精品解析：天津市第五十七中学2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学（2026.3）

五十七中学2025~2026学年度第二学期第一次月考 高一数学 （2026.3） 一、单选题 1. 下列物理量中哪个是向量（ ） A. 质量 B. 功 C. 温度 D. 力 2. 下列命题正确的个数（ ） （1）零向量没有方向； （2）向量的长度和向量的模相等； （3）单位向量都平行 （4）零向量与任意向量都平行 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A. 且 B. C. D. 5. 已知 D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则 A. B. C. D. 6. 设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 7. 已知平面向量且，则一定共线三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 已知等边△ABC的边长为2，则（ ） A. 2 B. C. D. 9. 已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 10. 已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（ ） A 2 B. C. D. 1 11. 已知、满足：，，，则=（ ） A. B. C. D. 12. 下列向量组中，不能作为平面内所有向量基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 13. 已知向量，且，，则（ ） A. 3 B. C. D. 14. 已知点，将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 15. 已知点，，则与反方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 16. 已知向量，且，，则（ ） A. 3 B. C. D. 17. 若向量，则与的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 18. 在中，已知，，，则b=（ ）. A B. C. 7 D. 5 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则其最大角的大小为（ ） A. B. C. D. 20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则sin C的值为（ ） A. B. C. D. 21. 已知，，是三边之长，若满足，则（ ） A. B. C. D. 22. 在中，若，则B为（ ） A. B. 或 C. D. 或 23. 在中，，，P为上一点，且满足，若，则值是（ ） A. B. C. D. 24. 如图，在直角梯形ABCD中，，，且，则2r＋3s＝（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 25. _________ 26. 已知向量，向量，则向量在方向上投影向量为______． 27. 在中，已知，，，则_____． 28. 设分别是的边上的点，,若，则＝________.（用表示） 29. 已知与不平行，且，，，若以、为一组基底，则用、可表示为______． 30. 的内角的对边分别为，若，则____. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五十七中学2025~2026学年度第二学期第一次月考 高一数学 （2026.3） 一、单选题 1. 下列物理量中哪个是向量（ ） A. 质量 B. 功 C. 温度 D. 力 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义判断即可． 【详解】质量、功、温度只有大小没有方向不是向量，故ABC错误， 力既有大小又有方向，是向量，故D正确， 故选：D． 2. 下列命题正确的个数（ ） （1）零向量没有方向； （2）向量的长度和向量的模相等； （3）单位向量都平行 （4）零向量与任意向量都平行 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据零向量定义判断（1）和（4）；根据向量模的定义判断（2）；根据单位向量定义判断（3）. 【详解】（1）零向量不是没有方向，它的方向是任意的，故错误； （2）和只是方向相反，二者的模（长度）都是A、B两点间的距离，因此模长相等，故正确； （3）单位向量仅规定模长为1，方向可以任意，方向不同的单位向量不平行，故错误； （4）根据向量的基本定义规定，零向量与任意向量都平行，故正确. 所以命题正确的个数为2个. 3. 判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线向量、相等向量及向量模相等的意义逐一判断各选项即可作答. 【详解】因向量共线，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若，则是假命题，①不正确； 因模相等的向量，方向不一定相同，即若，则是假命题，②不正确； 因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若，则是假命题，③不正确； 由相等向量的定义可知：若，则是真命题，④正确， 所以，正确命题的个数是1. 故选：A 4. 设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合向量相等的定义，利用充分条件的定义进行判断即可得正确选项. 【详解】对于选项A：且，则，两个为相等向量或相反向量， 当时，，不成立， 所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确； 对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确； 对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出， 所以不是成立的充分条件，故选项C不正确； 对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即， 所以是成立的充分条件，故选项D正确； 5. 已知 D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】得，故选A． 或． 6. 设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量与的方向相反， 所以，其中， 因，是两个不共线向量， 则，， 联立可得：，则. 7. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 8. 已知等边△ABC的边长为2，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】因为向量，的夹角为，所以， 故选：B. 9. 已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】在上的投影向量是： . 故选：A 10. 已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据结合数量积的运算律即可得解. 【详解】解：因为与均为单位向量，且与的夹角为， 所以. 故选：D. 11 已知、满足：，，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据计算出，再根据即可得结果. 【详解】， ， ， ∴， 所以. 故选：C. 12. 下列向量组中，不能作为平面内所有向量基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量的基底的定义，以及向量共线的条件，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，向量 ，，设，可得，即存在这样的实数使得成立，所以向量不能作为平面的基底； 对于B中，向量，，设，不存在这样的实数使得成立， 所以向量能作为平面的基底； 对于C中，向量，，设，可得，即存在这样的实数使得成立，所以向量不能作为平面的基底； 对于D中，向量，，设，可得，即存在这样的实数使得成立，所以向量不能作为平面的基底. 故选：.ACD. 13. 已知向量，且，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线和向量垂直的坐标表示求出x，y，再求出的坐标计算作答. 【详解】向量，由得：，即， 由得：，即，于是得，，， 所以. 故选：B 14. 已知点，将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点求出，由向量只与大小和方向有关，与位置无关可判断. 【详解】点，， 将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，向量的大小和方向没有变化， . 故选：C. 15. 已知点，，则与反方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的概念计算. 【详解】，, ，则， 所以与反方向的单位向量为. 故选：B. 【点睛】本题考查单位向量及坐标表示，属于基础题. 16. 已知向量，且，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线和向量垂直的坐标表示求出x，y，再求出的坐标计算作答. 【详解】向量，由得：，即， 由得：，即，于是得，，， 所以. 故选：B 17. 若向量，则与的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标运算即可求解. 【详解】由，， 则，， ， 设与的夹角余弦值为， 所以 . 故选：C 18. 在中，已知，，，则b=（ ）. A. B. C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，即可求解答案. 【详解】由题意， 故答案选：. 【点睛】本题考查余弦定理，计算准确，属于基础题. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则其最大角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设设，，，再利用余弦定理求解即可. 【详解】因为，设，，，则最大. . 因为，所以. 故选：C 20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则sin C的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合余弦定理求得，由此求得，进而求得. 【详解】由余弦定理，得cos C=.因为C∈(0，π)，所以C=，sin C=. 故选：C 21. 已知，，是三边之长，若满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，再利用余弦定理计算即可得. 【详解】， 则，由余弦定理可得， 则，即， 又，则. 22. 在中，若，则B为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求角的大小. 【详解】由，又且， 所以或. 故选：B 23. 在中，，，P为上一点，且满足，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，结合已知化简可得再由，得，化简得，结合前面的式子可求得，从而可求出的值，进而可求得结果 【详解】设，则， 将代入化简得， 则 又，则，化简得， 将代入得， 所以，则的值是． 故选：B． 24. 如图，直角梯形ABCD中，，，且，则2r＋3s＝（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题先将转化为求出，，最后求即可. 【详解】解： 方法一：由题图可得 因为，所以，，则. 方法二：因为，所以， 整理得：， 因为，所以，，则. 方法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由得DC∥AB，且AB＝4DC. 又，所以E为PB的中点，且. 于是，. 因为，所以，，则. 法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0. 由，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)， 所以，解得：所以. 故选：C. 【点睛】本题一题多解，分别考查了平面向量的基本定理、平面向量的线性运算、平面向量的坐标表示与运算，是基础题. 二、填空题 25. _________ 【答案】 【解析】 【详解】原式. 26. 已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量. 【详解】由题意，向量在方向上的投影为：，，则与同向的单位向量为，所以向量在方向上的投影向量为：. 故答案为：. 27. 在中，已知，，，则_____． 【答案】或2 【解析】 【分析】直接根据余弦定理可解得结果. 【详解】由余弦定理得，即， 所以，解得或. 故答案为：或2 【点睛】本题考查了用余弦定理解三角形，属于基础题. 28. 设分别是的边上的点，,若，则＝________.（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形法则，结合即可. 【详解】如图: 因为， 所以 ， 故答案为： 29. 已知与不平行，且，，，若以、为一组基底，则用、可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，化简可得，再根据与不平行，可得，解方程组，即可求出结果. 【详解】设，则 所以 又与不平行， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 30. 的内角的对边分别为，若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】 由正弦定理将条件等式化边为角，结合两角和的正弦，即可求解. 【详解】由题设及正弦定理得， 所以.又， 所以，所以. 故答案为:. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查两角和正弦公式的应用，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $