专题06 期中真题百练通关（压轴66题 8题型）（期中专项训练）七年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题06 期中真题百练通关（66题8大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型一 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型四 二元一次方程组的特殊解法 题型二 逻辑推理与论证 题型五 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型三 已知概率求数量 题型六 求直线围成的图形面积 题型七 根据平行线的性质探究角的关系 题型八 根据平行线的性质求角度 题型一 数字问题（二元一次方程组的应用）（共8小题） 1．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 2．（25-26九年级上·四川·期中）定义：对于任意一个四位数，若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个四位数为“奥妙数”．例如：3157，因为，所以3157是“奥妙数”；5479，因为，所以5479不是“奥妙数”．若“奥妙数”中，百位数上的数字是十位上的数字的2倍，千位上的数字与个位上的数字之和能被10整除，则满足条件的“奥妙数”为___________． 3．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）一个四位正整数满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称为“九九数”．例如：四位正整数2457，是“九九数”．若“九九数”能被11整除，那么满足条件的的最大值与最小值之差为___________． 4．（25-26九年级上·重庆合川·期中）如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“和谐共生数”．若将的千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，规定，若为“和谐共生数”，且，则________．若将的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定．若“和谐共生数”，且满足为整数，则满足条件的的最大值为________． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如果一个四位自然数，各个数位上的数均不为0，且满足，那么称m为M的“同心数”；将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n令．例如，满足，则为的“同心数”，将十位与百位数字调换得到，满足，则的“同心数”为，此时．若，则其“同心数”m为______；当，且为整数时，M最大值与最小值的差为______． 6．（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 7．（25-26七年级上·重庆·期中）在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性和“七”有关． 定义：对于四位自然数，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数为“七巧数”． 例如：3254是“七巧数”，因为，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为但，所以1456不是“七巧数”． (1)最大的“七巧数”是 ，最小的“七巧数”是 ； (2)若将一个“七巧数”的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧数”，并记，求证：无论取何值，为定值，并求出这个值； (3)若是一个“七巧数”，且的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出满足条件的所有“七巧数”． 8．（24-25七年级下·福建厦门·期中）将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”也称幻方，为幻方值．下面的图1是满足条件的“和15幻方”： 【探究】 (1)若图2为“和幻方”，则__________． (2)发现规律：小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；，；如图3，现有一个“和幻方”，请分别证明：①；②． (3)运用规律：图4为幻方，，且，求出图4的幻方值． 题型二 逻辑推理与论证（共10小题） 9．（25-26八年级上·广西贵港·期中）某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 10．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）甲、乙、丙三人分别在三个文体超市采购篮球、足球、排球中的一种体育器材，且满足：①甲不在超市采购；②乙不在超市采购；③在超市的采购篮球；④乙不采购足球；⑤在超市的不采购排球．则下列判断正确的是（    ） A．甲在超市采购，丙在超市采购 B．甲在超市采购，丙在超市采购 C．甲在超市采购，丙在超市采购 D．甲在超市采购，丙在超市采购 11．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）小张的四位朋友A、B、C、D想破译他在电脑中设置的登录密码．但是他们只知道这个密码共有六位不同的数字，他们根据小张平时开电脑时输入密码的手势，分别猜测密码是“”、“”、“”、“”，实际上他们每个人都只猜对了密码中对应位置不相邻的两个数字，且A和C猜对的数字所在位置完全不同．由此你知道小张设置的密码是______． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是_______． 13．（25-26八年级上·北京·期中）小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现小黄共当裁判9局，小刘、小李分别进行了23局、13局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了______局比赛，其中第9局比赛的裁判是______． 14．（25-26八年级上·河北张家口·期中）小明、小亮、小颖三人参加一项比赛，比赛包括A，B，C三个项目，每个项目三人都要排出名次，第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，不存在并列情况．经过比赛，三人的部分得分见表： 参赛者 比赛项目 A B C 总分 小明 2 小亮 3 小颖 1 已知小亮在两个项目中得分相同，并且三人的总分各不相同，此次比赛______是冠军．（填“小明”、“小亮”、或“小颖”） 15．（24-25七年级下·福建福州·期中）刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是___________． ①6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、5、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、4、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 16．（24-25七年级下·北京西城·期中）某校举办数学节活动，其中一项活动环节是进活动室门需要先破译密码．根据下面四个已知条件，推断正确密码是__________． ①只有两个汉字正确且位置正确； ②只有两个汉字正确但位置都不正确； ③只有三个汉字正确但位置都不正确； ④四个汉字都不正确． 17．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在一次游戏活动中，老师将一枚硬币给小明，小刚和小华三个同学中的一个（其他同学不确定硬币在谁手里）．小明说：“硬币在我手上”；小刚说：“硬币不在我手上”；小华说：“硬币肯定不在小明手上”．三个同学只有一个说对了，则硬币在______的手上． 18．（24-25七年级下·北京昌平·期中）参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到以下消息：（分别以相应字母来对应他们的成绩） 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E （1）请参照表中文字信息的翻译方式，写出表中第一条文字信息的数学表达式______； （2）根据上述信息判断谁的得分最高：______． 题型三 已知概率求数量（共9小题） 19．（25-26九年级上·四川成都·期中）袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色放回袋中，记为一次试验． 通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.3，则估计袋中红球的个数为（ ） A． 5 B． 10 C． 15 D． 20 20．（25-26九年级上·山西晋中·期中）在不透明袋子中，装有16个红球和若干个白球．每次摸出一个球，记录颜色后放回并摇匀，再重复上述操作；经多次试验后，摸到红球的频率稳定在，据此估计袋中小球的总数约为（   ） A．24个 B．26个 C．38个 D．40个 21．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）一个不透明的盒子中装有花色为红桃和梅花的扑克牌共20张，它们除花色不同外其余完全相同．每次抽卡前先将盒子内的扑克牌洗匀，随机抽取一张记下花色后放回，通过大量重复试验后发现，摸到花色为红桃的扑克牌的频率稳定在，估计盒子中花色为红桃的扑克牌有（　　） A．12张 B．9张 C．6张 D．3张 22．（25-26九年级上·全国·期中）一个不透明的盒子中装有黑棋子和白棋子共40枚，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有60次取到黑棋子，由此估计盒子中有____枚黑棋子． 23．（25-26九年级上·安徽·期中）在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有__________个． 24．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是__________． 25．（25-26九年级上·浙江温州·期中）一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是，则为__________． 26．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）一个不透明的袋中装有黄色彩笔和红色彩笔共80支，它们除颜色外都相同，摇匀后从中随机摸出一支彩笔并记录颜色，记为一次试验，经过大量重复试验后发现，随机摸出一支笔为黄色彩笔的频率稳定在0.125，请你估计袋中有多少支红色彩笔？ 27．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，如表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103 摸到白球的频率 (1)当n很大时，请估计摸到白球的概率．（精确到） (2)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ (3)若要使摸到白球的概率为，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 题型四 二元一次方程组的特殊解法（共10小题） 28．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 3 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 3 2 … 则关于的二元一次方程组的解是________． 30．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为_______． 31．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）关于的方程组的解是，则方程组的解是_______． 32．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于，的二元一次方程组的解． 33．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读理解： （Ⅰ）我国古代数学巨著《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组． 把它们写成我们现在的方程组是与 （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 解答下列问题： (1)直接写出图表示的关于，的二元一次方程组； (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 34．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 35．（25-26八年级上·四川成都·期中）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：③． 把方程①代入③得：． 把代入①得， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小明的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 36．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 37．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 题型五 工程问题（二元一次方程组的应用）（共8小题） 38．（24-25七年级下·四川乐山·期中）乐山市某小区物业对面积为3600平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化200平方米，乙园林队每天绿化160平方米，两队共用21天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 39．（24-25九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 40．（24-25九年级下·安徽池州·期中）某科研团队计划开展两个研究项目．已知原计划A，B两个项目的总实验周期数为90个．在实际开展过程中，项目A的实验周期数超过原计划的10%，项目B的实验周期数只达到计划的90%，但总实验周期数保持不变．求原计划项目A，B的实验周期数． 41．（24-25八年级下·上海崇明·期中）某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 42．（24-25七年级下·山东聊城·期中）阅读理解： 为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天． (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示_______，y表示：_______； 乙：x表示_______，y表示_______； (2)求出乙方程组的解，并回答两工程队分别整治河道多少米？ 43．（24-25七年级下·云南昆明·期中）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 44．（24-25八年级上·广东深圳·期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 45．（24-25七年级下·河南许昌·期中）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计招聘方案？ 素材 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装． 素材 调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ 题型六 求直线围成的图形面积（共10小题） 46．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 47．（24-25八年级上·四川成都·期末）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点B的坐标是 B．的面积是8 C．y随x的增大而增大 D．点在函数图象上 48．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有三点，，，若过点C的直线将分成面积之比为两部分，则k的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 49．（25-26八年级上·四川成都·期中）《庄子·天下篇》记载“一尺之锤；日取其半，万世不竭．”如图，直线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，则的面积_____________． 50．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知：直线：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、D，直线与相交于点P，．求的面积． 51．（24-25八年级下·海南海口·期中）已知直线：与直线：交于点，且直线与轴交于点． (1)求直线解析式； (2)求点的坐标； (3)如图，直线的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当点的坐标是，求的面积； ②以为直角边作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 52．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知一次函数的图象经过点． (1)若该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积是4，求b的值； (2)平面内有点． ①试说明：一次函数的图象经过点B； ②一次函数的图象与y轴交于点C，当为直角三角形时，求点B的坐标． 53．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)判断的形状； (3)若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标． 54．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式； (2)求点B的坐标； (3)求的面积． 55．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点． (1)求直线函数表达式； (2)如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值； (3)在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标． 题型七 根据平行线的性质探究角的关系（共5小题） 56．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 58．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 59．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 60．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【问题情境】 是锐角三角形，点D在线段的延长线上，过点D作直线，点E在线段上（点E不与点A，B，D重合），连接，过点E作交直线m于点F（点F不与点D重合）． 【问题初探】如图1，点E在线段上时，＝ °； 【类比研究】当点E在线段上时，探究与之间满足的数量关系．请在备用图中画出符合条件的图形，并说明理由； 【深入探究】若与的角平分线所在直线相交于点O，试探究的度数，并直接写出你的探究结果． 题型八 根据平行线的性质求角度（共3小题） 61．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则__________． 62．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 63．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）（1）新知探究，如图①，在三角形中，直线经过点，且．说明． （2）变式演练，如图②，在三角形中，，点在边上，交于点，若，求的度数． （3）方法应用，如图③，直线与直线相交于点，相交所成的锐角为，点在直线上，且在点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线上，且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点重合）．当时，平分平分交直线于点，求的度数． 64．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点M、N在直线上，点G在直线上，点H在直线、之间，连接交于点K，连接交于点J，交于点P；连接，当时，下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论是_______．（填序号） 65．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 66．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知：，点E、F分别在、上，N为与之间一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数： (3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为________． 1．对于一个四位自然数，若它的个位数字与百位数字之和等于它的十位数字与千位数字之和的2倍，则称为“和倍数”．令，规定：．例如：，因为，所以4725是“和倍数”，，．已知四位自然数是“和倍数”，且，则的值为______；若四位自然数是“和倍数”，是整数，且，则所有满足条件的之和为______． 2．2014年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知： ①这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数； ②乙队总得分排在第一； ③丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的． 根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是_____队．（要有推断过程） 3．阅读与理解． 阅读下面的素材，完成给定的任务． 素材一：二阶行列式是由矩阵的元素按照特定规则计算出的一个数值，其运算规则是．例如：． 素材二：克莱姆法则是一种用行列式求解方程组的方法，适用于方程的个数等于未知数个数且系数行列式不为零的情况．例如：对于二元一次方程组，如果系数行列式，记，，则该方程组的解为，． 任务： (1)仿照素材一，用含的代数式表示：________，若的值为3，则的值为________． (2)用“克莱姆法则”求解二元一次方程组． 4．某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 5．我们规定：直线与直线（，为常数，且）互为“类反函数”．例如：直线与直线就互为“类反函数”．已知直线与其互为“类反函数”的直线交于点，且与轴，轴分别交于，两点，与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，当，时， ①求直线的函数表达式．②求四边形的面积． (2)如图2，对于直线和，当，且时，在轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 期中真题百练通关（66题8大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型一 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型四 二元一次方程组的特殊解法 题型二 逻辑推理与论证 题型五 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型三 已知概率求数量 题型六 求直线围成的图形面积 题型七 根据平行线的性质探究角的关系 题型八 根据平行线的性质求角度 题型一 数字问题（二元一次方程组的应用）（共8小题） 1．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 2．（25-26九年级上·四川·期中）定义：对于任意一个四位数，若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个四位数为“奥妙数”．例如：3157，因为，所以3157是“奥妙数”；5479，因为，所以5479不是“奥妙数”．若“奥妙数”中，百位数上的数字是十位上的数字的2倍，千位上的数字与个位上的数字之和能被10整除，则满足条件的“奥妙数”为___________． 【答案】5005，6424，7843 【详解】解：设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则，． 由“奥妙数”定义，． 由条件，，代入得，即． 由条件，能被10整除，即是10的倍数． 由于，且，所以可能为0、10、20．但，故，因此或20． 若，则，但，矛盾．所以． 因此． 由，得． 又，所以，即． 解，且，得整数解：时；时；时． 对应：时，；时，；时，． 对应：时时时． 所以得到数字5005、6424、7843． 因此满足条件的“奥妙数”为5005，6424和7843． 故答案为：5005，6424，7843． 3．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）一个四位正整数满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称为“九九数”．例如：四位正整数2457，是“九九数”．若“九九数”能被11整除，那么满足条件的的最大值与最小值之差为___________． 【答案】 【详解】解：设“九九数”M千位上数字为a， 则个位上的数字为，百位上的数字为b，则十位上的数字为，， 则 若“九九数”M能被11整除，则能别11整除， 则设， ∵， ∴， ∴，则且为整数， 当时，M取得最小值，此时，M取得最小值为， 当时，M取得最大值，此时，M取得最大值为， ∴M的最大值与最小值之差为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·重庆合川·期中）如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“和谐共生数”．若将的千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，规定，若为“和谐共生数”，且，则________．若将的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定．若“和谐共生数”，且满足为整数，则满足条件的的最大值为________． 【答案】 19 8503 【详解】解：设，根据“和谐共生数”定义，有，即， ∴， ， 又， ∴， 联立方程，解得， ∴； ∵，满足且数字互不相等， ，， ∴， ， ∴ 由为整数， ∴是的倍数， 为使M最大，则尽可能的往大的数字取， ∴当，，，时，符合题意，所以M最大为8503； 故答案为8503． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如果一个四位自然数，各个数位上的数均不为0，且满足，那么称m为M的“同心数”；将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n令．例如，满足，则为的“同心数”，将十位与百位数字调换得到，满足，则的“同心数”为，此时．若，则其“同心数”m为______；当，且为整数时，M最大值与最小值的差为______． 【答案】 【详解】解：，满足，其“同心数”m为， 当时，设， ∵， ∴， ∵将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n， ∴， ∴， ∵为整数， ∴可取，，，， 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴，，，，，，，， 显然，此时当时，最大；当时，最小； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴，，…，， 当时，最大；当时，最小； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到，这种情况不符合， 综上所述，最大为，最小为， ∴M最大值与最小值的差为， 故答案为：，． 6．（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：由题意得：原来的两位数为；新的两位数为； 故答案为：； （2）解：由题意，得         解得             答：原来的两位数为 7．（25-26七年级上·重庆·期中）在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性和“七”有关． 定义：对于四位自然数，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数为“七巧数”． 例如：3254是“七巧数”，因为，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为但，所以1456不是“七巧数”． (1)最大的“七巧数”是 ，最小的“七巧数”是 ； (2)若将一个“七巧数”的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧数”，并记，求证：无论取何值，为定值，并求出这个值； (3)若是一个“七巧数”，且的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出满足条件的所有“七巧数”． 【答案】(1) (2)证明见详解， (3) 【详解】（1）解：设“七巧数”， 由定义可知，， 当时，有最大的“七巧数”，为7700；由于首位不能为，则当时，有最小的“七巧数”，为1076， 故答案为：； （2）证明：设的个位数字为，十位数字为，则百位数字为，千位数字， 由题意得，，， ， 无论取何值，为定值，为； （3）解：设的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为， 由题意得，， 即， 则， ，且为整数， 或或或或或或， ，且为整数， ∴当时，则，，即； 当时，则，，即； 当时，则，，即； 当或或或时，则，不符合要求，舍去； 综上所述，满足条件的所有“七巧数”有三个，为：． 8．（24-25七年级下·福建厦门·期中）将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”也称幻方，为幻方值．下面的图1是满足条件的“和15幻方”： 【探究】 (1)若图2为“和幻方”，则__________． (2)发现规律：小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；，；如图3，现有一个“和幻方”，请分别证明：①；②． (3)运用规律：图4为幻方，，且，求出图4的幻方值． 【答案】(1)8，0 (2)见详解 (3)39 【详解】（1）解：∵， ， ， 解得：， 故答案为： 8，0 ； （2）证明：如图， ①根据题意可得，则； ②根据题意可得，则； （3）解：设该幻方的幻方值为， ∵，， ∴，， 则， 由幻方的特征得，， 即， 整理可得，， 则， 由幻方的特征得，左上角的数为， 第三排中间的数为， 第二排第三个空的数为， 最中间的数为， 或， 即， 整理得， 由幻方的特征得，对角线三个数之和为m，即， 解得：， 则， 即幻方值为39． 题型二 逻辑推理与论证（共10小题） 9．（25-26八年级上·广西贵港·期中）某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【详解】解：∵某人买了12瓶汽水， ∴可以换（瓶）汽水． 再用其中的3个空瓶换1瓶汽水， 此时有2个空瓶，可以借1瓶，凑成3个空瓶，再换1瓶汽水，再把空瓶还回去即可． ∴他最多可以喝：（瓶）． 故选：B． 10．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）甲、乙、丙三人分别在三个文体超市采购篮球、足球、排球中的一种体育器材，且满足：①甲不在超市采购；②乙不在超市采购；③在超市的采购篮球；④乙不采购足球；⑤在超市的不采购排球．则下列判断正确的是（    ） A．甲在超市采购，丙在超市采购 B．甲在超市采购，丙在超市采购 C．甲在超市采购，丙在超市采购 D．甲在超市采购，丙在超市采购 【答案】C 【详解】解：由③⑤可知，在A超市采购足球，在C超市采购排球， 由②④可知，乙在C超市采购， 由①可知，甲在B超市采购，则丙在A超市采购， ∴四个选项中，只有C选项正确，符合题意， 故选：C． 11．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）小张的四位朋友A、B、C、D想破译他在电脑中设置的登录密码．但是他们只知道这个密码共有六位不同的数字，他们根据小张平时开电脑时输入密码的手势，分别猜测密码是“”、“”、“”、“”，实际上他们每个人都只猜对了密码中对应位置不相邻的两个数字，且A和C猜对的数字所在位置完全不同．由此你知道小张设置的密码是______． 【答案】 【详解】解：A的猜测是，C的猜测是， 且 A、C猜对的位置完全不同 假设A猜中位置2和4（不相邻），对应数字为3（位置 2）、1（位置 4）； 则C需从剩余位置（1、3、5、6）选两个不相邻的位置，假定C猜中位置 1 和 5（不相邻），对应数字为6（位置 1）、5（位置5） 确定剩余位置的数字：剩余位置为3和6，结合B的猜测，B需猜中两个不相邻的数字，故B猜中位置3和6，对应数字为8（位置3）、2（位置6） 经过验证，满足每个人都只猜对了密码中对应位置不相邻的两个数字这一条件． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是_______． 【答案】623 【详解】解：∵每人都只猜对了不同数位的一个数字，若个位是4，则小致和小萌猜对的数位相同，与题意不符， ∴个位数为3， ∵由上述可知小莉猜对的是个位数，故她猜的百位数5是错误的， ∴百位数字为6， ∴小萌猜对十位数字，即十位数字为2， ∴这个密码锁的密码是623． 故答案为：623 13．（25-26八年级上·北京·期中）小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现小黄共当裁判9局，小刘、小李分别进行了23局、13局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了______局比赛，其中第9局比赛的裁判是______． 【答案】 27 小李 【详解】解：小黄共当裁判局， 小刘和小李之间打了局， 小刘、小李分别进行了局、局比赛， 小刘和小黄之间进行了局比赛， 小李和小黄之间进行了局比赛， 三人一共打了局比赛， 小刘打了局比赛、小李打了局比赛， 小刘当裁判局，小李当裁判局， 而小黄当裁判局，从到共个奇数，个偶数， 每一局都有胜负， 不会出现连续做裁判的情况， 总共27局比赛，由于裁判每局轮换，任何一人最多能当裁判局，小李当裁判的次数14局达到了最大值，因此其担任裁判的局次必然是第1, 3, 5, ..., 27局。故第9局的裁判是小李， 故答案为：；小李 14．（25-26八年级上·河北张家口·期中）小明、小亮、小颖三人参加一项比赛，比赛包括A，B，C三个项目，每个项目三人都要排出名次，第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，不存在并列情况．经过比赛，三人的部分得分见表： 参赛者 比赛项目 A B C 总分 小明 2 小亮 3 小颖 1 已知小亮在两个项目中得分相同，并且三人的总分各不相同，此次比赛______是冠军．（填“小明”、“小亮”、或“小颖”） 【答案】小亮 【详解】解：∵小亮在项目A中得3分，且他在两个项目中得分相同， ∴小亮在项目B或项目C中不可能得2分或1分，只能得3分， ∴小亮的总分至少为分， ∵小明在项目B中得2分，且每个项目三人都要排出名次，不存在并列情况， ∴小明的总分至多为分， ∵小颖在项目C中得1分，且每个项目三人都要排出名次，不存在并列情况， ∴小颖的总分至多为分， ∵三人的总分各不相同， ∴小亮的总分总是高于小明和小颖，即小亮是冠军． 故答案为：小亮． 15．（24-25七年级下·福建福州·期中）刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是___________． ①6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、5、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、4、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】0518 【详解】解：由③可知，3、4、2、9四个数字都不正确， 即密码中没有3、4、2、9四个数字； 由④可知，1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有1、8、0三个数字，且位置都不正确； 由①可知，6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字8在第四位，另一个正确的数字为6在第一位或5在第二位； 若6在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为5在第二位； 由②④可知，密码数字0不在第二位和第三位，即在第一位。 则数字1在第三位， 即正确的密码是， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·北京西城·期中）某校举办数学节活动，其中一项活动环节是进活动室门需要先破译密码．根据下面四个已知条件，推断正确密码是__________． ①只有两个汉字正确且位置正确； ②只有两个汉字正确但位置都不正确； ③只有三个汉字正确但位置都不正确； ④四个汉字都不正确． 【答案】北京学校 【详解】解：由①②可得，没有“市”字， 由④可得，没有“一”字， 结合①可得，第二、第四个字分别为“京”“校”， 结合③④可得，有“学”“校”“北”三个字，且“北”字不是左边数第三个字， 综上可得，从左到右四个字分别为：北，京，学，校． 推断正确密码是：北京学校， 故答案为：北京学校． 17．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在一次游戏活动中，老师将一枚硬币给小明，小刚和小华三个同学中的一个（其他同学不确定硬币在谁手里）．小明说：“硬币在我手上”；小刚说：“硬币不在我手上”；小华说：“硬币肯定不在小明手上”．三个同学只有一个说对了，则硬币在______的手上． 【答案】小刚 【详解】解：由题意知，若小明正确，则小刚正确，小明、小刚同学说法正确，故不符合要求； 若小刚正确，小明错误，则硬币在小华手上，则小华说法正确，小刚、小华说法正确，故不符合要求； 若小华正确，小明错误，小刚错误，则硬币在小刚手上， ∴当三个同学中只有一个说对了，则硬币在小刚的手上， 故答案为：小刚． 18．（24-25七年级下·北京昌平·期中）参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到以下消息：（分别以相应字母来对应他们的成绩） 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E （1）请参照表中文字信息的翻译方式，写出表中第一条文字信息的数学表达式______； （2）根据上述信息判断谁的得分最高：______． 【答案】 【详解】解：（1） 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E 故答案为：； （2）由（1）得四个代数式①；②；③；④； 由①和③得到一个推论⑤ 由②④得⑥； 由①得⑦，代入④得到，整理得到⑧； 由⑤得⑨，把⑦和⑨代入②得，整理得⑩， 最后把⑥⑧⑩结合一起，得到 所以得分最高是 故答案为： 题型三 已知概率求数量（共9小题） 19．（25-26九年级上·四川成都·期中）袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色放回袋中，记为一次试验． 通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.3，则估计袋中红球的个数为（ ） A． 5 B． 10 C． 15 D． 20 【答案】C 【详解】∵ 摸出红球的频率稳定在0.3， ∴ 估计摸出红球的概率为0.3． ∵ 总球数为50， ∴ 红球的个数为． 故选：C． 20．（25-26九年级上·山西晋中·期中）在不透明袋子中，装有16个红球和若干个白球．每次摸出一个球，记录颜色后放回并摇匀，再重复上述操作；经多次试验后，摸到红球的频率稳定在，据此估计袋中小球的总数约为（   ） A．24个 B．26个 C．38个 D．40个 【答案】D 【详解】解：∵经多次试验后，摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为， ∵红球有16个， ∴估计袋中小球的总数约为个． 故选：D 21．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）一个不透明的盒子中装有花色为红桃和梅花的扑克牌共20张，它们除花色不同外其余完全相同．每次抽卡前先将盒子内的扑克牌洗匀，随机抽取一张记下花色后放回，通过大量重复试验后发现，摸到花色为红桃的扑克牌的频率稳定在，估计盒子中花色为红桃的扑克牌有（　　） A．12张 B．9张 C．6张 D．3张 【答案】C 【详解】解：∵摸到红桃的频率稳定在， ∴（红桃）． ∵总牌数为20张， 设红桃牌有x张， ∴（红桃）． ∴， ∴． 故估计红桃牌有6张． 故选：C． 22．（25-26九年级上·全国·期中）一个不透明的盒子中装有黑棋子和白棋子共40枚，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有60次取到黑棋子，由此估计盒子中有____枚黑棋子． 【答案】8 【详解】解：取到黑棋子的频率为， 因此估计取到黑棋子的概率为， 盒子中棋子总数为40枚， 故黑棋子数量为枚． 故答案为：8． 23．（25-26九年级上·安徽·期中）在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有__________个． 【答案】12 【详解】解：设红球有个，则总球数为个． 摸到白球的概率为， 即． ， ， ，． 故口袋中红球可能有12个． 故答案为：12． 24．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是__________． 【答案】2 【详解】解：设袋中白球的个数为x，则总球数为，根据题意得方程： ， 解得： 故袋中白球的个数是2， 故答案为：2． 25．（25-26九年级上·浙江温州·期中）一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是，则为__________． 【答案】2 【详解】解：设红球、黄球、白球的数量分别为 、、， 则总球数． 红球的概率为． 因此， 解得：， 即． 故答案为：2． 26．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）一个不透明的袋中装有黄色彩笔和红色彩笔共80支，它们除颜色外都相同，摇匀后从中随机摸出一支彩笔并记录颜色，记为一次试验，经过大量重复试验后发现，随机摸出一支笔为黄色彩笔的频率稳定在0.125，请你估计袋中有多少支红色彩笔？ 【答案】70 【详解】解：∵经过大量重复试验后发现，随机摸出一支笔为黄色彩笔的频率稳定在0.125， ∴随机摸出一支笔为黄色彩笔的概率是0.125， （支）， 答：估计袋中有70支红色彩笔． 27．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，如表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103 摸到白球的频率 (1)当n很大时，请估计摸到白球的概率．（精确到） (2)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ (3)若要使摸到白球的概率为，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)白球为42个，黑球为18个 (3)30个 【详解】（1）解：由表格可知：当n的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 所以估计摸到白球的概率为； （2）解：盒子里白球的数量为（个， 所以黑球的数量为（个； （3）解：设再放入x个白球， 则有， 解得， 经检验，是方程的解， 答：需要往盒子里再放入30个白球． 题型四 二元一次方程组的特殊解法（共10小题） 28．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：变形为 由题意得：， 解得：． 故选：B． 29．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 3 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 3 2 … 则关于的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【详解】解：从表格中可知，当，时，同时满足方程和． 设，， 则原方程组化为． 因此，， 即． 解方程组： ，得，所以； ，得，所以． 故答案为：． 30．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为_______． 【答案】 【详解】解：整理方程组， 可得： 令 ，， 则新方程组化为：， 方程组的解为， 方程组的解为， ， 解得：． 31．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）关于的方程组的解是，则方程组的解是_______． 【答案】 【详解】解：方程组可变为， ∵关于的方程组的解是， ∴，， 解得，， ∴方程组的解是， 故答案为：． 32．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：， ． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为； （3）解：由（2）可知， 得， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴方程组的解为． 33．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读理解： （Ⅰ）我国古代数学巨著《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组． 把它们写成我们现在的方程组是与 （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 解答下列问题： (1)直接写出图表示的关于，的二元一次方程组； (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：图表示的关于，的二元一次方程组为：； （2）解：， 所以原方程组的解为． 34．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 35．（25-26八年级上·四川成都·期中）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：③． 把方程①代入③得：． 把代入①得， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小明的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将②变形得：③， 把方程①代入③得：； 把代入①得， 原方程组的解为； （2）解：， 将①变形得：③， 把方程②代入③得：， 则． 36．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 37．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：①②得：，即③， ③：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：猜测关于x、y的方程组的解为， 理由如下： ， ①②得：，即③， ③得：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， ∴这个方程组的解是． 题型五 工程问题（二元一次方程组的应用）（共8小题） 38．（24-25七年级下·四川乐山·期中）乐山市某小区物业对面积为3600平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化200平方米，乙园林队每天绿化160平方米，两队共用21天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 【答案】甲园林队工作了6天，乙园林队工作了15天． 【详解】设甲园林队工作了x天，乙园林队工作了天， 根据题意得 解得， 答：甲园林队工作了6天，乙园林队工作了15天． 39．（24-25九年级下·吉林松原·期中）长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 【答案】甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米 【详解】解：设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米． 40．（24-25九年级下·安徽池州·期中）某科研团队计划开展两个研究项目．已知原计划A，B两个项目的总实验周期数为90个．在实际开展过程中，项目A的实验周期数超过原计划的10%，项目B的实验周期数只达到计划的90%，但总实验周期数保持不变．求原计划项目A，B的实验周期数． 【答案】原计划项目A的实验周期数为45个，项目B的实验周期数45个 【详解】解：设原计划项目A的实验周期数为x个，项目B的实验周期数y个． 依题意得 解得 答：原计划项目A的实验周期数为45个，项目B的实验周期数45个． 41．（24-25八年级下·上海崇明·期中）某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 【答案】甲班需8天，乙班需12天 【详解】解：设甲每小时完成x，乙每小时完成y； 根据题意得：， 解方程组得：， 则甲班单独完成需要（天），乙班单独完成需要（天）； 答：甲班需8天，乙班需12天． 42．（24-25七年级下·山东聊城·期中）阅读理解： 为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天． (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示_______，y表示：_______； 乙：x表示_______，y表示_______； (2)求出乙方程组的解，并回答两工程队分别整治河道多少米？ 【答案】(1)A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作总量，B队的工作总量；补全所列方程组见解析 (2)，A队整治河道120米，B队整治河道240米 【详解】（1）解：甲：， 乙：； 甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间； 乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量； 故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量． （2）解：整理乙方程组，得 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴乙方程组的解为：， 答：A队整治河道120米，B队整治河道240米． 43．（24-25七年级下·云南昆明·期中）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 【答案】(1)时间上考虑选择甲公司 (2)从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （2）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 44．（24-25八年级上·广东深圳·期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 【答案】见解析 【详解】解：选择的方程组为甲， 设为工程队工作的天数； 为工程队工作的天数． 根据提意得， 解此方程组得， ，， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 选择的方程组为乙， 设为工程队整治河边道路长度； 为工程队整治河边道路长度． 根据提意得， 解此方程组得， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 45．（24-25七年级下·河南许昌·期中）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计招聘方案？ 素材 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装． 素材 调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ 【答案】[任务一]每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；[任务二]工厂有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名，抽调熟练工名，招聘新工人名． 【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 根据题意得：， 解得：， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得：， 整理得：， ∵为正整数，且， ∴或， ∴工厂有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名，抽调熟练工名，招聘新工人名． 题型六 求直线围成的图形面积（共10小题） 46．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 47．（24-25八年级上·四川成都·期末）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点B的坐标是 B．的面积是8 C．y随x的增大而增大 D．点在函数图象上 【答案】C 【详解】解：令，则， ∴点B坐标为，故A错误； 令，则， 解得， ∴点A坐标为， ∴，， ∴，故B错误； ∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大，故C正确； 当时，， ∴点不在函数图象上，故D错误． 故选：C． 48．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有三点，，，若过点C的直线将分成面积之比为两部分，则k的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或， 故选：D． 49．（25-26八年级上·四川成都·期中）《庄子·天下篇》记载“一尺之锤；日取其半，万世不竭．”如图，直线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，则的面积_____________． 【答案】 【详解】解：在第一象限内任取直线上一点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点Q、R，则分别代表点P的纵坐标与横坐标，即有：，则四边形是正方形，平分 ∴直线与y轴的夹角是， ∴…都是等腰直角三角形． 令，代入直线中得，得到点A的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴当时，点的坐标为， ∴， ∴点的横坐标 当时，得出点的坐标为， ， 以此类推，得， ， 当时得到：， 时得到：， ∴， 的面积 故答案为：． 50．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知：直线：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、D，直线与相交于点P，．求的面积． 【答案】6 【详解】解：在中，令，则，令，则， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∴， ∵直线与相交于点P，联立两方程得：， 解得， ∴点P的坐标为， ∵，点P的坐标为， ∴． 51．（24-25八年级下·海南海口·期中）已知直线：与直线：交于点，且直线与轴交于点． (1)求直线解析式； (2)求点的坐标； (3)如图，直线的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当点的坐标是，求的面积； ②以为直角边作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或或 【详解】（1）解：将点代入直线可得， ∴直线解析式为； （2）解：联立方程组， 解得， ∴； （3）解：①∵点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，点的坐标是， ∴当时，，， ∴， ∴，且， ∴点到的距离为， ∴； ②点的坐标为或或或．理由如下： 直线：的图象交轴于点A，交轴于点， ∴当时，，当时，， ∴， 当， 如图，，，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 如图，，，过点作轴于点，过点作延长线于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与轴交于点， ∴， ∴； 如图，，，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得：， ∴， ∴； 如图，，，过点作轴于点，过点作延长线于点，同理可得：， ∴， ∴， ∴ 综上所述，点的坐标为或或或． 52．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知一次函数的图象经过点． (1)若该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积是4，求b的值； (2)平面内有点． ①试说明：一次函数的图象经过点B； ②一次函数的图象与y轴交于点C，当为直角三角形时，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；②或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴ 即， ∵， ∴， ∵所围三角形的面积为4，且， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）； 答：b的值为4． （2）①将代入得 ， ∴， 当时，， ∴一次函数的图象经过点； ②∵一次函数与y轴交于点C， ∴点C坐标为， ∵点，点A坐标为， ∴， 在中，， 同理可得：， 当为直角三角形时，分三种情况进行分类讨论： 当，得：， 即：， 解得：； ∵， ∴， ∴点B坐标为； 当，得：， 即：， 解得：， ∵， ∴， ∴点B坐标为； 当，得：， 即：， 解得：， ∴该方程无解； 综上所述，当为直角三角形时，点B坐标为或． 53．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)判断的形状； (3)若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)等腰直角三角形； (3)或 【详解】（1）解：∵为直线上一点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 解得． ∴直线的解析式为； （2）解：在中，令，得；令，得， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理在直线：中，可得， ∴ ∴是等腰直角三角形； （3）解：∵直线与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， 设， ①当点在轴下方时，， 解得， ∴点的坐标为； ②当点在轴上方时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上，当的面积等于面积两倍时，点的坐标为或． 54．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式； (2)求点B的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵直线过点，且交x轴于点， ∴设直线的解析式为， 将点，点代入得，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：∵直线与直线交于点B， ∴联立可得，解得， 当时，， ∴点B的坐标为． （3）解：． 55．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，直线的函数表达式为：，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点，点． (1)求直线函数表达式； (2)如图2，点是轴上的一个动点，过点作直线垂直于轴于点，交直线，直线分别于点，点，设点的纵坐标为，当时，求的值； (3)在直线上存在另一点，使得的面积是面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：将点代入中，得，解得 ． ∴点的坐标为 设直线函数表达式为 将点、代入中，得 解得 ∴直线函数表达式为． （2）解：如图所示： 中，当时， ∴点的坐标为 在直线中，当时， ∴点A的坐标为 ∴． ∵直线轴于点，点的纵坐标为 ∴点，点的纵坐标都为 ∵点在直线上 ∴点的坐标为． ∵点在直线上 ∴点的坐标为． ∴ ∵ ∴ 解得，或． （3）解：令的得， ∴， ， 故面积为． 设，， ，得， 即，对应或． 题型七 根据平行线的性质探究角的关系（共5小题） 56．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵∵平分， ∴ 又，， ∴ ， 故④正确． 综上所述，正确的选项①②④共3个， 故选：C． 57．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 【答案】② 【详解】解：延长，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①错误；②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，只要和为即可， 故③④不一定正确． 58．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）证明：在中，， 是的平分线， ， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ； （3）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ． 59．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 60．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【问题情境】 是锐角三角形，点D在线段的延长线上，过点D作直线，点E在线段上（点E不与点A，B，D重合），连接，过点E作交直线m于点F（点F不与点D重合）． 【问题初探】如图1，点E在线段上时，＝ °； 【类比研究】当点E在线段上时，探究与之间满足的数量关系．请在备用图中画出符合条件的图形，并说明理由； 【深入探究】若与的角平分线所在直线相交于点O，试探究的度数，并直接写出你的探究结果． 【答案】【问题初探】90；【类比研究】或；【深入探究】 【详解】解：【问题初探】∵， ∴． ∴． ∵直线， ∴． ∴． 【类比研究】分两种情况讨论． 第一种：，画出符合条件的图形如图所示，理由如下： ∵， ∴，即． ∵直线， ∴． ∵， ∴． ∴． 第二种：，画出符合条件的图形如图所示，理由如下： ∵， ∴． ∵直线， ∴，即． 又， ∴． 【深入探究】由之前的研究可知，共分三种情况： 第一种：点E在线段上，画出图形如图所示，过点O作． ∵， ∴． ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∴． 第二种：点E在线段上，画出图形其示意图如图所示，延长交于点P． ∵是的平分线， 由对顶角相等，得． ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． 第三种：点E在线段上，画出图形其示意图如图所示，与交于点P． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵， ∴． 综上，． 题型八 根据平行线的性质求角度（共3小题） 61．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则__________． 【答案】6 【详解】解：由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：6． 62．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)的度数为或或或 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． 答：，． （2）证明：设，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． , 可分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ; ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握角度的和差运算与代数推导是解题关键． 63．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）（1）新知探究，如图①，在三角形中，直线经过点，且．说明． （2）变式演练，如图②，在三角形中，，点在边上，交于点，若，求的度数． （3）方法应用，如图③，直线与直线相交于点，相交所成的锐角为，点在直线上，且在点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线上，且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点重合）．当时，平分平分交直线于点，求的度数． 【答案】（1）说明见详解；（2）；（3）或 【详解】解：（1）如图①所示： ， ， ， ∴； （2）如图②所示： 是的一个外角， ， ，， ， ， ； （3）当点在点的上方时，如图所示： ， ， 平分平分， ， 则由三角形外角的性质可得， ， 即； 当点在点的下方时，如图所示： ， ， 则， 平分平分， ，， 则； 综上所述，或． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，数形结合，熟练的掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 64．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点M、N在直线上，点G在直线上，点H在直线、之间，连接交于点K，连接交于点J，交于点P；连接，当时，下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论是_______．（填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：∵，，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，， ∴，故④符合题意； 如图，过作， ∴， ∴，， ∴，故②符合题意； 如图，过作， ∴， ∴，，， ∴， 当时，则，与题干矛盾， ∴不成立，故③不符合题意； 故答案为：①②④ 65．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 66．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知：，点E、F分别在、上，N为与之间一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数： (3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：过M向左作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设直线、交于点G， ∵平分，， ∴， 设 ∵， 由（1）得，， ∴， 由（1）得，， ∴，即 过F作，则，， ∴， ∴； （3）解：设， ∵平分， ∴， 过点T向右作， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 1．对于一个四位自然数，若它的个位数字与百位数字之和等于它的十位数字与千位数字之和的2倍，则称为“和倍数”．令，规定：．例如：，因为，所以4725是“和倍数”，，．已知四位自然数是“和倍数”，且，则的值为______；若四位自然数是“和倍数”，是整数，且，则所有满足条件的之和为______． 【答案】 2 4587 【详解】解：四位自然数是“和倍数”， ∴①． ， ∵， ∴， ∴，即②． 将①代入②得，化简得， 解得． 故答案为：2； 四位自然数是“和倍数”，故③． ， 将③代入得④． 条件1：是整数， 将④代入得为整数，故能被7整除． 结合，得． 将代入④得⑤． 条件2：，将和⑤代入得， 化简得． 结合，， 试值得：时，，由③得，故； 时，，由③得，故； 时，，由③得，不符合要求，舍去； 时，，由③得，不符合要求，舍去； 综上，所有满足条件的之和为， 故答案为：4587． 2．2014年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知： ①这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数； ②乙队总得分排在第一； ③丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的． 根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是_____队．（要有推断过程） 【答案】丙 【详解】解：甲、乙、丙、丁4支队合计比赛场次：（场）， 因为每场比赛获胜的队可得3分：失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分， 所以6场比赛如果全部分出胜负，则四队积分和：（分）， 根据（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数， 所以四队积分可能为1、3、5、7或3、5、7、9 而， 所以四队积分只能为1、3、5、7， 因为（2）乙队总得分排在第一， 所以乙队积分7分（2胜1平）， 因为（3）丁队恰有两场同对方踢平，两场比赛积分：（分） 所以丁队另外一场比赛一定胜了对方，积分3分， 即丁队一共积分：（分） 所以丁队总得分排在第二，积分5分（1胜2平）， 因为（3）丁队有一场是与丙队踢平的， 此时剩余两队（甲、丙）的积分为3分和1分， 积3分的队伍战绩为1胜2负（0场平局），积1分的队伍战绩为1平2负（1场平局）， 根据条件③，丁队与丙队踢平，说明丙队必有1场平局， 故丙队只可能积分1分（1平2负），最后甲队积分3分（1胜2负）． 综上： 甲1胜2负，积分3分，即甲胜丙，负乙和丁； 乙2胜1平，积分7分，即乙胜甲和丙，平丁； 丙1平2负，积分1分，即丙平丁，负甲和乙； 丁1胜2平，积分5分，即丁胜甲，平乙和丙． 所以总得分排在第四的是丙队． 故答案为：丙． 3．阅读与理解． 阅读下面的素材，完成给定的任务． 素材一：二阶行列式是由矩阵的元素按照特定规则计算出的一个数值，其运算规则是．例如：． 素材二：克莱姆法则是一种用行列式求解方程组的方法，适用于方程的个数等于未知数个数且系数行列式不为零的情况．例如：对于二元一次方程组，如果系数行列式，记，，则该方程组的解为，． 任务： (1)仿照素材一，用含的代数式表示：________，若的值为3，则的值为________． (2)用“克莱姆法则”求解二元一次方程组． 【答案】(1)，9 (2) 【详解】（1）解：， ∵的值为3， ∴， 解得， 故答案为：，9． （2）解：， 系数行列式， ，， 则方程组的解为，， 即方程组的解为． 4．某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 5．我们规定：直线与直线（，为常数，且）互为“类反函数”．例如：直线与直线就互为“类反函数”．已知直线与其互为“类反函数”的直线交于点，且与轴，轴分别交于，两点，与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，当，时， ①求直线的函数表达式．②求四边形的面积． (2)如图2，对于直线和，当，且时，在轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① ；②； (2)存在，或，理由见解析 【详解】（1）① 解：根据“类反函数”的定义，当，时， 直线的表达式为， 即 ② 解：对于， 令，则，解得，所以； 令，则，所以． 对于， 令，则，解得，所以； 令，则，所以． 联立， 解得，，所以． 计算的面积：， 计算的面积：， 所以四边形的面积为：． 答：四边形的面积为． （2）解：已知，则，． 对于，令，则，解得，所以． 因为，，所以，则． 将代入的表达式：，解得． 所以，，． 设，要使，构造等腰直角三角形． 过点作的垂线，截取，则为等腰直角三角形，， 由到，横坐标增加，纵坐标增加． 过作的垂线，有两个方向： 向左上：横坐标减，纵坐标加，得； 向右下：横坐标加，纵坐标减，得． 当时，设直线的表达式为，因， ∴，解得：， ∴直线的表达式为，令，得，所以； 当时，设直线的表达式为，因， ∴，解得：， ∴直线的表达式为，令，得，所以． 答：存在点，坐标为或． 6．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $