，两直线平行； 【分析】（1）根据相关尺规作图方法解题即可； （2）根据矩形的判定定理解题即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：证明：平分， ， 平分， ， ∵， （同位角相等，两直线平行）， ∴， ． 是的中点， ， ． 四边形是矩形． 2．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在平行四边形中，于点E， (1)用尺规作的角平分线，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形为矩形． 证明：四边形是平行四边形， ，______． 平分， ______． ， ______． ， 且， 四边形为平行四边形． ， ______． 平行四边形为矩形（______）（填推理的依据） 【答案】(1)见解析 (2)，，，，有一个内角为直角的平行四边形为矩形 【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，再证明得到，所以，于是可判断四边形AFCE为平行四边形．然后利用得到，则根据矩形的判定方法得到结论． 本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、平行四边形的性质和矩形的判定． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：证明：四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ， 且， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形有一个内角为直角的平行四边形为矩形 故答案为：，，，，有一个内角为直角的平行四边形为矩形． 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 利用尺规在锐角三角形纸片上作菱形在数学兴趣课上，老师提出一个问题：利用尺规在锐角三角形纸片上作菱形，且点D，E，F分别在边上，同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组展示了他们的作法：如图1，以点A为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交边于点G，H；分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，在内部交于点L；连接并延长，交BC边于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交边于点M，N；以点D为圆心，长为半径画弧，交边于点P；以点P为圆心，长为半径画弧，交前弧于点Q；连接并延长，交边于点F；以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E；连接，．则四边形为菱形． 勤学小组进行了以下证明： 证明：根据尺规作图，得平分，，． ∴，． ∴． ∴． ∴．（依据1） ∴． ∴四边形是平行四边形．（依据2） 又∵， ∴四边形是菱形． 善思小组也展示了他们的作法：如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点R，S；分别以点R，S为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点T；连接并延长，交边于点D；分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点W，V；连接，分别交，于点E，O，F；连接．则四边形为菱形． 任务： (1)填出证明过程中的依据． 依据1：____________； 依据2：____________． (2)请根据善思小组的作法，求证：四边形是菱形． (3)如图3，请你在锐角三角形纸片ABC上用尺规再设计一种不同的方法作菱形AEDF．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】(1)等角对等边；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，角平分线，线段垂直平分线和作与已知角相等的角以及平行线的尺规作图，等角对等边等等： （1）根据所给推论过程和作图方法求解即可； （2）由作图方法可知平分，垂直平分，则，再证明，得到，则，即可证明四边形是菱形； （3）同理作出点D，再分别作分别交于E、F即可． 【详解】（1）证明：根据尺规作图，得平分，，． ∴，． ∴． ∴． ∴．（等角对等边） ∴． ∴四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：等角对等边；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）解：由作图方法可知平分，垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：如图所示，即为所求； 同理作出点D，再分别作分别交于E、F即可． 【题型34 利用四边形的性质格点作图】 1．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，按下列要求画图． (1)如图1，已知线段为一个矩形的一条对角线，画出这个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上； (2)在图2中画一个面积为10的正方形，使正方形的四个顶点均在格点上； (3)在图3中画一个周长为的菱形（非正方形），使菱形的四个顶点均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了格点作图、矩形、菱形与正方形、勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握矩形、菱形与正方形的格点作图方法是解题关键． （1）根据矩形的两条对角线相等，结合网格特点作图即可得； （2）先求出这个正方形的边长为，再根据勾股定理、网格特点作图即可得； （3）先求出这个菱形的边长为，再根据勾股定理、网格特点作图即可得． 【详解】（1）解：如图即为所画； （2）解：∵正方形的面积为10， ∴这个正方形的边长为， 如图即为所画； （3）解：∵菱形的周长为， ∴这个菱形的边长为， 如图即为所画． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为1，请完成下列各小题． (1)在图①中，作菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）； (2)在图②中，作一个面积为3的菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由勾股定理得到，那么四边形为菱形，则菱形即为所作； （2）由勾股定理得到，那么四边形为菱形，此时菱形的面积为：，则菱形即为所作． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所作： （2）解：菱形即为所作： 3．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图①中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，则该矩形的面积为______； (2)在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； (3)在图③中画出面积为8的正方形． 【答案】(1)8 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题考查了格点作图、矩形、菱形与正方形、勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握矩形、菱形与正方形的格点作图方法是解题关键． （1）根据矩形的两条对角线相等，结合网格特点作图即可得； （2）根据菱形的四条边相等，结合网格特点作图即可得； （3）先求出这个正方形的边长为，再根据勾股定理、网格特点作图即可得． 【详解】（1）解：如图①，矩形即为所求． （2）解：如图②，，菱形即为所求． （3）解：由题意得：这个正方形的边长为， 如图④，正方形即为所求． 4．图1、图2是由边长为1的小正方形构成的网格，图3是由边长为2的小正方形构成的网格，点A、B均在格点上． (1)在图1中画出以为边的菱形，且点C和点D均在格点上；在图2中画出以为对角线的矩形，且点E和点F均在格点上（画出一个即可）． (2)在图3中画出平行四边形，点C、D均在小正方形的格点上，且此四边形的面积最大；以为腰画等腰三角形，点E在小正方形的格点上（不与B、C重合），且三角形的面积为16． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据邻边相等的平行四边形为菱形，画图即可；根据对角线相等的平行四边形为矩形，画图即可； （2）作一个为边的正方形即可，再根据等腰三角形的定义作出即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求； 如图，矩形即为所求； （2）解：如图，平行四边形，等腰三角形即为所求； 【综合思维突破】 【题型35 存在性探究题】 1．（24-25八年级下·山西忻州·月考）综合与探究 问题背景 在学习正方形的性质之后，勤学小组对正方形进行了进一步的研究．如图1，在正方形中，对角线，相交于点O，E为边上一点，连接，过点O作的垂线，交于点F．    探究发现 （1）试判断线段和线段的数量关系，并说明理由． 深入探究 点E是上的一个动点（不与点B，C重合），连接，交于点H． （2）如图2，当点H恰好是的中点时，试判断四边形的形状．并说明理由． （3）若，是否存在与全等的情况？若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）．理由见解析；（2）四边形是正方形．理由见解析；（3）存在与全等的情况，此时的长度为． 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而推导出，再证明，即可解答； （2）由，得，证明是的垂直平分线，则可推导出，即可解答； （3）判断出在与全等时，只满足当，则， 在中，由勾股定理，得到，求出，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 在正方形中，有 ， ∴ ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． （2）四边形是正方形，理由如下： 由（1），同理可得， ∴， ∵点H恰好是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴ ∴， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． (3) 存在与全等的情况，此时的长度为． 由与可得 在与全等时，只满足当，如图，    有， 在正方形中，有 ， ∴ 即， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴， ∴． 故存在与全等的情况，此时的长度为． 2．【探究与证明】 在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，，将边绕点 A逆时针旋转（）得到线段，过点E作，交直线于点F． 【猜想证明】从特殊到一般． (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)是否存在α，使点F，E，D三点共线？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)正方形 (2) (3)存在，或 【分析】（1）当时，落在边上，易得四边形为正方形； （2）过E作于G，由旋转的性质及勾股定理的长，从而求得的面积； （3）分两种情况：当点E在线段上；当点E在线段反向延长线上；利用旋转的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，当时，落在边上， 由旋转得：， ， ， 四边形为正方形； 故答案为：正方形； （2）解：如图，过E作于G， 由旋转得：，； 由四边形是矩形，得， ； ， ， ； 由勾股定理得， ； （3）解：存在 设，连接； 当点E在线段上时，如图； ， ， ， ； ， 由勾股定理得：， ； 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； 当点E在线段反向延长线上时，如图； 同理，， ； 由勾股定理得：， ； 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； 综上，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，熟练运用这些知识是关键． 3．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图1，在矩形中，，，E是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点G，连接． (1)求线段的长． (2)求证：四边形是菱形． (3)如图2，M、N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)存在，或 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知矩形的性质，菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，利用勾股定理可得，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，，由矩形和平行线的性质可得，则可证明，得到，进而可证明四边形是平行四边形，则可证明平行四边形是菱形； （3）分和两种情况分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，， ，， 将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ； （2）证明：由折叠的性质可得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：如图所示，当时，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当时， 同理可得，， 在中，由勾股定理得， 同理可得， 解得； 综上所述，在这样的点N，使是直角三角形，此时或． 【题型36 四边形综合证明】 1．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，四边形的对角线，交于点O，其中，，，平分交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若． （i）求证：是等边三角形； （ii）求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)（i）见解析；（ii）． 【分析】（1）根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等）先证四边形是平行四边形，再结合矩形判定（对角线相等的平行四边形是矩形），利用已知（平行四边形中）推出，从而证得矩形． （2）（i）由矩形性质得、，结合角平分线求出，再根据算出，由且，证得是等边三角形． （ii）：先由（i）及矩形性质求，得，再结合等边三角形性质得，求出，进而算出，最后通过求出度数． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴平行四边形是矩形． （2）（i）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （ii）解：由（i）可知，， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握矩形和等边三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若平分，过点F作，垂足为H．求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，角平分线的性质，菱形的判定与性质，等角对等边，掌握知识点是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形，推导出 ，继而证明，得到，由，可得是的中位线，即可解答． （2）由四边形是平行四边形，可推导出，继而证明四边形ABCD是菱形，可得到，从而推导出，则，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 ， ， ， ， 在和中 是的中位线， ． （2）四边形ABCD是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形ABCD是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形． （1）求证：； （2）求证：四边形为正方形． 【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”． 【答案】任务一：D；任务二：（1）见解析；（2）见解析； 【分析】任务一：根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线的性质分析即可； 任务二：（1）由，得到，再由直角三角形斜边中线得到，则，再由角的和差证明即可； （2）由三角形中位线得到，由直角三角形斜边中线得到，结合“垂等四边形”得，故，即可证明为菱形，由三角形中位线得到，那么，而，则，由，得到； 任务三：连接，分别交于点，先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，则，根据得到，设，则，由于点为中点，则，故，即可证明． 【详解】任务一： 解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意； B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意； C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意； D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意， 故选：D； 任务二： （1）如图， 证明：∵， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）∵四边形是“垂等四边形”， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由上已证， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； 任务三：连接，分别交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， 设，则， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴四边形是“垂等四边形”． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，折叠的性质，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 【题型37 四边形动点最值问题】 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【详解】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 2．如图，中，，，为上一点，为中点，则的最小值为（    ）    A．6 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】首先菱形的性质可知点B与点D关于对称，从而可知，则，当点D、F、E共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：连接．    ∵中，， ∴平行四边形四边形为菱形． ∴点D与点B关于对称． ∴． ∴，当点D、F、E共线时，有最小值，最小值为的长， ∵E是的中点， ∴． 又∵，， ∴是等边三角形． ∵为中点， ∴． ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是最短路径、平行四边形的性质以及菱形的性质和判定，由轴对称图形的性质将的最小值转化为的最小值是解题的关键． 3．（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识点，添加恰当辅助线、构造矩形是解题的关键．先证四边形是矩形，由题意可求的长，当时，的面积有最大值，然后求出最值即可解答． 【详解】解：如图，延长至点H，使，连接， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当的面积有最大值时，的面积有最大值， ∴当时，的面积有最大值， ∴的面积的最大值为， 故答案为：． 【题型38 几何变换综合】 1．在综合实践课上，小明把边长为，的菱形纸片沿着对角线剪开如图1所示，然后固定纸片，把纸片沿的方向平移得到，连，，，如图2所示，在平移过程中： （1）当点平移至中点时，则_____． （2）若时，则四边形的面积为 _____． 【答案】 / 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，求出即可； （2）证明四边形是矩形，求出，可得结论． 【详解】解：（1）如图2中，，， 四边形是平行四边形， ， ，，， ，， ． （2）， ， 平行四边形是矩形， ， 四边形的面积． 故答案为：，． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质． 2．如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，与关于直线对称，点B的对称点是点G，且点G在边上，若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据题意利用菱形的性质可得：，，易知△ABC，是等边三角形，根据等腰三角形判定及性质可得：，根据对称的性质，继而可得，从而可得菱形ABCD面积=2SΔABC=BC⋅FG，再根据已知数值代入计算即可． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴，， ∴△ABC，是等边三角形， ∵，AC平分∠BAD， ∴AE=AG， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴ 【点睛】本题主要考查菱形的性质，对称的性质，关键在于得到以及菱形的面积等于两个三角形的面积之和． 3．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时,∠BAE的大小可以是__． 【答案】15°或165° 【分析】利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时，∠BAE的大小，应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解． 【详解】解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1， ∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合， 当BE=DF时， ∴， ∴△ABE≌△ADF（SSS）， ∴∠BAE=∠FAD， ∵∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠FAE=30°， ∴∠BAE=∠FAD=15°， ②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．如图2， ∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合， 当BE=DF时， ∴， ∴△ABE≌△ADF（SSS）， ∴∠BAE=∠FAD， ∵∠EAF=60°， ∴∠BAE+∠FAE=360°﹣60=300°， ∴∠BAE=∠FAD=165° 故答案为15°或165°． 【考点39 因式分解的应用】 1．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了分组分解法分解因式及其应用，等腰三角形的定义，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键． （1）①将变形为，再由平方差公式因式分解；②将变形为，再由完全平方公式和平方差公式分解； （2）将利用分组分解法因式分解为，即可求解． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴为等腰三角形． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为16 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法因式分解即可； （2）先根据，得出，从而得出，，最后再代入求值即可； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ，， ． （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习5大类型39个题型（前4章） 【新教材苏科版】 【核心概念建构】 2 【题型1 普查与抽样调查】 2 【题型2 总体、个体、样本、样本容量】 2 【题型3 从统计图表获取信息】 3 【题型4 频数与频率】 4 【题型5 频数分布表】 4 【题型6 频数分布直方图】 5 【题型7 随机事件】 7 【题型8 概率的意义】 7 【题型9 频率估计概率】 7 【题型10 四边形的判定】 8 【题型11 四边形的性质运用】 9 【题型12 梯形】 10 【题型13 因式分解的定义】 10 【题型14 公因式的概念】 11 【能力层级提升】 11 【题型15 统计图表的综合】 11 【题型16 频数分布表和频数分布直方图的综合】 13 【题型17 简单概率的计算】 16 【题型18 证明四边形】 17 【题型19 中位线性质应用】 18 【题型20 运动形成四边形】 18 【题型21 四边形角度计算】 19 【题型22 四边形边长计算】 20 【题型23 判断能否用公式法分解因式】 21 【题型24 利用因式分解求参数】 21 【运算素养强化】 21 【题型25 提公因式分解因式】 21 【题型26 运用公式法分解因式】 22 【题型27 提公因式与公式法综合运用分解因式】 22 【题型28 与平行四边形有关的面积计算】 22 【题型29 利用特殊四边形的判定与性质求线段长度】 23 【题型30 特殊四边形的面积计算】 24 【几何直观实操】 25 【题型31 绘制统计图】 25 【题型32 绘制频数分布直方图】 26 【题型33 尺规作四边形】 29 【题型34 利用四边形的性质格点作图】 32 【综合思维突破】 33 【题型35 存在性探究题】 33 【题型36 四边形综合证明】 34 【题型37 四边形动点最值问题】 36 【题型38 几何变换综合】 37 【考点39 因式分解的应用】 37 【核心概念建构】 【题型1 普查与抽样调查】 1．（25-26九年级下·重庆·月考）下列调查中，最适合采用普查方式的是（   ） A．调查全国中学生参与家务劳动的情况 B．调查某市市民垃圾分类的情况 C．调查某品牌新能源电池的使用寿命 D．调查某机场搭乘某航班的旅客是否携带违禁物品 2．为了解全国中学生视力状况，你认为应采用调查的方式是__．（请在“普查”或“抽样调查”中选一个） 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）某校为了解全校720名学生的家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，对八年级某班全体学生家长进行了调查，这种调查方式是___________．（填“普查”或“抽样调查”） 【题型2 总体、个体、样本、样本容量】 1．为了了解某校七年级名学生期中数学考试情况，从中抽取了名学生期中数学成绩进行了统计，下面四个判断中正确的有（    ） ①这种调查的方式是抽样调查；      ②名学生是总体； ③每名学生的期中数学成绩是个体；      ④80名学生是总体的一个样本． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．为了更好地落实“双减政策要求，某中学从全校共900名学生中随机抽取100名学生的每天课外作业负担情况进行调查，此次调查的样本容量是_____． 3．一批灯泡共有万个，为了考察这批灯泡的使用寿命，从中抽查了个灯泡的使用寿命，在这个问题中，样本是________． 【题型3 从统计图表获取信息】 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）小龙在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的社区里1500户居民的家庭收入情况，他从社区的A，B，C，D四个小区中按各小区实际户数的随机调查了若干户居民家庭的收入情况，结果显示该社区中等收入的家庭达到．图①、图②反映的是根据本次抽样中的具体数据所制作的各小区被调查家庭数占调查总数比率的扇形统计图、各小区中等收入家庭数的条形统计图（单位：户）．根据以上信息，有下列判断：①A区中等收入家庭的比率最高；②B区中等收入家庭的比率低于；③按抽样估计C区中等收入家庭约120户； ④D区实际家庭数为450户．其中正确的是（　　） A．只有①② B．只有②④ C．只有①④ D．只有②③④ 2．（25-26九年级下·宁夏银川·月考）如图是某班去年月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（　　）． A．每月阅读数量的平均数是 B．每月阅读数量的中位数是 C．每月阅读数量的众数是 D．每月阅读数量的方差是 3．“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（    ） A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B．2023年低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D．2026年低空经济市场规模将突破万亿元 【题型4 频数与频率】 1．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）八年级某班有男生人，女生占全班人数的，则男生出现的频率和女生出现的频数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．某班50名学生的身高被分为5组，第组的频数分别为7、12、13、8，则第5组的频率是___________． 3．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）在一个不透明的袋子中，装有11个白球和若干个红球，它们除颜色外完全相同，若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色玻璃球的频率稳定在，则袋子中有________个红球． 【题型5 频数分布表】 1．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表： 通话时间 频数（通话次数） 14 16 8 10 2 则通话时间不超过的频率是（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了如下频数分布表： 通话时间 频数（通话次数） 20 16 9 5 则通话时间不超过15min的通话次数占5月份总通话次数的百分比为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北邢台·月考）为了解某果园中苹果树的产量情况，果农随机抽取了20棵苹果树，统计其苹果产量，得到如下频数分布表． 产量（千克） 频数（苹果树数量） 3 7 5 2 1 抽取的这20棵苹果树的平均产量为______千克． 【题型6 频数分布直方图】 1．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是某班40名学生一分钟跳绳测试成绩（次数为整数）的频数直方图，从左起四个小长方形的高的比依次为，那么该班一分钟跳绳次数在100次以上（不包含100次）的学生有______人． 2．（25-26八年级上·广东河源·期末）2025年，广州某区为加强学生安全意识，特在某班级举行交通安全知识竞赛，其竞赛成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（   ） A．该班的总人数为 B．得分在分之间的人数最多 C．得分在分之间的人数占总人数的 D．及格(不低于分)的人数为 3．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）小远同学统计了某校部分学生每天阅读书籍的时间，并绘制了统计图（如图）．下面有四个推断： 小远此次一共调查了名学生； 每天阅读书籍的时间在分钟的人数多于分钟的人数； 每天阅读书籍的时间超过分钟的人数超过调查总人数的一半； 每天阅读书籍的时间在分钟的人数最多． 根据图中信息，上述说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 随机事件】 1．（25-26九年级上·天津河东·期末）下列说法，正确的是（    ） A．“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件 B．概率很大的事件一定会发生 C．掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖 2．（24-25九年级下·湖南常德·月考）“拔苗助长”是一个______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） 3．（24-25七年级下·山西太原·期中）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．检测一把圆珠笔芯的质量，从中随机抽出的一支不合格 B．将一滴花生油滴入水中，油浮在水面上 C．小明投篮训练中，投出一球投中篮框 D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为1 【题型8 概率的意义】 1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 2．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（    ） A．4个 B．5个 C．不足4个 D．6个或6个以上 3．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（   ） A．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次 B．连续抛掷10次不可能都正面朝上 C．抛掷硬币确定谁先发球的规则是公平的 D．连续抛掷2次必有1次正面朝上 【题型9 频率估计概率】 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（    ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 3．（25-26九年级上·福建福州·月考）在一个不透明的袋子里，装有枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色外都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色球的频率稳定在，由此估计袋子里黑色球的个数为______． 【题型10 四边形的判定】 1．如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是______．（填一个条件即可） 【题型11 四边形的性质运用】 1．如图，在中，若，则_____°． 2．如图，矩形的对角线与相交于点，若，则_____． 3．（24-25八年级下·广西北海·期中）已知菱形的两对角线长分别为和，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 4．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，已知，，则正方形的边长为(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 【题型12 梯形】 1．下列说法正确的个数有（　　） ①若直角梯形的上底和中位线的长确定，则下底的长唯一确定 ②两条对角线相等的四边形一定是等腰梯形 ③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形 ④等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是连接两底中点的直线 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级下·上海闵行·月考）在梯形中，，，，，，则______． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【题型13 因式分解的定义】 1．（24-25七年级下·山东聊城·月考）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．根据下边图形写一个关于因式分解的等式________．    3．观察下列从左到右的变形： （1）； （2）； （3）； （4）； 其中是因式分解的有______（填序号）． 【题型14 公因式的概念】 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的公因式是___________． 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【能力层级提升】 【题型15 统计图表的综合】 1．（25-26六年级上·山东威海·期末）学校要举办一项球类比赛，针对学生意愿（喜欢举办哪类比赛，且只能从中选择一种）随机调查了部分学生，并将调查的结果绘制成如下不完整的统计图： 根据图中所给出的信息解答下列问题： (1)求调查了多少人； (2)a的值为 ；（直接写结果） (3)若这所学校共有1000人，估算喜欢举办足球比赛的学生约有多少人． 2．（25-26七年级上·全国·期末）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查其中：A表示每次都戴；B表示经常戴；C表示偶尔戴；D表示不戴，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表 类别 人数 A 68 B C 510 D 177 合计 1000 (1)在“活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表”中，B类别对应人数a不小心被污损，请计算a的值． (2)①为了更直观的反映A，B，C，D各类别所占的百分比，最适合的统计图是_______选填“扇形统计图”“条形统计图”或“折线统计图”②宣传活动前，抽取的市民中哪一类别的人数占比最大？若要绘制扇形统计图，求其所在扇形圆心角的度数． (3)小明认为，宣传活动后骑电瓶车不戴安全帽的人数为178，比活动前还增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法． 3．（25-26六年级上·山东东营·期末）某中学开展“人工智能机器人知识”网上答题竞赛，对收集到的数据进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） 根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查____________名学生，____________，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为____________度； (3)小明查阅到某数据中心给出的年中国跨境电商出口规模及预测图，与前一年相比，哪一年增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条． 【题型16 频数分布表和频数分布直方图的综合】 1．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）为了弘扬航天精神，某市一中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理（满分为100分，将抽取的成绩在分之间的记为A组，分之间的记为B组，分之间的记为C组，分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分），得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图： (1)请求出学校抽取的七年级同学的人数； (2)补全频数分布直方图；扇形统计图中圆心角______； (3)学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校七年级共有440名学生，请估计七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 2．2021年世界园艺博览会已于2021年4月8日在仪征枣林湾开幕，吸引了大批游客参观游览．已知开园前三天平均每天入园人数大约是8万人，小丽等5名同学组成的学习小组，随机调查了开园前三天入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 参观时间的频数分布表如下： 时间t（时） 频数（人数） 频率 合计 参观时间的频数分布直方图如图： 根据以图表提供的信息，解答下列问题： (1)表中 ， ， ； (2)请补全频数分布直方图； (3)请你估算开园前三天平均每天参观时间小于4小时的游客约有多少万人？ 3．（25-26七年级上·山西太原·期末）世界阅读日又称世界图书与版权日，日期为每年4月23日．某校为了解全校学生课外阅读时长情况，组织全校同学进行了课外阅读时长调查． 【收集数据】小丽从七年级课外阅读时长调查结果中随机抽取了40名同学的每周课外阅读时长（单位：小时），情况如下： 2.1  3.2  1.5  4.3  2.8  3.0  2.1  3.2  4.1  2.5 3.2  3.8  2.5  1.8  4.5  3.5  2.8  3.2  4.3  1.5 2.8  3.5  4.1  2.1  5.7  5.5  4.5  1.3  1.4  2.7 3.1  3.2  1.0  2.4  2.9  1.2  2.8  1.6  3.3  4.7 【整理数据】小丽将这组数据以1为组距，分成5组（每组包含最小值，不包含最大值），整理成如下的表格： 阅读时长/小时 1.0～2.0 2.0～3.0 3.0～4.0 4.0～5.0 5.0～6.0 人数（频数） 8 12 _____ _____ 2 小丽根据表格绘制了如图1所示的频数直方图． 请根据以上信息，解决下列问题： (1)本次调查中获取的数据是_____数据（选填“定性”或“定量”）； (2)请将表格及频数直方图补充完整； (3)小丽进一步随机调查了若干名八年级同学课外阅读时长的情况，并将数据整理成如图2所示的扇形统计图，请根据上述统计图表，写出七、八年级学生课外阅读时长情况的一个相同点． 【题型17 简单概率的计算】 1．随机从2男1女三位学生中抽取两人，被抽中的两人性别不同的概率是_______． 2．在名男生和名女生的班级，随机抽签确定一名学生代表，则_____做代表的可能性较大（填写“男生”或“女生”）． 3．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： (1)在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； (2)为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 【题型18 证明四边形】 1．（25-26九年级下·江苏宿迁·月考）如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)四边形 是平行四边形． 2．在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接． (1)求证： (2)若，试判断四边形的形状，并说明理由． 3．如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； (3)当_____时，四边形是正方形（只写结论，不需证明）． 【题型19 中位线性质应用】 1．如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 2．如图，中，，，，D，E分别是和上的点，且，，连接，．G、H分别是和的中点，连接，则线段的长为______． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【题型20 运动形成四边形】 1．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，动点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，当点F运动到点C时，两个点均停止运动．当运动时间_____时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为，当为______时，四边形是菱形． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，，，，，点P从A点出发，以的速度向D点运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B点运动，规定一个动点到达端点时，另一个动点也停止，运动时间为t． (1)当运动t秒时，线段______，______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，四边形是矩形； (3)在（2）的条件下，若四边形是正方形，请直接写出的值． 【题型21 四边形角度计算】 1．如图，在四边形中，，，，则度数为______． 2．如图，菱形中，，相交于，于，连接，，则的度数为___________． 3．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD=，则∠APB的度数为_______．    【题型22 四边形边长计算】 1．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图， 在中， 于点E， 延长至点F， 使， 连接、、． (1)求证： 四边形是矩形； (2)若， ， ， 求的长． 3．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【题型23 判断能否用公式法分解因式】 1．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【题型24 利用因式分解求参数】 1．（25-26八年级上·山东·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知多项式可分解因式为，则为_____． 3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若多项式因式分解的结果是，则___________． 【运算素养强化】 【题型25 提公因式分解因式】 1．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）因式分解 (1)； (2)． 3．因式分解． (1) (2) 【题型26 运用公式法分解因式】 1．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 2．（25-26七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 3．（24-25八年级上·山西太原·月考）计算与因式分解 (1)计算： (2)因式分解：； 【题型27 提公因式与公式法综合运用分解因式】 1．（24-25七年级下·山东聊城·月考）把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) 2．因式分解： (1) (2) 3．（24-25八年级下·山东青岛·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型28 与平行四边形有关的面积计算】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，点E是边的中点，点F是边的中点．若的面积是3，则的面积是______． 2．中，在上，且，连接交于，则、、、的面积比为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是______． 【题型29 利用特殊四边形的判定与性质求线段长度】 1．如图，在菱形中，，，E，F分别是边和上的点，于点F，则线段的长度为_____． 2．（25-26九年级上·江西萍乡·月考）如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为______． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【题型30 特殊四边形的面积计算】 1．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是__________．（填序号） 2．将两张全等的等腰直角三角形纸片与和一张正方形纸片按照如图所示的方式拼成一个平行四边形，同时形成了剩余部分（即，，，），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（    ） A．的面积 B．的面积 C．平行四边形的面积 D．剩余部分的面积之和与正方形面积和 3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【几何直观实操】 【题型31 绘制统计图】 1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）省教育厅推出的“学习园地”平台已成为学生们的有效学习方式．某校为了解学生对“学习园地”平台使用的熟练程度，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图（表示“非常熟练”，表示：“比较熟练”，表示“基本熟练”，表示“不太熟练或不熟练”）．请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次问卷调查中，一共调查了_____名学生，请将上面的条形统计图补充完整； (2)求所对圆心角的度数是多少？ (3)学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有1500名学生，求该校需要培训的学生人数大约是多少？ 2．某中学学生会为考察该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次考察中一共调查了多少名学生？ (2)补全条形统计图； (3)若全校有1800名学生，试估计该校喜欢篮球的学生约有多少人． 3．（25-26七年级上·全国·期末）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍．现想了解学生的选择意向，随机抽取七年级A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查，将调查得到的数据进行整理，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)求扇形统计图中交通监督所占的百分比； (2)求D班选择环境保护志愿者队伍的学生人数，并补全折线统计图； (3)若该校共有学生2000人，请你估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍的人数． 【题型32 绘制频数分布直方图】 1．（24-25七年级下·吉林松原·期末）为了庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办了名为“弘扬航天精神，共绘航天梦想”的知识竞赛，并从全校1200名学生中随机抽取了部分学生的成绩，绘制成尚未完成的频数分布表和频数分布直方图． 分组 频数 百分比 b 合计 c 根据图表信息，解答下列问题： (1)______；______；______． (2)补全频数分布直方图． (3)请估计该校成绩达到80分以上的人数． 2．网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，下面是根据调查结果绘制成的不完整的统计图表： 组别 学习时间 频数（人数） A 8 B 24 C 32 D E 4 请根据图表中的信息解答下列问题： (1)表中的______，扇形统计图中B组对应的圆心角为______°． (2)请补全频数分布直方图． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）某校为了解本校3000名初中生对安全知识掌握情况，随机抽取了60名初中生进行安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析，绘制了如下不完整的频数统计表和频数分布直方图： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 6 第2组 10 第3组 a 第4组 b 第5组 12 请结合图表完成下列各题： (1)频数表中的_____，_____； (2)将频数分布直方图补充完整： (3)若测试成绩不低于90分定为“优秀”，你估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的大约有多少人？ 【题型33 尺规作四边形】 1．（2026·重庆·一模）请按照题意，补全图形和证明过程． 如图，A是直线上一点，O是的中点，平分． (1)用尺规完成作图，作的角平分线，在的右侧，作．直线交于点B，交于点D，连接，． (2)求证：四边形是矩形． 证明：平分， ， 平分， ① ． ② ， （ ③ ）． ． ． 是的中点， ④ ． ． 四边形是矩形． 2．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在平行四边形中，于点E， (1)用尺规作的角平分线，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形为矩形． 证明：四边形是平行四边形， ，______． 平分， ______． ， ______． ， 且， 四边形为平行四边形． ， ______． 平行四边形为矩形（______）（填推理的依据） 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 利用尺规在锐角三角形纸片上作菱形在数学兴趣课上，老师提出一个问题：利用尺规在锐角三角形纸片上作菱形，且点D，E，F分别在边上，同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组展示了他们的作法：如图1，以点A为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交边于点G，H；分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，在内部交于点L；连接并延长，交BC边于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交边于点M，N；以点D为圆心，长为半径画弧，交边于点P；以点P为圆心，长为半径画弧，交前弧于点Q；连接并延长，交边于点F；以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E；连接，．则四边形为菱形． 勤学小组进行了以下证明： 证明：根据尺规作图，得平分，，． ∴，． ∴． ∴． ∴．（依据1） ∴． ∴四边形是平行四边形．（依据2） 又∵， ∴四边形是菱形． 善思小组也展示了他们的作法：如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点R，S；分别以点R，S为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点T；连接并延长，交边于点D；分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点W，V；连接，分别交，于点E，O，F；连接．则四边形为菱形． 任务： (1)填出证明过程中的依据． 依据1：____________； 依据2：____________． (2)请根据善思小组的作法，求证：四边形是菱形． (3)如图3，请你在锐角三角形纸片ABC上用尺规再设计一种不同的方法作菱形AEDF．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【题型34 利用四边形的性质格点作图】 1．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，按下列要求画图． (1)如图1，已知线段为一个矩形的一条对角线，画出这个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上； (2)在图2中画一个面积为10的正方形，使正方形的四个顶点均在格点上； (3)在图3中画一个周长为的菱形（非正方形），使菱形的四个顶点均在格点上． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为1，请完成下列各小题． (1)在图①中，作菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）； (2)在图②中，作一个面积为3的菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图①中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，则该矩形的面积为______； (2)在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； (3)在图③中画出面积为8的正方形． 4．图1、图2是由边长为1的小正方形构成的网格，图3是由边长为2的小正方形构成的网格，点A、B均在格点上． (1)在图1中画出以为边的菱形，且点C和点D均在格点上；在图2中画出以为对角线的矩形，且点E和点F均在格点上（画出一个即可）． (2)在图3中画出平行四边形，点C、D均在小正方形的格点上，且此四边形的面积最大；以为腰画等腰三角形，点E在小正方形的格点上（不与B、C重合），且三角形的面积为16． 【综合思维突破】 【题型35 存在性探究题】 1．（24-25八年级下·山西忻州·月考）综合与探究 问题背景 在学习正方形的性质之后，勤学小组对正方形进行了进一步的研究．如图1，在正方形中，对角线，相交于点O，E为边上一点，连接，过点O作的垂线，交于点F．    探究发现 （1）试判断线段和线段的数量关系，并说明理由． 深入探究 点E是上的一个动点（不与点B，C重合），连接，交于点H． （2）如图2，当点H恰好是的中点时，试判断四边形的形状．并说明理由． （3）若，是否存在与全等的情况？若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 2．【探究与证明】 在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，，将边绕点 A逆时针旋转（）得到线段，过点E作，交直线于点F． 【猜想证明】从特殊到一般． (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)是否存在α，使点F，E，D三点共线？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图1，在矩形中，，，E是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点G，连接． (1)求线段的长． (2)求证：四边形是菱形． (3)如图2，M、N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【题型36 四边形综合证明】 1．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，四边形的对角线，交于点O，其中，，，平分交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若． （i）求证：是等边三角形； （ii）求的度数． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若平分，过点F作，垂足为H．求证：． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形． （1）求证：； （2）求证：四边形为正方形． 【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”． 【题型37 四边形动点最值问题】 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，中，，，为上一点，为中点，则的最小值为（    ）    A．6 B．3 C．4 D． 3．（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是_____． 【题型38 几何变换综合】 1．在综合实践课上，小明把边长为，的菱形纸片沿着对角线剪开如图1所示，然后固定纸片，把纸片沿的方向平移得到，连，，，如图2所示，在平移过程中： （1）当点平移至中点时，则_____． （2）若时，则四边形的面积为 _____． 2．如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，与关于直线对称，点B的对称点是点G，且点G在边上，若，，则的长为__________． 3．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时,∠BAE的大小可以是__． 【考点39 因式分解的应用】 1．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $