精品解析：山东烟台市海阳市2025-2026学年七年级下学期4月期中数学试题

初二数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）．下列每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 某十字路口的交通信号灯的设置时间为：红灯亮30秒，绿灯亮60秒，黄灯亮10秒，则当小明随机经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为（ ） A. B. C. D. 不能确定 3. 若证明命题：“对于任意实数恒成立”是假命题，只需要举一个反例，则这个反例可以是（ ） A. B. C. D. 4. 以下四个命题中，真命题是（　　） A. “任意三角形内角和为”是随机事件 B. “烟台市后天会下雨”是确定事件 C. “估计本题的正确率是”表示40位考生中一定有36人做对 D. 从一副扑克牌随机抽一张，抽到花色是红桃的概率是 5. 将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程组，则的值是（ ） A. B. 9 C. D. 6 7. 以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ） A. 如图1，展开后测得∠1=∠2 B. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C. 如图3，测得∠1=∠2 D. 如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD 8. 清代康熙年间编辑的算书《御制数理精蕴》（卷九）中记载一题，“设如有甲乙二人入山采果共得三百枚，但云甲数加六百枚乙数加二百枚，则甲数比乙数多二倍，问甲乙各得几何？”其大意是：甲、乙二人入山采果共得三百枚，若甲的采果数加六百，乙的采果数加二百枚，则新得到的甲的采果数比乙的采果数多二倍，问甲、乙原来各采果多少枚？如果设甲原来采果数是枚，乙原来采果数是枚，则根据题可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙、丙三人分别在三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业．已知：①甲不在校学习；②乙不在校学习；③在校学习数学；④在校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则下列推断正确的是（ ） A. 甲在校学习数学，丙在校学习物理 B. 甲在校学习数学，丙在校学习化学 C. 甲在C校学习化学，丙在B校学习数学 D. 甲在C校学习化学，丙在A校学习物理 10. 如图，，折线在，之间，依次形成，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式 ________________________________________． 12. 如图，要判定，请写出一个可添加的条件：___________． 13. 如图为的正方形网格，若随机向该网格内投针（针尖可看作一个点），则针尖落在阴影部分的概率为___________． 14. 为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有_________种． 15. 若的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为___________． 16. 若方程组的解是，则方程组的解是___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，其中卷面5分） 17. 口袋里有除颜色外其它都相同的5个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． 如果事件A是必然事件，则　　；如果事件A是随机事件，则　　； （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值． 18. 解下列方程组： （1） （2） 19. 如图，平分平分，求的度数． 20. 已知关于的方程组 （1）请直接写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． （1）求直线的表达式； （2）若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 22. 某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． （1）求观光车的车头与每节车厢的长度； （2）某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 23. 根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 制作“校园文化节”礼品盒 背景 为迎接学校一年一度的“校园文化节”，给全体师生送上暖心文创礼品，该校手工社团承接了“校园文化节”礼品盒的制作任务．为确保礼品盒规格统一、美观实用，社团开展了相关实践活动． 实践材料 340张规格为的标准纸板． 实践操作 （1）如图1，将300张标准纸板按裁法一裁剪，40张标准纸板按裁法二裁剪，得到若干张A型纸板及B型纸板（单位：）； （2）如图2，用A型纸板、B型纸板制成竖式有盖礼品盒和横式无盖礼品盒，所有A，B型纸板均无剩余． 问题解决 （1）求图1中的值； （2）求制成的竖式有盖礼品盒、横式无盖礼品盒的数量． 24. 探照灯常用于夜间照明、安防警戒、舞台灯光等场景，它可绕固定点转动并自由调整照射角度，探照灯发出的光线可看作以发光点为端点的射线．如图1，某剧场舞台两侧各安装了一盏高度相同的探照灯，它们发出的光线在同一平面内，侧的灯发出的射线从开始，逆时针旋转至射线便立即回转；侧的灯发出的射线从开始，逆时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．已知灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，． （1）的度数为___________； （2）若灯从开始，先转动15秒后，灯才从开始转动，在灯发出的射线到达前，当两灯发出的光线恰好互相平行时，求灯转动的时间； （3）如图2，若两灯同时从各自起始位置转动，在灯发出的射线到达前，两灯发出的射线交于点为侧的动点，且满足．在此过程中，的度数是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）．下列每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 2. 某十字路口的交通信号灯的设置时间为：红灯亮30秒，绿灯亮60秒，黄灯亮10秒，则当小明随机经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，解题思路是用绿灯亮的时长除以信号灯一个周期的总时长，即可得到遇到绿灯的概率． 【详解】解：∵ 红灯亮30秒，绿灯亮60秒，黄灯亮10秒， ∴ 信号灯一个周期的总时长为 秒， ∵ 绿灯亮的时长为60秒， ∴ 遇到绿灯的概率 . 3. 若证明命题：“对于任意实数恒成立”是假命题，只需要举一个反例，则这个反例可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查假命题的判定，举反例，熟练掌握假命题的判定方法：举一个符合命题的条件，不满足结论即判定是假命题是解题的关键． 把各选项数据分别代入等式左右两边计算，再比较即可求解． 【详解】解：A、若，，则，， 所以成立，故此选项不符合题意； B、、若，，则，， 所以成立，故此选项不符合题意； C、若，，则，， 所以成立，故此选项不符合题意； D、若，，则，， 所以不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 以下四个命题中，真命题是（　　） A. “任意三角形内角和为”是随机事件 B. “烟台市后天会下雨”是确定事件 C. “估计本题的正确率是”表示40位考生中一定有36人做对 D. 从一副扑克牌随机抽一张，抽到花色是红桃的概率是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，概率的意义和简单的概率计算，事件的分类，根据概率的意义和概率计算公式可判断C、D；必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此可判断A、B． 【详解】解：A、“任意三角形内角和为”是必然事件，原命题是假命题，不符合题意； B、“烟台市后天会下雨”是随机事件，原命题是假命题，不符合题意； C、“估计本题的正确率是”不能表示40位考生中一定有36人做对，原命题是假命题，不符合题意； D、从一副扑克牌随机抽一张，抽到花色是红桃的概率是，原命题是真命题，符合题意； 故选；D． 5. 将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点H作，推出，得到，求出，利用对顶角相等求出答案． 【详解】解：过点H作， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 6. 已知方程组，则的值是（ ） A. B. 9 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解三元一次方程组，负整数指数幂，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 将三个方程相加并整理后求得的值，再利用负整数指数幂即可求得答案． 【详解】解：将方程组中的三个方程相加可得， ∴， ∴． 7. 以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ） A. 如图1，展开后测得∠1=∠2 B. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C. 如图3，测得∠1=∠2 D. 如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意； B．∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意； C．测得∠1=∠2， ∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角， ∴不一定能判定两直线平行，故错误，符合题意； D．在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD， ∴∠OAC=∠DBO， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，灵活运用平行线的判定是解题的关键． 8. 清代康熙年间编辑的算书《御制数理精蕴》（卷九）中记载一题，“设如有甲乙二人入山采果共得三百枚，但云甲数加六百枚乙数加二百枚，则甲数比乙数多二倍，问甲乙各得几何？”其大意是：甲、乙二人入山采果共得三百枚，若甲的采果数加六百，乙的采果数加二百枚，则新得到的甲的采果数比乙的采果数多二倍，问甲、乙原来各采果多少枚？如果设甲原来采果数是枚，乙原来采果数是枚，则根据题可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据甲、乙二人入山采果共得三百枚，列出一个方程，根据甲的采果数加六百，乙的采果数加二百枚，则新得到的甲的采果数比乙的采果数多二倍，列出另一个方程，组成方程组即可． 【详解】解：设甲原来采果数是枚，乙原来采果数是枚，由题意，得： ； 故选D． 9. 甲、乙、丙三人分别在三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业．已知：①甲不在校学习；②乙不在校学习；③在校学习数学；④在校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则下列推断正确的是（ ） A. 甲在校学习数学，丙在校学习物理 B. 甲在校学习数学，丙在校学习化学 C. 甲在C校学习化学，丙在B校学习数学 D. 甲在C校学习化学，丙在A校学习物理 【答案】A 【解析】 【分析】先判断哪个学校学什么，在B校学习的学数学，在A校学习的不学化学，那么看判断A学校学习的是物理，C学校学习的是化学，因为乙不在B校学习，乙不学物理，那么乙在C学校学习，因为甲不在A校学习，甲就在B学校学习，丙就在A学校学习． 【详解】解：因为在B校学习的学数学，在A校学习的不学化学，那么可判断A学校学习的是物理，C学校学习的是化学， 因为乙不在B校学习，乙不学物理，那么乙在C学校学习， 因为甲不在A校学习，甲就在B学校学习，丙就在A学校学习． 10. 如图，，折线在，之间，依次形成，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，依次求出，之间形成3个角，4个角，5个角，…，时的度数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，当，之间形成3个角时，如图所示， 过点作的平行线， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 同理可得，，，…， ∴． 当时，． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式 ________________________________________． 【答案】如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　（“在同一平面内”写在“如果”前也给分） 【解析】 【分析】本题考查命题的改写，运用命题结构分析思想，易错点是题设或结论表述不完整、不准确；明确题设（“如果” 后）为 “在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线”，结论（“那么” 后）为 “这两条直线平行”． 【详解】解：原命题的题设是“在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……，那么……”的形式为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 12. 如图，要判定，请写出一个可添加的条件：___________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的判定方法，即可得到答案， 【详解】解：∵内错角相等，两直线平行， ∴要判定，可添加的条件是（答案不唯一）． 13. 如图为的正方形网格，若随机向该网格内投针（针尖可看作一个点），则针尖落在阴影部分的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据割补法可求出阴影部分面积，再求出正方形网格总面积，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图所示： 将上边和左边的弓形阴影割补到下边和右边，则可得阴影部分面积为． ∵正方形网格总面积为， ∴针尖落在阴影部分的概率为． 14. 为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有_________种． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．设和两种长度的导线分别为根，根据题意，得出，进而根据为正整数，即可求解． 【详解】解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得， ， 即， ∵为正整数， ∴，，，，，，， 则，，，，，，， 故有7种方案， 故答案为：7． 15. 若的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】当两个角的两边分别平行时，两个角相等或互补，根据该性质结合题目给出的与的数量关系，列方程求解即可 【详解】解：的两边与的两边分别平行， 或 由题意得 当时 将代入得 解得 当时 将 代入得 解得 综上，的度数为或 16. 若方程组的解是，则方程组的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把方程组变形为得，从而可得结论． 【详解】解：方程组可转化为， ∵方程组的解是， ∴， 解得， 方程组的解是． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，其中卷面5分） 17. 口袋里有除颜色外其它都相同的5个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． 如果事件A是必然事件，则　　；如果事件A是随机事件，则　　； （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值． 【答案】（1）3，1或2 （2）1 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，利用概率求数量． （1）根据必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件进行求解即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：如果事件A是必然事件，则袋子里全是红球， ∴； 如果事件A是随机事件，则袋子里还剩余白球， ∴或2； 故答案为：3，1或2； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：． 18. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ②，得③ ①+③得：， 解得： 把代入②，得， 解得：， 所以原方程组的解是； 【小问2详解】 由①，得③ 由②，得④ 得：， 解得：； 将代入③，得， 解得：； 所以原方程组的解是 19. 如图，平分平分，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和的性质得出，，两等式相减得到，由此可得出结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴． 20. 已知关于的方程组 （1）请直接写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）求正整数解时，将方程变形为，再根据x，y为正整数的条件，确定y的取值； （2）先联立与求出x，y的值，再代入含m的方程求m． 【小问1详解】 解：由得， ∵x，y为正整数， ∴， ∴， ∴y可取1，2，3： 时，， 时，， 时，， ∴方程的正整数解为：，，； 【小问2详解】 解：联立方程组， 解得：， 把代入，得， 解得：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． （1）求直线的表达式； （2）若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由正比例函数解析式求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据一次函数的解析式求得B的坐标，然后设D点坐标为，分类讨论，当D在第二象限或第四象限时，分别求出D点坐标即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 点的坐标为． 将点代入中，得， 解得， 所以，函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数为， 当时，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵点D在直线上， ∴设， ∵的面积与的面积相等， ∴， ①当点D在第二象限时，即时； ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为； ②当点D在第四象限时，即时； ∴， 解得：， ∴点D的坐标为， 综上所述点D的坐标为或． 22. 某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． （1）求观光车的车头与每节车厢的长度； （2）某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【答案】（1）车头与每节车厢的长度分别为4米，8米 （2）隧道的长度为120米 【解析】 【分析】（1）设观光车的车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，根据观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设隧道的长度为a米，观光车身总长度为b米，根据观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，列出方程组，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． 【小问2详解】 解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． 23. 根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 制作“校园文化节”礼品盒 背景 为迎接学校一年一度的“校园文化节”，给全体师生送上暖心文创礼品，该校手工社团承接了“校园文化节”礼品盒的制作任务．为确保礼品盒规格统一、美观实用，社团开展了相关实践活动． 实践材料 340张规格为的标准纸板． 实践操作 （1）如图1，将300张标准纸板按裁法一裁剪，40张标准纸板按裁法二裁剪，得到若干张A型纸板及B型纸板（单位：）； （2）如图2，用A型纸板、B型纸板制成竖式有盖礼品盒和横式无盖礼品盒，所有A，B型纸板均无剩余． 问题解决 （1）求图1中的值； （2）求制成的竖式有盖礼品盒、横式无盖礼品盒的数量． 【答案】（1）的值为的值为40 （2）竖式有盖礼品盒、横式无盖礼品盒的数量分别为70个、120个 【解析】 【分析】（1）根据题意建立方程组求解即可； （2）根据题意得A型纸板共有（张），B型纸板共有（张）．设竖式有盖礼品盒、横式无盖礼品盒的数量分别为个、个，然后建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 解得 即的值为的值为40． 【小问2详解】 由题意，得A型纸板共有（张）， B型纸板共有（张）． 设竖式有盖礼品盒、横式无盖礼品盒的数量分别为个、个， 由题意，得 解得 即竖式有盖礼品盒、横式无盖礼品盒的数量分别为70个、120个． 24. 探照灯常用于夜间照明、安防警戒、舞台灯光等场景，它可绕固定点转动并自由调整照射角度，探照灯发出的光线可看作以发光点为端点的射线．如图1，某剧场舞台两侧各安装了一盏高度相同的探照灯，它们发出的光线在同一平面内，侧的灯发出的射线从开始，逆时针旋转至射线便立即回转；侧的灯发出的射线从开始，逆时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．已知灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，． （1）的度数为___________； （2）若灯从开始，先转动15秒后，灯才从开始转动，在灯发出的射线到达前，当两灯发出的光线恰好互相平行时，求灯转动的时间； （3）如图2，若两灯同时从各自起始位置转动，在灯发出的射线到达前，两灯发出的射线交于点为侧的动点，且满足．在此过程中，的度数是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）转动的时间为15秒或55秒 （3）的度数为定值， 【解析】 【分析】（1）由角的和差关系得出，由平行线的性质得出． （2）分两种情况，当灯发出的射线到达前和当灯发出的射线到达后回转，根据平行线的性质得出角相等，解关于t的方程求解即可得出答案． （3）设两灯转动的时间为秒，则．则，由（1），则，得出，过点作交于点．由平行线的性质进一步得出 ，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， ∵， ∴ ． 【小问2详解】 解：设灯转动的时间为秒． 如图1，当灯发出的射线到达前， 设灯发出的射线交于点，灯发出的射线交于点， 则． 由题意，得． ． ， ． ．即． 解得 如图2，当灯发出的射线到达后回转， 设灯发出的射线交于点，灯发出的射线交于点， 则． 由题意，得． ． ， ． ． 即． 解得 所以，转动的时间为15秒或55秒． 【小问3详解】 解：的度数为定值． 设两灯转动的时间为秒，则． 则． 由（1），则． ， ． 如图3，过点作交于点H． ． ， ． ． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $