第二章 二元一次方程组（复习课件）数学新教材浙教版七年级下册

单元复习课件 第二章 二元一次方程组 新教材浙教版·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解二元一次方程（组）及其解的概念，能判断方程类型、验证方程组的解，会用列表尝试法初步求解。 3.能从实际问题中抽象出等量关系，正确设元、列出二元一次方程组并求解，建立方程模型解决实际问题。 2. 掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组，理解“消元转化”思想，能根据方程组特征选择合适方法并规范求解。 单元学习目标 二元一次方程组 二次一次方程（组）及应用 三元一次方程组 加减消元法 概念：含有3个未知数的方程组，且所有方程未知数次数都为1 二元一次方程：含有2个未知数，且未知数次数都为1的整式 二元一次方程组：由2个方程组成，形如 解法：化2个1个地解（→一元一次方程），解出一个，其他3个都可以求 基本概念 解：使方程左右两边相等（无数）；二元一次方程组的解形如 ，有且仅有一组解 代入消元法 解的个数：唯一解、无数组解、无解 解二元一次方程组 三元一次方程组的解：有几个未知数就有几组解（拓展了解） 实际问题 步骤：审，设，列，解，验，答 类型：行程问题，配套问题，工程问题，商品销售 单元知识图谱 考点一、二元一次方程 1．二元一次方程的定义：每个方程都含有______未知数，并且含有未知数的项的次数都是 _____，像这样的方程叫做二元一次方程。 2. 二元一次方程的一般形式：__________________. 注意：二元一次方程需满足三个条件： ①首先是整式方程． ②方程中共含有两个未知数． ③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程。 两个 1 ax+by=c（a≠0,b≠0） 考点串讲 考点二、二元一次方程的解 二元一次方程的解定义： ______________________________________________，叫做二元一次方程的解。 注意：1、二元一次方程的解都是成对出现的两个数，一般要用大括号括起来。 2、在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 考点串讲 考点三、二元一次方程组 二元一次方程组的定义：方程组有________未知数，含有每个未知数的项的次数都是______，并且一共有_____个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。 注意：1、二元一次方程组需满足三个条件：① _____个未知数；② 未知数的项的次数是_____； ③ 方程的左右两边都是_____。 2、二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数可以超过两个，其中有的方程也可以是一元一次方程。 两个 1 两 两 1 整式 考点串讲 考点四、二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解。 2. 只要告诉一组值是某个二元一次方程组的解，就说明这组值是这个方程组中_______________。 3．方程组中的某个方程的解不一定是这个方程组的解，因此，要检验一对未知数的值是否为一个方程组的解时，____________________ ____________________________中进行检验。 公共解 每个方程的解 分别代入方程组的每一个方程 必须将这对未知数的值 考点串讲 考点五、代入消元法 1．消元思想：将未知数的个数_________、_________的思想方法，叫做消元思想。 2．代入法：把二元一次方程组中______________________用含_________________表示出来，再代入___________，实现_______，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做_____________，简称代入法。 由多化少 逐一解决 一个方程的一个未知数 另一未知数的式子 另一个方程 消元 代入消元法 考点串讲 考点五、代入消元法 3．用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。 ②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值。 ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值。 ⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解。 考点串讲 考点六、 加减消元法 1. 加减法：当二元一次方程组的两个方程中___________________ _____________，把这两个方程的___________________，就能消去这个 __________，得到一个________________，这种方法叫做___________，简称加减法。 2. 用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用_______________________，使某一个未知数的系数相等或互为相反数。 同一未知数的系数相 反或相等时 两边分别相加或相减 未知数 一元一次方程 加减消元法 适当的数去乘方程的两边 考点串讲 考点六、 加减消元法 ②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 ③解这个一元一次方程，求得未知数的值。 ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值。 ⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用 的形式表示。 考点串讲 考点七、二元一次方程组的应用 利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量关系式 → 设元（设未知数） → 根据数量关系式列出方程组 → 解方程组 → 检验并作答（注意：此步骤不要忘记） 考点串讲 考点八、列二元一次方程组解应用题的常见类型 ① 和、差、倍、分问题 较大量=较小量+多余量，总量=倍数×一份的量。 ② 产品配套问题 这类问题的基本等量关系是配套比相等。 ③ 行程问题 速度×时间=路程。 (1) 相遇问题 ①两人同时从不同地点出发，相向而行，直到相遇。 ②两人不同时从不同地点出发，相向而行，直到相遇。 考点串讲 考点八、列二元一次方程组解应用题的常见类型 其等量关系都是：两人走的路程和等于两地的距离。 （2）追及问题 ①两人同地不同时，同向而行，直到后者追上前者.其等量关系是：两人所走的路程相等.（两人所用时间不同） ②两人同时不同地，同向而行，直到后者追上前者。其等量关系是：两人所走的路程之差等于起始两地的距离。（两人所用时间相同） ③两人不同时不同地，同向而行，直到后者追上前者，其等量关系是：两人所走的路程之差等于起始两地的距离。（两人所用时间不同） 考点串讲 考点八、列二元一次方程组解应用题的常见类型 (3) 水路行船问题 ①顺水速度=静水速度+水流速度； ②逆水速度=静水速度−水流速度。 ④工程问题 工作效率×工作时间=工作量。 工作效率是单位时间里完成的工作量。同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可以设为a，应根据题目的特点合理选用。 考点串讲 考点八、列二元一次方程组解应用题的常见类型 ⑤增长率问题 原量 × (1+增长率) = 增长后的量；原量 × (1−减少率) = 减少后的量。 ⑥储蓄问题 利息=本金×利率×时间；本息和=本金+利息=本金+本金×利率×时间。 ⑦数字问题 解这类问题，要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关的概念、特征及表示。 ⑧年龄问题 解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等这一特征。 考点串讲 考点九、三元一次方程组的定义 含有______个未知数，并且含有未知数的项的次数都是____的方程叫做三元一次方程；含有_________的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 ____，并且一共有_________，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 三 三个相同 1 三个方程 1 考点串讲 考点十、三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是_____，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个_________方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数。解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用________________，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的________________； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； 消元 二元一次 代入法或加减法 二元一次方程组 考点串讲 考点十、三元一次方程组的解法 （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个______________； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个___________； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起。 一元一次方程 未知数的值 考点串讲 考点十一、三元一次方程组的步骤 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用_______________________ _______________________； （2）找出________________________的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的__________，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出____________； （5）写出答案(包括单位名称)。 字母（如x，y，z）表示题 目中的两个(或三个)未知数 能够表达应用题全部含义 代数式 未知数的值 考点串讲 题型一、判断是否是二元一次方程 例1：下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. xy=5 B. x+y²=7 C. x+y=1 D. \frac{1}{x}-y=2 解析：A选项：xy=5中，xy项的次数为2，不符合“一次”要求，排除； B选项：x+y²=7中，y²项的次数为2，不符合“一次”要求，排除； C选项：x+y=1，含2个未知数，项的次数均为1，且为整式方程，符合定义。 D选项：\frac{1}{x}-y=2分母含未知数，属于分式方程，不符合要求，排除。故答案选C. C 题型剖析 1. 明确定义内容——判断二元一次方程的条件，是依据“含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，同时是整式方程”的规则，识别方程的结构与限制条件，核心是区分不同形式下的方程要求，排除不符合二元一次方程定义的情况。 2. 掌握核心思路——解题抓“判、定、验”：先判断方程是否为整式方程，再确定未知数的个数，最后验证含未知数的项的次数是否都为1，从而确认是否为二元一次方程。 题型一、判断是否是二元一次方程 题型剖析 变式：在下列式子中：①2x+y=4；②3xy=7；③x^2+2y=0；④ ；⑤2x+y+z=1；⑥2m+3n，二元一次方程的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 题型一、判断是否是二元一次方程 解析：① 2x+y=4：含2个未知数x,y，项的次数均为1，是整式方程，符合； ② 3xy=7：xy项的次数为1+1=2，不符合“一次”要求，排除； ③ x^2+2y=0：x^2项的次数为2，不符合“一次”要求，排除； ④ ：分母含未知数，是分式方程，排除； ⑤ 2x+y+z=1：含3个未知数，不符合“二元”要求，排除； ⑥ 2m+3n：不是等式，不是方程，排除。故答案为：A 题型剖析 例2：若关于x的方程 是二元一次方程，则k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 题型二、根据二元一次方程的定义求字母的值 A 解析：∵关于x的方程 是二元一次方程， ∴2-k=1， 解得：k=1， 故选：A。 题型剖析 1. 明确定义内容——根据二元一次方程的定义，是依据“含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且是整式方程”的规则，列出关于字母的方程（组），核心是抓住“项的次数为1”这一关键条件，同时注意系数不为0的隐含要求。 2. 掌握核心思路——解题抓“定、列、验”：先根据定义确定未知数项的次数要求，列出关于字母的方程（组），再解方程（组）求出字母的值，最后验证结果是否满足所有条件，从而确定最终取值。 题型二、根据二元一次方程的定义求字母的值 题型剖析 变式：若方程 是二元一次方程，则m+n=______. 解析：对 x 的项：次数为 m-1，需满足 m-1=1，解得 m=2； 对 y 的项：次数为 3n+1，需满足 3n+1=1，解得 n=0； 因此，m+n=2+0=2。故答案为：2。 2 题型二、根据二元一次方程的定义求字母的值 题型剖析 例3：下列方程组，其中是二元一次方程组的有____________（填序号） ① ② ③ ④ 题型三、 判断是否是二元一次方程组 ①③ 题型剖析 解析：① 符合二元一次方程组的定义，正确； ② 含有三个未知数，错误； ③ 符合二元一次方程组的定义，正确； ④ 未知数的次数是2，错误； 故答案为：①③ 题型三、 判断是否是二元一次方程组 题型剖析 1. 明确定义内容：判断二元一次方程组，需满足三个核心条件：①方程组共含2个未知数；②含未知数的项的次数均为1；③每个方程都是整式方程。需依据该规则识别结构、排除不符合定义的情况。 2. 掌握核心思路：解题遵循“判、定、验”三步：先判断各方程是否为整式方程，再确定方程组的未知数总个数，最后验证所有含未知数项的次数是否为1，三步均满足即为二元一次方程组。 题型三、 判断是否是二元一次方程组 题型剖析 变式：下列方程组为二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. D 题型三、 判断是否是二元一次方程组 题型剖析 解析：A选项方程组中的第二个方程不是二元一次方程，∴A选项不是二元一次方程组，不符合题意； B选项方程组中的第一个方程不是二元一次方程，∴B选项不是二元一次方程组，不符合题意； C选项方程组中含有3个未知数，∴C选项不是二元一次方程组，不符合题意； D选项方程组符合二元一次方程组的定义，∴D选项是二元一次方程组，符合题意。故答案为：D. 题型三、 判断是否是二元一次方程组 题型剖析 例4：下列各对数是二元一次方程x+3y=2的解的是（ ） A. B. C. D. 题型四、判断是否是二元一次方程的解 A 题型剖析 解析：A选项：将 代入方程x+3y=2 左边=-4 + 3\times2 = -4 + 6 = 2，右边=2，左边=右边，是方程的解。 B选项：将 代入方程x+3y=2 左边=2 + 3\times(-2) = 2 - 6 = -4，右边=2，左边≠右边，不是方程的解。 C选项：将 代入方程x+3y=2 左边=1 + 3\times(-1) = 1 - 3 = -2，右边=2，左边≠右边，不是方程的解。 D选项：将 代入方程x+3y=2 左边=0 + 3\times3 = 9，右边=2，左边≠右边，不是方程的解。 故答案选A。 题型四、判断是否是二元一次方程的解 题型剖析 1. 明确定义内容——判断二元一次方程的解的条件，是依据“使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）”的规则，将有序数对代入方程，验证等式是否成立，核心是区分“代入后等式成立”与“不成立”的情况，排除不符合方程解定义的选项。 2. 掌握核心思路——解题抓“代、算、验”：先将有序数对代入方程左右两边，再分别计算两边的数值，最后验证两边数值是否相等，从而确认该有序数对是否为方程的解。 题型四、判断是否是二元一次方程的解 题型剖析 变式：一下列二元一次方程组的解是 的是（ ） A. B. C. D. C 题型四、判断是否是二元一次方程的解 题型剖析 解析：选项A：x=2,y=1代入原方程组：第一个方程：2+1=3，成立；第二个方程：2-1=1≠2，不成立。因此不是该方程组的解。 选项B：x=2,y=1代入原方程组：第一个方程：2×2-1=3≠0，不成立。因此不是该方程组的解。 选项C：x=2,y=1代入原方程组：第一个方程：2×2-1=3，成立；第二个方程：2+3×1=5，成立。两个方程均成立，因此是该方程组的解。 选项D：x=2,y=1代入原方程组：第一个方程：3×2-4×1=2，成立；第二个方程：4×2-3×1=5≠6，不成立。 因此不是该方程组的解。故答案为C. 题型四、判断是否是二元一次方程的解 题型剖析 题型五、二元一次方程的解代入求值 例5：若 是关于x、y的方程2x-ay=3的一个解，则a的值为____________． 1 解析：已知 是方程2x-ay=3的一个解，将x=2，y=1代入方程2x-ay=3中，得到2\times 2-a\times 1=3。 先计算2\times 2=4，则方程变为4-a=3。解得：a＝1。 题型剖析 1. 明确定义内容——利用二元一次方程的解的定义：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值，是代入求值的核心依据。核心是抓住“解满足方程”这一关键，将已知的解代入原方程，把含未知数的方程转化为关于待求字母的一元一次方程，从而求解。 2. 掌握核心思路——解题抓“代、列、解”：先将已知的方程的解（x、y的值）代入原二元一次方程，再列出关于待求字母的一元一次方程，最后解这个一元一次方程，求出字母的值。 题型五、二元一次方程的解代入求值 题型剖析 变式：若 是方程2x+y=2的一个解，求8a+4b-3的值。 题型五、二元一次方程的解代入求值 解：∵ 是方程2x+y=2的一个解 ∴ 2a+b=2 ∴ 8a+4b-3=4(2a+b)-3=4×2-3=5 题型剖析 题型六、二元一次方程的应用 例6：盒子里有三种球，分别标有数字5、9和2，贝贝从中摸出9个球，它们的数字之和是40，贝贝摸出了______个标有数字2的球. 3 解析：设摸出x个2，y个5，(9 - x - y)个9， 由题意得，2x + 5y + 9(9 - x - y) = 40, 整理得，7x + 4y = 41, ∴ , ∴摸出3个2， 故答案为：3. 题型剖析 遇二元一次方程应用，先抓解题核心（找两个等量关系）； 明确设元策略（设两个未知数），理清已知未知量是基础； 依据等量关系列二元一次方程（组），用消元法求解得初步结果； 结合实际意义验解（如正整数、非负数），确保解符合问题情境。 题型六、二元一次方程的应用 题型剖析 变式：足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有______种不同的可能性. 3 解析:设该球队胜x场，平y场，则负(15 - x - y)场， 由题意得：3x + y = 33, 整理得：x = 11 - y, ∵ x、y均为非负整数，且x + y ≥15, ∴ 或 或 , ∴ 15 - x - y = 2或0或4,即该队得胜、负、平场数情况共有3种不同的可能性，故答案为：3. 题型六、二元一次方程的应用 题型剖析 题型七、二元一次方程组的解法——消元法 例7：用代入法解方程组： ① ② 解：由②得：y = 2x - 5③， 把③代入①得：3x + 4(2x - 5) = 2， 解得：x = 2， 把x = 2代入③得：y = -1， 则方程组的解为 题型剖析 遇二元一次方程组消元法，先抓解题核心（消去一个未知数）； 明确消元策略（代入消元或加减消元），观察方程特点是关键； 代入消元：选系数简单的方程表未知数，代入另一方程转一元方程； 加减消元：使同一未知数系数成相反数/相等，加减消元转一元方程； 解出一元方程后回代求另一未知数，联立得方程组的解。 题型七、二元一次方程组的解法——消元法 题型剖析 变式：用加减消元法解方程组： 解:方程组整理得： ， ①+②×2得：13x = 13, 解得：x = 1, 把x = 1代入②得：y = 2, 则方程组的解为 。 ① ② 题型七、二元一次方程组的解法——消元法 题型剖析 题型八、整体代入法与换元法 例8：先阅读材料，然后解方程组. 材料：解方程组： ，由①，得x + y = 2③，把③代入②，得3×2 - y = 4，解得y = 2. 把y = 2代入③，得x = 0. ∴原方程组的解为 ；这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： ① ② ① ② 题型剖析 解： 由①，得3x - 2y = 1. ③ ②可化为 + y = 2. ④ 把③代入④，得 + y = 2， 解得y = . 把y = 代入③，得x = . ∴原方程组的解为 ① ② 题型八、整体代入法与换元法 题型剖析 1. 明确定义内容——整体代入法与换元法是二元一次方程组的特殊消元技巧，核心是通过构造整体、简化结构，避免常规消元的复杂运算，适用于方程组中存在重复代数式、结构对称或含括号的场景，本质仍是通过消元转化为一元一次方程求解。 2. 掌握核心思路——解题抓“辨、代、回”：先辨别方程组的结构特征，选择对应方法；整体代入法直接将相同代数式作为整体代入另一方程，换元法通过设新元将复杂方程组转化为简单二元一次方程组；解出结果后回代验证，确保符合原方程组。 题型八、整体代入法与换元法 题型剖析 变式：用解方程组： ，若设2x + y = m，x - 2y = n，则原方程组可化为 ，解方程组得 ，所以 ，解方程组得 ，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法. （1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，那么关于m、n的二元一次方程组 的解为：______. 题型八、整体代入法与换元法 题型剖析 （2）知识迁移：请用这种方法解方程组 ． 解：(1) (2)设 则原方程组可化为 解得 即有 解得 ∴方程组的解为 题型八、整体代入法与换元法 题型剖析 题型九、二元一次方程组的错解复原问题 例9：张亮在解方程组 时，因看错了b，结果解得 ，那么下列结论中正确的是（ ） A. b≠6，c=-15 B. b=6，c=-15 C. b≠6，c≠-15 D. b=6，c≠-15 A 解： , , 故选：A. 题型剖析 遇二元一次方程组错解复原问题，先抓解题核心（区分“看错”与“没看错”的方程）； 明确数据用途（用错解代入没看错的方程，求正确参数），理清错误条件是关键； 代入错解：将看错后的解代入未看错的方程，列方程求对应字母的值； 整理参数：结合正确解或其他条件，确定所有字母的正确值； 回代求解：用正确参数组成原方程组，解出原方程组的正确解。 题型九、二元一次方程组的错解复原问题 题型剖析 变式：小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组 由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，求原方程组的解． ① ② 题型九、二元一次方程组的错解复原问题 题型剖析 解：依题意，把 代入②， 得2×5 - 3b = 1.解得b = 3. 把 代入①， 得3a - 2 = 7.解得a = 3. 则原方程为 解得 题型九、二元一次方程组的错解复原问题 题型剖析 例10：若二元一次方程组 和 同解，则可通过解方程组__________求得这个解. 解析：因为两方程组有相同的解，所以可通过解方程组 ，求得这个解. 题型十、方程组同解问题 题型剖析 1. 明确定义内容——方程组同解问题，核心是两组方程组的解完全相同，即一组方程组的解同时满足另一组方程组的所有方程；本质是利用“公共解”建立等量关系，通过联立不含参数的方程先求出公共解，再代入含参数的方程求解参数。 2. 掌握核心思路——解题抓“联、代、验”：先联立两组方程组中不含参数的方程，求出公共解；再将公共解代入含参数的方程，构建关于参数的一元一次方程（组），求解参数；最后将参数代回原方程组，验证两组方程组的解是否完全一致。 题型十、方程组同解问题 题型剖析 变式：已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值. 解：由题意可得 解得 将 代入 得 解得 题型十、方程组同解问题 题型剖析 1. 若(x - 2y + 9)²与|x - y - 3|互为相反数，则x + y的值为( ) A. 3 B. 9 C. 12 D. 27 D 解：∵ (x - 2y + 9)²与|x - y - 3|互为相反数， ∴ (x - 2y + 9)² + |x - y - 3| = 0， 而(x - 2y + 9)² ≥0，|x - y - 3|≥0， ∴ ， 解得 ， ∴ x + y = 15 + 12 = 27. 故选：D. 针对训练 2．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，某班开展“航空航天”知识竞赛并花费48元为表现突出的同学购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有（ ）种购买方案. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 针对训练 解：设甲种奖品购买x件，乙种奖品购买y件， 由题意得：4x + 3y = 48(x≥1, y≥1) 将方程变形为：y = 要求y为正整数，即48 - 4x必须能被3整除且结果大于等于1. 依次代入x的正整数值验证： 当x = 3时，y = ，符合条件；当x = 6时，y = ，符合条件； 当x = 9时，y = ，符合条件. 其他x值代入后y均不为整数或小于1. 因此共有3种购买方案.故选B. 针对训练 3. 中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两。牛二，羊五，值金八两。问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两。问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程为____________________。 解：牛、羊每头各值金 x 两、 y 两，由题意得： ， 故答案为 针对训练 4．解方程. 解： ②-①×3得，2n + 25 = -21 解得：n = -23 将n = -23代入①得，3m + 4×23 = 7， 解得：m = ， ∴原方程组的解为： ① ② 针对训练 5. “洪水无情，人间有爱”，甲地连日暴雨，发生严重的洪涝灾害，乙地的几个蔬菜种植户自发调集一批蔬菜运往灾区。已知用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运送14吨；1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运送16吨。 (1) 1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ (2) 现有调集来的蔬菜40吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜。请你通过计算说明共有几种租车方案。 针对训练 解：(1) 设1辆A型车载满蔬菜一次可运送 x 吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送 y 吨， 由题意得 ， 解得 。 答: 1辆A型车载满蔬菜一次可运送4吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送6吨。 针对训练 (2) 由题意得 4a+6b=40 ， ∵ a、b均为正整数， ∴ ，或 ，或 ， ∴共有3种租车方案： ①租用1辆A型车，6辆B型车； ②租用4辆A型车，4辆B型车； ③租用7辆A型车，2辆B型车。 针对训练 ✅ 知识构建：二元一次方程组 二元一次方程（组）的概念→二元一次方程组的一般形式 →二元一次方程组的解法（代入消元法、加减消元法、整体代入法、换元法）→二元一次方程组的解的判定（无解、唯一解、无数解）→二元一次方程组的实际应用（配套问题、行程问题、工程问题、利润问题、方案选择问题等，需结合实际意义检验解的合理性） 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. ✅ 思想方法： 转化与化归（核心思想：通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，将实际问题转化为方程组模型） 分类讨论（分析含参方程组的解的情况，枚举实际问题中的整数方案） 类比迁移（类比一元一次方程，学习二元一次方程组的概念、解法与应用） 建模思想（从实际问题中抽象等量关系，建立方程组并检验解的实际意义） 课堂总结 感谢聆听! $