高二数学下学期期中模拟卷（苏教版选择性必修第二册第六章～第八章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A B C D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．15 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）所有项的系数之和是512. 令，得，， 展开式的通项：，， 令，，3，6，9， 展开式中有理项共有4项.（6分） （2）设第项系数的绝对值最大. 则，解得. ，， 展开式中系数绝对值最大的项为第3项.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意可知，当天需求量时，当天的利润， 当天需求量时，当天的利润. 故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为：，. 由题意可得： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 日利润 54 57 60 60 60 60 频数 3 4 6 6 7 4 则当天的利润不少于60元的概率；（7分） （2）由（1）可得甲的方案的30天的日利润的平均数为（元）， 同理可得乙的利润关于当天需求量n的函数解析式为. 由题意可得： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 日利润 53 56 59 62 62 62 频数 3 4 6 6 7 4 可得乙的方案的30天的日利润的平均数. 所以乙的方案收益更好..（15分） 17．（15分） 【解析】 （Ⅰ）连结交于，连结， ∵，，∴，. 又，， ∴，因此，四边形为平行四边形，即 ∵面，面，∴平面（6分） （Ⅱ）建立空间直角坐标系，如图，过作，连结 ∵面，面，∴ ∵，，∴面 ∵面，∴面面， ∵面，，面面，面， 即为直线与平面所成角，记为，，∴， 在中，，∴， ，，，， 设平面的法向量， ，取， 平面的法向量， 因此，二面角的余弦值（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为，所以. 函数在处即过点的切线方程：， 故所求的切线方程为：.（4分） （2）（i）设， 则， ， 当时，，在为增函数. 当时，，在为增函数与在为减函数矛盾； 当时，时，在增函数， 时，，在减函数， ， 因为在为减函数，所以成立. 记，则， 因为时，，时，，所以， 又，所以. （10分） （i i）由（i）成立的条件，即，则. 因为，（不妨设）. 所以 又在为减函数，而， 所以只有和两种情况. 当时，，所以， 当时，所以. ，记 ， 所以在为递增函数， 又，在为递减函数， 所以 又时，，， 因为，所以.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）的所有置换为 ，，，，，． 显然，6个置换的汉明距离Y分别为0，2，2，3，3，2， 所以Y的所有可能取值为0，2，3， ，，， 则Y的分布列为 Y 0 2 3 P 所以Y的期望．（6分） （2）（ⅰ）第一步：由题意分析所求事件包含的情形 由题意知，（或）． 第二步：分别求出，， 由分析知，，，且，， ． 第三步：代入数据求得结果 所以．（11分） （ⅱ）第一步：求出 显然的所有可能取值为0，1，且，， 则的分布列为 0 1 P 所以， 又，所以． 第二步：求出 的所有可能取值为0，1，且，， 的分布列为 0 1 P 所以，则． 第三步：求出 ，，且，的所有可能取值为0，1，由（ⅰ）得， 则， 则的分布列为 0 1 P 所以． 第四步：求出结果 因为，（提示：是由两个因式相乘，其结果是由其中个因式中任取1个数与另1个因式中任取1个数相乘，取遍为止后相加得到的） 则， 故．（17分） 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 提升卷·试题版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第六章~第八章。 第一部分（选择题 共58分） 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为，若，，，则这样的数列共有（    ） A．70个 B．71个 C．80个 D．81个 2．在平面 中， ，若 ，且 为平面的法向量，则等于（   ） A．2 B．0 C．1 D．无意义 3．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 4．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 5．在四棱锥中，平面，二面角的大小为，若点均在球的表面上，则球的表面积最小值为（   ） A． B． C． D． 6．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 7．如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，与相交 C．异面直线AC与BF所成的角为45° D．直线MN与平面BCE相交 8．已知、，且，则（   ） A． B． C． D．无法确定、的大小 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（   ） A． B． C． D． 10．已知且为偶数，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点（不包括端点），三棱锥的外接球为球，三棱锥的外接球为球，则（    ）    A．的取值范围为 B．存在点，使得 C．，，三点共线 D．球球面上点到平面距离最大值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数______． 13．在的展开式中，常数项为_________________. 14．如果是离散型随机变量，则在事件下的期望满足其中是所有可能取值的集合.已知某独立重复试验的成功概率为，进行次试验，求第次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的试验次数的数学期望是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的展开式中，所有项的系数之和是512. (1)求展开式中有理项有几项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项. 16．（15分） 某蛋糕店计划按日生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完，该蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 频数 3 4 6 6 7 4 (1)若该蛋糕店一天生产30个这种面包，以记录了30天的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求当天的利润不少于60元的概率； (2)该蛋糕店想提高该面包的销售利润，员工甲和乙分别提出两种方案.甲的方案：保持一天生产30个这种面包；乙的方案：加大产量一天生产31个这种面包.根据以上30天日需求量的日平均利润来决策哪一种方案收益更好. 17．（15分） 如图，三棱柱中，平面，，，，，是的中点，是的中点. （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 18．（17分） 已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)（i）若函数在为递减函数，求的值； （ii）在（i）成立的条件下，若且，求的最大值. 19．（17分） 已知（且），称为X的一个置换，其中，，，…，是1，2，3，…，n的一个全排列，如的所有置换为，．我们把一个置换中的个数称为这个置换的汉明距离，用Y表示，如，的汉明距离Y分别为0，2．定义某个置换中第i个数的汉明距离如置换中，，，且． (1)写出的所有置换，并求Y的期望． (2)当时， （ⅰ），，且，求事件“”的概率； （ⅱ）求汉明距离Y的方差． 参考公式：给定随机事件，，……，，若，则，． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第六章~第八章。 第一部分（选择题 共58分） 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为，若，，，则这样的数列共有（    ） A．70个 B．71个 C．80个 D．81个 【答案】B 【分析】先分类，再分步，根据加法原理以及乘法原理、组合数即可求解. 【详解】若，则这样的数列有个； 若，则这样的数列有个； 若，则这样的数列有个， 所以满足条件的数列共有个， 故选：B． 2．在平面 中， ，若 ，且 为平面的法向量，则等于（   ） A．2 B．0 C．1 D．无意义 【答案】C 【分析】根据向量垂直即可由坐标运算求解. 【详解】由于 ,为平面的法向量， 则，所以， 则 ，∴ ， 故选:C. 3．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据随机变量分布列的性质列式求出，计算，再根据期望，方差的性质计算求解. 【详解】由离散型随机变量的性质可得，解得， 则，， 所以，． 故选：A. 4．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 【答案】B 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】X服从二项分布，则， 最大即为满足， 解得， 又，故为整数时，结合题设要求，； 不为整数时N为小于，，故， 故选：B 【点睛】要解决本题，首先要根据已知条件，判断出满足二项分布，从而可利用二项分布的知识来求概率和期望.求解含有组合数的最值计算问题，可以考虑利用商比较法来进行. 5．在四棱锥中，平面，二面角的大小为，若点均在球的表面上，则球的表面积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设易得是四边形外接圆的直径，中点为外接球球心，令且，求得外接球半径关于的表达式，求其最小值，即可求表面积最小值． 【详解】由题设，，，，在一个圆上，故，又， 所以，即，故是四边形外接圆的直径， 由平面，，，平面，则，，， 由，，平面，则平面，平面，则， 由，，平面，则平面，平面，则， 故，，都是以为斜边的直角三角形，故中点为外接球球心， 且为二面角的平面角，故， 因为，， 令且，则，， 故， 所以外接球半径， 当时，，此时球的表面积的最小值为． 故选：C 6．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率. 【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”， 连续上两天班，上班、下班的次数共有4次. (1)4次均不下雨，概率为：； (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：； (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨； 概率为：； (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：； (5)4次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为：， 所以至少有一天淋雨的概率为：. 故选：D. 7．如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，与相交 C．异面直线AC与BF所成的角为45° D．直线MN与平面BCE相交 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标，然后A、C、D选项均可以用空间坐标处理；B选项找到与相交时的值，进而作出判断. 【详解】解：∵边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直 ∴以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∵ ∴过点作于点，连接， 则， ， 显然，与不一定相等，选项A错误. B选项：当时，即M为AC中点，N为BF中点时，如图所示， 此时与相交，故选项B正确； C选项：， ∴ ∴异面直线与所成的角为，C选项错误 D选项： 平面BCE的法向量为 ∴，∴ ∴始终与平面平行，∴选项D错误 故选：B 8．已知、，且，则（   ） A． B． C． D．无法确定、的大小 【答案】A 【分析】构造函数、，利用导数分析这两个函数的单调性，结合零点存在定理可得出、的大小关系. 【详解】令，则， 当时，，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在定理得， 令，则， 由上面的求解可知在上单调递增， 且存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故的零点，，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用排列组合计算符合要求的基本事件的个数和基本事件的总数，根据古典概型概率公式可得选项A错误，C正确；利用条件概率公式可得选项B正确；根据和事件的概率公式可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，，A错误. B.由题意得，， ∴，B正确. C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生， ∴， ∴，C正确. D.，D正确. 故选：BCD. 10．已知且为偶数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】借助赋值法，分别令、可得A、B；令，则可得，即可得正负，再令即可得C；由可得D. 【详解】对A：令，则有，故A正确； 对B：令，则有，故B错误； 对C：令，则， 则， 由为偶数，则当为偶数时，，当为奇数时，， 则，令，则， 则，故C错误； 对D：由， 则，故D正确. 故选：AD. 11．如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点（不包括端点），三棱锥的外接球为球，三棱锥的外接球为球，则（    ）    A．的取值范围为 B．存在点，使得 C．，，三点共线 D．球球面上点到平面距离最大值是 【答案】ACD 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得A、B，由墙角模型可得C，利用球面上点到平面的最大距离等于球心到平面的距离加上半径可得D. 【详解】在三棱锥中，平面，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ，由是线段上的动点，设 对于A，，，A正确； 对于B，则，， 由，则不存在点，使得，B不正确； 对于C，由题意易得三棱锥的外接球为球即为墙角模型的的外接球球心，其球心位于正方体的体对角线的中点，所以， 同理三棱锥的外接球为球， 由可得，，三点共线，故C正确； 对于D，球心在以为顶点为棱的正方体的中心，其半径为， 又，易得平面的法向量为，且 所以到平面距离为，所以球球面上点到平面距离最大值是，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数______． 【答案】 【分析】根据，，，是不共面的四点，则对平面内任一点都存在唯一的有序实数组，使，其中，即可求解. 【详解】解：因为，且，，，四点共面， 则，解得， 故答案为：. 13．在的展开式中，常数项为_________________. 【答案】15 【详解】试题分析：把所给的式子利用二项式定理展开化为（4x2﹣2x﹣5）•[1+5x﹣2+10x﹣4+10x﹣6+5x﹣8+x﹣10]，由此求得展开式的常数项. 详解： ∵=（4x2﹣2x﹣5）=（4x2﹣2x﹣5）•[1+5x﹣2+10x﹣4+10x﹣6+5x﹣8+x﹣10]， 故在常数项为4×5﹣5=15， 故答案为15. 点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等. 14．如果是离散型随机变量，则在事件下的期望满足其中是所有可能取值的集合.已知某独立重复试验的成功概率为，进行次试验，求第次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的试验次数的数学期望是__________. 【答案】/ 【分析】先求得再利用条件概率得到，求解. 【详解】设随机变量分别代表第一､第二次成功对应的试验次数， 则，以及， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解题意，利用独立重复试验的概率公式分别求得与，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的展开式中，所有项的系数之和是512. (1)求展开式中有理项有几项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项. 【答案】(1)有4项 (2)第3项 【分析】（1）先借助赋值法求得，从而求出二项式的通项公式，然后利用求解即可； （2）设第项的系数绝对值最大，列出相应不等式组，解出即可得. 【详解】（1）所有项的系数之和是512. 令，得，， 展开式的通项：，， 令，，3，6，9， 展开式中有理项共有4项. （2）设第项系数的绝对值最大. 则，解得. ，， 展开式中系数绝对值最大的项为第3项. 16．（15分） 某蛋糕店计划按日生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完，该蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 频数 3 4 6 6 7 4 (1)若该蛋糕店一天生产30个这种面包，以记录了30天的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求当天的利润不少于60元的概率； (2)该蛋糕店想提高该面包的销售利润，员工甲和乙分别提出两种方案.甲的方案：保持一天生产30个这种面包；乙的方案：加大产量一天生产31个这种面包.根据以上30天日需求量的日平均利润来决策哪一种方案收益更好. 【答案】(1) (2)乙方案 【分析】（1）求出利润关于当天需求量的解析式，进而求出30天的利润情况，用古典概型求解概率；（2）分别求出甲乙方案的日平均利润，得到答案. 【详解】（1）由题意可知，当天需求量时，当天的利润， 当天需求量时，当天的利润. 故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为：，. 由题意可得： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 日利润 54 57 60 60 60 60 频数 3 4 6 6 7 4 则当天的利润不少于60元的概率； （2）由（1）可得甲的方案的30天的日利润的平均数为（元）， 同理可得乙的利润关于当天需求量n的函数解析式为. 由题意可得： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 日利润 53 56 59 62 62 62 频数 3 4 6 6 7 4 可得乙的方案的30天的日利润的平均数. 所以乙的方案收益更好. 17．（15分） 如图，三棱柱中，平面，，，，，是的中点，是的中点. （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）连结交于，连结，,可证得四边形为平行四边形，即，即得解； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，可证得为直线与平面所成角，可得，分别求解平面，平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解. 【详解】 （Ⅰ）连结交于，连结， ∵，，∴，. 又，， ∴，因此，四边形为平行四边形，即 ∵面，面，∴平面 （Ⅱ）建立空间直角坐标系，如图，过作，连结 ∵面，面，∴ ∵，，∴面 ∵面，∴面面， ∵面，，面面，面， 即为直线与平面所成角，记为，，∴， 在中，，∴， ，，，， 设平面的法向量， ，取， 平面的法向量， 因此，二面角的余弦值 【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算，逻辑推理能力，属于中档题. 18．（17分） 已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)（i）若函数在为递减函数，求的值； （ii）在（i）成立的条件下，若且，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）根据题意求出斜率，求解计算即可； （2）（i）设，讨论单调性求解即可； （ii）根据条件得， 分和两种情况构造函数求解即可. 【详解】（1）因为，所以. 函数在处即过点的切线方程：， 故所求的切线方程为：. （2）（i）设， 则， ， 当时，，在为增函数. 当时，，在为增函数与在为减函数矛盾； 当时，时，在增函数， 时，，在减函数， ， 因为在为减函数，所以成立. 记，则， 因为时，，时，，所以， 又，所以. （i i）由（i）成立的条件，即，则. 因为，（不妨设）. 所以 又在为减函数，而， 所以只有和两种情况. 当时，，所以， 当时，所以. ，记 ， 所以在为递增函数， 又，在为递减函数， 所以 又时，，， 因为，所以. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、 微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 19．（17分） 已知（且），称为X的一个置换，其中，，，…，是1，2，3，…，n的一个全排列，如的所有置换为，．我们把一个置换中的个数称为这个置换的汉明距离，用Y表示，如，的汉明距离Y分别为0，2．定义某个置换中第i个数的汉明距离如置换中，，，且． (1)写出的所有置换，并求Y的期望． (2)当时， （ⅰ），，且，求事件“”的概率； （ⅱ）求汉明距离Y的方差． 参考公式：给定随机事件，，……，，若，则，． 【答案】(1)置换见解析，2 (2)（ⅰ）；（ⅱ）1 【分析】（1）利用置换的概念，写出的所有置换；先求出随机变量Y的所有可能取值，再利用古典概型的概率公式及期望公式求解． （2）（ⅰ）分别求出，及的概率，进而求出；（ⅱ）利用题中给出的公式，并结合（ⅰ）中的结果求解． 【详解】（1）的所有置换为 ，，，，，． 显然，6个置换的汉明距离Y分别为0，2，2，3，3，2， 所以Y的所有可能取值为0，2，3， ，，， 则Y的分布列为 Y 0 2 3 P 所以Y的期望． （2）（ⅰ）第一步：由题意分析所求事件包含的情形 由题意知，（或）． 第二步：分别求出，， 由分析知，，，且，， ． 第三步：代入数据求得结果 所以． （ⅱ）第一步：求出 显然的所有可能取值为0，1，且，， 则的分布列为 0 1 P 所以， 又，所以． 第二步：求出 的所有可能取值为0，1，且，， 的分布列为 0 1 P 所以，则． 第三步：求出 ，，且，的所有可能取值为0，1，由（ⅰ）得， 则， 则的分布列为 0 1 P 所以． 第四步：求出结果 因为，（提示：是由两个因式相乘，其结果是由其中个因式中任取1个数与另1个因式中任取1个数相乘，取遍为止后相加得到的） 则， 故． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $