专题01 实数及其运算（复习讲义）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 实数及其运算 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 实数及其运算（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：实数的混合运算 题型二：数轴 题型二：科学记数法 题型三：实数运算 必备知识 知识1 实数的混合运算 命题预测 命题 透视 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题” 特点，以文字、图表、表格为载体，突出对运算能力、建模能力、逻辑推理的考查，渗透数学文化与应用意识。 命题内容： 1） 数轴：侧重运算工具性，常与数轴结合，比较大小、确定原点位置等考法。 2） 科学记数法：注意题目单位换算 3） 实数运算：熟悉负指数幂运算，特殊三角函数值，绝对值运算。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 数轴 T2：点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示数 T3：实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算 T4：不等式的性质 T4：数轴上点的特征 T5：实数的于运算 科学记数法 T6：科学记数法表示较大的数 T6：科学记数法表示较大的数 T1：科学记数法表示较大的数 T2：科学记数法表示较大的数 T2：科学记数法表示较大的数 实数混合运算 T17：含特殊角的三角函数值的混合运算，化简绝对值、二次根式，计算负指数幂 T17：实数的运算，特殊角的三角函数值 T17：含特殊角的三角函数值的混合运算，化简绝对值、二次根式，计算负指数幂 T17：0次幂、特殊角的正弦值，化简二次根式、绝对值运算 T17：0次幂、特殊角的正弦值，化简二次根式、绝对值运算 命题预测 1. 考情预测 · 数轴： · 基础题：侧重运算准确性，不等式的性质、绝对值化简、数轴上点的位置为必考点。 · 中档题：绝对值的意义为基本掌握要点，利用数轴表示数。 · 工具性：数轴为核心工具。 · 科学记数法： · 核心考点：科学记数法表示较大的数。 · 综合趋势：每年中考的必考题。 · 情境创新：以 “传统文化、科技发展、社会热点” 为背景，考查数学应用。 · 实数混合运算： · 核心考点：特殊角度的三角函数值、化简绝对值、化简二次根式、零次幂、负指数幂。 2. 备考建议 · 夯实基础：熟练掌握实数的运算法则，熟练背诵特殊角度的三角函数值，确保基础题不失分。 考点一 实数及其运算 题型一 实数的混合运算 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 1．（2025·北京·中考真题）计算：计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 2．（2024·北京·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型二 数轴 1）数轴上的数右边总是比左边的大. 2）选项中出现绝对值的话需要求绝对值，绝对值表示的是到原点的距离.正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数. 3）两个数作差，大减小大于0，小减大小于0；两个数相加，正数的绝对值大则大于0，正数的绝对值小则小于0. 1．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 2．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意； B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意； C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意； D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（2025·北京海淀·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的除法，有理数的减法等．先根据点在数轴上的位置得出，，再结合有理数的除法，有理数的减法，绝对值的性质逐项分析即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，， 故，B选项结论错误，不符合题意； 故，A选项结论错误，不符合题意； 故，C选项结论错误，不符合题意； 则， 故，D选项结论正确，符合题意； 故选：D． 题型三 用科学记数法比较较大/较小的数 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 1．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可． 【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即： ． 故选：C 2．（（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】， 故选D． 3．（2025·北京密云·一模）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000015米，将数据0.000000015用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a和n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：C． 知识1 实数的混合运算 1.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 2.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1．(2025·吉林省长春市德惠市·一模)实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 2．(2025·山东省菏泽市曹县·一模)实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，根据数轴上的点确定式子的符号，不等式的性质，理解并掌握数轴的特点是解题的关键．根据数轴上点的特点得到，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ， 故B不符合题意； ， 故C符合题意； ， ， 故D不符合题意； 故选：C． 3．(2025·北京中考·模拟预测)有理数，对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴可得，，据此即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴，， 选项A、B、C错误，选项D正确， 故选：D． 4．(2025·陕西省西安市·四模)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，观察数轴判断a，b的大小和绝对值的大小关系，然后根据有理数的乘法法则、加法法则、不等式的基本性质和绝对值的性质对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，，， ∴， ∴，，，， ∴A，B，C选项均错误，D选项正确， 故选：D． 5．(2026·北京八一教育集团·零模)近年来我国芯片领域自主创新成果丰硕，高端制程芯片技术不断突破，某款国产高端算力芯片在性能提升的同时，单颗芯片集成的晶体管数量更是达到520亿个，彰显了国内芯片制造的硬实力．在实际的智算中心部署时，一台标准的人工智能算力服务器通常搭载8颗该款芯片，而一个标准的液冷算力机柜内部署了5台这样的人工智能算力服务器．请问这一个算力机柜内的该款芯片，总共包含的晶体管数量用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：单颗芯片的晶体管数量为520亿个，也就是个， 一台服务器搭载8颗芯片，晶体管数量为：个， 一个机柜部署5台服务器，晶体管总数量为：个． ∴总共包含的晶体管数量用科学记数法表示为． 6．(2026·北京十一学校·零模)钾—氩测年法（r法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素的丰度为0.00012．数据0.00012用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）． 【详解】解：． 故选D． 7．(25-26·河南周口许昌三校·模拟)年4月7日，记者从中国石化新闻办获悉，中国石化“深地工程·川渝天然气基地”又获重大突破．中国石化表示该公司部署在四川省达州市的页岩气专探井雷页1井，试获日产气立方米页岩气流，该井埋深超米．数据用科学记数法表示为，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，关键是掌握科学记数法中与的确定规则：需满足，为整数，当原数绝对值时，等于原数的整数位数减1，也等于将原数化为时小数点向左移动的位数． 【详解】解：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 将转变为，小数点向左移动了5位，因此． 故选：C． 8．(2025·福建省泉州市·一模)石墨烯是由石墨烯纤维纺织而成的，是目前已知世界上最薄、最坚硬，同时也是导热性和导电性最好的纳米材料．其厚度约为厘米．将数据用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握其一般形式是解题的关键．用科学记数法可以表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其使用的是负指数幂，指数由原数左边第一个不为零的数字前面的的个数决定，据此即可获得答案． 【详解】解：数据可以用科学记数法表示为， 故选：C． 9．(2025·湖南省长沙市·二模)截至2024年年底，我国以风电、太阳能发电为主的新能源发电装机规模达到14.5亿千瓦，首次超过火电装机规模．用科学记数法将数据1450000000表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年湖南省长沙市初中学业水平考试数学试卷（二） 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中， n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：用科学记数法将数据1450000000表示为 故选：B． 10．(25-26九下·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中)计算：． 【答案】 【来源】北京市海淀区北京交通大学附属中学2025-2026学年九年级下学期中考零模数学试题 【详解】解：． 11．(2025·北京中考·模拟预测)计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值分别计算后，利用实数的混合运算法则求解即可得到答案． 本题考查实数混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，掌握实数运算的运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：原式 ． 12．(2025·四川中考·模拟预测)计算：. 【答案】6 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】解： ． 13．(2025·北京石景山区·一模)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的性质，二次根式的加减，绝对值．先化简负整数指数幂，特殊角的三角函数，绝对值，以及运用二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 14．(2025·北京东城区·一模)计算：． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂公式，零指数幂公式，二次根式的加减运算，含特殊角的三角函数混合运算等知识，运用相关公式和运算法则计算即可． 【详解】解： 15．(2025·北京房山区·二模)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算；特殊角的三角函数值．首先代入特殊角的三角函数值，应用幂的运算性质完成零指数幂、负整数指数幂的运算，二次根式化为最简二次根式，然后进行合并即可． 【详解】解： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数及其运算 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 实数及其运算（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：实数的混合运算 题型二：数轴 题型二：科学记数法 题型三：实数运算 必备知识 知识1 实数的混合运算 命题预测 命题 透视 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题” 特点，以文字、图表、表格为载体，突出对运算能力、建模能力、逻辑推理的考查，渗透数学文化与应用意识。 命题内容： 1） 数轴：侧重运算工具性，常与数轴结合，比较大小、确定原点位置等考法。 2） 科学记数法：注意题目单位换算 3） 实数运算：熟悉负指数幂运算，特殊三角函数值，绝对值运算。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 数轴 T2：点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示数 T3：实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算 T4：不等式的性质 T4：数轴上点的特征 T5：实数的于运算 科学记数法 T6：科学记数法表示较大的数 T6：科学记数法表示较大的数 T1：科学记数法表示较大的数 T2：科学记数法表示较大的数 T2：科学记数法表示较大的数 实数混合运算 T17：含特殊角的三角函数值的混合运算，化简绝对值、二次根式，计算负指数幂 T17：实数的运算，特殊角的三角函数值 T17：含特殊角的三角函数值的混合运算，化简绝对值、二次根式，计算负指数幂 T17：0次幂、特殊角的正弦值，化简二次根式、绝对值运算 T17：0次幂、特殊角的正弦值，化简二次根式、绝对值运算 命题预测 1. 考情预测 · 数轴： · 基础题：侧重运算准确性，不等式的性质、绝对值化简、数轴上点的位置为必考点。 · 中档题：绝对值的意义为基本掌握要点，利用数轴表示数。 · 工具性：数轴为核心工具。 · 科学记数法： · 核心考点：科学记数法表示较大的数。 · 综合趋势：每年中考的必考题。 · 情境创新：以 “传统文化、科技发展、社会热点” 为背景，考查数学应用。 · 实数混合运算： · 核心考点：特殊角度的三角函数值、化简绝对值、化简二次根式、零次幂、负指数幂。 2. 备考建议 · 夯实基础：熟练掌握实数的运算法则，熟练背诵特殊角度的三角函数值，确保基础题不失分。 考点一 实数及其运算 题型一 实数的混合运算 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 1．（2025·北京·中考真题）计算：计算：． 2．（2024·北京·中考真题）计算：． 题型二 数轴 1）数轴上的数右边总是比左边的大. 2）选项中出现绝对值的话需要求绝对值，绝对值表示的是到原点的距离.正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数. 3）两个数作差，大减小大于0，小减大小于0；两个数相加，正数的绝对值大则大于0，正数的绝对值小则小于0. 1．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京海淀·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 用科学记数法比较较大/较小的数 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 1．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 2．（（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京密云·一模）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000015米，将数据0.000000015用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 知识1 实数的混合运算 1.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 2.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1．(2025·吉林省长春市德惠市·一模)实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(2025·山东省菏泽市曹县·一模)实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(2025·北京中考·模拟预测)有理数，对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(2025·陕西省西安市·四模)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(2026·北京八一教育集团·零模)近年来我国芯片领域自主创新成果丰硕，高端制程芯片技术不断突破，某款国产高端算力芯片在性能提升的同时，单颗芯片集成的晶体管数量更是达到520亿个，彰显了国内芯片制造的硬实力．在实际的智算中心部署时，一台标准的人工智能算力服务器通常搭载8颗该款芯片，而一个标准的液冷算力机柜内部署了5台这样的人工智能算力服务器．请问这一个算力机柜内的该款芯片，总共包含的晶体管数量用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．(2026·北京十一学校·零模)钾—氩测年法（r法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素的丰度为0.00012．数据0.00012用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 7．(25-26·河南周口许昌三校·模拟)年4月7日，记者从中国石化新闻办获悉，中国石化“深地工程·川渝天然气基地”又获重大突破．中国石化表示该公司部署在四川省达州市的页岩气专探井雷页1井，试获日产气立方米页岩气流，该井埋深超米．数据用科学记数法表示为，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．(2025·福建省泉州市·一模)石墨烯是由石墨烯纤维纺织而成的，是目前已知世界上最薄、最坚硬，同时也是导热性和导电性最好的纳米材料．其厚度约为厘米．将数据用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 9．(2025·湖南省长沙市·二模)截至2024年年底，我国以风电、太阳能发电为主的新能源发电装机规模达到14.5亿千瓦，首次超过火电装机规模．用科学记数法将数据1450000000表示为（   ） A． B． C． D． 10．(25-26九下·北京海淀区北京交通大学附属中学·期中)计算：． 11．(2025·北京中考·模拟预测)计算：． 12．(2025·四川中考·模拟预测)计算：. 13．(2025·北京石景山区·一模)计算：． 14．(2025·北京东城区·一模)计算：． 15．(2025·北京房山区·二模)计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $