精品解析：吉林四平市实验中学2025-2026学年下学期第一次月考试题高一数学

吉林四平市实验中学2025-2026学年下学期第一次月考试题高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章，第九章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列调查中，适合用普查的是（ ） A. 调查全国居民的食品消费结构 B. 调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标 C. 调查某款新能源汽车电池的使用寿命 D. 检查某载人飞船零部件的质量情况 【答案】D 【解析】 【详解】A选项，全国居民数量庞大，全面调查难度大､成本高，适合抽样调查，A错误； B选项，调查一批袋装牛奶的细菌数具有破坏性，适合抽样调查，B错误； C选项，调查电池使用寿命会对电池造成损坏，适合抽样调查，C错误； D选项，载人飞船零部件的质量关乎飞行安全，必须确保每个零部件都合格，适合用普查，D正确. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法和减法运算规则可得答案. 【详解】. 3. 已知是平面内的一个基底，则可以与向量构成平面另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断所给向量与已知向量是否共线可得结论. 【详解】易得向量与向量平行，不能构成空间的一个基底， 由题意及向量加法的平行四边形法则与向量减法法则可知与不共线， 所以与可构成平面的一个基底． 故选：C. 4. 某地区教育部门为了解该地区中小学生的近视情况，采用分层随机抽样的方法，抽取一定数量的中小学生进行调查.若得到的样本中初中的学生人数比小学少80人，比高中多40人，该地区小学､高中的学生人数之比为，则样本容量为（ ） A. 460 B. 690 C. 880 D. 980 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样比例和相差人数，解方程即可. 【详解】设样本中小学学生人数为，则高中学生人数为，所以， 解得，即高中学生数为，初中学生人数为， 小学学生人数为，样本容量为. 5. 已知，是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 分析】根据正弦定理可证充要性． 【详解】在中，若，由正弦定理得，所以； 若，则，由正弦定理得， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 6. 已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算可求出的值，再利用投影向量的定义可求得在上的投影向量的坐标. 【详解】因为，则，且，， 则，可得， 所以，在上的投影向量为. 故选：B. 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意表示出，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可. 【详解】设，由题意得，而， 得到，在中，，， 由余弦定理得，解得，故B正确. 故选：B. 8. 已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】以菱形的对角线为坐标轴，对角线的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及基本不等式求解即可. 【详解】解：由，可建立如图所示平面直角坐标系， 设，， 则， 所以， 则 ， 故， 所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量既有大小又有方向判断选项A；由相等向量的定义判断选项B；分析当为零向量时的情况判断选项C；根据相等向量的传递性判断选项D. 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若是零向量，零向量平行于任意向量，此时即使满足、，但和也可以不平行，C错误； 由得、与同向；由得、与同向，因此、与同向，即，D正确. 10. 记的内角的对边分别为，已知，若有且只有一个，则的值可以是（ ） A 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】在中，已知角和边，利用正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形内角和定理与正弦函数的值域，逐一分析不同值对应的角的解的个数，从而判断三角形解的情况. 【详解】对于A：由正弦定理，得，所以，当时，， 又，所以，或，当时，，不合题意， 此时有且只有一个，A正确； 对于B：当时，，又，所以，或， 当时，，不合题意，此时有且只有一个，B正确； 对于C：当时，，又，所以，或， 此时有两个，C错误； 对于D：当，，此时不存在，D错误. 11. 已知是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，，则（ ） A. 的面积恒为 B. 存在，使得 C. D. 的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量共线，即可求解A，根据对称性可求解BC，根据数量积的定义求解D. 【详解】由，可得，即， 所以在正六边形的对角线上运动，所以， 所以的面积为定值，且，A正确； 因为正六边形关于直线对称，所以不论在何处，总有，B错误； 根据图形的对称性，当为的中点时，取到最大值， 当与或重合时，取到最小值，故的取值范围是，C正确； ，的取值范围是，D错误． 故选:AC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定信息，利用向量减法的坐标运算求解. 【详解】相对于的位移为. 故答案为： 13. 已知为的外心，为所在平面内一点，且，则点为的__________心.（填“重”“垂”“内”或“外”） 【答案】垂 【解析】 【分析】先将转化为，通过计算，证得，同理证得、，从而判定为的垂心. 【详解】因为， 所以， 因为为的外心，所以， 所以，同理， 则点为的垂心. 14. 在中，角的对边分别为，若，则面积的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据余弦定理和基本不等式求出的最大值，然后根据面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 即，当且仅当时，等号成立， 故. 因此，面积的最大值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】依据平面向量平行和垂直的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 由题知，，． 若，则， 解得，故实数的值为． 【小问2详解】 若，则， 整理得，解得或． 16. 已知，为单位向量，向量，. （1）若，求； （2）若，求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，解出，再对平方即可求得结果. （2）利用题干中的条件即可求出、以及，再利用两个向量的夹角公式即可求得结果. 【小问1详解】 因为，所以，解得， 所以 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 又，所以， 又，所以， 设与的夹角为，则， 因为，所以，即与的夹角为. 17. 已知的内角的对边分别为，且的周长为． （1）求； （2）若，，是的平分线，且交于点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理，求得，即可求解. （2）由余弦定理，得出方程，求得，再由是的平分线，得到，利用，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：因为的周长为，可得， 由正弦定理，可得，即， 整理得， 又由余弦定理，可得． 因为，所以． 【小问2详解】 解：在中，因为，， 由余弦定理得，即， 解得或（舍去）， 又因为是的平分线，可得， 由， 得， 解得． 18. 如图，在等腰梯形中，为线段中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）设，，从而可得，联立方程组，求得，即可得解； （3）设，代入中，可得，从而得，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以. 【小问2详解】 设，① 设，可得， 即，② 由①②得，，解得 所以， 所以. 【小问3详解】 由题意，可设， 代入中，可得. 又， 故，可得， 因为，且函数在上单调递减， 所以， ， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以取值范围为. 19. 已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）求的取值范围； （3）若，求边上的中线的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简，再结合三角函数的性质即可得解； （3）易得，两边同时平方将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 ， 因为是锐角三角形，且， 所以，所以， 所以， 所以取值范围为； 【小问3详解】 由余弦定理得，，即， 由边上的中线为，得， 两边平方得， 由正弦定理可知，， 所以， 所以 ， 由（2）知， 所以， 即，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林四平市实验中学2025-2026学年下学期第一次月考试题高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章，第九章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列调查中，适合用普查的是（ ） A. 调查全国居民的食品消费结构 B. 调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标 C. 调查某款新能源汽车电池的使用寿命 D. 检查某载人飞船零部件的质量情况 2 （ ） A. B. C. D. 3. 已知是平面内的一个基底，则可以与向量构成平面另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 某地区教育部门为了解该地区中小学生的近视情况，采用分层随机抽样的方法，抽取一定数量的中小学生进行调查.若得到的样本中初中的学生人数比小学少80人，比高中多40人，该地区小学､高中的学生人数之比为，则样本容量为（ ） A. 460 B. 690 C. 880 D. 980 5. 已知，是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 8. 已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 记的内角的对边分别为，已知，若有且只有一个，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 已知是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，，则（ ） A. 的面积恒为 B. 存在，使得 C. D. 取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从同一发射源射出两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 13. 已知为的外心，为所在平面内一点，且，则点为的__________心.（填“重”“垂”“内”或“外”） 14. 在中，角的对边分别为，若，则面积的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的值． 16. 已知，为单位向量，向量，. （1）若，求； （2）若，求与的夹角. 17. 已知的内角的对边分别为，且的周长为． （1）求； （2）若，，是的平分线，且交于点，求． 18. 如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 19. 已知是锐角三角形，内角对边分别为，且. （1）求； （2）求的取值范围； （3）若，求边上的中线的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $