精品解析：2026年广东深圳市中考复习阶段模拟测试（4月）数学试题

2026年深圳市中考复习阶段模拟测试（4月）数学试题 说明：全卷共6页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 古人常用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．例如“红色算筹”表示的数是23．则“黑色算筹”表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意“红为正，黑为负”确定符号，再根据示例图形确定算筹表示的数值，即可得出答案． 【详解】解：题目规定“红为正，黑为负”， “黑色算筹”表示的数为负数． 示例中“红色算筹”表示，观察图形可知，左边两横表示十位数字，右边三竖表示个位数字， 算筹的摆放规则为：左边横式表示十位，右边竖式表示个位． 黑色算筹中左边是三横，表示十位数字为，右边是五竖，表示个位数字为， 该算筹表示的数值为． 综上所述，“黑色算筹”表示的数是． 2. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．若从一套盲盒（共4个盲盒，其中笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选1个，则恰好抽中笔的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只需确定所有等可能结果数与所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵总共有4个不同盲盒，随机抽取1个， ∴所有等可能的结果共4种， 又∵恰好抽中笔的结果只有1种， ∴恰好抽中笔的概率为． 3. 如图，这个图案可以看作以原图案的四分之一经过变换得到的，则所用变换一定不可能是（ ） A. 旋转 B. 轴对称 C. 平移 D. 轴对称和旋转 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何变换的知识，熟练掌握平移、旋转、轴对称的定义是关键． 根据图形的特征可知图形所在的中心可以是旋转中心，中间两条线段所在的两条直线是对称轴；根据上述特征结合平移，旋转，轴对称的概念解答即可． 【详解】解：A、图案所在的中心可以是旋转中心，因此图案可由旋转变换得到，不符合题意； B、图案中间水平和垂直的两条线段所在的两条直线是对称轴，因此图案可由轴对称变换得到，不符合题意； C、图案无法用平移得到，符合题意； D、图案可以通过轴对称和旋转得到，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形．正八边形的一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正n边形的内角和公式为，且正n边形的每个内角都相等，据此计算即可． 【详解】解：∵正八边形的边数， ∴正八边形的内角和为， 又∵正八边形的各个内角相等， ∴正八边形的一个内角的度数为 ． 5. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A，合并同类项时，字母和指数不变，系数相加，，∴A错误； 选项B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴B错误； 选项C，根据完全平方公式，，∴C错误； 选项D，根据幂的乘方与积的乘方法则，，∴D正确． 6. 太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从光源发出的光线经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴平行的方向射出．如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质解题即可． 详解】解：由题意知，， ∴，， ∴． 7. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克．根据“用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个”这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， ∴用30千克木材制作榫的数量为，用30千克木材制作卯的数量为， 又制作卯的数量比制作榫的数量少10个，即制作榫的数量比制作卯的数量多10个， 可列方程为：． 8. 为备战区级春季田径运动会，李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的5期集中训练．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论中错误的是（ ） A. 5期“100米短跑”集训时间共计是56天 B. 第1~3期的测试中，李明始终比王华跑得快 C. 在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期的测试成绩最为接近 D. 相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大 【答案】C 【解析】 【分析】根据条形统计图和折线统计图里的数据解答即可． 【详解】解：A、5期“100米短跑”集训的时间共计是：（天），故本项结论正确，不符合题意； B、第1~3期测试中，李明始终比王华跑得快，故本项结论正确，不符合题意； C、计算每期两人成绩的差值：第1期：秒；第2期：秒；第3期：秒；第4期：秒；第5期：秒；第5期差值最小，故本项结论错误，符合题意； D、，故李明第3期的成绩较之他第2期进步最大，结论正确，不符合题意． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 要使代数式有意义，则的值可以是____． 【答案】2026（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，据此列出不等式求解得到的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数， 因此列不等式得： 解得， 因此可以取任意大于或等于的数，此处取． 10. 如图，与相切于点，连接交于点．若是的中点，，则的长为____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，根据三角函数得到，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵与相切于点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 11. 如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，则的长度为___．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，构造两个直角三角形. 在中利用锐角三角函数求出和的长，在中利用等腰直角三角形的性质求出的长，最后根据线段的和差关系求解． 【详解】解：如图，过点作于点 在中，，.    在中，，  是等腰直角三角形 ． ． 12. 如图，点是反比例函数的图象上一点，延长交图象另一支曲线于点，轴且满足．若的面积为8，则____． 【答案】 6 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性可得点的坐标，由轴可知边上的高，根据等腰三角形的性质及 可得的度数，进而确定与的数量关系，利用三角形面积公式求出的值，最后根据求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，其中， ∵点在反比例函数的图象上，即， 又∵反比例函数图象关于原点中心对称，且直线过原点， ∴点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为，且轴， ∴点到直线的距离， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵轴， ∴直线与轴的夹角为， ∴直线与轴的夹角为， ∴，即， ∵，， ∴， 过点作于点，如图， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，则有， ∴ ． 13. 如图，在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点．若是的中点，正方形的面积为7，则的值为____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，结合是的中点可得与的关系；根据直角三角形斜边中线的性质得出，；通过证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入计算即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，面积为  ，，  是的中点    ，是斜边 的中点  ，即        在和  中         ，     ． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式… 乙同学 解：原式… （1）甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质②分式的基本性质③乘法分配律④乘法交换律 （2）请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）任选一种情况，根据分式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律； 【小问2详解】 解：甲同学：原式 ， 当时，原式； 乙同学：原式 ， 当时，原式． 16. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分，满分10分）： 小学部：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10； 初中部：9，7，9，6，10，6，8，，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 小学部 8 8 0.8 初中部 8 8.5 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）综合表中数据，你认为是该校的小学部还是初中部的学生对“校园餐”的满意度更高？请说明理由； （3）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比65及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有1200名学生，初中部有800名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”？请说明理由． 【答案】（1）9；8；9 （2）初中部的学生对“校园餐”的满意度更高，理由见解析 （3）该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据初中部平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）根据中位数和众数求解即可； （3）用小学部和初中部的学生数分别乘以样本中大于或等于8分的学生所占比例，再求和，再求出达到“幸福餐”的人数，作比较即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：，即， ． 根据题意可得小学部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 根据题意可得初中部打分出现次数最多的是9，则众数， 【小问2详解】 解：初中部的学生对“校园餐”的满意度更高， 通过比较中位数可知，，通过比较众数可知，， 初中部的学生对“校园餐”的满意度高于小学部的学生对“校园餐”的满意度； 【小问3详解】 解：小学部和初中部满意度评分大于或等于8分的人数为：（人）， 该校学生总数占比为：（人）， ， 该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”． 17. 学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元，购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）学校计划购买甲、乙两种奖品共件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1） 甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元 （2） 购买甲种奖品件，乙种奖品件时总费用最少，最少总费用为元 【解析】 【分析】（）设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，根据题意，列出方程组求解即可； （）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 先根据题意列出不等式，求出的取值范围，再求出总费用关于的函数表达式，根据函数增减性即可进行解答． 【小问1详解】 解：设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 故甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 依题意可得：， 解得： ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵且m正整数， ∴当时，， (元)， 答：当学校购买件甲种奖品，件乙种奖品时，花费最少，最小费用为元． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在下方求作点，使四边形为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）推理与计算：在（1）的条件下，若，菱形的面积为2，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①分别以B、C为圆心，为半径画弧，两弧交下方于点，连接即可； ②作的垂直平分线交于E，以E为圆心，为半径画弧，在下方交垂直平分线于点，连接即可； （2）作交于F，设，根据30度角的性质可知，根据菱形的面积公式求出，即可求出菱形的周长． 【小问1详解】 解：①如图，四边形即为所求； 证明：由作图可知，， ∴四边形为菱形； ②如图，四边形即为所求； 证明：由作图可知，，，， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图，作交于F， 设， ∵， ∴， ∵菱形的面积为2， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴菱形的周长． 19. 综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 （1）求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； （2）求信息3中移动距离值： （3）如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）无人机升至某高度时需向右移动 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，代入计算即可得出结果； （2）求出点坐标为，由二次函数的平移规律可得向右移动后的表达式为，代入计算即可得出结果； （3）当时，，，求出，即可得出无人机升至某高度时需向右移动，设顶点向右平移米，则，，当时，，，表示出，求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可设抛物线的表达式为， 代入得， 解得：， ∴此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点的坐标为， ∵向右移动后的表达式为， ∴代入可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴信息3中移动距离的值为； 【小问3详解】 解：当时，，， ∵， ∴无人机升至某高度时需向右移动， 设顶点向右平移米，则，， 当时，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴无人机升至某高度时需向右移动． 20. 综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程． （2）【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． （3）【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）的中点为； （2）①见解析；②的长为或或． （3）的值为． 【解析】 【分析】（1）根据“对直四边形”定义和直角三角形斜边中线的性质解答； （2）①连接，设圆心为O，证明为的直径，可得四边形是“对直四边形”；②求出，证明，得，根据为等腰三角形，当时，当时，当时，分三种情况解答． （3）设圆心为点O，连接，证明，可得，得，证明C，D，E，F在以为直径的圆上，得，证明，可得，即得． 【小问1详解】 解：如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，的中点为， ∴， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． 【小问2详解】 解：①连接，设圆心为O， ∵在矩形中，， ∴为的直径， ∴， ∴四边形是“对直四边形”； ②∵矩形中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， 设与交点为F，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，． 故的长为或或． 【小问3详解】 解：设圆心为点O，连接， ∵在矩形中，，且（为正实数）． ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴C，D，E，F到线段的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年深圳市中考复习阶段模拟测试（4月）数学试题 说明：全卷共6页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 古人常用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．例如“红色算筹”表示的数是23．则“黑色算筹”表示的数是（ ） A. B. C. D. 2. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．若从一套盲盒（共4个盲盒，其中笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选1个，则恰好抽中笔的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这个图案可以看作以原图案的四分之一经过变换得到的，则所用变换一定不可能是（ ） A. 旋转 B. 轴对称 C. 平移 D. 轴对称和旋转 4. 如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形．正八边形的一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从光源发出的光线经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴平行的方向射出．如果，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 为备战区级春季田径运动会，李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的5期集中训练．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论中错误的是（ ） A. 5期“100米短跑”集训的时间共计是56天 B. 第1~3期的测试中，李明始终比王华跑得快 C. 在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期的测试成绩最为接近 D. 相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 要使代数式有意义，则值可以是____． 10. 如图，与相切于点，连接交于点．若是的中点，，则的长为____． 11. 如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，则的长度为___．（结果保留整数，参考数据：） 12. 如图，点是反比例函数的图象上一点，延长交图象另一支曲线于点，轴且满足．若的面积为8，则____． 13. 如图，在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点．若是的中点，正方形的面积为7，则的值为____． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式… 乙同学 解：原式… （1）甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质②分式的基本性质③乘法分配律④乘法交换律 （2）请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程． 16. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分，满分10分）： 小学部：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10； 初中部：9，7，9，6，10，6，8，，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 小学部 8 8 0.8 初中部 8 8.5 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）综合表中数据，你认为是该校的小学部还是初中部的学生对“校园餐”的满意度更高？请说明理由； （3）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比65及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有1200名学生，初中部有800名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”？请说明理由． 17. 学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元，购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）学校计划购买甲、乙两种奖品共件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在下方求作点，使四边形为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）推理与计算：在（1）的条件下，若，菱形的面积为2，求菱形的周长． 19 综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 （1）求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； （2）求信息3中移动距离的值： （3）如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 20. 综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程． （2）【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． （3）【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $