精品解析：河南信阳市罗山县高级中学2025-2026学年高二下学期质量评估（一）数学试题

罗山县高级中学2025～2026学年高二下期质量评估（一） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页．时间120分钟，满分150分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 2. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 5. 已知奇函数的定义域为，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（ ） A. 96种 B. 72种 C. 60种 D. 48种 7. 若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. ，，当时，均有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数在下列哪个区间单调递增（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 对，方程恒有两个不同的实数解 C. D. 存在，使得直线与曲线相切 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则的取值范围是 B. 当时，的零点只有1个 C. 若函数有两个不同的零点，则 D. 当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线方程是，则________． 13. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种． 14. 已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极大值10． （1）求的值； （2）求在上的最值． 16. 已知函数（为常数，且）． （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）当时，求函数的最值； （2）当，讨论函数的零点个数. 18. 已知函数，. （1）求的极值； （2）证明：当时，.（参考数据：） 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗山县高级中学2025～2026学年高二下期质量评估（一） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页．时间120分钟，满分150分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由求导得：， 则，解得，即， 所以. 故选：A 2. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式可得结果． 【详解】，所以， 则切线方程为，整理得． 故选：D． 3. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围． 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以函数在上的最大值为，所以， 所以的取值范围为． 4. 已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用导函数求出的单调性进而比较大小即可. 【详解】令，则， 令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 而，所以，即， 故选：B 5. 已知奇函数的定义域为，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知不等式构造函数，利用其单调性和奇偶性逐项求解判断. 【详解】令，因为当时，， 所以，所以在单调递增， 定义域为，对， 且，所以是偶函数， 对于A、B：因为，即，所以，A、B错误； 对于C：因为，即，所以，C正确； 对于D：因为，即，所以，D错误. 故选：C. 6. 小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（ ） A. 96种 B. 72种 C. 60种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得5个窗花的全排列，再求得春字在两端的种数，结合间接法，即可求解. 【详解】把5个窗花全排列有种情况，其中春字在两端的情况有种， 故春字不在两端的贴法有（种）． 7. 若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解. 【详解】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 8. ，，当时，均有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将不等式变形，通过构造函数将条件转化为函数单调性问题，再利用导数研究恒成立，分离参数后根据自变量范围求出参数的最小值。 【详解】，，当时，，整理可得，即， 即，即， 令，，则，，当时，， 所以函数在上单调递减，即，， 即，由，得，所以， 即实数的取值范围是． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数在下列哪个区间单调递增（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的增区间，即可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，， 因为，由得或， 因此函数的增区间为、. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 对，方程恒有两个不同的实数解 C. D. 存在，使得直线与曲线相切 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于C，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项. 【详解】函数​的定义域为，且， 令，解得 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 则是函数的极小值点，故A 正确； 对于B，的极小值为， 当时，，，当时，， 结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确； 对于C，由于当时，单调递增，所以，则， 即,所以，故C不正确； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为：， 因为切线过，代入得： 化简得：， 整理得：，即， 令，， 则，所以在和上单调递增， 所以当时，，当时，， 则当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确； 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则的取值范围是 B. 当时，的零点只有1个 C. 若函数有两个不同的零点，则 D. 当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了利用导数研究不等式恒成立与零点问题.根据条件，通过构造函数并利用导数研究其单调性、最值等问题解决问题 【详解】对于选项 因为函数定义域为，所以恒成立等价于：对恒成立. 设，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因此函数在处取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以.故选项错误. 对于选项. 当时，在定义域上恒成立.故在上递增. 且，，故在存在唯一的零点，故正确. 对于选项. 因函数的定义域为，所以两个零点. 因为，，所以，. 因此，即. 要证，只要证，即证. 令，要证，即要证. 令，. 因为， 所以函数是增函数，因此对，有. 则，即，即. 所以，故正确. 对于选项. 当时，不等式恒成立，即不等式恒成立. 即不等式恒成立，即恒成立. 设函数，则，故函数在定义域上单调递增. 因，即，所以. 设函数，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在时取最大值，. 故若要使在上恒成立， 即正数m的取值范围是，故正确. 故选： 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线方程是，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】函数的定义域为， 由曲线在点处的切线方程是得切线斜率为2，， 由得，所以，解得， 又，解得，所以. 故答案为：2. 13. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种． 【答案】72 【解析】 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种． 14. 已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数计算可得，则可得在上有解，参变分离可得在上有解，构造函数，利用导数求出该函数在上的最小值即可得解. 【详解】， 则当时，，即在上单调递增， 则； 由，使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，， 则， 令，， 则 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 即实数a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极大值10． （1）求的值； （2）求在上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为10，最小值为2， 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解， （2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答. 【小问1详解】 ， 故且，解得， 则， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取到极大值，故满足题意， 【小问2详解】 由（1）知：在和单调递增，在单调递减， 且 故最大值为10，最小值为2. 16. 已知函数（为常数，且）． （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为（0，1），单调递增区间为，极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数研究函数的单调性，进而求出极值； （2）将函数有两个零点的问题转化为方程有两个解的问题，再通过构造新函数，研究新函数的单调性和极值，从而确定的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为． 令，即，解得； 令，即，解得． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 在处取得极小值，极小值为，无极大值． 【小问2详解】 因为，所以由，得． 设，则． 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减． 所以． 又，所以当时，；当时，，且． 由函数有两个零点知，函数与的图象有两个交点， 所以，即实数的取值． 17. 已知函数. （1）当时，求函数的最值； （2）当，讨论函数的零点个数. 【答案】（1）当，时，，. （2）当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，根据导数判断函数在给定区间的单调性，进而求出最值；（2）同样先求导，根据的取值范围讨论函数的单调性，再结合函数的特殊值判断零点个数. 【小问1详解】 当时，，对其求导得. 令，即，解得. 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增. 则在处取得极小值，也是最小值. . 且，. 因为， 综上所得，当，时，，. 【小问2详解】 ， ①当时，，所以在上单调递增，又因为，所以函数只有1个零点； ②当时，由得，所以在上单调递减， 又由得，所以在上单调递增， 因为，且所以， 因为，所以存在使得， 所以函数有2个零点； 综上所得，当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 18. 已知函数，. （1）求的极值； （2）证明：当时，.（参考数据：） 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值； （2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再证明即可，或者转化证明不等式，通过构造函数可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，又， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 所以的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 设， 解法一：则， 令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 又， 所以存在，使得，即. 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，在处取得极小值，即为最小值， 故， 设，因为， 由二次函数的性质得函数在上单调递减， 故， 所以当时，，即. 解法二：要证，即证， 因为，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以，即. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【小问1详解】 当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 （i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $