精品解析：北京市东直门中学2025-2026学年八年级下学期3月学情自测数学试卷

北京市东直门中学2025-2026学年度第二学期阶段学情检测 初二数学 考试时间：100分钟 总分100分 第一部分 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 2，3，4 C. D. 5，6，7 4. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如右图所示，下列说法不正确的是（ ） A. t是自变量 B. y是t的函数 C. 对于y的每一个确定的值，t都有唯一确定的对应值 D. 当时，碳酸钠的溶解度最大 6. 点在正比例函数的图象上，则a的值为（　　） A. B. C. D. 7. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，都在一次函数的图象上．若则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与直线与 (为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为（　） A. B. C. D. 10. 如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（　　） A. B. C. D. 第二部分 二、填空题（每小题2分，共16分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 12. 如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______． 13. 若是y关于x的正比例函数，则m的值为______． 14. 我国首辆火星车被命名为“祝融号”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料．已知某种材料的导热率K[单位：]与温度T（单位：）的关系如下表： 温度 50 100 150 200 250 导热率 根据表格中两者的对应关系可知，温度每上升，导热率增加_________，若该材料的导热率为，则温度为_________． 15. 如图，直线与直线的交点为A，则关于，的方程组的解是______． 16. 将直线沿轴向上平移个单位，可得直线的解析式________________． 17. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则_________． 18. 磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________； （2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠． 三、解答题（本题共64分，19题10分，20、21每题5分，22-24、26、28每题6分，25、27每题7分） 19. 计算： （1）； （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）画出一次函数的图象； （3）求的面积． 22. 已知等腰三角形的底边，D是腰上一点，，且． （1）求的长度； （2）求该三角形的腰的长度． 23. 甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同.节日期间两家草莓采摘园均推出优惠促销方案：甲采摘园：游客进园需购买元的门票，采摘的草莓按照六折计费； 乙采摘园：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算. 设游客在乙采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示. （1）优惠前草莓的销售价格为 元千克； （2）当时，求与的函数解析式； （3）当游客采摘草莓的重量为千克时，在哪家草莓园采摘更划算，并说明理由. 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和点． （1）求一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出k的取值范围． 25. 如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水， 一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间(t/s) 1 2 3 4 5 6 7 8 水位高度(h/cm) 2 4 6 3 根据以上信息，解决下列问题： （1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点； （2）当t= s时，杯中水位最高，是 cm； （3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为； （4）求停止注水时t的值； （5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s． 26. 【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； （2）请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 （3）若，其中，且，，均为正整数，求的值． 27. 探究学习： 已知：C是线段所在平面内任意一点，分别以、为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，D、E在同侧，，连接、． （1）如图1，当点C在线段上移动时，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________． （2）当点C在直线外图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，在（1）基础上等腰直角三角形绕顶点C逆时针旋转到图3位置，取等腰直角三角形的斜边的中点M，连接交于点G，交于点H，试探究、、的数量关系，并写出证明思路． 28. 在平面直角坐标系中，已知点，，，． 对于点给出如下定义：将点向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于直线（直线上的各点的横坐标都为）的对称点为，则称点为点的“平称点”． （1）当时， ①点的“平称点”的坐标为________； ②若点的“平称点”在线段上，直接写出的取值范围以及的值； （2）点，点，若线段上的所有点的“平称点”组成的图形与长方形有两个交点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东直门中学2025-2026学年度第二学期阶段学情检测 初二数学 考试时间：100分钟 总分100分 第一部分 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A选项，，故不符合题意； B选项，是最简二次根式，故符合题意； C选项，，故不符合题意； D选项，，故不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和运算法则分别计算即可做出判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的性质和运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 2，3，4 C. D. 5，6，7 【答案】A 【解析】 【分析】若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，据此逐一验证即可得到答案． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，此选项符合题意； B．， 不能构成直角三角形，此选项不符合题意； C．， 不能构成直角三角形，此选项不符合题意 D．，不能构成直角三角形，此选项不符合题意． 4. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，函数值都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于任意一个值，可能有多个值与之对应，故不是函数图象； B．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； C．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； D．对于任意一个值，有唯一确定的值与之对应，故是函数图象． 5. 碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如右图所示，下列说法不正确的是（ ） A. t是自变量 B. y是t的函数 C. 对于y的每一个确定的值，t都有唯一确定的对应值 D. 当时，碳酸钠的溶解度最大 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象一一判断选项即可得出答案． 【详解】解：．根据图象可知，当t变化时，y也随着变化，所以t是自变量，故该选项不符合题意； ．根据图象可知，y随t的变化而变化，t是自变量，y是因变量，所以y是t的函数，故该选项不符合题意； ．根据图象可知，对于y的每一个确定的值，不都是有唯一确定的对应值，故该选项符合题意； ．当时，碳酸钠的溶解度最大为，故该选项不符合题意． 6. 点在正比例函数的图象上，则a的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接把点代入正比例，求出a的值即可． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴，解得． 故选：C． 【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 7. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可知其图象y随x的增大而增大，且与y轴交于点，即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象y随x的增大而增大，且与y轴交于点， 故答案为：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 8. 已知点，都在一次函数的图象上．若则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次项系数的符号判断函数的增减性，再结合与的大小关系推出与的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为，一次项系数， ∴该一次函数中，随的增大而减小， 又∵， ∴． 9. 如图，直线与直线与 (为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先利用直线的解析式确定点的坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选：A． 10. 如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先结合图形和函数图像判断出的长和的长，进而可得的长，从而可得点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入的值计算出即可． 【详解】解：四边形中，，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度， 当点从运动到处需要秒，则， 根据图像：当时，点运动到点，的面积为， ∴， ∴， 根据图像：当点运动到点时，面积为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， 又∵， ∴四边形是直角梯形， ∵，点的速度是每秒个单位长度， ∴运动时间为秒， ∴， 设当时，函数解析式为， ∴， 解得：， ∴当时，函数解析式为， 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴当运动到的中点时的时间， ∴， ∴当运动到的中点时，的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像，三角形面积公式，直角梯形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，用待定系数法确定一次函数的解析式，函数图像上的点的坐标特征．利用数形结合的思想方法是解题的关键． 第二部分 二、填空题（每小题2分，共16分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 12. 如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，从而得到答案．熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，在中，，，，则由勾股定理可得， 以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点， ， 则点表示的数为， 故答案为：． 13. 若是y关于x的正比例函数，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键，一般地，形如的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：是y关于x的正比例函数， ， 解得：， 故答案为：． 14. 我国首辆火星车被命名为“祝融号”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料．已知某种材料的导热率K[单位：]与温度T（单位：）的关系如下表： 温度 50 100 150 200 250 导热率 根据表格中两者的对应关系可知，温度每上升，导热率增加_________，若该材料的导热率为，则温度为_________． 【答案】 ①. ②. 400 【解析】 【分析】观察表格可知，温度每上升，导热率增加，说明K是的一次函数，设，把，代入求出，再把代入求出结果即可． 【详解】解：观察表格可知，温度每上升，导热率增加，因此K是的一次函数，则设，把，代入得： ， 解得：， ∴， 令，则， 解得：， 即该材料的导热率为，温度为． 15. 如图，直线与直线的交点为A，则关于，的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线的交点的意义即可解答． 【详解】解：由函数图像可知：直线与直线的交点为， 方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义是解题的关键． 16. 将直线沿轴向上平移个单位，可得直线的解析式________________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将直线向上平移5个单位长度后，所得直线解析式为，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 17. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出，证明，可得，结合勾股定理求出，根据，，，可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据题意可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， ∴． 18. 磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________； （2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠． 【答案】 ①. ②. 20 【解析】 【分析】此题考查了网格与勾股定理，正确掌握勾股定理的计算是解题的关键： （1）根据勾股定理计算到点A，B，C的距离即可判断； （2）根据题意画出图形即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴不符合要求； ∵， ∴符合要求， 故答案为； （2）如图所示，连接， 可以发现：四边形为边长为的正方形， 以为边长，在四边形基础上继续做正方形，格点处的点即为满足条件的磁力珠， 故答案为20． 三、解答题（本题共64分，19题10分，20、21每题5分，22-24、26、28每题6分，25、27每题7分） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，绝对值的意义，进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先把括号内的式子通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后把化成的形式，代入求值即可． 【详解】解：原式 ． ， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对所求的分式进行通分、约分，正确进行化简是关键． 21. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）画出一次函数的图象； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2） 一次函数图象，如图所示： （3）1 【解析】 【分析】（1）把，分别代入，求出点A、B的坐标即可； （2）连接，画出一次函数解析式即可； （3）利用三角形面积公式求出三角形面积即可． 【小问1详解】 解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，，解得， 所以点的坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵；， ∴，， ∴． 22. 已知等腰三角形的底边，D是腰上一点，，且． （1）求的长度； （2）求该三角形的腰的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可出的长； （2）在中，由勾股定理列出方程，得出的长． 【小问1详解】 解：， ． ． ，， ． 【小问2详解】 解：由（1）得，设． ． ， ． ，即． 解得． ． 23. 甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同.节日期间两家草莓采摘园均推出优惠促销方案：甲采摘园：游客进园需购买元的门票，采摘的草莓按照六折计费； 乙采摘园：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算. 设游客在乙采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示. （1）优惠前草莓的销售价格为 元千克； （2）当时，求与的函数解析式； （3）当游客采摘草莓的重量为千克时，在哪家草莓园采摘更划算，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）解：在乙草莓园采摘更划算，理由： 甲采摘园：元， 乙采摘园：元， ∵， ∴在乙草莓园采摘更划算． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，用即可求解； （2）根据待定系数法求解析式即可求解； （3）分别求得甲、乙两家草莓园的收费，比较大小即可求解． 【小问1详解】 优惠前草莓的销售价格为元千克， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设时与的函数解析式为， 将点代入，得， ， 解得： ∴ 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和点． （1）求一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）可判断经过定点，再求出经过点，的直线解析式，结合函数图象，得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过点和点， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：经过定点， 把代入得：， 解得：， ∴经过点和的直线解析式为：， ∵当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值， ∴且． 25. 如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水， 一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间(t/s) 1 2 3 4 5 6 7 8 水位高度(h/cm) 2 4 6 3 根据以上信息，解决下列问题： （1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点； （2）当t= s时，杯中水位最高，是 cm； （3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为； （4）求停止注水时t的值； （5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s． 【答案】（1） 解：描点如下 （2）3；6 （3）2 （4）6 （5） 【解析】 【分析】本题考查表格表示了变量间的关系，在平面直角坐标系中描点，观察表格并从中获取信息是关键． （1）描点即可； （2）由表格即可求解； （3）由表格即可求解； （4）由表格即知； （5）由表知，经过4秒排了一半，则经过8秒排完，再加上注满水的时间，即可求得总时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由表格知，当时，杯中水位最高，最高水位为； 故答案为：3；6； 【小问3详解】 解：由表知，自动排水前，每经过1秒钟，水位上升， 即杯中水位上升的速度为； 故答案为：2； 【小问4详解】 解：设从开始向外排水到停止注水，h关于t的函数表达式为， 把代入，即， 解得：， ， 由表知，排水的速度为， ∵当时，， 当时，， 可求得，停止注水后，h关于t的函数表达式为， 可得方程组， 解得：， 时，停止注水， 停止注水时t的值为6； 故答案为：6； 【小问5详解】 解：由(4)知，停止注水时t的值为6，此时水位的高度为， 所以从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时； 故答案为：． 26. 【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； （2）请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 （3）若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】（1） （2） （3）16或32 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 27. 探究学习： 已知：C是线段所在平面内任意一点，分别以、为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，D、E在同侧，，连接、． （1）如图1，当点C在线段上移动时，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________． （2）当点C在直线外图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，在（1）基础上等腰直角三角形绕顶点C逆时针旋转到图3位置，取等腰直角三角形的斜边的中点M，连接交于点G，交于点H，试探究、、的数量关系，并写出证明思路． 【答案】（1）； （2） 成立；理由如下： 延长，交于点F，交于点G，如图所示： ∵和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3） ；证明如下： 过点C作，取，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长，交于点F，证明，得出，，求出，即可得出结论； （2）延长，交于点F，交于点G，证明，得出，，求出，即可得出结论； （3）过点C作，取，连接，，证明，得出，，求出，得出，证明，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：延长，交于点F，如图所示： ∵和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，已知点，，，． 对于点给出如下定义：将点向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于直线（直线上的各点的横坐标都为）的对称点为，则称点为点的“平称点”． （1）当时， ①点的“平称点”的坐标为________； ②若点的“平称点”在线段上，直接写出的取值范围以及的值； （2）点，点，若线段上的所有点的“平称点”组成的图形与长方形有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移、轴对称，一次函数图象与几何图形的交点问题，以及分类讨论思想的应用，熟练掌握平移和轴对称的坐标变化规律，结合图形的坐标范围进行分类讨论是解题的关键．（1）① 代入得点坐标，按“平移→对称”的顺序：先向上平移个单位，再求平移后点关于直线的对称点，得到“平称点”．②写出点的“平称点”坐标表达式，结合线段纵坐标固定、横坐标范围已知的特征，列方程和不等式求解的取值范围和的值． （2） 分别求出点、的“平称点”坐标，分和两种情况，得到线段上所有点的“平称点”组成的线段；再结合长方形的顶点坐标，判断该线段与长方形有两个交点时的取值范围． 【小问1详解】 解：①当时，即为， ∵， ∴将点向上（）平移个单位长度，得到点， ∴点关于直线的对称点为， 故答案为：； ②∵， ∴将点向上（）平移个单位长度，得到点，，． ∴点关于直线的对称点为，即点的“平称点”为， ∵点的“平称点”在线段上，，． ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：当时，平移为向上个单位，对称直线为， ∵， ∴点向上平移个单位得，点向上平移个单位得， ∴点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴线段上的所有点的“平称点”组成的图形为线段， ∵，，， ∴线段与长方形不相交，故舍去； 当时，平移为向下平移个单位，对称直线为， ∵， ∴点向下平移个单位得，点向下平移个单位得， ∴点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴线段上的所有点的“平称点”组成的图形为线段， ∵线段与长方形的边有两个交点， ， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $