福建龙岩市上杭县第一中学2025-2026学年度第二学期第一次月考高二数学试题

2025-2026学年度第二学期第一次月考 高二数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、单选题 : 本大题共 8个小题 , 每小题 5 分 , 共 40分. 在每个小题给出的四个选项中 , 只有一项 是符合题目要求的. 1．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 2．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 5．函数在内不单调，则（    ） A． B． C．或 D．或 6．若函数图象如图所示，则图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数的导函数为.若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 : 本大题共 3个小题 , 每小题 6 分 , 共 18分. 在每个小题给出的四个选项中 , 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分 , 部分选对的按比例得分 , 有错选的得 0 分. 9．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 11．关于函数，下列判断正确的是（　　） A．是的极小值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正实数，使得恒成立 D．对任意两个正实数，，且，若则 三、填空题 : 本大题共 3个小题 , 每小题 5 分 , 共 15 分. 12．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 13．已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______. 14．已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是______________ 四、解答题 : 本大题共 5个小题 , 共 77分. 15．(本小题满分13分)如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 16．(本小题满分15分)．设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求、的值； （2）当，时，求函数单调减区间和最值. 17．(本小题满分15分)已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 18．(本小题满分17分)在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值 19．(本小题满分17分)已知函数，其中. （1）当时，函数的单调性； （2）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时. 答案第1页，共2页 答案第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下数学3月月考参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C A C B D BC BCD 题号 11 答案 ABD 1．A【详解】因为, 所以, 2．B【详解】是的中点，，又，由，. 3．D【详解】由可得， 令可得，即. 4．C【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 5．A【详解】由题设，， ∴，， ∵在内不单调， ∴，可得. 6．C【详解】由图象可得：在上，在上， 根据原函数图象与导函数图象关系可得：图象在上为增函数，在上为减函数，可排除A、D， 且在x=0处，，即在x=0处，的切线的斜率为0，可排除B， 7．B【详解】为奇函数，则即， 令，则， ∴在R上单调递减，， 又的解集等价于的解集， ∴的解集为. 8．D【详解】因为平面，， 所以以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则，，设，其中， 所以，，则点到直线的距离： . 设，因为，所以，则. 所以点到直线的距离的最小值为.    9．BC【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 10．BCD【详解】对于A，若，则，所以，所以A说法正确； 对于B，当时，恒成立，而实数不唯一或不存在，所以B说法错误； 对于C，向量在向量上的投影向量是，所以C说法错误； 对于D，点关于平面对称的点的坐标是，所以D说法错误. 11．ABD【详解】A：函数的定义域为，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴是的极小值点，即A正确； B：， ∴，函数在上单调递减，且， ∴函数.有且只有1个零点，即B正确； C：若恒成立，即恒成立. 令，则， 令，则， 当时，，当时，， ∴在上，函数单调递增，上函数单调递减， ∴，∴， ∴在上函数单调递减，函数无最小值， 当时，， ∴不存在正实数，使得恒成立，即C不正确； D.由单调性可知，，， 令，则，， 令， 则， ∴在上单调递减，则， ∴时， 令，由，得， 则，故D正确. 12．【详解】以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 由异面直线夹角的范围为，则异面直线与所成角的余弦值为 13．【详解】由题意，该方程有解，故， 该不等式对任意恒成立，即， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 即的最小值为. 14．【详解】令，有三个零点即与有三个交点，，在和上单调递减，在上单调递增，且， 的极大值为，极小值为. 结合图象与有三个交点，即，∴. 故答案为： 15．(1) (2) 【详解】（1）平面平面 是底面的一条直径, 又平面平面 所以平面 是直线与平面所成角, 因为,所以 所以 （2） 过作,垂足为， 由(1)得平面平面 所以平面平面， 又因为平面平面, 平面,, 所以平面， 根据等面积法, 即到平面的距离等于. 16．（1）；（2）单调递减区间为，的最大值为，最小值为. 【详解】（1）因为，则， 由题意得，即； （2）当时，，则， 列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，当时，函数的减区间为， 函数的极大值为，极小值为. 又因为，， 因此，函数，. 17．(1)单调递增区间为：和，单调递减区间为： (2)或 【详解】（1）当时，，定义域为          令，得或，     所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为： （2） ①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去．     ②当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符．     ③当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符．     ④当时，， 故在上单调递增，无极值点，舍去．     ⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去．     综上可得：或 18．（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）［方法一］：【通性通法】向量法 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ，可取 所以 ．由已知得 ． 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］：三垂线＋等积法 由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］：三垂线＋线面角定义法 由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角． 设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］：【最优解】定义法 如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以 19．（1）增区间是和；减区间是 .（2）证明详见解析. 【详解】（1）当时，，， 因为，所以由得或；由得， 所以，的增区间是和；减区间是. （2）， 设在区间上存在零点为，则， 在上单调递减，在上单调递增， 故， 设，，则， 设，，则，所以单调递减， 又，故在上恒成立，故单调递减. 所以，故当时，. 答案第1页，共2页 答案第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $