专题07 期中真题百练通关（易错49题 8题型）（期中专项训练）七年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题07 期中真题百练通关（49题8大易错题型） 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型五 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型二 二元一次方程组的错解复原问题 题型六 根据平行线的性质与判定证明 题型三 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型七 判断事件发生的可能性的大小 题型四 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型八 游戏的公平性 题型一 已知二元一次方程组的解求参数（共8小题） 1．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解的值互为相反数时，； ④当时，方程组的解也是方程的解： ③无论取什么实数，的值始终不变； ④当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为0： A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 3．（25-26八年级上·广西柳州·期中）若关于的二元一次方程组的解满足方程，则的值为___________． 4．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解满足，则________． 5．（25-26八年级上·四川·期中）在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有3倍关系，那么这个方程组叫做“三倍解方程”．如果关于x，y的方程组是“三倍解方程”，则______． 6．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）关于的方程组的解满足，则_____． 7．（25-26七年级下·全国·期中）宁宁准备解二元一次方程组发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”当成，请你帮助宁宁解二元一次方程组； (2)数学老师说：“你猜错了该题标准答案的结果，是一对相反数．”则原题中“”是______． 8．（25-26八年级上·重庆·期中）若平面直角坐标系上点的横、纵坐标满足关于x，y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点为方程组的关联点． (1)若点为关于x，y的方程组的关联点，则________，________； (2)已知点为关于x，y的方程组的关联点，点为关于x，y的方程组的关联点；若点A与点B恰好重合，求点A的坐标，并求出m，n的值． 题型二 二元一次方程组的错解复原问题（共5小题） 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 11．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是______． 12．（24-25七年级下·吉林白山·期中）已知方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为 (1)求、的值； (2)求原方程组正确的解． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 题型三 几何问题（二元一次方程组的应用）（共6小题） 14．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为（    ） A．9 B．12 C．24 D．48 15．（24-25八年级上·陕西西安·期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，，则（    ） A．12 B．16 C．20 D．40 16．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为______． 17．（24-25七年级下·全国·期中）现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为，宽为．用3个如图②的全等图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为30，则图③中阴影部分的面积与整个图形的面积的比值为______． 18．（24-25七年级下·福建泉州·期中）利用一个长方体木块测量一张桌子的高度，首先将木块按如图1所示的方式放置，再更换木块的位置，按如图2所示的方式放置，测得数据如图所示，则桌子的高度是_____________． 19．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 题型四 行程问题（二元一次方程组的应用）（共6小题） 20．（2025七年级下·全国·专题练习）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 21．（24-25八年级上·河南商丘·期中）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发匀速行驶．设行驶的时间为（时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示从两车出发至慢车到达甲地的过程中与的函数关系． (1)点表示在两车行驶时，两车相距_____千米； (2)求点的横坐标； (3)两车距离小于或等于千米的时间有多久？ 22．（24-25七年级下·江苏南通·期中）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 23．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路，另一条是外环公路，这两条公路围成四边形，其中且外环公路比市区公路长．在上班高峰时，甲、乙两人驾车从A地出发去B地，甲沿市区公路行驶，汽车平均速度是；乙沿外环公路行驶，汽车平均速度是，结果乙比甲早到．求市区公路和外环公路的长． 小红看到题目后，想到用方程组解决问题： 第一步：设市区公路长为，外环公路的长． 第二步：利用列表法进行分析： 公路 速度 时间 路程 市区公路 40 a x 外环公路 80 b y 第三步：列方程组； 第四步：解方程组； 第五步：检验并作答． 问题解决： (1)请用含x，y的代数式分别表示a、b．则________，________； (2)请按小红的思路求市区公路和外环公路的长． (3)小红调查了市区公路的限速及非上班高峰的平均车速为，如果外环公路平均车速保持不变，所以她说无论哪个时段走外环公路用时都比走市区公路用时短，你同意她的说法吗，通过计算进行说理． 24．（24-25七年级下·四川眉山·期中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． (1)点表示的数为，点表示的数为____，______； (2)若点从点出发向点运动，同时，点从点出发向点运动；经过秒相遇；若点从点出发向左运动，同时，点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，请分别求出点，点的运动速度． (3)若点，点的运动速度同（2），点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 25．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．在米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）． 素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为m．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽米． 素材2：设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）． 素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第n圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为（n为正整数，且）． 问题1：求该校跑道第1圈半径r和直道长度m． 问题2：求第2圈起跑线前移距离．     问题3：若米，求n的值． 题型五 两直线的交点与二元一次方程组的解（共3小题） 26．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级下·重庆·期中）直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 28．（24-25八年级下·全国·期中）直线与交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x,y的方程组的解为________． 29．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x，y的方程组的解为________． 30．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 题型六 根据平行线的性质与判定证明（共6小题） 31．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 32．（25-26八年级上·海南海口·期中）完成下面推理过程． 如图：已知，，，于点，于点，求证：． 证明：，（已知） （ ） （ ） ，（已知） ，（ ） （ ） （ ） （ ） 33．（25-26八年级上·河北张家口·期中）小芳想知道作业纸上两条相交直线，所夹锐角的大小，但发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．小亮提供了如下间接的测量方案： ①如图，画一直线，分别交，于点E，F； ②利用尺规作； ③测量的度数即可． 小亮的方案可行吗？为什么？ 34．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，，，，，点C是线段上一动点，点E是直线上一动点，且始终保持． (1)如图1，求证：． (2)利用图2画图并解答：若，试求的长． 35．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 36．（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 题型七 判断事件发生的可能性的大小（共6小题） 37．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（ ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 38．（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列诗句描述的事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．手可摘星辰 B．黄梅时节家家雨 C．处处闻啼鸟 D．清明时节雨纷纷 39．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．摸出的3个球颜色相同 B．摸出的3个球中有1个白球 C．摸出的3个球中至少有1个白球 D．摸出的3个球颜色不同 40．（24-25七年级下·江西九江·期中）春天游园会有一个游戏摊位，玩的人就可以从摊主提供的袋子里抽出一个弹珠．袋子里的弹珠如图所示，当抽到白色的弹珠就能得到奖品．小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为(    ) A．不可能 B．非常有可能 C．不太可能 D．大约的可能 41．（25-26九年级上·浙江丽水·期中）不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话： (1)小莲的判断正确吗？为什么？ (2)小明的说法对吗？请说明理由． 42．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张；设事件为“取到的倍数”，事件为“取到的倍数”，事件为“取到比大的数”事件为“取到整数”． (1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______； (2)把事件、、、按照发生可能性的大小在数轴上用字母、、、标注出来． 题型八 游戏的公平性（共7小题） 43．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 44．（24-25七年级下·河南郑州·期中）一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 45．（25-26九年级上·陕西西安·期中）桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏_____．（填“公平”或“不公平”） 46．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？_____（填公平或不公平）_____ 获胜的概率大，概率是______ ． 47．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了． (1)从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） (2)若随机取出一个球，求取出的球的颜色是蓝球的概率． (3)小明与小亮玩摸球游戏，在一个袋子中放有5个完全一样的球，分别标有1、2、3、4、5五个数字，小明与小亮轮流坐庄，从袋中摸出一球，记下号码，然后放回，规定：如果摸到的球号码大于3，则小明胜否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 48．（24-25七年级下·山东烟台·期中）周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 49．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）有五张不透明的卡片，正面的数字为1，2，3，4，4，背面图案完全一样．洗匀后，背面朝上放在桌面上．请你完成下列各题． (1)随机抽取一张卡片，P（抽到卡片上的数字为4）=_______； (2)随机抽取一张卡片，P（抽到卡片上的数字不超过3）=_______； (3)小明和小亮用这五张卡片来玩游戏，小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为偶数，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小亮赢．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则（不改变卡片的数值和内容）使游戏公平． 1．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则_____． 3．已知关于x，y的二元一次方程组，小蔡看错了方程①中的，得到方程组的解为；小赵看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于m，n的二元一次方程组的解． 4．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了分别涂有黄色、绿色的2个扇形区域．数学小组的同学做转盘试验；转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程．若指针指向分界线，不计次数，则重新转动转盘，直至指针指向某一区域为止．获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 (1)下列说法中错误的有_______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动转盘15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动转盘200次，指针指向绿色区域的次数一定为128． (2)求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）． 5．、、三地依次在同一直线上，甲、乙两人同时从地出发前往地，已知当甲行走到地时发现有重要物品放在乙处，于是甲立即返回与乙相遇，相遇以后甲、乙继续前往地，最终甲比乙提前6分钟到达地．若中途停留的时间忽略不计，且在整个行走过程中，甲、乙均保持各自速度匀速行走，甲、乙两人之间的距离（米）与乙行走的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则两地的距离为_____________米． A、B、C三地依次在同一直线上，甲、乙两人同时从A地出发前往C地，已知当甲行走到B地时发现有重要物品放在乙处，于是甲立即返回与乙相遇，相遇以后甲、乙继续前往C地，最终甲比乙提前8分钟到达C地．若中途停留的时间忽略不计，且在整个行走过程中，甲、乙均保持各自速度匀速行走，甲、乙两人之间的距离y(米)与乙行走的时间 6．已知直线与直线如图所示． (1)关于，的方程组的解为________； (2)若，求直线的函数关系． (3)过作x轴的垂线交直线于点、，设 ①求S与t之间的函数关系式． ②当时，S的取值范围________； ③当时，若S的最大值与最小值的差等于，m的值为________． 7．已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中真题百练通关（49题8大易错题型） 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型五 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型二 二元一次方程组的错解复原问题 题型六 根据平行线的性质与判定证明 题型三 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型七 判断事件发生的可能性的大小 题型四 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型八 游戏的公平性 题型一 已知二元一次方程组的解求参数（共8小题） 1．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解： 由②，得 将③代入①，得 ， 解得， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解的值互为相反数时，； ④当时，方程组的解也是方程的解： ③无论取什么实数，的值始终不变； ④当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为0： A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：， 得：， ∴， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， ， 解得：，故①正确； 当时，则，解得，故②错误； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，故③正确； ， ， ∵x、y都是自然数， ∴当时，，当时，， ∴或， 解得或，故④错误 综上所述，正确的结论有①③， 故选：A． 3．（25-26八年级上·广西柳州·期中）若关于的二元一次方程组的解满足方程，则的值为___________． 【答案】1 【详解】解：， 得，， ∴， 得，， ∴， 代入得，， 解得，， 故答案为：1． 4．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解满足，则________． 【答案】 【详解】解：∵关于，的方程组的解满足， ∴方程组的解也满足， 解方程组得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·四川·期中）在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有3倍关系，那么这个方程组叫做“三倍解方程”．如果关于x，y的方程组是“三倍解方程”，则______． 【答案】或 【详解】解：∵关于x，y的方程组是“三倍解方程”， ∴当时，代入第一个方程， 得， 解得 则； 将， 代入第二个方程， 得 解得； 当时，代入第一个方程， 得 解得 则． 将，代入第二个方程， 得 解得， 综上所述，或． 故答案为：或． 6．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）关于的方程组的解满足，则_____． 【答案】 【详解】解：， ①②，得：， ∴， 代入②得：， 解得：， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： ． 7．（25-26七年级下·全国·期中）宁宁准备解二元一次方程组发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”当成，请你帮助宁宁解二元一次方程组； (2)数学老师说：“你猜错了该题标准答案的结果，是一对相反数．”则原题中“”是______． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得，， ， 将代入得，， ； （2）解：依题意得：， 则的解与二元一次方程组的解相同， 中两式相加得，， ， 将代入得，， 即是二元一次方程组的解， 则， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·重庆·期中）若平面直角坐标系上点的横、纵坐标满足关于x，y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点为方程组的关联点． (1)若点为关于x，y的方程组的关联点，则________，________； (2)已知点为关于x，y的方程组的关联点，点为关于x，y的方程组的关联点；若点A与点B恰好重合，求点A的坐标，并求出m，n的值． 【答案】(1)， (2)，， 【详解】（1）解：∵点是方程组的关联点， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵点与点重合， ∴方程组和的解相同， 联立， 解得：， ∴， 把分别代入和 得：，， ∴，． 题型二 二元一次方程组的错解复原问题（共5小题） 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 10．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 【答案】 【详解】解：甲将①中的看成了它的相反数解得，则②是正确的， ∴，且， 解得； 乙抄错②中的解得，则①是正确的， 即， ∴； 联立，解得， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是______． 【答案】 【详解】解：由题意得，是方程的解， 代入得到， 即， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·吉林白山·期中）已知方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为 (1)求、的值； (2)求原方程组正确的解． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， 满足方程②， ， ； 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， 满足方程①， ， ； （2）解：由（1）得原方程组为， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 方程组的解为． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，． 【详解】解：将代入方程组中的得：，解得， 将代入方程组中的得：，解得， 当，时， ∴ ． 题型三 几何问题（二元一次方程组的应用）（共6小题） 14．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为（    ） A．9 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则图中每个小长方形的面积为， 依题意得：， 解得：， ∴， 即图中每个小长方形的面积为， 故选：C． 15．（24-25八年级上·陕西西安·期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，，则（    ） A．12 B．16 C．20 D．40 【答案】A 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为， 根据图1得：， 根据图2得：， 联立解得， ∴， 则． 故选：A． 16．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为______． 【答案】 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解得， 小长方形的长、宽分别为，， ． 故答案为： 17．（24-25七年级下·全国·期中）现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为，宽为．用3个如图②的全等图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为30，则图③中阴影部分的面积与整个图形的面积的比值为______． 【答案】 【详解】解：根据题意，结合题图可得， ， 解得， ∴题图③中阴影部分的面积为， 整个图形的面积为， ∴题图③中阴影部分的面积与整个图形的面积的比值为． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·福建泉州·期中）利用一个长方体木块测量一张桌子的高度，首先将木块按如图1所示的方式放置，再更换木块的位置，按如图2所示的方式放置，测得数据如图所示，则桌子的高度是_____________． 【答案】 【详解】解：设桌子的高度为，木块的高度为， 由题意得，， 解得， ∴桌子的高度是， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 【答案】， 【详解】解：设，， 由图可得，， 解得， ∴，． 题型四 行程问题（二元一次方程组的应用）（共6小题） 20．（2025七年级下·全国·专题练习）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． 21．（24-25八年级上·河南商丘·期中）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发匀速行驶．设行驶的时间为（时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示从两车出发至慢车到达甲地的过程中与的函数关系． (1)点表示在两车行驶时，两车相距_____千米； (2)求点的横坐标； (3)两车距离小于或等于千米的时间有多久？ 【答案】(1)； (2)； (3)两车距离小于或等于千米的时间有小时． 【详解】（1）解：由图象可知， 点表示在两车行驶时，两车相距千米， 故答案为：； （2）由图象可知，点表示两车出发小时时相遇，点对应时刻快车正好到达乙地，点对应时刻慢车正好到达甲地， 设快车速度为千米小时，慢车速度为千米小时， ， 解得， ∴点C的横坐标为； （3）设两车距离等于千米的时间为时， 相遇前：， 解得， 相遇后：， 解得， （小时）， 即两车距离小于或等于千米的时间有小时． 22．（24-25七年级下·江苏南通·期中）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2) (3)万公里 【详解】（1）解：根据题意得：该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为； 故答案为： （2）解：根据题意得：， （3）解：根据题意得： ，解得：， 答：当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 23．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路，另一条是外环公路，这两条公路围成四边形，其中且外环公路比市区公路长．在上班高峰时，甲、乙两人驾车从A地出发去B地，甲沿市区公路行驶，汽车平均速度是；乙沿外环公路行驶，汽车平均速度是，结果乙比甲早到．求市区公路和外环公路的长． 小红看到题目后，想到用方程组解决问题： 第一步：设市区公路长为，外环公路的长． 第二步：利用列表法进行分析： 公路 速度 时间 路程 市区公路 40 a x 外环公路 80 b y 第三步：列方程组； 第四步：解方程组； 第五步：检验并作答． 问题解决： (1)请用含x，y的代数式分别表示a、b．则________，________； (2)请按小红的思路求市区公路和外环公路的长． (3)小红调查了市区公路的限速及非上班高峰的平均车速为，如果外环公路平均车速保持不变，所以她说无论哪个时段走外环公路用时都比走市区公路用时短，你同意她的说法吗，通过计算进行说理． 【答案】(1)， (2)市区公路的长为，外环公路的长为 (3)同意，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：依题意，得， 解得， 答：市区公路的长为，外环公路的长为． （3）解：同意，理由如下： 在早高峰时由（2）可知走外环公路用时少， 在非高峰时，走市区路公路用时：， 走外环公路用时：， ， 无论哪个时段走外环公路都是用时都比走市区公路用时短． 24．（24-25七年级下·四川眉山·期中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． (1)点表示的数为，点表示的数为____，______； (2)若点从点出发向点运动，同时，点从点出发向点运动；经过秒相遇；若点从点出发向左运动，同时，点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，请分别求出点，点的运动速度． (3)若点，点的运动速度同（2），点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)、速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度 (3)1，，，8． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，且，满足， ∴， ∴． ∴ 故答案为：； （2）解：设的速度分别为，由题意得 解得：． ∴、速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度． （3）解：依题意，当为，点的中点， 当时，有， 解得（舍去）， 当时，有， 解得； 当为，点的中点，， 有， 解得； 或， 解得； 为，点的中点，， 有， 解得． 综上所述，的值为1，，，8． 25．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．在米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）． 素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为m．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽米． 素材2：设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）． 素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第n圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为（n为正整数，且）． 问题1：求该校跑道第1圈半径r和直道长度m． 问题2：求第2圈起跑线前移距离．     问题3：若米，求n的值． 【答案】问题1：r为米，m为米；问题2：为米；问题3： 【详解】解：问题1： 根据题意得，，其中取3， 解得：， 答：该校跑道第1圈半径r为米，直道长度m为米． 问题2： 第2圈周长为，第1圈周长为， （米）， 答：第2圈起跑线前移距离为米． 问题3： 第圈周长为，第1圈周长为， ， 若米，， 解得， 则此时的值为． 题型五 两直线的交点与二元一次方程组的解（共3小题） 26．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， 即方程组的解为： ， 故选：A． 27．（24-25八年级下·重庆·期中）直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴交点的坐标为， ∵直线与直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 28．（24-25八年级下·全国·期中）直线与交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x,y的方程组的解为________． 【答案】 【详解】∵点P在直线上，且纵坐标， ∴代入得，解得， ∴点P的坐标为， ∵点P也在直线上， ∴方程组的解即为两条直线的交点坐标， ∴方程组的解为． 29．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x，y的方程组的解为________． 【答案】 【详解】解：已知点在直线上， 将代入解析式：， 因此，交点的坐标为， 直线与的交点坐标，就是方程组的解． 故答案为：． 30．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴关于的一元一次方程的解是， 故答案为：； （2）解：由图可得，一次函数和一次函数图象的交点为， ∴关于，的方程组的解是， 故答案为：． 题型六 根据平行线的性质与判定证明（共6小题） 31．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)C (2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即， 故选：C； （2）解：，理由如下， 如图，过D作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 32．（25-26八年级上·海南海口·期中）完成下面推理过程． 如图：已知，，，于点，于点，求证：． 证明：，（已知） （ ） （ ） ，（已知） ，（ ） （ ） （ ） （ ） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换． 【详解】证明：，（已知）， ． （同旁内角互补，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等． ，（已知）， ，（垂直的定义）． ． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换． 33．（25-26八年级上·河北张家口·期中）小芳想知道作业纸上两条相交直线，所夹锐角的大小，但发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．小亮提供了如下间接的测量方案： ①如图，画一直线，分别交，于点E，F； ②利用尺规作； ③测量的度数即可． 小亮的方案可行吗？为什么？ 【答案】可行，理由见解析 【详解】解：可行， 理由：∵， ∴， 又∵两直线平行，同位角相等， ∴等于直线所夹锐角的大小． 34．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，，，，，点C是线段上一动点，点E是直线上一动点，且始终保持． (1)如图1，求证：． (2)利用图2画图并解答：若，试求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)作图见详解，的长为 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图所示为所求： 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 35．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 36．（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 题型七 判断事件发生的可能性的大小（共6小题） 37．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（ ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 【答案】A 【详解】解：总球数为个，红球4个，黑球3个，白球2个，绿球1个， 则红球数量最多，摸出红球的可能性最大， 故选：A． 38．（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列诗句描述的事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．手可摘星辰 B．黄梅时节家家雨 C．处处闻啼鸟 D．清明时节雨纷纷 【答案】A 【详解】解：A：“手可摘星辰”意为用手摘星星，现实中不可能实现，属于不可能事件，发生的可能性为0； B：“黄梅时节家家雨”描述梅雨季节普遍降雨的现象，符合气候规律，发生的可能性较高； C：“处处闻啼鸟”指到处听到鸟鸣，在自然环境良好的区域较常见，可能性较高； D：“清明时节雨纷纷”反映清明节多雨的天气现象，可能性较高； 故选：A． 39．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．摸出的3个球颜色相同 B．摸出的3个球中有1个白球 C．摸出的3个球中至少有1个白球 D．摸出的3个球颜色不同 【答案】C 【详解】解：A．摸出的3个球颜色相同是不可能事件，可能性最小，所以A不符合题意； B．摸出的3个球中有1个白球是随机事件，所以B不符合题意； C．摸出的3个球中至少有1个白球是必然事件，可能性最大，所以C符合题意； D．摸出的3个球中摸出的3个球颜色不同是不可能事件，可能性最小，所以D不符合题意． 故选：C． 40．（24-25七年级下·江西九江·期中）春天游园会有一个游戏摊位，玩的人就可以从摊主提供的袋子里抽出一个弹珠．袋子里的弹珠如图所示，当抽到白色的弹珠就能得到奖品．小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为(    ) A．不可能 B．非常有可能 C．不太可能 D．大约的可能 【答案】B 【详解】解：由图知，袋中白球个数明显多于黑球，且个数超过一半， 所以小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为非常有可能， 故选：B． 41．（25-26九年级上·浙江丽水·期中）不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话： (1)小莲的判断正确吗？为什么？ (2)小明的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)不正确，理由见详解 (2)错误，理由见详解 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 小莲同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的， 这种判断不正确， 因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）解：错误，理由如下; 小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对， 因为只知道不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，且红球数、黄球数及白球数不可能相等，那么他们的可能性就不一样． 42．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张；设事件为“取到的倍数”，事件为“取到的倍数”，事件为“取到比大的数”事件为“取到整数”． (1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______； (2)把事件、、、按照发生可能性的大小在数轴上用字母、、、标注出来． 【答案】(1)D， (2)见解析 【详解】（1）解：事件“取到的倍数”的可能性大小为， 事件“取到的倍数”的可能性大小为， 事件“取到比大的数”的可能性大小为， 事件“取到整数”的可能性大小为， 所以发生可能性最大的事件是，发生可能性最小的事件是， 故答案为：、； （2）如图： 题型八 游戏的公平性（共7小题） 43．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C 44．（24-25七年级下·河南郑州·期中）一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 【答案】A 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 45．（25-26九年级上·陕西西安·期中）桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏_____．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【详解】解：总共有3张卡片，每次抽取后放回，因此所有可能的结果数为种， 数字之和为偶数当且仅当两个数字均为奇数或均为偶数， 数字中奇数为1和3，偶数为2， 两个数字均为奇数的情况有种，均为偶数的情况有1种， 故数字之和为偶数的情况共5种，概率为， 数字之和为奇数的概率为， 两者概率不相等，因此游戏不公平． 故答案为：不公平． 46．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？_____（填公平或不公平）_____ 获胜的概率大，概率是______ ． 【答案】 不公平 小兰 【详解】解：∵骰子的点数是1，2，3，4，5，6， ∴P（偶数）； P（3的倍数）． ∴游戏不公平；小兰获胜的概率大，概率是． 故答案为：不公平，小兰，． 47．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了． (1)从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） (2)若随机取出一个球，求取出的球的颜色是蓝球的概率． (3)小明与小亮玩摸球游戏，在一个袋子中放有5个完全一样的球，分别标有1、2、3、4、5五个数字，小明与小亮轮流坐庄，从袋中摸出一球，记下号码，然后放回，规定：如果摸到的球号码大于3，则小明胜否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】(1)不可能 (2)取出的球的颜色是蓝球的概率为 (3)这个游戏不公平，理由见解析 【详解】（1）解：由于不透明布袋中只有一个蓝球， ∴从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）解：从中随机取出一个球有种等可能结果，取出的球的颜色是蓝球的可能性有种， ∴取出的球的颜色是蓝球的概率为； （3）解：不公平， 由题意可知，号码大于的球的个数为，所以号码大于的概率：， 号码小于等于的球的个数为，所以号码小于等于的概率：， ∴小明的胜率低于小亮的胜率， ∴这个游戏不公平． 规定改为：如果摸到的球号码大于，则小明胜，如果摸到的球号码小于，则小亮胜，摸到3时重新摸一次． ∵号码大于的球的个数为，所以号码大于的概率：， 号码小于的球的个数为，所以号码小于等于的概率：， ∴小明的胜率等于小亮的胜率， 所以这个游戏不公平． 48．（24-25七年级下·山东烟台·期中）周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【答案】(1)， (2)需要将个黄色区域改为红色 (3)见解析 【详解】（1）解：由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种， ∴指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为， ∴他获得元和元奖券的概率分别为，． （2）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得：， ∴需要将个黄色区域改为红色． （3）解：将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 49．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）有五张不透明的卡片，正面的数字为1，2，3，4，4，背面图案完全一样．洗匀后，背面朝上放在桌面上．请你完成下列各题． (1)随机抽取一张卡片，P（抽到卡片上的数字为4）=_______； (2)随机抽取一张卡片，P（抽到卡片上的数字不超过3）=_______； (3)小明和小亮用这五张卡片来玩游戏，小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为偶数，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小亮赢．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则（不改变卡片的数值和内容）使游戏公平． 【答案】(1) (2) (3)不公平，见解析 【详解】（1）解：卡片上的数字为4的有2张，共有5张卡片， 随机抽取一张卡片，P（抽到卡片上的数字为4）； （2）解：卡片上的数字不超过3的有3张，共有5张卡片， 随机抽取一张卡片，P（抽到卡片上的数字不超过3）； （3）解：抽到卡片上的数字为偶数的概率为，抽到卡片上的数字为奇数的概率为， ， 这个游戏不公平． 修改游戏规则为：小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为4，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小亮赢， ， ， 游戏公平（答案不唯一）． 1．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 由，得， 又， ， ． 故选：C． 2．如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则_____． 【答案】16 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵，， ∴ ， 故答案为：16． 3．已知关于x，y的二元一次方程组，小蔡看错了方程①中的，得到方程组的解为；小赵看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于m，n的二元一次方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：将代入②得：， 解得； 将代入①得：， 解得， ，； （2）解：把，代入得： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 原方程组的解为； （3）解：把，代入关于的二元一次方程组得： 由（2）可知， ①②得， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 4．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了分别涂有黄色、绿色的2个扇形区域．数学小组的同学做转盘试验；转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程．若指针指向分界线，不计次数，则重新转动转盘，直至指针指向某一区域为止．获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 (1)下列说法中错误的有_______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动转盘15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动转盘200次，指针指向绿色区域的次数一定为128． (2)求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）． 【答案】(1)①③ (2) 【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，但第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动转盘200次，指针指向绿色区域的次数不一定为128，故本选项说法错误； 故答案为：①③； （2）解：，， 根据表格信息可知，随着转动次数的增加，转到黄色区域的频率稳定在， 故． 5．、、三地依次在同一直线上，甲、乙两人同时从地出发前往地，已知当甲行走到地时发现有重要物品放在乙处，于是甲立即返回与乙相遇，相遇以后甲、乙继续前往地，最终甲比乙提前6分钟到达地．若中途停留的时间忽略不计，且在整个行走过程中，甲、乙均保持各自速度匀速行走，甲、乙两人之间的距离（米）与乙行走的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则两地的距离为_____________米． A、B、C三地依次在同一直线上，甲、乙两人同时从A地出发前往C地，已知当甲行走到B地时发现有重要物品放在乙处，于是甲立即返回与乙相遇，相遇以后甲、乙继续前往C地，最终甲比乙提前8分钟到达C地．若中途停留的时间忽略不计，且在整个行走过程中，甲、乙均保持各自速度匀速行走，甲、乙两人之间的距离y(米)与乙行走的时间 【答案】 【详解】解：设甲的速度为米/分，乙的速度为米/分，由图象可得， ， 解得，． 设（米），则相遇地点到的距离为米， 由题意得，， 解得，， 即（米）． 故答案为：． 6．已知直线与直线如图所示． (1)关于，的方程组的解为________； (2)若，求直线的函数关系． (3)过作x轴的垂线交直线于点、，设 ①求S与t之间的函数关系式． ②当时，S的取值范围________； ③当时，若S的最大值与最小值的差等于，m的值为________． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③或 【详解】（1）解：∵两条直线的交点坐标为， ∴关于，的方程组的解为； （2）解：∵一条直线经过一、二、四象限，一条直线经过一、二、三象限， ∴当时，直线经过，， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （3）解：①假设直线经过，，直线经过，， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 根据解析（2）可得：直线的解析式为， ∵过作x轴的垂线交直线于点、， ∴，， ∴当时，， 当时，， ∴； ②当时，，此时， 当时，，此时， 综上，当时，； ③当时，当时，S取最小值，当时，S取最大值， 此时最大值与最小值的差为：，不符合题意； 当，即时，当时，S取最大值，当时，S取最小值， 此时最大值与最小值的差为：，不符合题意； 当时，时，S取最小值0，时，S取最大值， 此时， 解得：； 当时，时，S取最小值0，时，S取最大值， 此时， 解得：； 综上，或时，S的最大值与最小值的差等于． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． 7．已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）证明：过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （2）解：，理由如下： 过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）的结论可知，， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $