精品解析：2026年宁夏银川市第十五中学九年级中考第一次模拟测试卷（数学）

2026年九年级中考第一次模拟测试卷（数学） （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．） 1. 近年来， 如浩荡春风，席卷各领域，为创新变革注入蓬勃活力以下是部分世界著名人工智能品牌公司的图标，其中既为中心对称图形又属轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲图由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙图，所得几何体的三视图有改变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 三种视图都改变 4. 下列说法正确的是（ ） A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 点到轴的距离是3 C. 一个数的算术平方根一定是正数 D. 一次函数的图象与轴的交点是 5. 玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品，如图1所示，古语有“君子无故，玉不去身”，到现在人们也仍将谦谦君子喻为“温润如玉”．如图2，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”甲乙两位同学分别给出自己的理解： 甲：设牧童人数为x人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为y竿，根据题意可列方程． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误 7. 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为﹣2，2，于点B，且．连接 ，在 上截取 ，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边 中，，当直角三角板 的角的顶点P在 上移动时，斜边始终经过边的中点D，设直角三角板的另一直角边与 相交于点E，设，那么y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 分解因式： __________． 10. 2026年2月11日，长征十号运载火箭与梦舟飞船试验成功，发动机最大推力达牛，数据“”用科学记数法表示为__________． 11. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若，则的度数为________． 12. 箱子里有若干个红球、白球和黄球，从箱子中一次拿两个球出来．多次实验统计如下：小明估计至少有一个球是白球的概率约是_______（保留一位小数）． 至少有一个球是白球的次数 13 20 35 71 107 146 288 至少有一个球是白球的频率 0.65 0.67 0.70 0.71 0.713 0.73 0.72 13. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数（k为常数， ）的图象相交于A、C两点，过点A作轴于点B，连接 ，若 的面积为4，则k的值为_______． 14. 如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________． 15. 黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点C为的黄金分割点，且，若，则的长为______（结果保留根号）． 16. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角 为 ．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长 交的延长线于点 ，（点， ，， 在一条直线上），经测得： ，，则铁架台和点 的水平距离 的长度为___．（结果精确到）．（参考数据： ，，） 三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：     （1）甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 19. 如图：在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点 （尺规作图的痕迹保留在图中了），连接． （1）求证：四边形为菱形； （2） ， 相交于点 ，若 ，，求 的长． 20. 春暖花开，某商店购进A，B两款春季服装，每件A款服装的售价比B款服装的售价少20元，已知售出5件A款服装和6件B款服装的销售总额为1000元． （1）求A，B两款服装的销售单价； （2）若某一天A，B两款服装的销售总额要达到1800元，且每款至少售出1件，请写出所有可能的销售方案． 21. 图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中作 的 边上的中线． （2）在图②中作 的边上的高线． （3）在图③中过点作 的平行线 ． 22. 当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作次，测试成绩（百分制）如下： 分析数据，得到下列表格． 平均数 中位数 众数 方差 机器人 人工 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______． （2）根据表格中的数据，计算机器人操作次的方差？ （3）根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点．（写一条即可） 23. 如图，在左边托盘 （固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点 的距离．记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格． 托盘与点 的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）观察表格，与之间的函数关系式为______．（不必写出自变量的取值范围） （2）当托盘中砝码的质量为时，求托盘与点 的距离． （3）当托盘向左移动（不能移动到点 ）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？请说明理由． 24. 如图，是的直径，过圆上点的直线 交延长线于点 ，且 ． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求的长． 25. 已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，的面积最大？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段 于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 26. 阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． （1）初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图 ，连接 ，试探究 是否平分，并说明理由． （3）应用拓展：在“等补四边形”中，，， ，如图2，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中考第一次模拟测试卷（数学） （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．） 1. 近年来， 如浩荡春风，席卷各领域，为创新变革注入蓬勃活力以下是部分世界著名人工智能品牌公司的图标，其中既为中心对称图形又属轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形、轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题的关键．直接利用轴对称图形的性质、中心对称图形的性质分别分析得到答案． 【详解】解：A.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D. 不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、同底数幂除法、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同底数幂乘法、积的乘方、同底数幂除法、合并同类项等法则，对选项逐一分析即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 3. 甲图由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙图，所得几何体的三视图有改变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 三种视图都改变 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案． 【详解】解：图甲和图乙的主视图相同，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形； 左视图相同，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形； 图甲的俯视图底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形； 图乙的俯视图底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形． 所以三视图有改变的是俯视图． 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 点到 轴的距离是3 C. 一个数的算术平方根一定是正数 D. 一次函数的图象与 轴的交点是 【答案】D 【解析】 【详解】解：对选项A：直径是过圆心的弦，本质是线段，不是直线，该项错误． 对选项B：平面内点到 轴的距离为点横坐标的绝对值，点横坐标为，，即到 轴的距离为 ，不是 ，该项错误． 对选项C： 的算术平方根是 ， 不是正数，该项错误． 对选项D：将代入，得，解得，则一次函数图象与 轴交点为，该项正确． 5. 玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品，如图1所示，古语有“君子无故，玉不去身”，到现在人们也仍将谦谦君子喻为“温润如玉”．如图2，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．根据圆周角定理由得 为的直径，即，根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 为的直径，即， ∴， ∴， 故选：C． 6. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”甲乙两位同学分别给出自己的理解： 甲：设牧童人数为x人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为y竿，根据题意可列方程． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用． 分别根据人数或竹竿数作为未知数，建立方程并判断是否正确． 【详解】甲：设牧童人数为 人， 根据竹竿总数相等，每人6竿多14竿时总数为，每人8竿少2竿时总数为， 故方程为，甲正确． 乙：设竹竿数为 竿， 根据人数相等，每人6竿多14竿时人数为，每人8竿少2竿时人数为， 故方程为，乙正确． 综上，甲、乙均正确． 故选：A． 7. 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为﹣2，2，于点B，且．连接，在上截取 ，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，即可得到，再根据点移动的规律求出答案． 【详解】解：∵点A，B表示的数分别为﹣2，2， ∴， ∵于点B，且． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E表示的实数是， 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理，数轴上两点之间的距离，点移动的规律，正确掌握勾股定理求出是解题的关键． 8. 如图，在等边中，，当直角三角板 的角的顶点P在上移动时，斜边始终经过边的中点D，设直角三角板的另一直角边与相交于点E，设，那么y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题涉及的知识有等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的图像和性质，解题的关键在于判定，并利用相似的性质建立二次函数关系式． 根据等边三角形的性质得，由于，得，根据三角形相似的判定方法得到，利用相似比即可得到，配方得到，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵等边中，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 即， 图象开口向下，顶点坐标为， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 分解因式： __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式后再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为:． 10. 2026年2月11日，长征十号运载火箭与梦舟飞船试验成功，发动机最大推力达牛，数据“”用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：用科学记数法表示为． 11. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题此题考查了折叠的性质和平行线的性质，根据平行线的性质得到，，根据折叠可得，则，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可知，， ∴ 解得 故答案为： 12. 箱子里有若干个红球、白球和黄球，从箱子中一次拿两个球出来．多次实验统计如下：小明估计至少有一个球是白球的概率约是_______（保留一位小数）． 至少有一个球是白球的次数 13 20 35 71 107 146 288 至少有一个球是白球的频率 0.65 0.67 0.70 0.71 0.713 0.73 0.72 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，深刻理解频率与概率之间的关系是解题的关键：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率．也就是说，通过大量重复试验，可以用频率估计概率（大量反复试验下频率稳定值即概率）． 根据频率与概率之间的关系即可得出答案． 【详解】解：由题意得，随着实验次数的增加，至少有一个球是白球的频率稳定在 附近， 小明估计至少有一个球是白球的概率约是 ， 故答案为： ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数（k为常数， ）的图象相交于A、C两点，过点A作轴于点B，连接，若的面积为4，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中 的几何意义，首先根据反比例函数中 的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出 的值． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数（k为常数， ）的图象相交于A、C两点， ∴， 由反比例函数中 的几何意义得：， ∴， ， ∵， ． 故答案为： ． 14. 如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________． 【答案】2＋2 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB． 【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∴∠DCB＝∠B＝45°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴AD＝AC＝2， 由勾股定理得：DC＝＝＝2， ∴DB＝DC＝2， ∴AB＝AD＋DB＝2＋2， 故答案为：2＋2． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 15. 黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点C为的黄金分割点，且，若，则的长为______（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点C为的黄金分割点，且，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角 为 ．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长 交的延长线于点 ，（点 ， ，， 在一条直线上），经测得： ，，则铁架台和点 的水平距离的长度为___．（结果精确到）．（参考数据： ，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．过点 分别作，，垂足分别为 、 ，在 中得出的长，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：过点 分别作，，垂足分别为 、 ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵ ∴ 在 中，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则线段的长度约为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 18. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：     （1）甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②，③； （2） 选择甲同学： 解： ； 选择乙同学： 解： ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据两位同学的解答步骤，结合分式的基本性质和乘法运算律进行分析，即可解答； （2）根据分式的运算法则和运算顺序进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：甲同学解法的依据是：分式的基本性质；乙同学解法的依据是乘法分配律； 故答案为：②，③； 【小问2详解】 略 19. 如图：在平行四边形 中，用直尺和圆规作的平分线交于点 （尺规作图的痕迹保留在图中了），连接 ． （1）求证：四边形 为菱形； （2） ，相交于点，若 ，，求 的长． 【答案】（1） 证明：由尺规作的角平分线的过程可得 ，， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ， ∴四边形 为菱形； （2） ． 【解析】 【分析】（ ）先证四边形 为平行四边形，继而再根据 ，即可得四边形 为菱形； （ ）由四边形 为菱形可得，，，则，在中，求出 的长即可得答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形 为菱形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，等角对等边，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20. 春暖花开，某商店购进A，B两款春季服装，每件A款服装的售价比B款服装的售价少20元，已知售出5件A款服装和6件B款服装的销售总额为1000元． （1）求A，B两款服装的销售单价； （2）若某一天A，B两款服装的销售总额要达到1800元，且每款至少售出1件，请写出所有可能的销售方案． 【答案】（1）A款服装的销售单价为80元，B款服装的销售单价为100元． （2） 方案一：A款售出20件，B款售出2件； 方案二：A款售出15件，B款售出6件； 方案三：A款售出10件，B款售出10件； 方案四：A款售出5件，B款售出14件． 【解析】 【分析】（1）设A款服装的销售单价为x元，则B款服装的销售单价为元，根据售出5件A款服装和6件B款服装的销售总额为1000元，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）设A款服装售出a件，B款服装售出b件，根据题意A，B两款服装的销售总额要达到1800元，可以列出相应的二元一次方程，然后根据每款至少售出1件，即可得到相应的销售方案． 【小问1详解】 解：设A款服装的销售单价为x元，则B款服装的销售单价为元， ∵“售出5件A款服装和6件B款服装的销售总额为1000元”， ∴ 解得， ∴A款单价为80元，B款单价为元； 【小问2详解】 解：设A款服装售出a件，B款服装售出b件， ∵总额达到1800元， ∴ ，即， ∵a为正整数， ∴必须是4的正整数倍， 当时：； 当时：； 当时：； 当时：； ∴所有可能的销售方案如下： 方案一：A款售出20件，B款售出2件； 方案二：A款售出15件，B款售出6件； 方案三：A款售出10件，B款售出10件； 方案四：A款售出5件，B款售出14件． 21. 图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 、 、 均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中作的边上的中线． （2）在图②中作的边上的高线． （3）在图③中过点 作的平行线 ． 【答案】（1） 如图，即为所求； ； （2） 如图，即为所求； （3） 如图， 即为所求； 【解析】 【分析】（1）取格点 ，且，连接即可； （2）如图，取格点，延长至格点 ，连接 交于 ，则即为所求； （3）把 向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到点 ，连接 即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，取格点 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是画三角形的中线，高，平行线，平移的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． 22. 当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作次，测试成绩（百分制）如下： 分析数据，得到下列表格． 平均数 中位数 众数 方差 机器人 人工 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______． （2）根据表格中的数据，计算机器人操作次的方差？ （3）根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点．（写一条即可） 【答案】（1） ， （2） （3）解：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定 【解析】 【分析】本题考查了各统计数据的意义和计算，掌握相关结论即可. （1）中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．众数是一组数据中出现次数最多的数值． （2）根据方差的计算公式即可求解； （3）结合方差和平均数的统计意义即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：机器人的中位数 ， 人工的众数 ， 故答案为： ， 【小问2详解】 解：根据题意得：机器人的方差 【小问3详解】 略 23. 如图，在左边托盘 （固定）中放置一个重物，在右边托盘 （可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘 与点的距离．记录相应的托盘 中的砝码质量，得到如下表格． 托盘 与点的距离 10 15 20 25 30 托盘 中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）观察表格， 与 之间的函数关系式为______．（不必写出自变量 的取值范围） （2）当托盘 中砝码的质量为时，求托盘 与点的距离． （3）当托盘 向左移动（不能移动到点）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘 中添加砝码还是减少砝码？请说明理由． 【答案】（1） （2）当托盘 中砝码的质量为时，托盘 与点的距离是 （3） 应往托盘 中添加砝码．理由如下： ∵， ∴该函数图像在第一象限内， 的值随 值的增大而减小． ∵当托盘 向左移动（不能移动到点）时， 逐渐减小， ∴ 逐渐增大， ∴应往托盘 中添加砝码． 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）观察表格可得：的乘积为定值300，故 与 之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）把代入解析式求解，可得答案； （3）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘 与点的距离不断增大，砝码的示数应该不断减小． 【小问1详解】 解：根据表格可得：，即， ∴ 与 的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得． 答：当托盘 中砝码的质量为时，托盘 与点的距离是． 【小问3详解】 略 24. 如图，是的直径，过圆上点 的直线交延长线于点 ，且 ． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到 ，通过角的转换证明 ，即可证明是的切线； （2）由正切函数的定义得，证明，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ∵ ，又， ∴， ∴，即， ∴ ， ， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，正切函数的定义，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，的面积最大？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段 于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得点在抛物线上，使用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据点A和B求得直线解析式，设点P的横坐标并表示出点P和点F，求出的长，将分成 与的面积和，根据三角形面积公式表示为函数求最值即可； （3）设点P横坐标，表示出点P和点D及的长，根据对称性可知点P和点E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得点D横坐标，进而求得的长．由于要成为等腰直角三角形，，，分类讨论t的范围，即可求得点P坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过点，则 ，解得∶ 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 过点P作轴于点H，交 于点F，如图， 当时，， 则， 设直线解析式为， ∵过点A和B，则 ，， ∴直线解析式为， ∵点P在线段 上方的抛物线上，设点P的横坐标为t， ∴，， 则， ， 故点，的面积最大 【小问3详解】 设， 则，那么， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵轴交抛物线于点E， ∴，且， ∴， ． 则， ∵为等腰直角三角形， ∴ ，， 当时，， 有 解得∶(舍去)， ， 则点， 当时， 有，解得，(舍去)， 则点， 故点或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法求解析式和性质、求解二次函数最值、等腰直角三角形的性质、中点坐标公式和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论点所处位置及对应线段长度． 26. 阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． （1）初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）性质探究：已知四边形 是“等补四边形”，，，如图 ，连接，试探究是否平分 ，并说明理由． （3）应用拓展：在“等补四边形” 中，，， ，如图2，求 的长． 【答案】（1）D （2） 平分 ；理由如下： 延长，过点A作于点E，作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴， ∴平分 ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“等补四边形”的定义进行判断即可； （2）延长，过点A作于点E，作于点F，证明，得出 ，证明，得出，即可得出结论； （3）根据解析（2）可知：平分 ，求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， ∴平行四边形不是“等补四边形”； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不是“等补四边形”； ∵菱形的对角相等，但对角不一定互补， ∴菱形不是“等补四边形”； ∵正方形的每个内角都是，四条边都相等， ∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补， ∴正方形是“等补四边形”； 故选：D． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵在“等补四边形” 中，，， ， ∴根据解析（2）可知：平分 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，勾股定理，补角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $