专题03 相交线与平行线基础解答题分类（4种类型32道）（期中真题汇编，重庆专用）七年级数学下学期

专题03 相交线与平行线基础解答题分类 4大高频考点概览 考点01 补全证明过程 考点02 相交线相关角度求解 考点03 平行线相关角度求解与证明 考点04 实际问题相关平行线解答题 ( 地 城 考点01 补全证明过程 ) 1．(24-25七下·重庆南川区三校联盟·期中)补充完成下面证明过程． 如图，，，求证：． 证明：（已知） 又（______）， （等量代换）， ______（______）， ______（______）， （______）， （______）， ______（______）， （______）． 【答案】对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；已知；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换 【来源】重庆市南川区三校联盟2024-2025学年七年级下学期5月联合诊断（期中）数学试题 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及其性质是解题的关键．根据已知条件及对顶角相等，得到，可知，则，再根据，判定，得出，利用等量代换即可求解． 【详解】证明：（已知）， 又（对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． 2．(24-25七下·重庆重庆开州区文峰教育集团·期中)请将下列证明过程补充完整：已知：如图，，直线分别直线相交于点G，H，，求证：． 证明：∵（已知）， （① ）， ∴（② ）， ∴（③ ）， ∴④ （两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（⑤ ）， ∴（等量代换）． 【答案】①对顶角相等；②等量代换；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，内错角相等 【来源】重庆市重庆市开州区文峰教育集团 2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质与判定完成填空即可求解． 【详解】证明：∵（已知） （对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等． 3．（24-25七下·重庆巴蜀中学·期中）请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，． 求证：． 证明：∵（ ）， ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴（ ）． ∴（ ）， ∴（两直线平行，内错角相等 ）． 【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 4．(24-25七下·重庆第九十五中学·期中)如图，，，是的角平分线，，求的度数． 请在横线上补全求的度数的解题过程或依据． 解：是的角平分线（已知） （ ① ） ，（已知） （ ② ）（ ③ ） （已知） （ ④ ） ，（ ⑤ ） （两直线平行，同位角相等） 【答案】角平分线的定义；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；内错角相等，两直线平行 【来源】重庆市第九十五中学2024-2025学年七年级下学期半期考试数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，根据平行线的判定和性质，填写相应的条件和结论，即可．熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：是的角平分线（已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （等量代换）， (内错角相等，两直线平行）， (两直线平行，同位角相等)， ． 故答案为：角平分线的定义；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；内错角相等，两直线平行． 5．(24-25七下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中)如图，，射线与交于点F，射线与交于点H．若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：∵（已知） ∴____________（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴____________（_______________） ∴___________（等量代换） ∵（已知） ∴__________（_____________） ∴（_____________） ∴（_____________） 【答案】；；角平分线的定义；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换 【来源】重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年七年级下学期期中数学试题 【分析】根据角平分线的定义、平行线的判定与性质等进行作答即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴ （两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴（角平分线的定义） ∴（等量代换） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（等量代换） 故答案为：；；角平分线的定义；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．(23-24七下·重庆七校联盟·期中)已知：如图，四边形中，，，为延长线上一点． (1)用三角板和直尺按要求画图： 过点画于，并延长交延长线于； (2)在以上条件下，求证：，请补全证明过程． 证明： ∵ ∴① 又∵ ∴② ∴ ∴（③ ） ∵于O ∴ ∴④ （等量代换） ∴⑤ ∵ ∴⑥ 【答案】(1)见解析 (2)；；两直线平行，同位角相等；；； 【来源】重庆市七校联盟2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了画垂线，平行线的性质与判定； （1）根据题意，过点画于，并延长交延长线于； （2）根据平行线的性质与判定，填写证明过程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴（两直线平行，同位角相等） ∵于O ∴ ∴（等量代换） ∴ ∵ ∴ 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；． 7．(24-25七下·重庆字水中学·期中)如图，点在射线上，，，．求证：．请你补全下面的证明过程： 证明：（已知） _____（                  ） __________（                  ） （已知） __________ （                     ） 又（已知） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；同旁内角互补，两直线平行． 【来源】重庆市字水中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题（人教版） 【分析】根据平行线的判定和性质，等量代换思想解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（已知） （内错角相等，两直线平行 ） （两直线平行，同位角相等） （已知） （同旁内角互补，两直线平行） 又（已知） ． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；同旁内角互补，两直线平行． 8．(24-25七下·重庆铜梁区四校联考·期中)请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）： 已知：如图，，是直线，，，．求证：． 证明：（已知）， （ ）． （已知）， ． ， ． 即 ． ．（ ）． （ ）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【来源】 重庆市铜梁区四校联考2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的性质及判定，要注意：平行线的判定是由角的数量关系判定两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由平行线的性质得，从而得，由得，从而求得，即可判定． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， ． ， ． 即． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． ( 地 城 考点02 相交线相关角度求解 ) 9．（23-24七下·重庆西大附中·期中）如图，直线，相交于O，平分，于点O，，求，的度数． 【答案】， 【详解】解：于点O，， ． 与是对顶角， ． 平分， ． ． 10．(24-25七下·重庆巫山县高唐初级中学·期中)如图，直线相交于点O，，，．求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【来源】重庆市巫山县高唐初级中学2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了角的计算及余角和补角，关键是正确利用已知条件进行求解． （1）根据已知先求出的度数，再利用，之间的关系求出的度数； （2）根据（1）求出的的度数和的度数求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． 11．（23-24七下·重庆巴蜀中学校·期中）如图，O为直线上一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，， 所以． 所以． 因为平分． 所以． （2）解：设，则． 所以．． 因为平分， 所以． 所以． 解得． 所以 12．（24-25七下·重庆十一中·期中）如图，直线、相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若射线，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：当在的上方时，如图， ， ∵， ∴， 由（1）知， ∴； 当在的下方时，如图， ∴； 综上，的度数为或． 13．(23-24七下·重庆·期中)如图，直线相交于点，，垂足为，，求． 【答案】 【来源】重庆市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了垂线的定义、几何图中角度的计算、利用邻补角求度数，由垂线的定义可得，由，结合得出，再由邻补角进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ，， ， ． 14．（24-25七下·重庆一中·期中）如图，直线，相交于点，是内一条射线，平分． (1)若，求的度数． (2)若比大，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵平分， ∴； （2）解：设度，则度， ∵平分， ∴度， ∵比大30°， ∴度， ∵， ∴， 解得：， 即． 15．（24-25七下·重庆一中·期中）如图，已知直线和相交于点，射线于，射线于，且．求：与的度数．    【答案】， 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直的定义，邻补角，等角的余角相等，数形结合，掌握垂线的定义是解题的关键． 16．（24-25七下·重庆文峰教育集团·期中）如图，直线，相交于点O，平分，平分，．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数 【答案】(1)，利用见解析 (2) 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∴． （2）∵， ∴， 设，则， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键． ( 地 城 考点0 3 平行线 相关角度求解与证明 ) 17．(24-25七下·重庆江津实验中学·)如图，在四边形中，，点E在边上，点F在边上，且 (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴， ∵平分（已知）， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴． 18．(24-25七下·重庆长寿实验中学校·期中)如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．（24-25七下·重庆南川三校联盟·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．(23-24七下·重庆沙坪坝区凤鸣山中学·期中)如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：与平行． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（24-25七下·重庆南开中学·期中）如图，，平分与相交于F，．求证：． 【答案】详见解析 【详解】证明：∵平分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22．(24-25七下·重庆字水中学·期中)如图，已知，，平分，．    (1)试判断与的位置关系？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)平行，详见详解 (2) 【来源】重庆市字水中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题（人教版） 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等证明，再依据，得到，即根据同旁内角互补两直线平行即可求证； （2）根据平分以及，可证，，再结合，可得，再根据，得到，即可求解． 本题考查了平行线的判定与性质知识，掌握同旁内角互补两直线平行是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 23．（24-25七下·重庆九龙坡区·期中）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴，， ∴， ∴． 24．(24-25七下·重庆杨家坪中学教育集团·期中)如图，在中，点E，F在边上，点D在边上，点G在边上，连接，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】重庆市杨家坪中学教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键： （1）同位角相等，两直线平行得到，进而得到，进而得到，即可得证； （2）两直线平行同位角相等，得到，进而得到，结合，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ( 地 城 考点0 4 实际问题相关 平行线 解答题 ) 25．(24-25七下·重庆渝北区松树桥中学校·期中)【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， （      ） （      ） （      ） 即三角形的内角和为． 【解题反思】 平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 （2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢自行车的示意图如图2，其中．若，，请你求的度数． 解：过点作． ∵， （      ）， ，（两直线平行，内错角相等）， （      ） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【来源】重庆市渝北区松树桥中学校2024-2025学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质； （1）根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可； （2）根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可； 【详解】（1）证明：∵， （两直线平行，内错角相等） （平角的定义） （等量代换） 即三角形的内角和为． （2）解：过点作． ∵， （平行于同一直线的两直线平行）， ，（两直线平行，内错角相等）， （等量代换） 26．（23-24七下·重庆巴川中学校·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，． (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵扶手与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 27．(23-24七下·重庆巴南区·期中)探索发现：（1）如图，已知直线．若，求的度数； 归纳总结：（2）根据（1）中的问题，直接写出图中、、之间的数量关系______； 实践应用：（3）如图，水务公司在由西向东铺设供水管道，他们从点铺设到点时发现了一个障碍物，不得不改变方向绕开障碍物，计划改为沿南偏东方向埋设到点，再沿障碍物边缘埋设到点处，测得．若要恢复原来的正东方向，则应等于多少度？ 【答案】（1）；（2）；（3）应等于 【详解】解：（1）如图，过点P作， ， ， ， ； （2）由（1）可得：； （3）如图，过点C作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 若要恢复原来的正东方向，则应等于． 28．（23-24七下·重庆巴川中学校·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 29．（24-25七下·重庆渝中求精中学校·期中）阅读填空 （1）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图（1），一束光在镜面的A点发生反射，反射光线与镜面的夹角记为，必有；入射光线与镜面的夹角记为______，反射光线与镜面的夹角记为______，必有_______； 实际应用 （2）如图（1），、为两面镜子，一束光在A、C两点先后发生连续反射，当满足什么条件时，？为什么？ （3）如图（2），潜望镜中的两面镜子、是互相平行放置的，一束光线在A、C两点先后发生连续反射，与之间存在怎样的位置关系?为什么? 【答案】（1），，；（2），，理由见解析；（3），理由见解析 【详解】解：（1）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图（1），一束光在镜面的A点发生反射，反射光线与镜面的夹角记为，必有；入射光线与镜面的夹角记为，反射光线与镜面的夹角记为，必有； （2）时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）．理由如下： ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 30．（23-24七下·重庆西大附中·期中）（1）我们曾用移动三角尺的方法画出了两条平行线（如图1），请说明依据的基本事实为：___________；    （2）基本事实可作为依据，用来证明新的结论．请根据以上基本事实证明平行线的判定方法：“同旁内角互补，两直线平行” 已知：如图2，∠1和∠2是直线被直线截出的同旁内角，且与互补，求证：．（推理过程请注明理由） （3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：如图3，在铺设铁轨时，两条铁轨必须是互相平行的．将铁轨和枕木看成直线（如图4 所示，直线a、b为直轨，m、n为枕木），是直角，可以通过度量图中已标出的哪个角的度数，来判断两条铁轨是否平行？为什么？    【答案】（1）同位角相等，两直线平行；（2）见解析；（3）可以通过度量图中已标出或或的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；见解析 【来源】山东省济南市槐荫区2022-2023学年七年级下学期期中考试数学试题 【分析】（1）依据同位角相等，两直线平行作答； （2）根据同角的补角相等可得，再根据同位角相等，两直线平行作答即可； （3）可以通过度量图中已标出或或的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；然后利用（1）的基本事实和（2）的结论证明即可． 【详解】（1）用移动三角尺的方法画出了两条平行线，依据的基本事实为：同位角相等，两直线平行； 故答案为：同位角相等，两直线平行； （2）证明：如图2，∵与互补，即（补角的定义）， 又∵（邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）； （3）可以通过度量图中已标出或或的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行； 理由：∵是直角， ∴， 若，则，由（2）同旁内角互补，两直线平行可知； 若，则，根据同位角相等，两直线平行可知； 若，由于，则，根据同位角相等，两直线平行可知． 31．（23-24七下·重庆西大附中·期中）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 32．（23-24七下·重庆西大附中·期中）1）问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请对说明理由； ②拓展探究：请对说明理由． （2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______． 【答案】（1）①理由见解析；②理由见解析；（2）211 【来源】河北省邯郸市馆陶县2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】解:（1）①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）如图所示，∠1，∠2，∠3的顶点分别为C，B，F， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴， 故答案为：211． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03相交线与平行线基础解答题分类 ☆4大高频考点概览 考点01补全证明过程 考点02相交线相关角度求解 考点03平行线相关角度求解与证明 考点04实际问题相关平行线解答题 目目 考点01 补全证明过程 1.(24-25七下·重庆南川区三校联盟期中)补充完成下面证明过程. 如图，∠1=∠2，∠A=∠F,求证：LC=LD. D M B 证明：：∠1=∠2（已知) 又：∠2=∠3( ∠1=∠3（等量代换）， .BD∥ (）, ∠C= (), :∠A=∠F(）, AC∥DF(), .∠D= LC=∠D(). 2.(24-25七下·重庆重庆开州区文峰教育集团期中)请将下列证明过程补充完整：己知：如图，AC∥DF, 直线AF分别直线BD、CE相交于点G,H,∠I=∠2，求证：LC=∠D. 证明：：∠1=∠2（已知）， ∠1=∠DGH(①_)， .L2=LDGH(②_)， 1/15 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :BDCE(③_)， .∠C=④_（两直线平行，同位角相等）， 又：ACII DF(己知)， ·∠D=∠ABG(⑤_)， ∠C=∠D(等量代换)· E 2 H G 1 B 3.(24-25七下·重庆巴蜀中学期中)请将下列证明过程补充完整. 如图，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D. 求证：∠E=∠DFE. 证明：：∠B+∠BCD=180°()， ·-(同旁内角互补，两直线平行). .LB=LDCE(_)· 又：∠B=∠D(已知)， .ZD ZDCE (_ .AD∥BE(_), :.∠E=∠DFE(两直线平行，内错角相等). 4.(24-25七下·重庆第九十五中学期中)如图，AD∥EF,∠1+∠2=180°，DG是∠ADC的角平分线， ∠ADC=60°，求∠B的度数. 请在横线上补全求∠B的度数的解题过程或依据. A B F 2/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解：：DG是∠ADC的角平分线（已知） ∠GDC7∠ADC=30°（①D :AD∥EF,(已知) :(②)+∠2=180°（③） :∠1+∠2=180°（己知） .∠I=∠BAD(④) AB∥DG,(⑤) :∠B=∠GDC(两直线平行，同位角相等) ∠B=30° 5.(24-25七下·重庆北碚区西南大学附属中学校期中)如图，AB∥CD,射线AE与CD交于点F,射线CG与 AE交于点H.若AD是∠BAE的角平分线，且∠DAE+∠AHG=I80°，试说明∠DAE=∠C,请补全证明过 程，即在横线处填上结论或理由. B E 证明：：AB∥CD(己知) .∠BAD= (两直线平行，内错角相等) :AD是∠BAE的角平分线（已知） ∴∠BAD= ∴∠D= (等量代换) :∠DAE+∠AHG=180°（己知） ( .∠C=∠D ( .ZDAE=ZC 6.(23-24七下·重庆七校联盟期中己知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC,，∠B=∠D,E为BC延长线 上一点. 3/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B C E (I)用三角板和直尺按要求画图：过点C画C01AB于O,并延长CO交DA延长线于F; (2)在以上条件下，求证：∠1+∠AF0=90°，请补全证明过程. 证明：：AD∥BC ·①-=∠1 又：∠B=∠D ② .AB∥CD .LAOF=LDCF(③_) :C0⊥AB于O ∴.∠A0F=90 “.④_=90°（等量代换) ∠1+∠BC0=180°-⑤_ =180°-90°=90° :AD∥BC ⑥_=∠BC0 ∠1+∠AF0=90° 7.(24-25七下，重庆字水中学期中)如图，点C在射线BG上，AEDF,∠1=∠2，∠B+∠D=180°.求证： AE∥BG,.请你补全下面的证明过程： A E D 3 证明：：∠1=∠2（已知) .AB∥( =∠3( ) :∠B+∠D=180°（已知） 4/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 +∠D=180° :BG∥DF( ) 又：AE∥DF(已知) :AE∥BG 8.(2425七下·重庆铜梁区四校联考期中请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）： 己知：如图，BC,AF是直线，AD∥BC,∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB∥CD. B 证明：：AD∥BC(已知)， ∠3=-(_). :∠3=∠4（已知）， .∠4=- :∠1=∠2， ∠1+∠CAF=∠2+∠CAF. 即∠BAF=- .∠4=∠BAF.(_). AB∥CD(_)· 目目 考点02 相交线相关角度求解 9.(23-24七下·重庆西大附中期中)如图，直线AB,CD相交于O,0D平分∠A0F,OE⊥CD于点O, ∠1=50°，求LC0B,∠B0F的度数. 5/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 10.(24-25七下·重庆巫山县高唐初级中学期中)如图，直线AB、CD、EF相交于点O,∠D0B=60°， ∠AOE=2∠D0F,OG⊥AB.求： (1)∠AOE的度数： (2)∠E0G的度数. 11.(23-24七下·重庆巴蜀中学校期中)如图，O为直线AB上一点，∠D0E是直角，OF平分∠BOD. D A E (I)若∠A0E=20°，求∠B0F的度数； (2)若LBOF=5LA0E,求∠AOE的度数. 12.(24-25七下·重庆十一中期中)如图，直线AB、CD相交于点O,∠A0C=50°，OE平分∠BOD. D A、 -E -B (1)求LD0E的度数； (2)若射线OF⊥OE,求∠DOF的度数. 13.(23-24七下重庆期中)如图，直线AB,CD相交于点0，E0⊥AB,垂足为O,∠A0C:∠C0E=2:3, 求∠AOD. D 14.(24-25七下·重庆一中期中)如图，直线AB,CD相交于点0，OE是∠B0C内一条射线，0C平分 ∠AOE. 6/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E B O (I)若LB0E=80°，求∠AOC的度数 (2)若∠B0E比∠BOD大30°，求∠BOD的度数 15.(24-25七下·重庆一中期中)如图，已知直线AB和CD相交于0点，射线0E⊥AB于0，射线 0F⊥CD于O,且∠B0F=25°，求：∠AOC与∠E0D的度数. F B 25 ○ 16.(24-25七下·重庆文峰教育集团期中)如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠A0C,0F平分 ∠BOC,OG⊥AB. E A D (I)请判断OE与OF的位置关系，并说明理由； (2)若LB0F-LC0G=22°，求∠BOD的度数 目目 考点03 平行线相关角度求解与证明 17.(24-25七下·重庆江津实验中学)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在BC边上，点F在DC边 上，且∠1=∠2 7/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：EF∥BD: (2)若DB平分∠ABC,∠A=130°，∠C=70°，求LCFE的度数 18.(24-25七下·重庆长寿实验中学校期中)如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与 FG交于点H,∠C=∠1，∠2=∠3. M 3 H (I)求证：AB∥CD; (2)若∠3=75°，∠D=35°，求∠AEM的度数， 19.(24-25七下·重庆南川三校联盟期中)如图，在三角形ABC中，点D,F在边BC上，点E在边AB上， 点G在边AC上，连接AD,EF,GD,延长EF与GD交于点H,∠I=∠B,∠2+∠3=180°. B E 4 G (I)EH与AD平行吗？为什么？ (2)若∠DGC=58。,且∠H=∠4+10°，求∠H的度数. 20.(23-24七下·重庆沙坪坝区凤鸣山中学期中)如图，己知AB∥CD,∠1+∠2=180°. (I)AD与EC平行吗？请说明理由. 8/15 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (②)若DA平分LBDC,DA⊥FA于点A,∠3=76°，求∠FAB的度数. 21.(24-25七下·重庆南开中学期中)如图，AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于F, ∠CFE=∠E.求证：AD∥BC. D B 22.(24-25七下·重庆字水中学.期中)如图，已知AB∥CD,∠2+∠3=180°，DA平分∠BDC,EC⊥FG. G E 3 2 F 10 (1)试判断AD与CE的位置关系？请说明理由； (2)若∠1=62°，求∠FAB的度数， 23.(24-25七下.重庆九龙坡区期中)如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交 于点M,∠C=∠1，∠2=∠3. E E/B (I)求证：AB∥CD; (2)若∠D=47°，∠EMF=80°，求∠AEP的度数. 24.(24-25七下.重庆杨家坪中学教育集团期中)如图，在ABC中，点E,F在AB边上，点D在边AC上， 点G在边BC上，连接CE、DF、GE,DF与GE的延长线交于点H,∠A=∠I,∠H=∠2. 9/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求证：DH∥CE; (2)若∠BGH=58°，且∠3=∠H-8°，求∠3的度数. 目目 考点04 实际问题相关平行线解答题 25.(24-25七下·重庆渝北区松树桥中学校期中【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观 察得到三角形内角和为180°，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了， E」 图1 图2 (1)如图1，过ABC的顶点A作BC的平行线ED,请你证明三角形的内角和为180°， 证明：BC∥ED, :∠EAB=∠B,∠DAC=-( :∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°() ·-+∠BAC+LC=180°() 即三角形的内角和为180°. 【解题反思】 平行线具有“等角转化”的功能. 【迁移应用】 (2)近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢·自行车的示意图如 图2，其中AB∥CD.若∠EAB=60°，∠ECD=40°，请你求∠AEC的度数. 解：过点E作EH∥AB. 10/15