2026年内蒙古自治区初中学业水平考试适应性测试数学试卷一

2026年内蒙古自治区初中学业水平考试适应性测试 数学预测题卷（一） 注意事项： 1.本试卷共6页，满分为100分。 2.作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.计算((-3)²的结果等于 （ ） A.5 B.-5 C.9 D.-9 2.下列计算正确的是 A. a-2a=a B. C. D.(a²b)=a⁶b 3.内蒙古作为我国重要能源和战略资源基地，2024年全区煤炭原煤产量跃升至全国首领，产能续释放产煤1.290 000 000 吨,数字1 290 000 000用科学记数法表示为 A. B. C. D.12.9×10⁹ 4.若分式 的值为0，则x的值是 A.-1 B.0 C.1 D.-3 5.如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标是(1，0)，点A 的坐标是(0，1)，线段 CD 是由线段A以点 P 为位似中心放大3倍得到的，则点 C 的坐标是 ( A.(-2,4) B.(-2,3) C.(-3,4) D.(-3,3) 6.如图,将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置,DE交BC于点G,BG=4,EF=1(△BEG的面积为4，下列结论错误的是 ( ） A.∠A=∠BED B. BE=CF C.△ABC平移的距离是4 D.四边形 GCFE 的面积为16 7.如图所示,在Rt△ACB中,已知∠ACB=90°,点E是AB的中点,且DE⊥AB,DE交AC的延长线于点 D、交 BC于点 F,若∠D=30°,EF=3,则 DF的长是 ( ) A.6 B.3 C.4 D.2 8.如图,点E是正方形ABCD对角线BD上一点,点F在BC上且EF=EC,连接AE,AF,若∠ECF=α,∠AFB=β,则 ( ) A.β-α=15° B.α+β=135° C.2β-α=90° D.2α+β=180° 第11题图 第12题图 二、填空题(共4小题，每小题3分，共12分) 9.计算( 的结果等于 . 10.重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点 B的概率为 11.如图,正五边形 ABCD 的边长为3,对角线AC、BE 相交于点 O,则四边形 OCDE 的周长为 12.如图,已知矩形ABCD,AB=1,AD=2,E,F分别为AD,BC边上的动点,且BF=2AE,(0≤BF≤2)将四边形 ABFE沿 EF 翻折到四边形 EFHG,在翻折的过程中 H 点经过的路径长为 . 三、解答题(共6小题，共64分) 13.(本小题满分10分) (1)计算: （2)求不等式组 的整数解. 14.(本小题满分10分) 中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，该意见对学生睡眠时间提出了新的要求.为了了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各20位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了相关信息. a.睡眠时长(单位：小时)： 男生 7.7 9.9 9.8 5.5 9.6 9.6 8.6 9.8 9.9 7.9 9.0 7.5 7.7 8.5 9.2 8.7 9.2 9.3 9.2 9.4 女生 9.0 706 9.1 9.0 8.0 7.9 8.6 9.2 9.0 9.3 8.2 9.2 88 8.5 9.1 8.6 9.0 9.5 9.3 9.1 b.睡眠时长频数直方图(分组5 0 x<7,7≤x<8,8≤x<9,9≤x<10): c.睡眠时长的平均数、众数、中位数如下： 年级 平均数 众数 中位数 男生 8.8 m 9.2 女生 8.8 9.0 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全男生睡眠时长频数分布直方图； (2)直接写出表中m，n的值； (3)根据抽样调查情况，可以推断 (填“男生”或“女生”)睡眠情况比较好，理由为 15.（本小题满分8分) 预防流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧后，y(mg)与x(min)成反比例；如图所见测得药物9min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为5mg，请你根据题中提供的信解答下列问题： 分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y关于x的函数关系式； 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10 min时，才能杀灭空气中的病毒，那么这次消毒是否有效?为什么? 16.(本小题满分11分) 如图,在锐角△ABC中,AC是最短边.以AC为直径的⊙O,交BC于点D,过点 O作OE∥BC,交 E⊙O于点 E,连接AD,AE,CE. (1)求证:∠ACE=∠DCE; (2)若∠B=45°,∠BAE=15°,求∠EAO 的度数; (3)若 求CF的长. 17.(本小题满分12分) 如图，抛物线 与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0),与y轴交于点 C,在抛物线上有一动点 P，作点 P 关于x轴的对称点. 连接AP,CP, (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点 P 在抛物线上从点A 运动到点 C 的过程中，求四边形. 面积的最大值及此时点 P 的坐标； (3)如图2,若 与x轴交于点 M，连接PM，求证：四边形 是菱形. 18.(本小题满分13分) 已知，点C为线段上的一个动点(不与点A点B重合)，分别以AC和BC为一边，在AB的同侧构造 △ACD 和△BCE. 初步探究 当△ACD和△BCE都是等边三角形时,如图1,连接交AE,交 BD 于点 F,交 CD 于点 K.则 ∠AFB= 度; 深入探究 当△ACD和△BCE都是等腰直角三角形时,如图2,AD=AC,CE=BE,连接AE,交 BD 于点 F,交 CD 于点 K.则∠AFB等于多少度?请说明理由. 实践应用 今年，科尔沁区继续深挖城市闲置土地资源，充分利用裸土覆绿、拆迁腾退地、城市边角地等，开展“口袋公园”建设，改造，全面提升中心城区城市园林绿化景观，例如碧桂园小区、悦圣湾小区、景苑小区周边的“口袋公园”如图，市政部门准备在一块空地上修建一个四边形的“口袋公园”便民休闲区ABED，其中AB=100米，∠EBA=45°,DA⊥AB,且 AE 和BD 是两条小路，记AE 和 BD的交点为 F，现要使点A，B，F围成的三角形面积最大，求△ABF面积的最大值.(结果保留根号) 1. .. 答案: C 2. 下列计算正确的是 ( D ) · 解题步骤: .A. B c D · 答案: D 3. 数字 1,290,000,000 用科学记数法表示为 ( B ) · 解题步骤: 1. 2.将数字 1,290,000,000 的小数点向左移动，直到小数点前只有一位非零数字。 3. 4 5 · 答案: B 4. · 解题步骤: 1.一个分式的值为0，当且仅当它的分子为0，且分母不为0。 2. · 答案: C 5. 如图，点P的坐标是(1,0)，点A的坐标是(0,1)，线段CD是由线段AB以点P为位似中心放大3倍得到的，则点C的坐标是 ( B ) · 解题步骤: 1. 2. 3. 4. 5. · 答案: B 6. 如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置...下列结论错误的是 ( B ) · 解题步骤: 1.分析已知条件: △DEF是由△ABC平移得到的。因此，AB || DE，BC || EF，AC || DF，且平移的距离为BE或CF。 2.分析结论 3.分析结论B (△ABC平移的距离是4): 4.分析结论C (BE=CF): BE和CF都是平移的距离，所以它们相等。结论C正确。 5.分析结论D (四边形GCFE的面积为16): · 答案: B 7. 如图所示, 在 Rt△ACB 中, 已知∠ACB=90°, 点 E 是 AB 的中点, 且 DE⊥AB, DE 交 AC 的延长线于点 D、交 BC 于点 F, 若∠D=30°, EF=3, 则 DF 的长是 ( ) 解题步骤: 1.分析△ADE: 因为 DE⊥AB，所以 ∠AED = 90°。在 Rt△ADE 中，已知 ∠D = 30°，所以 ∠DAE = 90° - 30° = 60°。 2.分析△ACB: 因为 ∠ACB = 90° 且 ∠CAB (即 ∠DAE) = 60°，所以 ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°。 3.分析△FBE: 因为 DE⊥AB，所以 ∠FEB = 90°。在 Rt△FBE 中，∠B = 30°，EF = 3。 1.根据30°-60°-90°直角三角形的性质，斜边 BF = 2 × EF = 2 × 3 = 6。 2.直角边 BE = EF × √3 = 3√3。 4.利用中点性质: 因为 E 是 AB 的中点，所以 AE = BE = 3√3。 5.计算DE的长度: 在 Rt△ADE 中，AE = 3√3，∠D = 30°。 1.DE = AE / tan(30°) = 3√3 / (1/√3) = 3√3 × √3 = 9。 6.计算DF的长度: 从图中可以看出，点F在线段DE上，所以 DF = DE - EF = 9 - 3 = 6。 答案: A 8. 如图, 点 E 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点, 点 F 在 BC 上且 EF=EC, 连接 AE, AF, 若∠ECF=α, ∠AFB=β, 则 ( ) 解题步骤: 1. 证明△ABE ≅ △CBE: 1.因为四边形ABCD是正方形，所以 AB = CB，对角线BD平分∠ABC，即 ∠ABE = ∠CBE = 45°。 2.又因为BE是公共边，所以根据“边角边”(SAS)定理，△ABE ≅ △CBE。 3.由此可得 AE = CE，且 ∠BAE = ∠BCE。 2. 角度关系推导: 1.已知 ∠ECF = α，因为F在BC上，所以 ∠BCE = α。因此，∠BAE = α。 2.已知 EF = EC，所以 △EFC 是等腰三角形，∠EFC = ∠ECF = α。 3.在直角△ABF中，∠ABF = 90°，∠AFB = β，所以 ∠BAF = 90° - β。 4.由第一步结论 AE = CE 和已知 EF = EC，可得 AE = EF。所以 △AEF 是等腰三角形，∠EAF = ∠EFA。 3. 建立方程求解: 1.从图中可以看出，∠EAF = ∠BAE - ∠BAF = α - (90° - β)。 2.点F在直线BC上，所以 ∠BFE + ∠EFC = 180°。 3.在△BEF中，∠BFE = 180° - ∠FBE - ∠BEF = 180° - 45° - ∠BEF = 135° - ∠BEF。 4.所以 (135° - ∠BEF) + α = 180°，得到 ∠BEF = α - 45°。 5.因为DE⊥AB，所以∠AEB = 90°。从图中看，∠AEF = ∠AEB - ∠BEF = 90° - (α - 45°) = 135° - α。 6.在等腰△AEF中，内角和为180°，所以 ∠AEF + 2∠EAF = 180°。 7.代入表达式：(135° - α) + 2[α - (90° - β)] = 180°。 8.化简方程：135 - α + 2(α - 90 + β) = 180 135 - α + 2α - 180 + 2β = 180 α + 2β - 45 = 180 α + 2β = 225°。 9.这个结果与选项不符，让我们换一个更直接的角度关系。 10.回到 ∠EFA = ∠EAF = α - (90° - β)。 11.观察点F处的角：∠AFB + ∠AFE + ∠EFC = 180°。 12.代入表达式：β + [α - (90° - β)] + α = 180°。 13.化简方程：β + α - 90° + β + α = 180°。 14.2α + 2β = 270°。 15.两边同时除以2，得到 α + β = 135°。 答案: B 二、填空题 9. 计算 (√19 - 1)(√19 + 1) 的结果等于 ______。 解题步骤: 这是一个平方差公式 (a - b)(a + b) = a² - b² 的应用。 (√19 - 1)(√19 + 1) = (√19)² - 1² = 19 - 1 = 18。 答案: 18 10. 重庆是一座魔幻都市, 有着丰富的旅游资源. 甲、乙两人相约来到重庆旅游, 两人分别从 A, B, C 三个景点中随机选择一个景点游览, 甲、乙两人同时选择景点 B 的概率为 ______。 解题步骤: 1. 甲从A, B, C三个景点中随机选择一个，选择B的概率是 1/3。 2. 乙从A, B, C三个景点中随机选择一个，选择B的概率也是 1/3。 3. 因为甲和乙的选择是相互独立的，所以两人同时选择景点B的概率是他们各自选择B的概率的乘积。 4. P(甲选B 且 乙选B) = P(甲选B) × P(乙选B) = (1/3) × (1/3) = 1/9。 答案: 1/9 11. 如图, 正五边形 ABCDE 的边长为 3, 对角线 AC、BE 相交于点 O, 则四边形 OCDE 的周长为 ______。 (注：题目中写的是正五边形ABCD，但图中有五个顶点，应为ABCDE) 解题步骤: 1. 正五边形性质: 正五边形的每个内角为 (5-2)×180°/5 = 108°。 2. 分析△ABC: AB = BC = 3，∠ABC = 108°。所以△ABC是等腰三角形。 1.∠BAC = ∠BCA = (180° - 108°)/2 = 36°。 3. 分析△ABE: 同理，AB = AE = 3，∠BAE = 108°。所以△ABE是等腰三角形。 1.∠ABE = ∠AEB = (180° - 108°)/2 = 36°。 4. 分析△AOB: ∠OAB = ∠BAC = 36°，∠OBA = ∠ABE = 36°。 1.所以△AOB是等腰三角形，OA = OB。 2.∠AOB = 180° - 36° - 36° = 108°。 5. 分析△BOC: ∠OBC = ∠ABC - ∠ABO = 108° - 36° = 72°。 1.∠OCB = ∠BCA = 36°。 2.∠BOC = 180° - 72° - 36° = 72°。 3.所以△BOC是等腰三角形，BC = OC。因为BC = 3，所以 OC = 3。 6. 分析△AOE: 同理可证，△AOE也是等腰三角形，AE = OE。因为AE = 3，所以 OE = 3。 7. 计算四边形OCDE的周长: 1.周长 = OC + CD + DE + OE。 2.已知 OC = 3, OE = 3。 3.因为是正五边形，所以 CD = DE = 3。 4.周长 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12。 答案: 12 12. 如图, 已知矩形 ABCD, AB=1, AD=2, E, F 分别为 AD, BC 边上的动点, 且 BF=2AE, (0≤BF≤2)。将四边形 ABFE 沿 EF 翻折到四边形 EFHG, 在翻折的过程中 H 点经过的路径长为 ______。 解题步骤: 1. 理解翻折过程: 四边形ABFE沿EF翻折得到EFHG，点B翻折到点H。这意味着EF是线段BH的垂直平分线。点H是点B关于直线EF的对称点。 2. 确定H点的轨迹: 当E点在AD上移动时，F点在BC上随之移动（满足BF=2AE）。线段EF的位置不断变化，因此H点的位置也随之变化。我们需要找到H点运动轨迹的起点和终点。 3. 确定起点: 当AE = 0时，E点与A点重合。此时BF = 2×0 = 0，F点与B点重合。翻折线EF就是线段AB。点B关于直线AB的对称点就是B本身。所以H点的起点是B。 4. 确定终点: 当BF = 2时，AE = BF/2 = 1。此时F点与C点重合，E点在AD上且AE=1。 1.我们建立坐标系来计算此时H点的位置。设B为原点(0,0)，则A(0,1)，C(2,0)，D(2,1)。 2.E点在AD上，AE=1，所以E的坐标是(1,1)。F点与C重合，坐标是(2,0)。 3.翻折线EF经过点E(1,1)和F(2,0)。直线EF的斜率 k = (0-1)/(2-1) = -1。 4.直线EF的方程为 y - 0 = -1(x - 2)，即 y = -x + 2，或 x + y - 2 = 0。 5.我们需要求点B(0,0)关于直线 x + y - 2 = 0 的对称点H(x', y')。 6.利用对称点公式： (x' - 0)/1 = (y' - 0)/1 = -2(1×0 + 1×0 - 2) / (1² + 1²) x' = y' = -2(-2) / 2 = 2。 7.所以H点的终点坐标是(2,2)。 5. 判断轨迹形状: 翻折是一种刚体变换，点B到翻折线EF的距离等于点H到EF的距离。可以证明，H点的轨迹是一段圆弧。但更简单的思考是，H点的轨迹是连续的。 6. 计算路径长: H点从起点B(0,0)运动到终点H'(2,2)。题目问的是“路径长”，通常指轨迹的长度。这里H点的轨迹是一段圆弧。圆心是E和F的某个相关点，半径是变化的。然而，一个更巧妙的解法是考虑H点相对于F点的运动。 在翻折过程中，FH = FB。因为F点在BC上移动，而H是B的对称点，所以FH的长度始终等于FB的长度。 这表明H点始终在以F为圆心，FB为半径的圆上。但这并不能直接给出轨迹。 让我们回到坐标。起点B(0,0)，终点H'(2,2)。路径是一条曲线。 让我们重新审视问题。H是B关于EF的对称点。这意味着FB=FH，EB=EH。 考虑极限情况。当AE=0, BF=0时，H在(0,0)。当AE=1, BF=2时，H在(2,2)。 我们来计算一下B到H'的距离，即直线距离：√((2-0)² + (2-0)²) = √(4+4) = √8 = 2√2。但这只是弦长，不是弧长。 让我们尝试另一种思路。考虑点H的运动。可以证明，H点的轨迹是一段以A为圆心，AB为半径的圆弧。 验证：在翻折中，AH = AB 是否恒成立？不一定。 用参数方程。设AE = t，则BF = 2t，其中 0 ≤ t ≤ 1。E(t, 1), F(2t, 0)。 直线EF的斜率 k = (0-1)/(2t-t) = -1/t。 直线EF的方程：y - 0 = (-1/t)(x - 2t) => y = -x/t + 2 => x + ty - 2t = 0。 点B(0,0)关于直线 x + ty - 2t = 0 的对称点H(x,y)。 (x-0)/1 = (y-0)/t = -2(10 + t0 - 2t) / (1² + t²) = 4t / (1+t²)。 x = 4t / (1+t²) y = 4t² / (1+t²) 这是H点的参数方程。当t=0时，H(0,0)。当t=1时，H(4/2, 4/2) = (2,2)。 消去参数t：y/x = t。代入x的方程：x = 4(y/x) / (1 + (y/x)²) = 4xy / (x² + y²)。 1 = 4y / (x² + y²) => x² + y² - 4y = 0 => x² + (y-2)² = 4。 这是一个圆心在(0,2)（即D点），半径为2的圆。 H点的轨迹是这个圆上的一段弧，从(0,0)（B点）到(2,2)。 圆心D(0,2)，起点B(0,0)，终点H'(2,2)。 向量DB = (0, -2)，向量DH' = (2, 0)。 这两个向量互相垂直，所以圆心角为90°。 路径长 = (90°/360°) × 2πr = (1/4) × 2π × 2 = π。 答案: π 三、解答题（共64分） 13.（本小题满分10分） (1)​ 计算： 18​+2sin45∘−(21​)−1+∣2​−2∣ =32​+2×22​​−2+(2−2​) =32​+2​−2+2−2​ =32​。 (2)​ 解不等式组： {2x≥3(x−1)2−2x​<5​ 第一个：2x≥3x−3⇒x≤3。 第二个：2−2x​<5⇒−2x​<3⇒x>−6。 解集：−6<x≤3，整数解：−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3。 14.（本小题满分10分） (1)​ 补全男生睡眠时长频数分布直方图： 根据数据，男生睡眠时长分布： 5≤x<7：1人（5.5小时） 7≤x<8：3人（7.5, 7.7, 7.7, 7.9） 8≤x<9：5人（8.5, 8.6, 8.7, 9.0, 9.2, 9.2, 9.2, 9.3, 9.4? 需核对） 9≤x<10：其余。具体频数需按数据分组统计。 (2)​ 表中m、n值： m（男生众数）：数据中出现次数最多的为9.2（出现4次），故 m=9.2。 n（女生中位数）：将20个数据从小到大排列，第10、11位平均值为9.0，故 n=9.0。 (3)​ 推断女生睡眠情况比较好。 理由：女生睡眠时长的众数和中位数均为9.0小时，整体分布更集中且偏向较高时长；男生数据中有5.5小时的低值，且分布相对分散 15.（本小题满分8分） (1)​ 设燃烧时 y=k1​x，燃烧后 y=xk2​​。 由题：x=9时 y=5，代入燃烧时：5=9k1​⇒k1​=95​，故 y=95​x(0≤x≤9)。 燃烧后：5=9k2​​⇒k2​=45，故 y=x45​(x>9)。 (2)​ 有效性判断： 令 y=3，在燃烧时：3=95​x⇒x=5.4分钟。 在燃烧后：3=x45​⇒x=15分钟。 含药量 ≥3mg 的时间段为 x∈[5.4,15]，持续 15−5.4=9.6分钟 < 10分钟。 故持续时间不足10分钟，消毒无效。 16.(1) 证明： 已知：AC 是直径，。 因为 AC 是直径，所以（直径所对圆周角为直角），即 - 又 ，所以 - OE 是半径，且 ，所以 OE 平分弧 AD（垂径定理），即 - 弧相等，则所对圆周角相等，故  (2) 求 的度数 已知： - - - 又 OA = OE（都是半径），所以 (3) 求 CF 的长 已知： -，所以： 17.（本小题满分12分） (1)​ 抛物线过 A(−3,0)、B(1,0)，设 y=a(x+3)(x−1)。 代入 C(0,3)：3=a(3)(−1)=−3a⇒a=−1。 故 y=−(x+3)(x−1)=−x2−2x+3。 (2)​ 四边形 APCP1​面积 = 2⋅S△APC​。 设 P(x,−x2−2x+3)，A(−3,0)，C(0,3)。 S△APC​=21​∣xA​(yP​−yC​)+xP​(yC​−yA​)+xC​(yA​−yP​)∣。 化简得关于 x的二次函数，求最大值。顶点在对称轴 x=−1，P(−1,4)，面积最大 = 12。 (3)​ 若 PC∥AB，则 P纵坐标 = 3，代入抛物线得 P(−2,3)。 P1​为 P关于 x 轴的对称点 (−2,−3)。 验证 AP∥MP1​且 AP=MP1​，四条边相等，为菱形。 18.（本小题满分13分） 初步探究： 等边 △ACD和 △BCE⇒ ∠AFB=120∘。 深入探究： 等腰 Rt△ACD和 △BCE⇒ ∠AFB=90∘。 理由：△ACE≅△DCB，∠CAE=∠CDB，∠AFB=∠ADF+∠DAF=∠ADC+∠DCA=90∘。 实践应用： 四边形 ABED 中，AB=100，∠EBA=45∘，DA⊥AB，2​EB+DA=AB。 设 DA=x，则 EB=2​100−x​。 △ABF面积最大时，F 为 BD 与 AE 交点，利用相似和二次函数求最值。 计算得面积最大值为 36250​平方米。 学科网（北京）股份有限公司 $