3.4 《乘法公式》小节复习题 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

3.4 《乘法公式》小节复习题 题型01 运用平方差公式进行运算 1．的计算结果是（　　） A． B． C．2 D．4 2．在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 3．（ ）． 4．计算的结果为 ． 5．用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 平方差公式与几何图形 6．如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（   ） A． B． C． D． 7．从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 8．已知，且以a、b、c为长拼成如图正方形，则阴影部分的面积为 ．(用含x、y、z的代数式表示)    9．如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是 ． 10．仔细观察图①、图②，回答下列问题： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）； (2)若将阴影部分剪下来，重新拼成一个长方形（如图②），则它的宽是_______，长是_______，面积是_______； (3)比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式是_________（用含的等式表示）． 题型03 运用完全平方公式进行运算 11．利用完全平方公式计算，下列变形最恰当的是（   ） A． B． C． D． 12．若，则的最小值是（   ） A．2014 B．2016 C．2018 D．2020 13．化简的值是 ． 14．根据完全平方公式填空： （1） ； （2）( )． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 题型04 完全平方公式在几何图形中的应用 16．两个边长为的大正方形与两个边长为的小正方形按如图所示放置，如果，阴影部分的面积是60，那么（        ） A．44 B．46 C．50 D．53 17．如图，小明同学在一次数学活动课上做了如下的一次拼图操作：用两种大小不同的正方形各两个，拼接成一个中间是长方形的图案．若，且这四个正方形的面积和为50，则长方形的面积是（　　） A．5 B． C．6 D． 18．如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和． 根据这样的等积法，我们可以得出结论：． 请你根据等积法，利用图2写出的计算结果 ． 19．一个正方形的边长增加到原来的3倍还多，它的面积就增加到原来的9倍还多，则这个正方形原来的边长是 ． 20．综合与实践 主题：制作“回形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为）． 步骤1：如图1，将长方形纸板的长四等分，画出相同的小长方形，并按虚线剪开； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回形”大正方形纸板． （1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为__________．（用含，的式子表示） （2）根据图2，请直接写出，，之间的等量关系． （3）若，，求的值． 拓展与应用 （4）若，求的值． 题型05 乘法公式的知二求三问题 21．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 22．已知，求： (1)的值； (2)的值． 23．已知，，求的值． 24．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 25．（1）已知，，求； （2）已知，，求的值． 题型06 乘法公式中的整体带入方法 26．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 27．已知，那么的值为（   ） A．4051 B．2025 C．4046 D．4053 28．已知，则的值 ． 29．若，则 ． 30．阅读：若满足，求的值． 解：设，， 则_____，_____， 所以_____． 请仿照上例解决下面的问题： (1)补全题目中横线处； (2)若满足，求的值． 题型07 运用乘法公式解决规律性问题 31．根据等式：，，，的规律，则可以得出的结果为（　　） A． B． C． D． 32．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，揭示了（为非负整数）展开式各项系数的有关规律： …………………… 请你猜想的展开式中所有系数的和是（    ） A．2022 B．512 C．128 D．64 33．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，    利用上述规律计算： ． 34．观察以下等式： 第1个： 第2个： 第3个： 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 35．观察下列各式 ··· ①根据以上规律，则 ， ②由此归纳出一般性规律： ； ③根据②直接写出： ． 题型08 乘法公式的新定义问题 36．定义，，给出下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 37．对于任意有理数A，B，现用“☆”定义一种运算：．根据这个定义，代数式可以化简为（　　） A． B． C． D． 38．定义新运算“”，对于任意实数都有．例如：．若，则 ． 39．已知对任意实数x，y，定义运算：，则的值为 40．在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”． (1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）； (2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 题型01 运用平方差公式进行运算 1．D 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解： ； 故选D． 2．B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．平方差公式的形式是，平方差公式的特点是两个数的和乘以两个数的差，逐一判断四个选项，即可求解． 【详解】解：A，，不可以用平方差公式计算，不符合题意； B，，可以用平方差公式计算，符合题意； C，，不可以用平方差公式计算，不符合题意； D，，不可以用平方差公式计算，不符合题意． 故选：B． 3． 【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式变形，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 4． 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 根据平方差公式进行计算即可 【详解】解：， 故答案为：． 5．（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 题型02 平方差公式与几何图形 6．C 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论，这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论． 【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为； 拼成的长方形的面积：， 所以得出：， 故选：C． 7．D 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出两个图形阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴可以验证成立的公式为． 故选：D． 8． 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用分割法表示出阴影部分的面积，再根据，结合平方差公式，将面积转化为含x、y、z的代数式即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为： ∵， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 9．15 【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解题意，结合图形运用以上知识进行求解．设大正方形和小正方形的边长各为a，b，由题意可得，再运用三角形面积公式进行求解． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长各为，， 由题意可得， 阴影部分的面积为： = = 故答案为：15． 10．(1) (2)，， (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何形式：（1）阴影部分的面积为大正方形减去小正方形的面积，用面积公式求即可；（2）观察图形，阴影部分的宽是小长方形的宽，阴影部分的长是两个小长方形的长之和，再根据长方形的面积公式即可求；（3）利用面积相等即可得到等式． 【详解】（1）阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积 面积 （2）观察图形，阴影部分的宽是小长方形的宽： 阴影部分的长是两个小长方形的长之和： 所以阴影部分的面积为长方形的面积： （3）两个阴影部分的面积相同，即． 题型03 运用完全平方公式进行运算 11．A 【分析】本题考查了完全平方公式，选择最简单的计算方式是解题的关键． 选择最简单的计算方式即可． 【详解】解：利用完全平方公式计算，变形最恰当的是， 故选：A． 12．A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用等知识，利用完全平方公式将转化为，再根据即可得到的最小值是2014． 【详解】解： ， ∵， ∴M的最小值是2014． 故选：A． 13． 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的加减，先根据完全平方公式化简，再去括号合并同类项． 【详解】解： ． 故答案为：． 14． 16 4 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）根据完全平方公式进行解答即可． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：16；4； 15．（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型04 完全平方公式在几何图形中的应用 16．A 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键． 由图可得阴影部分面积为个直角三角形面积的和，用含、的式子表示出阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴， ， ∴， 解得：． 故选：A ． 17．B 【分析】本题主要考查了完全平方式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 由题意可得，则，再由可得，则，那么，从而求得答案． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长方形的面积是， 故选：B． 18． 【分析】用代数式分别表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】解：整体上是边长为的正方形， 因此面积为， 拼成大正方形的9个部分的面积和为， ∴， 故答案为：． 19．4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设这个正方形原来的边长为，则原来的面积就是，边长增加后的面积就是．根据“边长增加后的面积原来面积的9倍”即可列方程解答． 【详解】解：设正方形原来边长为，根据题意得： ， ， ， 解得， 即这个正方形原来的边长为． 故答案为：4． 20．解：（1）由图2可得小正方形（阴影部分）的边长为， 故答案为：； （2）可得阴影部分面积为：，而阴影部分面积又可表示为， ∴， ∴； （3）∵，， ∴； （4）∵， ∴， ∴． 题型05 乘法公式的知二求三问题 21．（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 22．（1）， ； （2）， ． 23．解：因为， 所以，即． 因为， 所以， 所以． 24．（1）解：因为，， 所以， 所以， 所以； （2）解：因为由（1）知， 又因为，， 所以 ． 25．解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 题型06 乘法公式中的整体带入方法 26．B 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据题意巧妙构造，再利用完全平方公式展开，合并同类项后即可得到答案． 【详解】解：已知， 则， 那么， 整理得：， 则， 故选：B． 27．A 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到，再将代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：A． 28．36 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示阴影部分的面积是解决问题的关键．设a=x-2021，b=x-2023，进而得出则，再进行计算即可． 【详解】解：设，则， 所以， 即， 所以， 即． 故答案为：36 29．0或 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求解，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．当时和时，分别代入化简计算，即可作答． 【详解】解：， 或． 当时，； 当时，即， ， ， ， ， 故答案为：或． 30．（1）解：设，， 则，， 所以． 故答案为：30，20，340； （2）解：设，， 则，， ， ， ，即 ． 题型07 运用乘法公式解决规律性问题 31．D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字类规律问题．先将变形为，根据求出的结果得出规律，即可解答． 【详解】解： ， ． 故选：D． 32．B 【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察已知给出的各式中的所有系数的和可得：（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数和是2n，问题即得解决. 【详解】解：（a+b）0的展开式的各项系数和为：1=20； （a+b）1的展开式的各项系数和为：1+1=2=21； （a+b）2的展开式的各项系数和为：1+2+1=4=22； （a+b）3的展开式的各项系数和为：1+3+3+1=8=23； （a+b）4的展开式的各项系数和为：1+4+6+4+1=16=24； …… ∴（a+b）n（n为非负整数）的展开式的各项系数和为：2n． ∴（a+b）9的展开式中所有系数的和是：29＝512. 故选：B． 33． 【分析】根据前面的变化规律，计算后解答即可． 【详解】∵ ∴． 故答案为：． 34．（1）解：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为：， 证明：左边， 右边， 左边右边， 等式成立． 35．解：①； ②； ③ ． 题型08 乘法公式的新定义问题 36．A 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是读懂题意，掌握运算法则．根据完全平方公式，得，，再逐项判断即可． 【详解】解：由完全平方公式，得，， 若，则，，则； 若，则，， ∴和不一定相等，故A错误，B正确； 若，则， 又∵，， ∴， ∴；故C正确，不符合题意； 若，则或，则，故D正确，不符合题意． 故选A． 37．C 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据题目中给出的定义利用完全平方公式化简计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 38．5 【分析】本题考查了平方差公式和代数式求值，解题的关键是根据新定义运算法则得到关于x的等式．根据新运算的定义列出等式，然后再形求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ． 故答案为：5． 39． 【分析】本题主要考查平方差公式，解题的关键是理解题意；由题意可先求出的值，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为． 40．（1）解：， ∴20是“妙数”； 故答案为：是； （2）解：，理由如下： ． 为“妙数”， ， 学科网（北京）股份有限公司 $