16.4.2 反比例函数的图象和性质（第1课时） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

16.4.2 反比例函数的图象和性质（第1课时） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 学习目标： 1、判断(画)反比例函数图象 2、已知反比例函数的图象，判断（求）其解析式 3、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 4、已知双曲线分布的象限，求参数范围 5、判断反比例函数的增减性 6、判断反比例函数图象所在象限 7、已知反比例函数的增减性求参数 8、比较反比例函数值或自变量的大小 9、已知比例系数求特殊图形的面积 10、根据图形面积求比例系数(解析式) 【A基础达标】 一、单选题 1．反比例函数的图像大致是（　　） A．B．C． D． 2．下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 3．如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 6．已知点，，均在反比例函数 的图象上，则 ，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知反比例函数，当时，的取值范围是______． 8．函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 三、解答题 9．如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点的对称点为C； (1)求的函数解析式； (2)若的面积为8，求m的值． 10．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【B能力提升】 1．嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具，很感兴趣，于是设计了一个模拟实验：如图，以点O为支点，在一根竖立的支架上加上一根横杆，在横杆的点B处悬挂重物D，在横杆的点A处施加竖直向下的拉力F（N）．发现若改变点A到点O的距离l（m），再对应改变施加的竖直向下的拉力F（N）的大小，就能够使得横杆处于水平状态．实验数据记录如下： 点A到点O的距离l/m … 1 1.5 2 2.5 3 … 竖直向下的拉力F/N … 300 200 150 120 100 … (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的大致图象； (2)借助（1）中图象直观判断F（N）关于l（m）的函数类型，并求出函数表达式；（不写自变量的取值范围） (3)当横杆处于水平状态，施加的拉力从150N增加到600N时，求点A移动的距离． 2．如图，平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在反比例函数的图像上，与反比例函数图像交于另一点． (1)为了求反比例函数解析式，需要先求出点坐标，下面是部分求解过程，请你继续完成过程，并求出反比例函数解析式． 由旋转性质可知，， 由得， 过点作于， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， …… (2)通过计算判断点是否为线段的中点． 3．反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 4．【项目主题】用“数”法搬家． 【项目背景】小明最近在搬家的过程中，发现途中需要经过一个弯道，弯道的宽度有限，为保证大件家具都能顺利搬入，他展开了以下研究： 【任务一：实地勘测】 如图所示，小明将一根长为米的细木棍抵在墙上，通过测量，发现当木棍的中点 紧贴于内侧墙时，木棍恰好不能通过弯道（木棍厚度忽略不计）．此时，．小明将内侧墙形状近似看成以外侧墙为平面直角坐标系的反比例函数图象．请求出该反比例函数的解析式． 【任务二：实物测试】 如题图所示，小明将长方形箱子如此放置，箱子恰好不能过弯道，其原理与木棍通过弯道类似，已知直线与外墙分别交于点，．假设长方形箱子的长为米，宽为米，则和需要满足怎样的关系时，箱子能顺利通过？ 5．如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【C综合与实践】 1．【问题情境】我们在学习分式的时候，课本上有这样的一个习题：在一杯糖水中再加入糖之后，生活经验告诉我们：这杯糖水的含糖量会比原来要高．用2千克的水配制糖水溶液，如果往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越_____（填“大”或“小”）、设加入的糖为千克，糖水溶液的浓度为，则有，下面研究函数的图象与性质． 【性质探究】参照学习函数的过程，因为，即，所以我们对比函数来探究．列表： … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … 0 1 2 … 1 2 3 4 … … … （备注：下表中的取值比上表中的取值对应的小2．） 描点：如图所示． （1）请把直线左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，函数的图象是由的图象向_____平移2个单位而得到，再向_____平移1个单位而得到； （3）观察图象发现，当时，随的增大而增大，这也验证了【问题情境】中的“生活经验”．设，是函数的图象上的两点，请你用代数的方法证明：对任意的，，当时，总有成立． 2．通过列表、描点、连线的方法可以画出函数的图象．对于函数，可列表如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 0 2 2 … (1)表中_____，_____；请在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的大致图象； (2)观察函数图象，请写一条该函数的性质：_____； (3)结合函数图象，请直接写出不等式的解集：_____． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.4.2 反比例函数的图象和性质（第1课时） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 学习目标： 1、判断(画)反比例函数图象 2、已知反比例函数的图象，判断（求）其解析式 3、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 4、已知双曲线分布的象限，求参数范围 5、判断反比例函数的增减性 6、判断反比例函数图象所在象限 7、已知反比例函数的增减性求参数 8、比较反比例函数值或自变量的大小 9、已知比例系数求特殊图形的面积 10、根据图形面积求比例系数(解析式) 【A基础达标】 一、单选题 1．反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键； 根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】解：由知，， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． 2．下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数中， ∴该函数图象经过第一、三象限，而非第二、四象限，故A选项错误； 反比例函数在每一个象限内随的增大而减小，不连续，并非随的增大而减小．故B选项错误； 在反比例函数中，，且， ∴函数图象与轴、轴均无交点，故C选项错误； 当时，， ∴点在该函数图象上，故D选项正确． 故选：D． 3．如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义求解即可，要注意图象所在的象限． 【详解】解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， ∴． 4．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 5．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的取值范围，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴比例系数， 解不等式得． 6．已知点，，均在反比例函数 的图象上，则 ，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象和性质即可判断，，的大小关系． 【详解】解：∵，故函数的图象在二、四象限， 且在象限内，函数值随的增大而增大， ∵点在第二象限，、在第四象限，且点横坐标小于点横坐标， ∴． 二、填空题 7．已知反比例函数，当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，先确定函数图象所在象限，再结合自变量的范围求解的取值范围． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 当时，代入得， 又，对应的点在第二象限，， 的取值范围是． 8．函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】对于反比例函数（，为常数），当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得：． 三、解答题 9．如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点的对称点为C； (1)求的函数解析式； (2)若的面积为8，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，中心对称，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，点B的坐标为，得出，根据的面积为8，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴， ∴的函数解析式为； （2）解：∵点A关于原点的对称点为C， ∴点C的坐标为， ∵过点A作轴交函数的图象于点B， ∴点B的坐标为， ∴， ∵的面积为8， ∴， 解得：． 10．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 【B能力提升】 1．嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具，很感兴趣，于是设计了一个模拟实验：如图，以点O为支点，在一根竖立的支架上加上一根横杆，在横杆的点B处悬挂重物D，在横杆的点A处施加竖直向下的拉力F（N）．发现若改变点A到点O的距离l（m），再对应改变施加的竖直向下的拉力F（N）的大小，就能够使得横杆处于水平状态．实验数据记录如下： 点A到点O的距离l/m … 1 1.5 2 2.5 3 … 竖直向下的拉力F/N … 300 200 150 120 100 … (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的大致图象； (2)借助（1）中图象直观判断F（N）关于l（m）的函数类型，并求出函数表达式；（不写自变量的取值范围） (3)当横杆处于水平状态，施加的拉力从150N增加到600N时，求点A移动的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象； （2）根据反比例函数的性质即可得到答案； （3）先将拉力和分别代入反比例函数表达式，求出对应的值，再计算两个值的差，即可得到点移动的距离． 【详解】（1）解：根据表格，可得函数图象如图所示： ； （2）解：根据图象可得是的反比例函数， 设反比例函数解析式为， 把代入可得， 所以解析式为， （3）当时，代入得 ， 解得． 当时，代入， ， 解得． ∴移动距离为． 2．如图，平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在反比例函数的图像上，与反比例函数图像交于另一点． (1)为了求反比例函数解析式，需要先求出点坐标，下面是部分求解过程，请你继续完成过程，并求出反比例函数解析式． 由旋转性质可知，， 由得， 过点作于， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， …… (2)通过计算判断点是否为线段的中点． 【答案】(1) (2)点是线段的中点． 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，即，易得，再运用待定系数法求解即可； （2）先运用待定系数法求得直线的解析式为，再与反比例函数联立求得点D的坐标，再根据中点坐标公式求得线段的中点坐标，然后对比即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴， ∵点落在反比例函数的图像上， ∴，解得：， ∴； （2）解：点是线段的中点． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴设直线的解析式为， 联立，解得：（与C重合舍弃）或， ∴， ∵， ∴线段的中点为，即， ∴点是线段的中点． 3．反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握“过反比例函数图像上的任意一点分别向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于”． （1）由反比例函数系数的几何意义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形，得出、两点关于原点对称，再根据反比例函数中系数的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得，， ， ， 故答案为：，； （2）“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形， 、两点关于原点对称， 反比例函数的解析式为：， ， ， 故答案为：． 4．【项目主题】用“数”法搬家． 【项目背景】小明最近在搬家的过程中，发现途中需要经过一个弯道，弯道的宽度有限，为保证大件家具都能顺利搬入，他展开了以下研究： 【任务一：实地勘测】 如图所示，小明将一根长为米的细木棍抵在墙上，通过测量，发现当木棍的中点 紧贴于内侧墙时，木棍恰好不能通过弯道（木棍厚度忽略不计）．此时，．小明将内侧墙形状近似看成以外侧墙为平面直角坐标系的反比例函数图象．请求出该反比例函数的解析式． 【任务二：实物测试】 如题图所示，小明将长方形箱子如此放置，箱子恰好不能过弯道，其原理与木棍通过弯道类似，已知直线与外墙分别交于点，．假设长方形箱子的长为米，宽为米，则和需要满足怎样的关系时，箱子能顺利通过？ 【答案】任务一：； 任务二： 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式的求法、等腰直角三角形的判定与性质． 过点作于点， 于点，可知为等腰直角三角形，设，根据勾股定理可得，解得，同理可得：，则点的坐标为，设该反比例函数的解析式为，把点的坐标代入求出的值即可； 由任务一知：当直线与外墙的夹角为且米时，箱子能顺利通过，因为，所以是等腰直角三角形，所以可得，同理可得，因为，所以可得． 【详解】任务一、解： 如图所示， 过点作于点， 于点， ，， 为等腰直角三角形， 设， 米，点为的中点， 米， 在中，， 即， 解得：，(舍去)， ， 同理可得：，    点， 设该反比例函数的解析式为， 将点代入，得：， 该反比例函数的解析式为；        任务二、解： 由任务一知：当直线与外墙的夹角为且米时，箱子能顺利通过， 在长方形中，，， ， 为等腰直角三角形， ， 同理可得:， ， 即．     5．如图，宽为的刻度尺的一边与轴重合，另一边经过反比例函数的图象上的一点，与轴交于点,，两点分别对应刻度尺上的读数为和．（其中刻度尺上的对应数轴上的个单位长度） (1)求该反比例函数的表达式． (2)为该反比例函数图象上异于点的一点． 若点的坐标为，求的值． 连接，过点作轴于点，则阴影部分面积，的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】(1) (2)      【分析】本题考查了求反比例函数的解析式以及系数的几何意义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由题意知：，将点坐标代入反比例函数解析式求出，即可解答； （2）将点的横坐标代入反比例函数解析式即可求出的值； 根据反比例系数的几何意义得，，再根据图形得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：， 将点代入，得：， 解得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得：； 点、在反比例函数上， 根据反比例系数的几何意义得：，，即， 设与交点为，如图所示： ，， ， 故答案为：． 【C综合与实践】 1．【问题情境】我们在学习分式的时候，课本上有这样的一个习题：在一杯糖水中再加入糖之后，生活经验告诉我们：这杯糖水的含糖量会比原来要高．用2千克的水配制糖水溶液，如果往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越_____（填“大”或“小”）、设加入的糖为千克，糖水溶液的浓度为，则有，下面研究函数的图象与性质． 【性质探究】参照学习函数的过程，因为，即，所以我们对比函数来探究．列表： … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … 0 1 2 … 1 2 3 4 … … … （备注：下表中的取值比上表中的取值对应的小2．） 描点：如图所示． （1）请把直线左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，函数的图象是由的图象向_____平移2个单位而得到，再向_____平移1个单位而得到； （3）观察图象发现，当时，随的增大而增大，这也验证了【问题情境】中的“生活经验”．设，是函数的图象上的两点，请你用代数的方法证明：对任意的，，当时，总有成立． 【答案】问题情境：大；（1）见解析；（2）左，上；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了画反比例函数图象，反比例函数图象的平移问题，分式的减法计算，正确理解题意是解题的关键． 问题情境：根据生活常识即可得到答案； （1）根据表格中的数据，描点，连线画出函数图象即可； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）利用作差法可得，据此可证明结论． 【详解】解：问题情境：往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越大， 故答案为：大； （1）如图所示，即为所求： （2）由题意得，函数的图象是由的图象向左平移2个单位而得到，再向上平移1个单位而得到； 故答案为：左，上； （3） ， ， ，，， ， ， ． 2．通过列表、描点、连线的方法可以画出函数的图象．对于函数，可列表如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 0 2 2 … (1)表中_____，_____；请在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的大致图象； (2)观察函数图象，请写一条该函数的性质：_____； (3)结合函数图象，请直接写出不等式的解集：_____． 【答案】(1)；；图象见解析 (2)函数图象是中心对称图形 (3)或 【分析】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键． （1）分别将和代入，求出的值，再描点连线可得函数的图象； （2）根据函数图象可得函数性质； （3）画出的图象，结合函数图象可得不等式的解集． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 依据表格中的数据，描点，连线，如图： 故答案为：；； （2）解：观察函数图象得：该函数的一条性质：函数图象是中心对称图形， 故答案为：函数图象是中心对称图形； （3）解：画出函数的图象，知两函数图象交点横坐标为和2， 所以，不等式的解集为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $