精品解析：天津市南开区2025-2026学年度第二学期高三年级质量监测（一）数学学科试卷

2025—2026学年度第二学期高三年级质量监测（一） 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·如果事件，互斥，那么. ·对于事件，，，那么. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据点的中心不一定在线性回归直线上 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 D. 如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1 6. 已知是函数的一条对称轴，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知矩形中，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 B. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 C. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 D. 对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直 9. 双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 是虚数单位，，则______. 11. 的展开式中的常数项为_______． 12. 过点及圆：与抛物线的一个交点的直线被圆截得的弦长为______. 13. 学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 14. 在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______. 15. 已知，，若函数在区间上至少有一个零点，则的最小值是______. 三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是棱，的中点，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为2，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且. （1）求椭圆的方程； （2）直线：（）与椭圆交于点，，若椭圆上存在点使得四边形为平行四边形.且，求的值. 19. 已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. （1）求和的通项公式； （2）若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； （3）在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 20. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； （2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：函数有两个零点，（），且满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高三年级质量监测（一） 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·如果事件，互斥，那么. ·对于事件，，，那么. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先列举法求出集合，再根据并集的定义求即可. 【详解】解方程得， 所以. 又，所以. 故选：C. 2. 已知，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，为偶函数，故充分性成立， 为偶函数时，,故必要性不成立， 故“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由函数的单调性可知： ，即, 又,故. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及，逐一验证选项，即可求解. 【详解】由图可知：的图象关于坐标原点对称，故为奇函数，且， 对于A， ，故为偶函数，不合题意， 对于C， ，故为偶函数，不合题意， 对于B， ，故为奇函数，但，不合题意， 对于D， ，故为奇函数，，符合题意. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据点的中心不一定在线性回归直线上 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 D. 如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项ABC；根据相关系数的性质可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A：样本数据点的中心一定在线性回归直线上，故A错误； 对于选项B：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确； 对于选项C：线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故C错误； 对于选项D：如果两个变量的相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故D错误； 故选：B. 6. 已知是函数的一条对称轴，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴过最值点可知，利用可求得，由此可得，代入即可. 【详解】由是函数的一条对称轴， 知， ∵， ， ， ， ， 又， ， ， . 故选：B. 7. 已知，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析后可得正确的选项. 【详解】对于A，因为，故，故， 故，故A成立； 对于B，因为，故，又，故，故B成立； 对于C，因为，故，又，故，故C成立； 对于D，因为，故，故，故D不成立. 8. 已知矩形中，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 B. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 C. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 D. 对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直，推出⊥，得到矛盾；B选项，假设存在某个位置，使得⊥，推出⊥平面，由可知，存在这样的等腰直角三角形；C选项，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直，推出⊥，由于，所以不存在这样的直角三角形；D选项，由ABC可推出D错误. 【详解】矩形在翻折前和翻折后的图形如图（1）、图（2）所示． 在图（1）中，过点A作⊥，垂足为E，过点C作⊥，垂足为F， 由边不相等可知点不重合． 在图（2）中，连接， 对于选项A，若⊥，又知⊥，，所以⊥平面， 所以⊥，与点不重合相矛盾，故选项A错误； 对于选项B，若⊥，又知⊥，，所以⊥平面， 所以⊥，由可知，存在这样的等腰直角三角形， 使得直线与直线垂直，故选项B正确； 对于选项C，若⊥，又知⊥，， 所以⊥平面，所以⊥， 已知，，则，所以不存在这样的直角三角形，故选项C错误； 由以上可知选项D错误． 故选：B． 9. 双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为，，连接，过点作⊥轴于点E，由三角形面积公式及双曲线定义得到，，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】 设切点为，，连接， 则，， 过点作⊥轴于点E， 则，故， 因为，解得， 由双曲线定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得， 所以，解得， 所以离心率. 故选：B 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 是虚数单位，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 11. 的展开式中的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，将代入通项中即可得到常数项. 【详解】展开式通项为：； 令，解得：，展开式中的常数项为. 故答案为：. 12. 过点及圆：与抛物线的一个交点的直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【解析】 【详解】联立，解得或， 所以交点坐标为或， 当直线经过和时，该直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离为， 所以弦长为； 当直线经过和时，该直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离为， 所以弦长为； 综上所述，弦长为 13. 学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据题意写出各事件的概率，再根据全概率公式求解；第二个小题根据贝叶斯概率公式求解. 【详解】设某参赛选手演唱抒情歌，流行歌，摇滚歌分别为事件， 该选手晋级为事件， 由条件可知，，，，，，， 所以； 所以他能晋级的概率为； ， 所以这名学生是演唱流行歌晋级的概率为. 14. 在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，以及数量积的运算律，即可求解. 【详解】由题设，， 所以. , , 15. 已知，，若函数在区间上至少有一个零点，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】经过整理，换元，方程变形为关于的直线，那么，表示直线上的点到原点的距离的平方，那么距离的最小值就是原点到直线的距离，利用点到直线的距离求最小值. 【详解】由题意可知存在使 ， 整理为： 设，整理为关于的直线， 那么，表示直线上的点到原点的距离的平方， 那么距离的最小值就是原点到直线的距离 所以， 当时，是单调递增函数，当时取得最小值. 即的最小值是. 三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正余弦定理求解即可； （2）根据余弦定理求解； （3）由余弦定理及两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以，即. 又由余弦定理得， 又为三角形内角，所以. 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理得，解得， 所以. 【小问3详解】 由余弦定理得，所以. 所以，. 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是棱，的中点，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合垂直的坐标关系即可求证， （2）（3）求解平面法向量，根据点面距的向量法以及夹角公式即可求解. 【小问1详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，. 因为，， 平面， 所以平面. 【小问2详解】 ，，. 设平面的法向量为， 则即，令，得， 所以. 【小问3详解】 ，. 设平面的法向量为， 则，即，令，得. 设平面与平面夹角为， 则. 18. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为2，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且. （1）求椭圆的方程； （2）直线：（）与椭圆交于点，，若椭圆上存在点使得四边形为平行四边形.且，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义及勾股定理求出即可得解； （2）假设存在，直线与椭圆方程联立，再由韦达定理及向量的运算求出C点坐标，再由列出方程求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 因为，， 所以，因为，所以，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 设，， 联立方程得， 所以，整理得 ①， 所以，， . 因为上存在点使得四边形为平行四边形， 所以，即， 将代入得， 整理得 ②， 所以 ， 由②知， ， 因为， 所以， 整理得，解得， 由②知，符合①，因为，所以 19. 已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. （1）求和的通项公式； （2）若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； （3）在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 【答案】（1），； （2）8； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差等比数列基本量的计算即可得解， （2）利用裂项相消法求和，即可解不等式得解， （3）根据等差数列的性质先求解，进而利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设的公比为，依题意，有 解得，，所以，. 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以， 由，得， 化简得，解得，所以的最小值为8. 【小问3详解】 依题意，， 则 ， 两式相减可得： ， 所以. 20. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； （2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：函数有两个零点，（），且满足. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据斜率求解，即可根据点斜式求解直线方程， （2）分离参数，构造函数，利用导数求解函数的最值，即可得解， （3）根据导数求解函数单调性，进而可得最小值，根据两个零点得，通过代入可将问题转为证明，进而证明得证. 【小问1详解】 ，则切线的斜率为，所以. 从而，所以处的切线方程为 ，即. 【小问2详解】 时，由得， 整理得. 令，则， 由于为上的单调递增函数，且， 故当时，，则；当时，，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，故的取值范围为. 【小问3详解】 ， 令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 当时，，当时，，所以有两个零点. 不妨设为，，且， 由，可得， 所以要证，即证， 即证. 而，则， 所以要证，即证， 即证， 而 ， 由于，故，则， 故 ， 所以，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $