精品解析：江苏省无锡市锡山区锡北片2026年第一次中考模拟九年级数学试卷

锡北片2026年第一次模拟测试试卷初三数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列实数，比小的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 要使分式有意义，的取值应满足（　　） A. B. C. D. 且 3. 去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000．将2430000用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为圆的直径，点C，D在圆上且在的两侧．若，（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对神舟十五号飞船部件的检查适合采用抽样调查 B. 甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 C. 一组数据，，，，，的众数是，中位数是 D. 某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票一定会中奖 8. 如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（    ） A. B. C. 3 D. 4 9. 如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 当，且时，称点与点为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（ ） A. 反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B. 二次函数的图象上没有“反射点” C. 若关于x的一次函数是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D. 若关于x的二次函数是“镜像函数”，则实数 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 11. 分解因式：_____． 12. 一个扇形的半径为4，圆心角为，此扇形的弧长为_________．（结果保留） 13. 如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝_____． 14. 命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是______命题．（填“真”或“假”） 15. 如图，，，，若面积为10，则的面积为________． 16. 一个y关于x的函数同时满足两个条件：图象过（2，1）点；当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为_________________．（写出一个即可） 17. 《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门____________里见到树． 18. 如图，矩形中，，，是直线上一动点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点． （1）当点为中点时，__________； （2）线段的最小值是__________． 三、解答题（本答题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算和化简 （1） （2） 20. 解方程和不等式组 （1）； （2）． 21. 如图，点在线段上，，且，．连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度； （3）若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 23. 如图所示某地铁站有三个闸口． （1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ． （2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率． 24. 如图，在中，； （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 25. 如图，已知中，，以为直径的交于，过点作的切线交的延长线于点．于， （1）求证： （2）若，，求的长． 26. 如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（）、悬托架（）、伞面（）和感应器组成．支架公垂直于地面，伞沿的支点在上滑动．悬托架支点在上．感应器根据太阳光线的角度自动调整伞面与悬托架之间的角度（即的大小）使得伞面与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮阳效果．已知米，米，且． （1）某天下午15点时太阳光线与地面的夹角，此时伞沿支点离地面多高？（结果精确到米） （2）如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．若当天点时太阳光线与地面的夹角，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数据：，） 27. 如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． （1）求该二次函数的解析式及点M的坐标． （2）若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． （3）点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 28. 如图1，矩形中，，，点为线段上一动点，过点作，交于点，将沿折叠得． （1）若点落在边上，__________； （2）若点到的距离为2，求的面积； （3）如图2，若点为的中点，连接、，当为直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锡北片2026年第一次模拟测试试卷初三数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列实数，比小的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．利用实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．∵，∴，故不符合题意； D．∵，∴，故符合题意； 故选：D． 2. 要使分式有意义，的取值应满足（　　） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 得． 故选C． 3. 去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000．将2430000用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2430000用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，准确运用法则计算是正确解答此题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，为圆的直径，点C，D在圆上且在的两侧．若，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴． 6. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查中心对称图形和轴对称图形的识别，解决本题的关键是熟知中心对称图形和轴对称图形的定义．轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对神舟十五号飞船部件的检查适合采用抽样调查 B. 甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 C. 一组数据，，，，，的众数是，中位数是 D. 某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票一定会中奖 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率公式，调查方式的选择，算术平均数即方差的定义，众数和中位数的定义分别判断后即可得出最后结论． 【详解】解：、对神舟十五号飞船部件的检查适合采用全面调查，故本选项不符合题意； 、甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定，正确，符合题意； C、一组数据，，，，，的众数是，中位数是，故本选项不符合题意 、某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票不一定会中奖，故本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了概率公式，调查方式的选择，算术平均数即方差的定义，众数和中位数的定义，熟练掌握各定义是解答本题的关键． 8. 如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（    ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形性质，根据反比例函数系数的几何意义及相似三角形的性质得，进而得出，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出答案．掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，是双曲线上的两点，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵是的中点，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作轴，垂足为D，通过解直角三角形可求得，根据已知易证，从而可得，，然后在中求出与的长，最后证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点C作轴，垂足为D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了坐标与图形、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 当，且时，称点与点为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（ ） A. 反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B. 二次函数的图象上没有“反射点” C. 若关于x的一次函数是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D. 若关于x的二次函数是“镜像函数”，则实数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，根据新定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； A、∵， 当点在反比例函数上时，则， ∵， ∴； ∴点的反射点，必定在反比例函数图象上， ∴反比例函数的图象上存在无数对“反射点”；原说法正确，不符合题意； B、对于，若点是反射点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故二次函数函数的图象上没有“反射点”； 原说法正确，不符合题意； C、∵是“镜像函数”， ∴图象上存在反射点与，即在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴一次函数图象与坐标轴的交点坐标为， ∴这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为；原说法正确，不符合题意； D、∵二次函数是“镜像函数”，则图象上存在反射点与， ∴，， ∴， ∴， ∴或， 当时，即，则不符合题意； ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，此时，不符合题意； 故；原说法错误，符合题意； 故选D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 一个扇形的半径为4，圆心角为，此扇形的弧长为_________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，根据弧长公式是，代入数值进行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得： 此扇形的弧长为， 故答案为：． 13. 如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝_____． 【答案】132°##132度 【解析】 【详解】解：∵正五边形的内角=180°-360°÷5=108°， 正六边形的内角=180°-360°÷6=120°， ∴∠BAC=360°－108°－120°=132°． 故答案为132°． 14. 命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】根据绝对值的性质判断真假即可． 【详解】解：∵3 ＞－5，但|3|＜|－5|， ∴命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 15. 如图，，，，若面积为10，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的面积关系，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键． 首先通过已知条件求得，再代入面积为10，即可求解的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵面积为10， ∴面积为， 故答案为：． 16. 一个y关于x的函数同时满足两个条件：图象过（2，1）点；当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为_________________．（写出一个即可） 【答案】y= 【解析】 【详解】符合题意的函数解析式可以是y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等，（本题答案不唯一） 17. 《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何里而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门里有树，则出南门____________里见到树． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意得：（里），（里），里， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 解得：里； 即：出南门里见到树． 故答案为： 18. 如图，矩形中，，，是直线上一动点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点． （1）当点为中点时，__________； （2）线段的最小值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和线段中点的定义得到，由勾股定理得到，解直角三角形得到，由平行线的性质得到，则，结合即可得到； （2）取中点，取中点，连接，则，由三角形中位线定理得到，根据，得到当、、三点共线时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图所示，取中点为，取中点为，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵、分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时，有最小值，最小值为的值， 在中，由矩形的性质可得， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本答题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算和化简 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）以为最简公分母，通分化简，求解即可； 【小问1详解】 解： = = 【小问2详解】 解： = = 20. 解方程和不等式组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由一元一次不等式的解法分别解不等式组中的不等式，再由不等式组解集的求法求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， ， ， ，； 【小问2详解】 解： 解不等式得，， 解不等式得，， 所以此不等式组的解集为． 21. 如图，点在线段上，，且，．连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得到，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质求出，再由即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：∵，，， ， 又， ． 22. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度； （3）若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】（1）200，图见解析 （2）；108 （3）“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的应用，计算扇形统计图中的占比和圆心角，用样本估算总体，掌握好相关知识是关键． （1）用“偶尔”的人数除以占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出占比，同样方法算出“较多”的占比，再乘以得出“较多”对应的圆心角； （3）计算出“一直”在样本中的占比，再乘以全校学生数即可． 【小问1详解】 解：对比两个统计图可知，“偶尔”的人数为人，占比， ∴本次抽查的人数为（人）， ∴“较多”的人数为（人）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：“较少”的百分比为， ∴， “较多”对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名． 23. 如图所示某地铁站有三个闸口． （1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ． （2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率． 【答案】（1）选择A闸口通过的概率为； （2）两名乘客选择不同闸口通过的概率； 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算； （2）画树状图展示所有9种等可能的结果，找出两名乘客选择不同闸口通过的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：一共有三个闸口， ∴选择A闸口通过的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的结果数为6， 所以两名乘客选择不同闸口通过的概率； 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 24. 如图，在中，； （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1）①见详解；②见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）①尺规作边的垂直平分线，得出中点，连接即可； ②尺规作边的垂直平分线，得出中点点，以点为圆心，为直径作圆，圆交边于点，连接，则． （2）根据，得出，设，则，根据和勾股定理求出，得，过作，根据等面积法得出，勾股定理求出，即可得，根据圆周角定理得出，即可得，根据平行线分线段成比例得出．再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，中线即为所求； ②如图，点即为所求； 理由，∵，为圆的直径， ∴点在圆上， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作， 则， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】该题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确作出图形． 25. 如图，已知中，，以为直径的交于，过点作的切线交的延长线于点．于， （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由直径所对的圆周角是直角可得，再根据等腰三角形三线合一即可得到； （）连接，可得是的中位线，得到，进而得到，由勾股定理可得，又可证明，得到，进而可得，利用线段的和差关系即可求出的长． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴ 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴ ∴， 即， 解得， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 如图1，公园草坪上安置了某款自动感应遮阳伞，其侧面示意图如图2所示．该遮阳伞由支架（）、悬托架（）、伞面（）和感应器组成．支架公垂直于地面，伞沿的支点在上滑动．悬托架支点在上．感应器根据太阳光线的角度自动调整伞面与悬托架之间的角度（即的大小）使得伞面与太阳光线始终保持垂直，从而达到最佳遮阳效果．已知米，米，且． （1）某天下午15点时太阳光线与地面的夹角，此时伞沿支点离地面多高？（结果精确到米） （2）如图3，一把铁椅固定在离支架5米处的点，小明坐在铁椅上的高度（头顶到地面的距离）为1米．若当天点时太阳光线与地面的夹角，请判断此时小明的头部是否会被太阳光照射到？（参考数据：，） 【答案】（1）米 （2）不会，见解析 【解析】 【分析】（1）本题考查解直角三角形的应用问题，根据题意得到，结合三角函数求解即可得到答案； （2）本题考查解直角三角形的应用问题，过作交于点，过作交于点，过作交于点，根据三角函数直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ， ， ， ， ∵， ， 答： 此时伞沿支点离地面米； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 过作交于点， 在中，，， ， ，，， ， ∵， ， 在中，，， ， 过作交于点， 在中，，， ， ， 过作交于点， 在中，，， ， 答：小明的头不会被太阳光照射到． 27. 如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． （1）求该二次函数的解析式及点M的坐标． （2）若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． （3）点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； 【小问2详解】 解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； 【小问3详解】 解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 28. 如图1，矩形中，，，点为线段上一动点，过点作，交于点，将沿折叠得． （1）若点落在边上，__________； （2）若点到的距离为2，求的面积； （3）如图2，若点为的中点，连接、，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）3 （2）的面积为3或9； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）延长交于点，设，则，，，证明，求得，，根据，列式计算即可求解； （2）分两种情况讨论，当点在矩形内时，当点在矩形外时，利用相似三角形的判定和性质列式计算求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，当时，同理，利用相似三角形的判定和性质列式计算求解即可． 【小问1详解】 解：延长交于点， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：当点在矩形内时，如图，延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， 同（1），，， ， ，，， 同理， ∴，即， ∴，，即，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 当点在矩形外时，如图，延长交于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，则四边形是矩形， 同（1），，， ， ，，， 同理， ∴，即， ∴，，即，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上，的面积为3或9； 【小问3详解】 解：如图，当时，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，，，， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得（舍去）或， 则的长为； 如图，当时，延长交于点，过点作于点，记与交于点， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 同（1），，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， 则的长为； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $