专题02 相交线与平行线压轴题分类训练（4种类型32道）（期中真题汇编，重庆专用）七年级数学下学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02相交线与平行线压轴题分类训练 ☆4大高频考点概览 考点01探究数量关系 考点02转相关平行线压轴题 考点03定值问题 考点04存在性问题 目目 考点01 探究数量关系 1. (23-24七下.重庆九龙坡区期中)已知：如图1，AB∥CD,CD∥EF.求证： ∠B+∠BDF+∠F=360° 老师要求学生在完成这道题月证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ 消 图5 ()小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可 能是- (②)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB,EF,然后在平行线间画了 一点D,连接BD,DF后，用鼠标拖动点D,分别得到了图2,3,4，小颖发现图3正是上面题目的原型， 于是她由上题的结论猜想到图2和图4中的∠B,∠BDF与∠F之间也可能存在着某种数量关系.于是她利 用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系. 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图2中∠B,∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明： ②利用图③探究，在拖动点D至AB上方或EF的下方时，∠B,∠BDF与∠F之间还存在其他数量关系， 请直接写出∠B、∠BDF与LF之间的数量关系_（写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图5所示，BA垂直地面AE于点A.CD平行于地面AE,若 ∠BCD=150°，则∠ABC的度数为- 2.（2425七下，重庆渝北实验中学校期中)已知：如图1，AB∥CD,E,G是AB上的点，F,H是 1/16 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 CD上的点，∠1=∠2· G B N B H 图1 图2 图3 (1)求证：EF∥GH; (2)如图2，点P是FE延长线上的一点，连接PG,若LAGP的平分线与LFHG的平分线交于点M,试探究 ∠P与∠M的数量关系； (3)如图3，在(2)的条件下，作∠GHD的角平分线交AB于点N,若2LFHM=3LAGP,∠P=80°，则 ∠ANH ∠MGH 3.(24-25七下·重庆南川区三校联盟·期中已知，AB∥DE,点C在AB上方，连接BC、CD. H D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠ABC=145°，∠EDC=116°，求∠BCD的度数； (2)如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,写出∠ABC和∠F之间的数量关系； (3)如图3，在(2)的条件下，LCFD的平分线FG交CD于点G,连接GB并延长至点H,若BH平分 ∠ABC,求∠BGD-∠CGF的值 4.(2425七下·重庆南川区·期中)如图，己知AB∥CD,E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间， 连接GE、GF. A 图1 图2 图3 (I)当LBEG=40°，EP平分LBEG,FP平分∠DFG时： ①如图1，若EG⊥FG,则∠P的度数为-： 2/16 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ②如图2，在CD的下方有一点Q,EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ,求∠Q+2∠P的度数： (2)如图3，在AB的上方有一点O,若FO平分LGFC.线段GE的延长线平分L0EA,则当 ∠EOF+∠EGF=I00°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系 5.(23-24七下·重庆西大附中期中)己知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA、PD. B D 图1 图2 图3 (1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数； (2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为一· 3)如图3，在(2)的条件下，AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN+∠PAB=∠APD,求∠AND的度数. 6.(24-25七下.重庆八中.期中)如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE D D E B E B 图① 图② 图③ (1)求证：∠B+∠C-∠A=180°： (②)如图②，AQ、BQ分别为LDAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AOB的数量关系； (3)如图③，在(2)的前提下，且有AC∥QB,直线AQ、BC交于点P,QP⊥PB,直接写出 LDAC:∠ACB:∠CBE=- 7.(22-23七下·重庆江津区双福育才中学期中)如图，已知AB∥CD,E、F分别在AB、CD上，点G在 AB、CD之间，连接GE、GF, 3/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A E G 图1 图2 图3 (I)当LBEG=50°，EP平分∠BEG,FP平分LDFG时： ①如图1，若EG⊥FG,求∠P的度数； ②如图2，在CD的下方有一点Q,EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ,求∠Q+2∠P的度数： (2)如图3，在AB的上方有一点0，若FO平分∠GFC.线段GE的延长线平分∠0EA,则当 LEOF+LEGF=a时，请直接写出LOEA与∠OFC的数量关系.（用含a的式子表示） 8.(23-24七下.重庆育才中学校·期中)已知直线MN∥PQ,点A,C在直线MN上，点B,D在直线PQ 图1 图2 图3 (I)如图1，若AB∥CD,AE⊥AB,且∠EAM=42°，则LCDQ的度数为_； (2)如图2，若AB∥CD,AE⊥AB,AG平分∠EAM,过点D作DF⊥CD交MN于点F,求证： 2∠BAG=∠FDQ; (3)如图3，若LABD=60°，直线AB和直线CD相交于点K,点H在PQ上方的直线CD上，试探究∠BAH, ∠AHB和∠HBD之间的数量关系，并说明理由. 目目 考点02 旋转相关平行线压轴题 9. (24-25七下.重庆忠县·期中)为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航道管理局在 如图所示MN水域地带的两岸M、N处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯.设N水域地带两岸 AB∥CD,点N处探照灯射出的光线自ND开始顺时针旋转，点M处探照灯射出的光线自MB开始顺时针 旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点N处射出的光 4/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 线每秒旋转a度，点M处射出的光线每秒旋转b度.且V2a-5b)2+la+b-7=0. 图1 图2 (1)求a,b的值： (2)如图2，设两灯同时开始旋转，点N处探照灯射出的光线在旋转到VC之前，若两盏探照灯射出的光线 在点F处交叉照射，是否存在点F使得过F作FE⊥NF交AB于点E,且LMFE=30°，若存在，求∠MNF 的度数；若不存在，说明理由。 (3)设点M处探照灯先旋转15秒后，点N处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转的时间为t秒.当 点M处探照灯射出的光线首次旋转至MA位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，直 接写出所有的值；若不能，说明理由 10.(23-24七下·重庆西大附中期中)知直线MN∥PQ,现将一个含30°的三角板ABC按照如图1放置， 使点A,B分别在直线MN,PQ上，∠ABC=90°，∠C=60°，AD平分∠CAN交直线PQ于点D,且AD ∥BC. M M A(G)N D 图1 图2 (I)求∠BAM的度数； (2)将一个含有45°的三角板EFG按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边GF与AB重合.若 将三角板GEF绕点A以每秒6°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒(0<1<15). ①若三角板ABC保持不动，作∠DAF的角平分线AK,当∠CAK=12°时，求t的值； ②若三角板ABC同时绕点B以每秒18°的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边EF与三角板ABC的一条直 角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值 11.(24-25七下·重庆梁平梁山初中教育集团期中)在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与动 态三角板的变换”为主题展开探究.已知MN∥PQ,两块直角三角板aEDF(LEDF=90°，LEFD=45°)和 5/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 △ABC(LABC=90°，∠BCA=30). C(D)O B B M M 图1 备用图 (I)当三角板按如图1摆放时，延长ED交MN于G,DG是∠ADQ的角平分线，则∠ADQ=_°，∠DBG=_. (2)在(1)的条件下，将直角三角板。EDF绕点D以每秒5°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒 (0<1<18). ①直角三角板ABC和DG固定不动，作DK平分∠GDF,当∠ADK=10°时，求t的值； ②若直角三角板△EDF旋转的同时直角三角板ABC也以每秒15°的速度绕点B逆时针旋转，当边EF与三 角板ABC的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值 12.(23-24七下.重庆巴蜀中学校期中)已知，AB∥CD,直线FE交AB于点E,交CD于点F,点M在 线段EF上，过M作射线MR、MP分别交射线AB、CD于点N、Q. E/N∠R 一B EN R B M(O 图1 图2 图3 (I)如图1，当MR⊥MP时，求∠MNB+∠MQD的度数； (②)如图2，若∠DQP和∠MWB的角平分线交于点G,求∠NMQ和∠NGQ的数量关系； (3)如图3，当MR⊥MP,且∠EFD=60°，∠EMR=20°时，作∠MNB的角平分线NG.把一三角板OKI的 直角顶点O置于点M处，两直角边分别与MR和MP重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为5°每秒，当 OI落在MF上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转，三角板开始运动的同时∠BNG绕点N以3°每秒的速 度顺时针旋转，记旋转中的∠BNG为∠B'NG',当NG'和NA重合时，整个运动停止.设运动时间为t秒， 当∠B'WG'的一边和三角板的一直角边互相平行时，请求出t的值. 13.(24-25七下·重庆万州国本中学期中)己知直线AB直线CD,△EFG的顶点E、G分别在直线AB、 CD上，己知∠FEG=90°，∠EFG=60°，∠EGD的平分线GM交直线AB于H. 6/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 M M E B A E ⊥B K H D G G 图1 图2 (I)如图1，当LHEG=∠HGE时，求∠FGC的度数： (2)如图2，在(1)的条件下，线段EF以14°/秒的速度绕点E逆时针方向旋转，同时线段EG上有一点K, GK以6°/秒的速度绕点G顺时针方向旋转，EF旋转到射线EA上时，EF、KG都停止旋转.设旋转时间 为t秒，在旋转过程中形成的∠AEF、∠KGD的平分线EN、GM平行时，请直接写出t的值， 14.(24-25七下·重庆梁平区南华初中教育集团期中)已知，AE∥BD,∠A=∠D. 】 H GB 图1 图2 图3 (I)如图1，判断AB与CD的位置关系，并说明理由； (②)作∠BAE的平分线交CD于点F,点G为线段AB上一点，连接FG,∠CFG的平分线FM交线段AG于 点H.如图2，若∠ECF=120°，LAFH=20°，∠CFG=110°，求∠E的度数； (3)如图3，连接AC,在(2)的条件下，将射线FG绕点F以5°每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒 (0<t<50),己知∠CAB=65°，请直接写出∠CFG的平分线FM与三角形ACE的边平行时t的值 15.(24-25七下·重庆川外附校期中)如图1，已知直线AB与直线CD相交于点0,0F⊥CD于点0，且 ∠AOF=2∠BOD,M为射线OF上一点，过点M作AB的平行线，与直线CD相交于点N,直线MN绕点 M以每秒5°的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线CD相交于点N',设旋转时间为t(0<t<36). 备用图 (1)求∠MNO的度数； (②)H为NM延长线上一点，M0,OO分别为LHMN',LAON'的三等分线，且∠HMQ=∠HMN, 3 ∠AOQ=二∠AON'. 3 7/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ①如图2，当0<t<12时，探究∠MQO与∠MN'0的数量关系； ②当12<1<30时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时 ∠MQO与∠MN'O的数量关系 (3)如图3，作∠OMN的角平分线，与∠BOD的角平分线交于点E.当直线MN开始旋转的同时，三角形 MOE也开始绕点O以每秒3°的速度逆时针方向旋转，得到三角形MOE',当MN停止旋转时，三角形 MOE也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线MN'与三角形MOE'的某一边所在直线垂直时t的 值 16.(23-24七下·重庆江北期中)如图，直线PQ∥MN,一副教学三角板中∠ABC=∠CDE=90°， ∠ACB=30°，∠BAC=60°，∠DCE=∠DEC=45°，现按如图1放置，其中点E在直线PQ上，点B,C均在 直线MN上. E D M B N BN M BN 图1 图2 备用图 )如图1，当CE平分∠ACM时，求CE的值： ∠PED (②)若将三角板ABC绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转(A,C的对应点分别为F,G),设旋转 时间为t秒， ①在旋转过程中，如图2所示，当边BG∥DE,求t(0≤1≤60)的值， ②若三角板ABC绕点B旋转的同时，三角板CDE绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转(C,D的 对应点为H,K),请直接写出当边BG∥HK时(0≤t≤120)的值. 目目 考点03 定值问题 17.(24-25七下·重庆长寿实验中学期中)己知AB∥CD,点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、 CD之间，连接MG、NG. 8/16 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A M A M B G N D 图1 备用图 图2 (I)如图1，若GM⊥GN,求∠AMG+∠CNG的度数 (2)在(1)的条件下，己知∠BMG的平分线MH交∠GND的平分线NH于点H,请在“备用图上”作出相应 的图，并求∠MHN的度数 (3)如图2，若点P是CD下方一点，MT平分∠BMP,NC平分∠TNP,PM与CD相交于点K,己知 ∠BMT=40°，证明：∠MTN-∠P为定值. 18.(24-25七下·重庆一中期中)已知：AB∥CD,E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，满足 EF∥GH. A B B D CO M 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠1=∠2.下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：：AB‖CD(已知)； ∠1=∠GHD( :EF∥GH(己知)； (两直线平行，同位角相等)， .∠1=∠2(). (②)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M,作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N,EN交GH于 点P,求LENF的度数； 3)如图3，在(2)的条件下，当∠FEN=2∠HFM时，请问是否存在G01为定值，使得QG平分∠4GM? ∠GPN 若存在，请求出G01的值；若不存在，请说明理由。 ∠GPN 19.(24-25七下·重庆十一中期中)【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于180°”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正 9/16 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 确.证明过程如下： D B M D 图1 图2 图3 如图1：延长BC到点D,过点C作CE∥AB, :CE∥AB, ① =∠ACE,② =∠DCE, :∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°， .∠ACB+∠A+∠B=180°. (1)补全小安证明过程中①②所缺的内容； 【问题解决】 (2)如图2，直线l∥12，点A,B分别在I,Z上，C是I上点A右侧的动点，点G在射线BA上，连接 CG、CF为LACG的平分线，作∠ABD的平分线BE,交FC的延长线于E,过点E作EH∥I. ①若∠G=20°，求∠BEC的度数； ②如图3，GM平分∠AGC交Z于点M,且∠ABD=70°.在点C的运动过程中，∠GMB-∠BEC是否为定 值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由 20.(23-24七下·重庆一中期中)如图，∠A=60°，AM∥BN,P为射线AM上一动点，连接BP,作BC平分 ∠PBA,交AM于点C,作BD平分∠PBN,交AM于点D. DM B 图1 图2 (I)如图1，当BP⊥AM时，求∠ABC的度数. (2)如图2，当BC⊥AM时，求∠PBD的度数. (3)请说明在点P的运动过程中，∠PCB+∠PDB的值是否为定值.若是定值，请求出∠PCB+∠PDB的度数， 若不是定值，请说明理由. 21.(2425七下·重庆一中·期中)己知AB∥CD,P是截线MN上的一点，MN与CD,AB分别交于E, 10/16命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02相交线与平行线压轴题分类训练 ☆4大高频考点概览 考点01探究数量关系 考点02转相关平行线压轴题 考点03定值问题 考点04存在性问题 目目 考点01 探究数量关系 1. (23-24七下.重庆九龙坡区期中)已知：如图1，AB∥CD,CD∥EF.求证： ∠B+∠BDF+∠F=360° 老师要求学生在完成这道题月证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ 图5 ()小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可 能是 (②)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB,EF,然后在平行线间画了 一点D,连接BD,DF后，用鼠标拖动点D,分别得到了图2,3,4，小颖发现图3正是上面题目的原型， 于是她由上题的结论猜想到图2和图4中的∠B,∠BDF与∠F之间也可能存在着某种数量关系.于是她利 用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系. 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图2中∠B,∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点D至AB上方或EF的下方时，∠B,∠BDF与∠F之间还存在其他数量关系， 请直接写出∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系_（写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图5所示，BA垂直地面AE于点A.CD平行于地面AE,若 ∠BCD=150°，则∠ABC的度数为_ 【答案】()两直线平行，同旁内角互补 1/75 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (②)①∠BDF=∠B+∠F,证明见解析；②∠F=∠B+∠BDF或∠F=∠B-∠BDF(写出一种即可)； (3)120° 【来源】重庆市九龙坡区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的性质， (1)根据平行线的性质进行填空即可； (2)①过D作DC∥AB,进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；②在拖动点D至AB的上方或EF的 下方两种情况下，分别过点D作DM∥AB,DN∥AB,进而根据平行线的性质进行角度的计算即可； (3)过点B作BG川AE,进而根据平行线的性质进行角度的计算即可. 【详解】(1)证明：：AB∥CD :∠B+∠CDB=180°（两直线平行，同旁内角互补） :CD∥EF .∠F+∠CDF=180°（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：两直线平行，同旁内角互补. (2)①∠BDF=∠B+∠F 证明：如下图，过D作DC∥AB .ZB=LBDC :AB∥EF ∴CD∥EF .LCDF=∠F .ZBDF ZBDC Z FDC ZB Z F ②当拖动点D至AB的上方时，如下图，过点D作DM∥AB :DM∥AB ∠MDB=∠B AB /EF DM∥EF .∠MDF=∠F 2175 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠MDF=∠MDB+∠BDF ∠F=∠B+∠BDF; D-- M 2°当拖动点D至EF的下方时，如下图，过点D作DN∥AB E :DN∥AB ∠NDB=∠B :AB∥EF DN∥EF .∠NDF=F .:·∠NDF=∠NDB-∠BDF ∠F=∠B-∠BDF; D--N 故答案为：∠F=∠B+∠BDF或∠F=∠B-∠BDF(写出一种即可)， (3)120 过点B作BG∥AE :BE∥AE,CD∥AE, .CD∥BG ∠C+∠CBG=180° :∠BCD=150° ∴∠CBG=30° :BA⊥AE,BG∥AE ∠ABG=90° LABC=∠ABG+∠CBG=30°+90°=120°， 3/75 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：120°. A 2.(24-25七下.重庆渝北实验中学校期中)已知：如图1，AB∥CD,E,G是AB上的点，F,H是 CD上的点，∠1=∠2. H D 图1 图2 图3 (I)求证：EF∥GH; (②)如图2，点P是FE延长线上的一点，连接PG,若LAGP的平分线与LFHG的平分线交于点M,试探究 ∠P与∠M的数量关系； (3)如图3，在(2)的条件下，作∠GHD的角平分线交AB于点N,若2LFHM=3LAGP,∠P=80°，则 ∠ANH ∠MGH 【答案】(1)证明见解析 (2)∠FPG=2∠HMG 【来源】重庆市渝北区实验中学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的 关键. (1)根据平行线的性质可得∠I=∠AEF,则可证明∠2=∠AEF,进而可证明EF∥GH; (2)过点M作MN∥AB,过点P作PQ∥AB,则∠NMG=∠AGM,∠GPQ=∠AGP,再证明 PQ∥CD,MN∥CD,得到∠HMN=∠CHM,∠FPQ=180°-∠PFD,根据平行线的性质可证明 ∠FPQ=∠FHG,由角平分线的定义可得∠CM=5FG,∠4GM=∠AGP,则 ∠MG=∠HN-∠GMN-FHG-∠4GP,∠FPG=∠PQ-∠QPG=∠FHG-∠AGP, ∠FPG=2∠HMG; 4/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)设∠FHM=3x,∠AGP=2x,则∠FHG=2∠FHM=6x,由(2)可得∠P=∠FHG-∠AGP=80°， 据此可求出∠FHG=120°，则∠GHD=60°，由平行线的性质可得∠AGH=180°-∠FHG=60°， ∠ANH=∠DHN=30°， 则∠MGH=∠AGM+∠AGH=80°，据此可得答案. 【详解】(I)证明：AB∥CD, .∠1=∠AEF, ∠1=∠2， ∠2=∠AEF, EF∥GH: (2)解：如图所示，过点M作MN∥AB,过点P作PQ∥AB, :.∠NMG=∠AGM,∠GPQ=∠AGP, :CD∥AB, .PQ∥CD,MN∥CD, :.∠HMN=∠CHM,∠FPQ=180°-∠PFD, :EF∥GH, .∠FHG=180°-∠PFD, :.∠FPQ=∠FHG, :LAGP的平分线与∠FHG的平分线交于点M, ∠CM-FHG∠4GM=4GP, 2 &∠HMG=∠HN-∠GMN=3∠FiG- /AGP. 1 ∠FPG=∠FPQ-∠QPG=∠FHG-∠AGP, .∠FPG=2∠HMG: M ---0 A E G B H D (3)解：2LFHM=3LAGP, .可设∠FHM=3x,∠AGP=2x, .∠FHG=2∠FHM=6x, 5/75 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 由(2)可得LP=∠FHG-∠AGP=6x-2x=80°， x=20°， ∠FHG=120°， .∠GHD=60°， :HN平分∠GHD, :∠DHN=∠GHD=30°. 2 :AB∥CD, :∠AGH=180°-∠FHG=60°，∠ANH=∠DHN=30°， 1 .∠MGH=∠AGM+∠AGH= ×2×20°+60°=80°， 2 ∠ANH3 ∠MGH8 3.(24-25七下·重庆南川区三校联盟·期中)已知，AB∥DE,点C在AB上方，连接BC、CD, H A B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠ABC=145°，∠EDC=116°，求∠BCD的度数； (2)如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,写出∠ABC和∠F之间的数量关系； (3)如图3，在(2)的条件下，LCFD的平分线FG交CD于点G,连接GB并延长至点H,若BH平分 ∠ABC,求∠BGD-∠CGF的值. 【答案】(I)∠BCD=29° (2)LABC-LF=90° (3)LBGD-∠CGF=45° 【详解】(1)解：过点C作CM∥AB,如图1， 6/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C …M B E D 图1 ∠BCM=LABC=145°， ABI DE, .CMDE LDCM=∠EDC=116°， :∠BCM=∠BCD+∠DCM, :.∠BCD=∠BCM-∠DCM=145°-116°=29°； (2)解：∠ABC-∠F=90°，理由： 过点C作CN∥AB,如图， C …W A E D 图2 .∠ABC=∠BCN, :ABIDE, .CNII EF, .∠F=∠FCN, :∠BCN=∠BCF+∠FCN, ∠ABC=∠BCF+∠F, :CF⊥BC, ∠BCF=90°， ∠ABC=90°+∠F, 即∠ABC-∠F=90°： 7/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：延长HG交EF于点Q,过点G作GP‖EF,如图3， H B A. E D 图3 .ZBGD ZCGO, ABI DE, .LABH=∠EQG, :GPEF, ∠EQG=LPGQ,∠EFG=∠PGF, .ZPGO ZABH .ZBGD-ZCGF=ZCGO-ZCGF=ZFGO, :LFGQ=∠PGQ-LPGF, .ZFGO=ZABH-ZEFG :BH平分∠ABC,FG平分∠CFD, :LABH=∠ABC,∠EFG=∠CFD, 2 、 ∠R0=a8c-cFD4c-∠CFD 2 由(2)可得：∠ABC-∠CFD=90°， E∠FG0=号×90°=45° 即∠BGD-∠CGF=45°. 4.(24-25七下·重庆南川区期中)如图，己知AB∥CD,E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间， 连接GE、GF. G 图1 图2 图3 8/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)当∠BEG=40°，EP平分LBEG,FP平分LDFG时： ①如图1，若EG⊥FG,则∠P的度数为-： ②如图2，在CD的下方有一点Q,EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ,求∠Q+2∠P的度数： (2)如图3，在AB的上方有一点O,若FO平分∠GFC.线段GE的延长线平分L0EA,则当 LEOF+LEGF=100°时，请直接写出LOEA与∠OFC的数量关系 【答案】(1)①45°，②120° (2)L0EA+2L0FC=160° 【详解】(I)解：①如图，分别过点G、P作GN∥AB,PM∥AB, B ?G .∠BEG=∠EGN, D 图1 :AB∥CD, NG∥CD .∠NGF=∠GFD, ∠EGF=∠BEG+∠GFD, 同理可得：∠EPF=∠BEP+∠PFD, :EG⊥FG, ∠EGF=90°， :EP平分LBEG,FP平分LDFG: BEP-BEG,LPFD=，∠GF ∠EPF=∠BEG+∠GPD=<EGF=4S. 故答案为：45° ②如图，过点Q作QR∥CD, B R 图2 9175 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ, ∴.∠GEQ=∠BEG=40°，LGFD=LQFD, 设∠GFD=∠QFD=a, :QR∥CD,AB∥CD, .∠EQR=180°-∠QEB=180°-2∠QEG=100°， :QR∥CD, ∴.∠DFQ+∠FQR=180°， ∴.a+∠FQR=180°， ∴.a+∠FQE=80°， :LFQE=80°-a, 由(1)可知∠G=2∠P=∠BEG+∠GFD=40°+a, .∠FQE+2∠P=80°-a4+40°+a=120° (2)解：如图，在AB的上方有一点O,若FO平分∠GFC,线段GE的延长线平分∠OEA, H B C δ 设H为线段GE的延长线上一点，则∠OFC=∠OFG,∠OEH=∠HEA, 设L0FC=L0FG=B,∠0EH=LHEA=a, 如图，过点O作0T∥AB,则OT∥CD, .∠TOF=∠OFC=B,∠T0E=L0EA=∠0EH+LAEH=2a, .∠EOF=∠TOF-∠TOE=B-2a, :∠BEG=∠HEA=a,∠GFD=180°-∠OFC-∠OFG=180°-2B 由(1)可知：∠G=∠BEG+∠GFD=a+180°-2B, ∠E0F+LEGF=100°， .B-2a+a+180°-2β=100°，即a+B=80°， .2a+2B=160°， :∠0EA=2a,∠OFC=B, .∠0EA+2∠0FC=160°. 5.(23-24七下·重庆西大附中期中)已知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA、PD. 10/75