专题05 期中真题百练通关（常考82题 16题型）（期中专项训练）七年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题05 期中真题百练通关（82题16大常考题型） 题型一 二元一次方程的定义 题型九 销售问题（二元一次方程组的应用） 题型二 判断是否是二元一次方程组 题型十 古代问题（二元一次方程组的应用） 题型三 判断是否是二元一次方程组的解 题型十一 写出命题的条件和结论 题型四 构造二元一次方程组求解 题型十二 判断命题真假 题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型十三 平行线的性质与判定 题型六 方程组解相同问题 题型十四 事件的分类 题型七 方案问题（二元一次方程组的应用） 题型十五 求某事件的频率 题型八 分配问题（二元一次方程组的应用） 题型十六 由频率估计概率 题型一 二元一次方程的定义（共5小题） 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林白山·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若是一个二元一次方程，那么的值是___________． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则关于m，n的值判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知方程是二元一次方程，则“”可能是（   ） A． B． C． D． 题型二 判断是否是二元一次方程组（共3小题） 6．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·四川成都·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·山东烟台·期中）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（   ） A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤ 题型三 判断是否是二元一次方程组的解（共6小题） 9．（25-26八年级上·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·广东清远·期末）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·四川乐山·期中）写出一个以为解的二元一次方程组：_______． 13．（24-25七年级下·河南新乡·期中）若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为 （   ） 表1 x 1 2 y 1 表2 x 0 1 2 y 0 A． B． C． D． 题型四 构造二元一次方程组求解（共3小题） 15．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 16．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知与的值互为相反数，则的值为_________． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共6小题） 18．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 19．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 20．（25-26八年级上·四川成都·期中）解关于x，y的方程组，当解满足方程时，k值为______． 21．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为________． 22．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 23．（25-26八年级上·四川成都·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解的和为10，则k的值等于___________． 题型六 方程组解相同问题（共6小题） 24．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 25．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 26．（25-26八年级上·四川成都·期中）若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 27．（24-25八年级上·四川成都·期中）若方程组和方程组有相同的解，则的值为_____． 28．（24-25七年级下·广东中山·期中）已知关于x，y的方程组和的解相同． (1)求a，b的值； (2)解关于m的方程：． 29．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的方程和方程组有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 题型七 方案问题（二元一次方程组的应用）（共4小题） 30．（25-26七年级上·吉林·期中）省二实验学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级师生共483人．学校向租车公司租赁A，B两种车型送师生往研学基地，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余12个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则18人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？ 31．（25-26八年级上·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 32．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 33．（25-26九年级上·重庆·期中）在“古编钟非遗技艺传承基地”的修复工作中，传承人需根据古编钟的声学标准调整钟体，同时采购传统工艺材料修复编钟． (1)修复一套战国编钟时，大号钟的振动频率是小号钟的，经声学检测，两者频率之和为（赫兹，频率的单位）、求这套编钟里大号钟和小号钟的振动频率分别是多少？ (2)为保证修复后编钟的音质与耐久性，需采购A、B两种传统工艺材料：A材料（青铜合金片）每张45元，用于加固钟体：B材料（天然漆料）每桶60元，用于钟体髹（xiū）漆（非遗髹漆工艺）、传承人提供的材料经费共720元，要求经费全部用完且两种材料都必须采购（缺一不可），共有哪几种采购方案？ 题型八 分配问题（二元一次方程组的应用）（共4小题） 34．（25-26八年级上·重庆·期中）半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施．一个23人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费655元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间？（请列二元一次方程组求解） 36．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 37．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）根据图中的信息，解答下列问题． (1)如果放入6个球，水面升高了，那么放入的大球、小球各多少个？ (2)要使水面升高，有哪几种放球的方案？ 题型九 销售问题（二元一次方程组的应用）（共6小题） 38．（24-25七年级上·北京·期中）列方程解应用问题： 某学校购买了排球和足球共138个，共花了5400元．其中排球每个30元，足球每个50元，问排球和足球各买了多少个？ 39．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）“冰雪同梦，亚洲同心”、2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在冰城哈尔滨隆重举行，黑龙江逊克北红玛瑙是独具龙江特色的纪念品，被镶嵌于本届亚冬会奖牌上．艳硕购物中心共购进A，B两种型号红玛瑙挂件100件，花费9200元，其中A的价格是每件100元，B的价格是每件80元．问：购进A种型号和B种型号的挂件各多少件？ 40．（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）根据如下表素材，探索完成任务． 背景 红树中学在组织开展体育文化节亚冬会知识竞赛活动时，去奶茶店购买、两款奶茶作为奖品． 素材 若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元； 若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元． 请利用二元一次方程相关知识解决以下问题： (1)款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？ (2)李老师计划正好用元购买、两款奶茶（两种都要），请求出所有符合题意的购买方案？ 41．（25-26九年级上·云南昆明·期中）请你根据下列素材，探索完成任务． 背景 云南省某中学秉持“以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美”理念，在2025年国庆节即将到来之时，举办诗歌朗诵比赛，鼓励同学们借诗歌展现祖国山河与家乡风貌，为国庆献礼．为此，年级组决定购买A，B两种笔记本，用于奖励比赛中的优秀同学． 素材1 通过调查，购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共需花90元，购买3本A种笔记本和5本B种笔记本共需花145元． 素材2 根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的3倍． 请完成下列任务： 任务1 计算物品单价 请你运用所学知识．求出A种与B种笔记本的单价分别是多少？ 任务2 确定最优方案 请你帮年级组探究该如何购买，可使总费用最少？并求出最少费用． 42．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）为庆祝中国共产党成立104周年，我校开展了演讲比赛，为奖励在演讲比赛中获奖的同学，学校派小明为获奖同学买奖品，要求每人一件，小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择，如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． (1)求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？ (2)售货员阿姨提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买（，且为整数）支钢笔需要花元，请你求出与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，小明决定买同一种商品做奖品，数量超过10个，售货员阿姨说无论你单买钢笔做奖品还是单买笔记本做奖品，所需付的钱是一样的，请问这次演讲比赛共有多少名同学获奖． 43．（25-26八年级上·山西运城·期中）请根据以下素材，探索完成任务． 购车选择方案一新能源车与燃油车的多维度分析 素材1 随着汽车市场品类日益丰富，新能源与燃油车的选择交织着政策导向、全周期成本、使用场景等多重因素，小明家在购车决策中因信息繁杂、维度多元陷入两难困境．为此，小明和爸爸妈妈针对性地开展了专项调查研究．对市场上配置相近的A款燃油车和B款新能源车做对比调查，并结合自己家的预算，得到有关数据如下： 购车费用/万元 购置税/万元 年均保养费用/万元 年均保险费用/万元 预计10年后的车价/万元 A款燃油车 16 B款新能源车 20 0 素材2 总费用（以使用10年为例）=购车费用-预计10年后的车价+购置税+保养费用+保险费用+油费或电费 素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多元，且每公里燃油车的油费是新能源车的电费的3倍 问题解决 任务1 A款燃油车每公里油费是多少元？B款新能源车每公里电费是多少元？ 任务2 设平均每年的行驶路程为x万公里，A款燃油车使用10年的总费用为万元，B款新能源车使用10年的总费用为万元，分别求出和关于x的表达式． 任务3 每年行驶里程为多少万公里时，购买A款燃油车和B款新能源车费用相等．（以使用10年为例） 题型十 古代问题（二元一次方程组的应用）（共7小题） 44．（25-26八年级上·陕西西安·期中）古代歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，问鸦树各几何．若设树棵，乌鸦只，可得方程组（   ） A． B． C． D． 45．（25-26八年级上·重庆·期中）《孙子算经》里面记载了一道“二人持钱”问题：今有甲乙二人持钱，不知其数，若甲得乙中半，可满四十八；若乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙各持几何？其大意是：甲、乙两人各自持有一定数量的钱，若甲得到乙所持钱数的一半，此时甲拥有的总钱数为；若乙得到甲所持钱数的三分之二（古代数学中“太半”，特指分数“三分之二”），此时乙拥有的总钱数也为，计算甲、乙两人最初各自持有多少钱？设甲最初持有元，乙最初持有元，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）算筹是我国古代数学的重要创举，下图从左到右分别表示数字1到9，如图（a）的排列则表示方程组，那么图（b）表示的方程为（   ） A． B． C． D． 47．（2025·四川巴中·中考真题）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 48．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤两，半斤两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，可列方程组___________． 49．（25-26八年级上·四川成都·期中）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀重为________斤；1只燕重为________斤． 50．（24-25七年级下·广东韶关·期中）综合与实践． 【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题． 【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【假设】（1）①根据题意完成下列表格 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 （用含x，y的式子表示） ②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________； 【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解． 题型十一 写出命题的题设和结论（共5小题） 51．（25-26八年级上·河南周口·期中）命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 52．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式 ________________________________________． 53．（25-26八年级上·山西忻州·期中）把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的形式：________________________________________________________________． 54．（25-26八年级上·海南海口·期中）将命题：“两条边相等的三角形叫做等腰三角形”改为“如果.....，那么.....”的形式______． 55．（24-25七年级下·广西南宁·期中）命题“若，则”，这个命题的结论是______． 题型十二 判断命题真假（共6小题） 56．（25-26七年级下·福建福州·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同位角一定相等 C．垂线段一定最短 D．两点之间线段最短 57．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）下列命题中，假命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．对顶角相等 C．两点确定一条直线 D．三角形三条中线的交点一定在三角形内 58．（25-26八年级上·浙江金华·期中）对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 59．（25-26八年级上·四川眉山·期中）下列命题真命题的个数有（    ） ①无理数是无限小数；②不带根号的数一定是有理数；③实数与数轴上的点一一对应；④0.1的平方根是；⑤平方根等于本身的数是0和1． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 60．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列命题不是真命题的是（   ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条角平分线必定交于一点 C．全等三角形对应边上的中线相等 D．三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等 61．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 题型十三 平行线的性质与判定（共6小题） 62．（25-26八年级上·北京昌平·期中）如图，直线，则_______度． 63．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A．B．C． D． 64．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是_______（填序号） 65．（24-25七年级下·全国·期中）补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 66．（24-25七年级下·天津·期中）已知：如图，，直线分别与直线，相交于点G，H，，试说明：． 解：因为（已知）， （对顶角相等）， 所以 （ ）， 所以 （同位角相等，两直线平行）， 所以 （两直线平行，同位角相等）， 因为（已知）， 所以（ ）， 所以（等量代换）． 67．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，，，求的度数．请把下列推理的过程和依据补充完整． 解：_______（   ）， _______， 且（   ）， （   ）， （   ）， ∴（   ）． ， _______°． 题型十四 事件的分类（共6小题） 68．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（   ） A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 69．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果，那么 D．三角形内角和是 70．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．小明买彩票中奖 B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 71．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）小实同学翻开数学课本某页，页码是偶数，这一事件是（） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法判断 72．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列事件属于必然事件的是（    ） A．队员在罚球线上投篮一次未投中 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．经过某十字路口遇到红灯 D．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为 73．（25-26九年级上·重庆江津·期中）下面事件中必然事件是（   ） A．今天下午刮风，则明天下雨 B．两条直线被第三条直线所截，则内错角相等 C．抛掷一枚均匀的正六面体骰子，则点数不大于6 D．两个有理数的积为正数，则这两个数都是正数 题型十五 求某事件的频率（共3小题） 74．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是_________． 75．（24-25九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为______． 题型十六 由频率估计概率（共5小题） 76．（25-26九年级上·河南焦作·期中）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，用频率估计“正面朝上”的概率为0.55，下列说法正确的是（   ） A．抛掷100次，一定有55次正面朝上 B．抛掷1次，一定是正面朝上 C．抛掷1次，不一定是正面朝上 D．抛掷2次，一定有2次正面朝上 77．（25-26九年级上·全国·期中）色盲是伴染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表： 抽取的体检表数 色盲患者的频数 色盲患者的频率 根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为（ ）（结果精确到） A． B． C． D． 78．（25-26九年级上·河北沧州·期中）一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为_____． 79．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的布袋中有白球和黑球共40个，这些球除颜色外都相同，小明将布袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回布袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到黑球，则布袋中黑球的个数可能为________． 80．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）一个不透明口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”的两种小球共20个，它们除表面所写汉字不同外其他完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到写有“如意”的球的频率稳定在，估计这个口袋中写有“吉祥”的球的个数． 1．下列语言叙述是命题的是（    ） A．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 B．你喜欢陇南吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 2．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两、问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．成语是中国传统文化的一大特色，它包含着丰富的智慧、哲理和象征意义．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．不期而遇 B．竹篮打水 C．水中捞月 D．水涨船高 4．已知一次函数（、为常数，）与（、为常数，）的图象交于点，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，这些球除颜色外完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数最可能是 ______ ． 6．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 7．完成下面的证明． 如图，．求证：． 证明：过E点作． ∵（          ）， ∴（          ）， ∴ （          ）， （          ）． ∴ （          ）， 即． 8．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 (1)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板______块． (2)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板（靠背板和座板两者都要有且板材恰好全部用完），请你设计出所有符合要求的裁切方案． 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在（2）中的裁切方案中选定两种，并说出你选定的裁切方案分别需要多少块板材．（选择一种符合实际的组合即可） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（82题16大常考题型） 题型一 二元一次方程的定义 题型九 销售问题（二元一次方程组的应用） 题型二 判断是否是二元一次方程组 题型十 古代问题（二元一次方程组的应用） 题型三 判断是否是二元一次方程组的解 题型十一 写出命题的条件和结论 题型四 构造二元一次方程组求解 题型十二 判断命题真假 题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型十三 平行线的性质与判定 题型六 方程组解相同问题 题型十四 事件的分类 题型七 方案问题（二元一次方程组的应用） 题型十五 求某事件的频率 题型八 分配问题（二元一次方程组的应用） 题型十六 由频率估计概率 题型一 二元一次方程的定义（共5小题） 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， ，， ，， ． 2．（24-25七年级下·吉林白山·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A：，含两个未知数，但含未知数的项的次数为2，不是一次方程； B：，含两个未知数，但次数均为2，不是一次方程； C：，含两个未知数x和y，次数均为1，是二元一次方程； D：，含两个未知数，但y在分母，不是二元一次方程． 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若是一个二元一次方程，那么的值是___________． 【答案】 【详解】解：∵是一个二元一次方程， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则关于m，n的值判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：∵ 方程 是关于， 的二元一次方程， ∴的指数必须为1，即， 解得：， ∵的系数（若 ，则方程变为，不符合二元一次方程定义）， ∴， ， 故选：C． 5．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知方程是二元一次方程，则“”可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 方程 是二元一次方程， 方程必须含有两个不同的未知数，且每个未知项的次数为 A选项：若为 ，则方程为 ，即 ，只含一个未知数，是一元一次方程，故A选项不符合题意； B选项：若为 ，则方程为 ，含两个未知数 和 ，且未知项的次数均为，是二元一次方程，故B选项符合题意； C选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是二元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：B． 题型二 判断是否是二元一次方程组（共3小题） 6．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意； B、含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； C、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； D、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．（25-26八年级上·四川成都·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中第一个方程含有项，为二次方程，不符合一次方程定义； 选项B中第一个方程左边为二次，不符合一次方程定义； 选项C中含有三个未知数a、b、c，不符合两个未知数的定义； 选项D中只含两个未知数m、n，且每个方程均为一次方程； 故选：D． 8．（24-25七年级下·山东烟台·期中）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（   ） A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤ 【答案】A 【详解】解：①，符合二元一次方程组的概念； ②，符合二元一次方程组的概念； ③中，中含未知数的项的次数不是一次，不符合二元一次方程组的概念； ④中，不是整式方程，不符合二元一次方程组的概念； ⑤，符合二元一次方程组的概念； 综上，①②⑤是二元一次方程组． 故选：A． 题型三 判断是否是二元一次方程组的解（共6小题） 9．（25-26八年级上·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 10．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 11．（24-25八年级上·广东清远·期末）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； B. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； C. 将代入得，，该选项是方程的解，符合题意； D. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； 故选：C． 12．（24-25七年级下·四川乐山·期中）写出一个以为解的二元一次方程组：_______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意，可以构造的方程组为： ； 故答案为：（答案不唯一）． 13．（24-25七年级下·河南新乡·期中）若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程组为，其解需同时满足两个方程， ∴假设解为，（满足），代入各选项验证： A、，不成立，故该选项不符合题意； B、，不成立，故该选项不符合题意； C、，成立，故该选项符合题意； D、，不成立，故该选项不符合题意； 故选：C 14．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为 （   ） 表1 x 1 2 y 1 表2 x 0 1 2 y 0 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知，，是二元一次方程的解，，是二元一次方程的解， 关于，的二元一次方程组的解为． 故选：C． 题型四 构造二元一次方程组求解（共3小题） 15．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 16．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知与的值互为相反数，则的值为_________． 【答案】 【详解】∵ 与 互为相反数， ∴ ， 由于平方项和绝对值均为非负数， 因此， 解方程组得， ∴ ． 故答案为：0． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共6小题） 18．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【详解】解：已知方程组， 将两方程相加，得：， 整理得：， 两边同时除以5，得：． 又因为，所以， 解得． 故选：B． 19．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 【答案】 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵， ∴ 解得： 故答案为：． 20．（25-26八年级上·四川成都·期中）解关于x，y的方程组，当解满足方程时，k值为______． 【答案】1 【详解】解：解方程组， 两式相加得：， 所以； 两式相减得， 所以． 将和代入，得： ， 解得． 故答案为：1 21．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为________． 【答案】 4 【详解】解：方程组为：将方程(1)减去方程(2)， 得：， 即， ∴， 已知 ，代入得：， 解得：． 故答案为：4． 22．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】2 【详解】解：依题意得：， 解得： 将 ， 代入 ，得， ∴． 23．（25-26八年级上·四川成都·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解的和为10，则k的值等于___________． 【答案】24 【详解】解：， 得， ， 二元一次方程组的解的和为10， ， 解得． 故答案为：24． 题型六 方程组解相同问题（共6小题） 24．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 25．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】的值为 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程和的解相同， ∴将代入方程得， ， ， ， ， ， 解得， ∴的值为． 26．（25-26八年级上·四川成都·期中）若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：与的解相同， ， 解得， 两个方程组的相同解为． （2）解：把代入方程组， 得， 解得， ． 27．（24-25八年级上·四川成都·期中）若方程组和方程组有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：将和组成方程组得， 解得，， 将分别代入和得， 整理得：， 解得， ∴． 故答案为：． 28．（24-25七年级下·广东中山·期中）已知关于x，y的方程组和的解相同． (1)求a，b的值； (2)解关于m的方程：． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：由题意可得，解得， 将代入，得 解得， ∴，； （2）解：将，代入方程得 整理得，即或 ∴或． 29．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的方程和方程组有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：联立方程 方程的两边同乘得 ① 方程的两边同乘得 ② 得： 把代入得： ∴相同的解为； （2）解：把代入得： ∴． 题型七 方案问题（二元一次方程组的应用）（共4小题） 30．（25-26七年级上·吉林·期中）省二实验学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级师生共483人．学校向租车公司租赁A，B两种车型送师生往研学基地，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余12个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则18人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？ 【答案】A型车有45个座位，B型车有60个座位 【详解】解：设A型车每辆有a个座位，B型车每辆有b个座位， 根据题意，第一种租车方案：租用3辆A型车和6辆B型车，空余12个座位， 即； 第二种租车方案：租用5辆A型车和4辆B型车，18人没有座位， 即； 得方程组：， 解得：， ∴A型车有45个座位，B型车有60个座位． 31．（25-26八年级上·山东济南·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 (2)当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 32．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹 (2)有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 由题意得，， 解得， 答：大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个， 由题意得，， 整理得，， 即， ∵和都为正整数， ∴或或， ∴有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个． 33．（25-26九年级上·重庆·期中）在“古编钟非遗技艺传承基地”的修复工作中，传承人需根据古编钟的声学标准调整钟体，同时采购传统工艺材料修复编钟． (1)修复一套战国编钟时，大号钟的振动频率是小号钟的，经声学检测，两者频率之和为（赫兹，频率的单位）、求这套编钟里大号钟和小号钟的振动频率分别是多少？ (2)为保证修复后编钟的音质与耐久性，需采购A、B两种传统工艺材料：A材料（青铜合金片）每张45元，用于加固钟体：B材料（天然漆料）每桶60元，用于钟体髹（xiū）漆（非遗髹漆工艺）、传承人提供的材料经费共720元，要求经费全部用完且两种材料都必须采购（缺一不可），共有哪几种采购方案？ 【答案】(1) 大号钟振动频率为，小号钟振动频率为 (2) 共有三种采购方案：①采购A材料12张、B材料3桶；②采购A材料8张、B材料6桶；③采购A材料4张、B材料9桶 【详解】（1）解：设小号钟振动频率为，则大号钟振动频率为， 根据题意，， 即， 解得， ∴大号钟振动频率为HZ， ∴大号钟振动频率为，小号钟振动频率为． （2）解：设采购A材料张，B材料桶，其中和均为正整数， 根据题意，， 简化得， 即， 由于为正整数，必须为整数，故为3的倍数， 尝试值： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（无效）， 因此共有三种方案：①采购A材料12张、B材料3桶；②采购A材料8张、B材料6桶；③采购A材料4张、B材料9桶． 题型八 分配问题（二元一次方程组的应用）（共4小题） 34．（25-26八年级上·重庆·期中）半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶， ∵ 布料总长为128米， ∴ ； ∵ 每米布料可做2个玩偶，或1个玩偶， 每个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶， ∴ ； 故方程组为 ， 故选：A． 35．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施．一个23人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费655元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间？（请列二元一次方程组求解） 【答案】三人间普通客房5间，双人间普通客房4间 【详解】解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房间，由题意，得： 解得：， 答：三人间普通客房5间，双人间普通客房4间． 36．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 【答案】(1)1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨 (2)共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车 【详解】（1）解：设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨， 由题意可得：， 解得：， ∴1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨； （2）解：由题意可得：， ∴， ∵、均为正整数， ∴或或， 故共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车． 37．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）根据图中的信息，解答下列问题． (1)如果放入6个球，水面升高了，那么放入的大球、小球各多少个？ (2)要使水面升高，有哪几种放球的方案？ 【答案】(1)放入2个大球，4个小球 (2)放球的方案有：只放入6个小球；放入3个大球和2个小球 【详解】（1）解：由图知，放入一个小球水面升高的高度为：； 放入一个大球水面升高的高度为：； 设放入大球个，小球个， 根据题意得， 解得， 放入2个大球，4个小球水面升高； （2）解：设放入大球个，小球个， 根据题意得， 解得或， 放球的方案有：只放入6个小球；放入3个大球和2个小球． 题型九 销售问题（二元一次方程组的应用）（共6小题） 38．（24-25七年级上·北京·期中）列方程解应用问题： 某学校购买了排球和足球共138个，共花了5400元．其中排球每个30元，足球每个50元，问排球和足球各买了多少个？ 【答案】学校购买排球75个，购买足球63个 【详解】解：设学校购买排球x个，购买足球y个， 根据题意得：， 解得， 答：学校购买排球75个，购买足球63个． 39．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）“冰雪同梦，亚洲同心”、2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在冰城哈尔滨隆重举行，黑龙江逊克北红玛瑙是独具龙江特色的纪念品，被镶嵌于本届亚冬会奖牌上．艳硕购物中心共购进A，B两种型号红玛瑙挂件100件，花费9200元，其中A的价格是每件100元，B的价格是每件80元．问：购进A种型号和B种型号的挂件各多少件？ 【答案】购进A种挂件60件，B种挂件40件 【详解】解：设购进种挂件件，种挂件件，根据题意得： 解得， 答：购进种挂件件，种挂件件． 40．（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）根据如下表素材，探索完成任务． 背景 红树中学在组织开展体育文化节亚冬会知识竞赛活动时，去奶茶店购买、两款奶茶作为奖品． 素材 若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元； 若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元． 请利用二元一次方程相关知识解决以下问题： (1)款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？ (2)李老师计划正好用元购买、两款奶茶（两种都要），请求出所有符合题意的购买方案？ 【答案】(1)款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元 (2)符合题意的购买方案有种：①购买款奶茶杯，购买款奶茶杯；②购买款奶茶杯，购买款奶茶杯；③购买款奶茶杯，购买款奶茶杯 【详解】（1）解：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元； （2）解：设购买款奶茶杯，购买款奶茶杯， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或， 符合题意的购买方案有种： ①购买款奶茶杯，购买款奶茶杯； ②购买款奶茶杯，购买款奶茶杯； ③购买款奶茶杯，购买款奶茶杯． 41．（25-26九年级上·云南昆明·期中）请你根据下列素材，探索完成任务． 背景 云南省某中学秉持“以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美”理念，在2025年国庆节即将到来之时，举办诗歌朗诵比赛，鼓励同学们借诗歌展现祖国山河与家乡风貌，为国庆献礼．为此，年级组决定购买A，B两种笔记本，用于奖励比赛中的优秀同学． 素材1 通过调查，购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共需花90元，购买3本A种笔记本和5本B种笔记本共需花145元． 素材2 根据需要，年级组准备购买A，B两种笔记本共100本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的3倍． 请完成下列任务： 任务1 计算物品单价 请你运用所学知识．求出A种与B种笔记本的单价分别是多少？ 任务2 确定最优方案 请你帮年级组探究该如何购买，可使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】任务1：A种笔记本的单价是15元，B种笔记本的单价是20元；任务2：年级组购买A种笔记本75本，购买B种笔记本25本，可使总费用最少，费用最少为1625元 【详解】解：任务1：设种笔记本的单价是元，种笔记本的单价是元， 根据题意，得：， 解得：， ∴种笔记本的单价是元，种笔记本的单价是元； 任务2：设总费用为元，购买种笔记本本（为正整数），则购买种笔记本本， 依题意，得：， 又∵， ∴， ∴且为正整数， 又∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为：（元）， 此时（本）， ∴年级组购买种笔记本本，购买种笔记本本，可使总费用最少，费用最少为元． 42．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）为庆祝中国共产党成立104周年，我校开展了演讲比赛，为奖励在演讲比赛中获奖的同学，学校派小明为获奖同学买奖品，要求每人一件，小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择，如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． (1)求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？ (2)售货员阿姨提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买（，且为整数）支钢笔需要花元，请你求出与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，小明决定买同一种商品做奖品，数量超过10个，售货员阿姨说无论你单买钢笔做奖品还是单买笔记本做奖品，所需付的钱是一样的，请问这次演讲比赛共有多少名同学获奖． 【答案】(1)每个笔记本14元，每支钢笔15元 (2) (3)这次演讲比赛共有15名同学获奖 【详解】（1）解：设每个笔记本元，每支钢笔元， 根据题意得 解得 答：每个笔记本14元，每支钢笔15元； （2）； （3）解：时， ， 答：这次演讲比赛共有15名同学获奖． 43．（25-26八年级上·山西运城·期中）请根据以下素材，探索完成任务． 购车选择方案一新能源车与燃油车的多维度分析 素材1 随着汽车市场品类日益丰富，新能源与燃油车的选择交织着政策导向、全周期成本、使用场景等多重因素，小明家在购车决策中因信息繁杂、维度多元陷入两难困境．为此，小明和爸爸妈妈针对性地开展了专项调查研究．对市场上配置相近的A款燃油车和B款新能源车做对比调查，并结合自己家的预算，得到有关数据如下： 购车费用/万元 购置税/万元 年均保养费用/万元 年均保险费用/万元 预计10年后的车价/万元 A款燃油车 16 B款新能源车 20 0 素材2 总费用（以使用10年为例）=购车费用-预计10年后的车价+购置税+保养费用+保险费用+油费或电费 素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多元，且每公里燃油车的油费是新能源车的电费的3倍 问题解决 任务1 A款燃油车每公里油费是多少元？B款新能源车每公里电费是多少元？ 任务2 设平均每年的行驶路程为x万公里，A款燃油车使用10年的总费用为万元，B款新能源车使用10年的总费用为万元，分别求出和关于x的表达式． 任务3 每年行驶里程为多少万公里时，购买A款燃油车和B款新能源车费用相等．（以使用10年为例） 【答案】任务1：A款燃油车每公里油费元，B款新能源车每公里的电费元 任务2：， 任务3：每年行驶里程1万公里时，购买A款燃油车和B款新能源车费用相等 【详解】解：任务1：设款燃油车每公里油费元，款新能源车每公里的电费元，根据题意得，， 解得，． 答：A款燃油车每公里油费元，B款新能源车每公里的电费元． 任务2： 即． ， 即． 答：，． 任务3：由题意得，， 解得，． 答：每年行驶里程1万公里时，购买A款燃油车和B款新能源车费用相等． 题型十 古代问题（二元一次方程组的应用）（共7小题） 44．（25-26八年级上·陕西西安·期中）古代歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，问鸦树各几何．若设树棵，乌鸦只，可得方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可得方程组为：， 故选：D． 45．（25-26八年级上·重庆·期中）《孙子算经》里面记载了一道“二人持钱”问题：今有甲乙二人持钱，不知其数，若甲得乙中半，可满四十八；若乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙各持几何？其大意是：甲、乙两人各自持有一定数量的钱，若甲得到乙所持钱数的一半，此时甲拥有的总钱数为；若乙得到甲所持钱数的三分之二（古代数学中“太半”，特指分数“三分之二”），此时乙拥有的总钱数也为，计算甲、乙两人最初各自持有多少钱？设甲最初持有元，乙最初持有元，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意， 可列方程组：． 故选：B． 46．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）算筹是我国古代数学的重要创举，下图从左到右分别表示数字1到9，如图（a）的排列则表示方程组，那么图（b）表示的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知图（b）表示的方程为． 故选：C． 47．（2025·四川巴中·中考真题）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可得方程组， ， 故选：A． 48．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤两，半斤两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，可列方程组___________． 【答案】 【详解】解：设客人为人，银子为两，每人分7两时，银两总数可表示为；每人分9两时，银两总数可表示为， 故得方程组， 故答案为： 49．（25-26八年级上·四川成都·期中）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀重为________斤；1只燕重为________斤． 【答案】 【详解】解：设一只雀重斤，一只燕重斤，根据题意得： ， 解方程组得：， 即：雀重斤，燕重斤． 故答案为：；． 50．（24-25七年级下·广东韶关·期中）综合与实践． 【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题． 【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【假设】（1）①根据题意完成下列表格 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 （用含x，y的式子表示） ②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________； 【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解． 【答案】（1）①见解析②（2）母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只（3）公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只 【详解】解：（1）①根据题意得买了只小鸡，则填表如下： 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 ②根据题意得： 故答案为：； （2）设母鸡有x只，公鸡有y只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只； （3）根据题意得：， 化简得：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，舍去． 所以，①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；④公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只（①③④中任选两个即可）， 故答案为：公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只． 题型十一 写出命题的题设和结论（共5小题） 51．（25-26八年级上·河南周口·期中）命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 【答案】D 【详解】解：∵命题“对顶角相等”等价于“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴条件为“两个角是对顶角”， 故选：D． 52．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式 ________________________________________． 【答案】如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　（“在同一平面内”写在“如果”前也给分） 【详解】解：原命题的题设是“在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……，那么……”的形式为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 53．（25-26八年级上·山西忻州·期中）把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的形式：________________________________________________________________． 【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等 【详解】解：命题“等边三角形三个内角都相等”可改写成“如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等”； 故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等． 54．（25-26八年级上·海南海口·期中）将命题：“两条边相等的三角形叫做等腰三角形”改为“如果.....，那么.....”的形式______． 【答案】如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形叫做等腰三角形 【详解】解：首先分析原命题的结构，原命题中“一个三角形有两条边相等”是条件，“这个三角形叫做等腰三角形”是结论；   故答案为：如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形叫做等腰三角形． 55．（24-25七年级下·广西南宁·期中）命题“若，则”，这个命题的结论是______． 【答案】 【详解】解：命题“若，则” ，这个命题的题设是，结论是， 故答案为：． 题型十二 判断命题真假（共6小题） 56．（25-26七年级下·福建福州·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同位角一定相等 C．垂线段一定最短 D．两点之间线段最短 【答案】D 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，可能是同位角，也可能是内错角等其他位置关系，该命题是假命题，故A选项不符合题意； B、只有当两直线平行时，同位角才相等，该命题是假命题，故B选项不符合题意； C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，则原命题表述不严谨，该命题是假命题，故C选项不符合题意； D、两点之间线段最短，是真命题，故D选项符合题意． 57．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）下列命题中，假命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．对顶角相等 C．两点确定一条直线 D．三角形三条中线的交点一定在三角形内 【答案】A 【详解】解：A、∵同旁内角不一定互补，未指定条件时不一定成立，∴此命题为假命题，故此选项正确； B、∵对顶角相等，∴此命题为真命题，故此选项不合题意； C、∵两点确定一条直线，∴此命题为真命题，故此选项不合题意； D、∵三角形三条中线的交点（重心）一定在三角形内部，∴此命题为真命题，故此选项不合题意； 故选：A． 58．（25-26八年级上·浙江金华·期中）对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：选项A：，满足条件，满足结论，故不符合题意； 选项B：，不满足条件，故不符合题意； 选项C：，不满足条件，故不符合题意； 选项D：，满足条件，不满足结论，故符合题意； 因此，选项D能说明该命题是假命题． 故选：D． 59．（25-26八年级上·四川眉山·期中）下列命题真命题的个数有（    ） ①无理数是无限小数；②不带根号的数一定是有理数；③实数与数轴上的点一一对应；④0.1的平方根是；⑤平方根等于本身的数是0和1． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】①无理数是无限不循环小数，故是无限小数，真命题； ②不带根号的数不一定是有理数，如π是无理数，假命题； ③实数与数轴上的点一一对应，是真命题； ④的平方根是，而，假命题； ⑤平方根等于本身的数：解，得或，但1的平方根是，不都等于1，故只有0满足，假命题． 真命题有2个：①和③． 故选C． 60．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列命题不是真命题的是（   ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条角平分线必定交于一点 C．全等三角形对应边上的中线相等 D．三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等 【答案】A 【详解】解：A、在钝角三角形中，从锐角顶点向对边所作的高在三角形的外部，故A不是真命题，符合题意； B、三角形的三条角平分线必交于一点（内心），故B是真命题，不符合题意； C、全等三角形对应边上的中线相等，故C是真命题，不符合题意； D、三角形一边上的中线将底边分为两等分，且两个三角形等高，所以三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等，故D是真命题，不符合题意； 故选：A． 61．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【详解】A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，正确，故该选项不符合题意； B．两个角互为邻补角，则两角之和为，它们的角平分线之间的角为两角和的一半，即，故互相垂直，正确，故该选项不符合题意； C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段最短性质，正确，故该选项不符合题意； D．垂直于同一条直线的两条直线可能重合，而重合的直线不平行（初中定义中平行线不包括重合），故该命题不总是成立，是假命题，故该选项符合题意． 故选：D． 题型十三 平行线的性质与判定（共6小题） 62．（25-26八年级上·北京昌平·期中）如图，直线，则_______度． 【答案】 【详解】解：∵直线， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 63．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 64．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是_______（填序号） 【答案】 【详解】解： ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有． 故答案为：． 65．（24-25七年级下·全国·期中）补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 66．（24-25七年级下·天津·期中）已知：如图，，直线分别与直线，相交于点G，H，，试说明：． 解：因为（已知）， （对顶角相等）， 所以 （ ）， 所以 （同位角相等，两直线平行）， 所以 （两直线平行，同位角相等）， 因为（已知）， 所以（ ）， 所以（等量代换）． 【答案】；；等量代换；；；两直线平行，内错角相等 【详解】解：由题知， 因为（已知），（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以（等量代换）． 67．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，，，求的度数．请把下列推理的过程和依据补充完整． 解：_______（   ）， _______， 且（   ）， （   ）， （   ）， ∴（   ）． ， _______°． 【答案】5；对顶角相等；6；已知；6；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；80． 【详解】解：（对顶角相等）， ， 且（已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ， ． 故答案为：5；对顶角相等；6；已知；6；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；80． 题型十四 事件的分类（共6小题） 68．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（   ） A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】A 【详解】解：在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是必然事件． 69．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果，那么 D．三角形内角和是 【答案】D 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能是反面向上，故原事件是随机事件，不符合题意； B、车辆随机到达一个路口，不一定遇到红灯，故原事件是随机事件，不符合题意； C、如果，那么或，故原事件是随机事件，不符合题意； D、三角形内角和是，是必然事件，符合题意； 70．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．小明买彩票中奖 B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 【答案】D 【详解】解：A、小明买彩票中奖是随机事件，不符合题意； B、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，不符合题意； C、任意三角形的两边，其差小于第三边是必然事件，不符合题意； D、在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球是不可能事件，符合题意； 故选：D． 71．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）小实同学翻开数学课本某页，页码是偶数，这一事件是（） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法判断 【答案】A 【详解】课本的页码有奇数也有偶数，翻开某页时，页码可能是偶数，也可能是奇数， 因此“页码是偶数”这一事件是随机事件． 故选A． 72．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列事件属于必然事件的是（    ） A．队员在罚球线上投篮一次未投中 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．经过某十字路口遇到红灯 D．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为 【答案】D 【详解】解：A、队员罚球投篮一次未投中，可能投中也可能未投中，概率小于1，不是必然事件； B、掷一次骰子向上一面的点数是6，有6种可能结果，概率为，不是必然事件； C、经过某十字路口遇到红灯，交通灯的状态是随机的，概率小于1，不是必然事件； D、抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为，这一概率值是客观必然的，始终成立，因此属于必然事件； 故选：D． 73．（25-26九年级上·重庆江津·期中）下面事件中必然事件是（   ） A．今天下午刮风，则明天下雨 B．两条直线被第三条直线所截，则内错角相等 C．抛掷一枚均匀的正六面体骰子，则点数不大于6 D．两个有理数的积为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【详解】解：A．今天下午刮风与明天下雨无必然因果关系，是不确定事件，故A不符合题意； B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等仅当两直线平行，否则不一定，是不确定事件，故B不符合题意； C．正六面体骰子的点数范围为1至6，因此点数不大于6一定发生，是必然事件，故C符合题意； D．两个有理数的积为正数时，两数可能同为正或同为负，不一定都是正数，是不确定事件，故D不符合题意． 故选：C． 题型十五 求某事件的频率（共3小题） 74．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是_________． 【答案】 【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共有10个字，其中“山”出现了3次， ∴“山”出现的频率是， 故答案为： ． 75．（24-25九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为______． 【答案】 【详解】解：英文句子“”中，共有个字母，其中字母“”出现的次数为次， ∴字母“”出现的频率为， 故答案为：． 题型十六 由频率估计概率（共5小题） 76．（25-26九年级上·河南焦作·期中）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，用频率估计“正面朝上”的概率为0.55，下列说法正确的是（   ） A．抛掷100次，一定有55次正面朝上 B．抛掷1次，一定是正面朝上 C．抛掷1次，不一定是正面朝上 D．抛掷2次，一定有2次正面朝上 【答案】C 【详解】∵因概率不保证具体次数或结果， ∴抛掷100次，不一定有55次正面朝上， 抛掷1次，不一定是正面朝上，抛掷2次，不一定有2次正面朝上 ，选项A、B、D均错误， ∵每次抛掷正面朝上不是必然事件， ∴抛掷1次，不一定是正面朝上，选项C正确， 故选C 77．（25-26九年级上·全国·期中）色盲是伴染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表： 抽取的体检表数 色盲患者的频数 色盲患者的频率 根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为（ ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由表格数据可知，当抽取的体检表数较大时（如）， 色盲患者的频率稳定在附近， ∴估计男性患色盲的概率为， 故选A 78．（25-26九年级上·河北沧州·期中）一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为_____． 【答案】16 【详解】解：由题意知，摸到红球的概率为，红球有4个， 因此袋中球的总个数约为（个）， ∴袋中白球的个数． 故答案为：16． 79．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的布袋中有白球和黑球共40个，这些球除颜色外都相同，小明将布袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回布袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到黑球，则布袋中黑球的个数可能为________． 【答案】16 【详解】解：∵共摸了100次球，发现有40次摸到黑球， ∴摸到黑球的概率为， ∴口袋中白球和黑球共40个， ∴袋中的黑球大约有（个）； 故答案为：16． 80．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）一个不透明口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”的两种小球共20个，它们除表面所写汉字不同外其他完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到写有“如意”的球的频率稳定在，估计这个口袋中写有“吉祥”的球的个数． 【答案】9个 【详解】解：∵摸到“如意”球的频率稳定在， ∴摸到“如意”球的概率约为， ∴口袋中写有“如意”的球的个数为， ∴口袋中写有“吉祥”的球的个数为． 1．下列语言叙述是命题的是（    ） A．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 B．你喜欢陇南吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【详解】解：A、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对事件作出了判断，是命题，符合题意； B、“你喜欢陇南吗？”是疑问句，不是命题，不符合题意； C、“赶紧写作业！”是祈使句，不是命题，不符合题意； D、“画一条端点为A的射线”是指令，不是命题，不符合题意． 2．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两、问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设马每匹x两，牛每头y两， ∴列出方程组为． 3．成语是中国传统文化的一大特色，它包含着丰富的智慧、哲理和象征意义．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．不期而遇 B．竹篮打水 C．水中捞月 D．水涨船高 【答案】A 【详解】一定条件下，必然会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件． 对选项逐一判断： A 、不期而遇是可能发生也可能不发生的事件，符合随机事件定义． B、 竹篮打水一定不会成功，是不可能事件． C 、水中捞月一定不可能发生，是不可能事件． D、 水涨船高一定发生，是必然事件． 4．已知一次函数（、为常数，）与（、为常数，）的图象交于点，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴该点的坐标同时满足两个函数的方程， ∴关于、的方程组，即的解为． 5．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，这些球除颜色外完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数最可能是 ______ ． 【答案】 【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和， ∴摸到白球的频率为， ∴口袋中白色球的个数为． 6．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元 (2)打9折 【详解】（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 根据题意知第一、三次购物为原价，则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 7．完成下面的证明． 如图，．求证：． 证明：过E点作． ∵（          ）， ∴（          ）， ∴ （          ）， （          ）． ∴ （          ）， 即． 【答案】已知；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同旁内角互补；；等式的性质 【详解】证明：过E点作． ∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， （两直线平行，同旁内角互补）． ∴ （等式的性质）， 即． 8．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 (1)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板______块． (2)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板（靠背板和座板两者都要有且板材恰好全部用完），请你设计出所有符合要求的裁切方案． 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在（2）中的裁切方案中选定两种，并说出你选定的裁切方案分别需要多少块板材．（选择一种符合实际的组合即可） 【答案】(1) (2)，，， (3)需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块，或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块 【详解】（1）解：在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板块； （2）解：如图：一张该板材先靠上裁切靠背板块， 设余下的板材可裁切靠背板块，座板块， 根据题意可得， ∴， ∵，为正整数， ∴或或， ∴方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板块和座板块． 方案三：裁切靠背板块和座板块； （3）解：设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得， 解得：， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块， 设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得， 解得：， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块， 设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块，或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $