精品解析：2025年江苏省无锡市锡山区锡北片中考一模数学试题

2025年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 函数，自变量的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据：35，33，31，35，36，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 34，35 B. 34，34 C. 35，34 D. 35，35 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积为（　　） A. B. C. D. 6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 圆 C. 菱形 D. 平行四边形 7. 下列调查中，适合用普查方式的是（ 　） A. 检测某城市空气质量 B. 检测神舟十三号载人飞船零部件质量情况 C. 检测一批节能灯的使用寿命 D. 检测某批次汽车的抗撞能力 8. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角互补 9. 如图，已知点，C是y轴上位于点B上方一点，平分，平分，直线交于点D．若反比例函数（）的图像经过点D，则k的值是（　　） A. ﹣8 B. ﹣9 C. ﹣10 D. ﹣12 10. 如图，在矩形中，，，P是对角线上的动点，连接，将直线绕点P顺时针旋转使，且过D作，连接，则最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 计算： ____． 12. 3月国内乘用车零售销量为2390000辆，这个数据用科学记数法可表示为_______． 13. 分式方程的解为 ________． 14. AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于_____． 15. 如图，在平行四边形中，，交于点F，则的比值是______． 16. 一条抛物线的顶点坐标为，且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为____________． 17. 如图，是等边三角形中延长线上一点，连接，是上一点，且，若，，则______． 18. 如图，已知在四边形中，，对角线与交于点M，且．若，则______；若，则面积最大值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程或不等式组： （1）； （2）． 21. 3月12日，某初级中学组织学生开展了义务植树社会实践活动．为了了解全校500名学生义务植树情况，小文同学开展了一次调查研究．小文从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集数据（单位：棵）进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）小文一共随机抽取______名学生进行调查；在扇形统计图中，“4棵”所在的扇形的圆心角等于______度； （2）补全条形统计图； （3）随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是______； （4）在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，根据调查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有______名． 22. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》概率是______； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 如图，A、D、B、F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接、，求证四边形为平行四边形． 24. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨． （1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？ 25. 已知在中，． （1）如图，请用无刻度的直尺和圆规作出点O，使得与、所在直线相切，且与的切点为点C；（不写作法，但保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知，，的半径为2，则的面积为 ． 26. 如图，是的直径，点C在上，的平分线与相交于点D，与过点B的切线相交于点E． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，求的长． 27. 在中，，E是边上一点，将沿着翻折到， （1）如图1，若E、F、D三点共线， ①求证：； ②若，，求的长． （2）如图2，若，点E是中点，，求的面积． 28. 如图，抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 函数，自变量的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，据此逐一计算即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 已知一组数据：35，33，31，35，36，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 34，35 B. 34，34 C. 35，34 D. 35，35 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， 将这组数据从小到大排列为31，33，35，35，36，处在最中间的数据是35， ∴中位数是35， 故选A． 【点睛】本题主要考查了求平均数，求中位数，熟知二者的定义是解题的关键． 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键． 根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的面积为：， 故选：B． 6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 圆 C. 菱形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】A.等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B.圆既是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项不符合题意； C.菱形既是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项不符合题意； D.平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故该选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握上述定义，是解题的关键． 7. 下列调查中，适合用普查方式的是（ 　） A. 检测某城市空气质量 B. 检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况 C. 检测一批节能灯的使用寿命 D. 检测某批次汽车的抗撞能力 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和普查的区别．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查；据此逐一判断，即可求解． 【详解】解：A、检测某城市空气质量，适合用抽样调查方式，故本选项不符合题意； B、检测神舟十三号载人飞船的零部件质量，适合用普查方式，故本选项符合题意； C、检测一批节能灯的使用寿命，适合用抽样调查方式，故本选项不符合题意； D、检测某批次汽车的抗撞能力，适合用抽样调查方式，故本选项不符合题意； 故选：B 8. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角互补 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据菱形与矩形的性质定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：∵菱形的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线垂直且互相平分；矩形具有的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线相等且互相平分， ∴菱形具有而矩形不具有的性质是：对角线互相垂直． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及矩形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解答此题的关键． 9. 如图，已知点，C是y轴上位于点B上方的一点，平分，平分，直线交于点D．若反比例函数（）的图像经过点D，则k的值是（　　） A. ﹣8 B. ﹣9 C. ﹣10 D. ﹣12 【答案】B 【解析】 【分析】过点D分别作x、y轴的垂线，垂足分别为F、N，过D作交x轴于G，则四边形为矩形；由两个角平分线条件及三角形外角性质可得，则可证明，可得；再证明，则可得四边形为正方形；设，则，由，即可求得a的值，从而得点D的坐标，最后求得k的值． 【详解】解：如图，过点D分别作x、y轴的垂线，垂足分别为F、N，过D作交x轴于G， ∴四边形为矩形， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵，即， ∴由勾股定理得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； ∴； 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴； ∵点D在的图象上， ∴； 故选：B． 【点睛】本题是反比例函数的综合，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，求反比例函数的解析式等知识，构造适当的辅助线证明全等三角形是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，P是对角线上的动点，连接，将直线绕点P顺时针旋转使，且过D作，连接，则最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点D作于点H，连接并延长交于点E，过点H作于点F，利用相似三角形的判定与性质得到定值，则点G在上运动，当时，取得最小值；再利用勾股定理，相似三角形的判定与性质和三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】解：过点D作于点H，连接并延长交于点E，过点H作于点F，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴定值， ∴点G在上运动，当时，取得最小值． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 计算： ____． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方差公式，解题关键是掌握． 12. 3月国内乘用车零售销量为2390000辆，这个数据用科学记数法可表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 分式方程的解为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故答案为：． 14. AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于_____． 【答案】25°　． 【解析】 【分析】由切线的性质得：∠PAB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA＝50°，最后利用同圆的半径相等得结论． 【详解】解：∵PA切⊙O于点A， ∴∠PAB＝90°， ∵∠P＝40°， ∴∠POA＝90°﹣40°＝50°， ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠BCO＝25°， 故答案为：25° 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，属于常考题型，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径是关键． 15. 如图，在平行四边形中，，交于点F，则的比值是______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． 16. 一条抛物线的顶点坐标为，且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的顶点式． 根据二次函数的顶点式，结合开口方向求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴该二次函数的表达式可以为， 又∵开口向下， ∴， 可取，此时函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一） 17. 如图，是等边三角形中延长线上一点，连接，是上一点，且，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过作于点，由等腰三角形的性质得，设，则，，由等边三角形的性质得，，则，再由含30°角的直角三角形的性质得，然后求出，即可解决问题． 详解】解：如图，过作于点， ∵，， ∴， 设，则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，已知在四边形中，，对角线与交于点M，且．若，则______；若，则的面积最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用勾股定理求得，则可得到，，作于点E，再根据勾股定理可求得的长；若，如图，作轴于点F，轴于点G，证明以及三角函数求得，，利用三角形的面积构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：若，则， ∴， ∵， ∴，， 作于点E， 则， ∴， ∴； 若，如图，作轴于点F，轴于点G， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的应用，解题的关键是学会利用参数构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可； （2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程或不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和一元一次不等式组： （1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， 解不等式①得，； 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 21. 3月12日，某初级中学组织学生开展了义务植树社会实践活动．为了了解全校500名学生义务植树情况，小文同学开展了一次调查研究．小文从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集的数据（单位：棵）进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）小文一共随机抽取______名学生进行调查；在扇形统计图中，“4棵”所在的扇形的圆心角等于______度； （2）补全条形统计图； （3）随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是______； （4）在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，根据调查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有______名． 【答案】（1）100，72 （2）见解析 （3）3 （4）175 【解析】 【分析】（1）根据“1棵”的人数及所占的百分比求出随机抽取的学生数，用总人数减去其他小组的人数即可求得植树棵数求出“4棵”的人数，根据“4棵”的人数及调查的学生数求出4棵”所在的扇形的圆心角的度数； （2）由（1）可知植树棵数为“4棵”的人数，再补全条形统计图即可； （3）利用中位数的定义求得中位数即可； （4）根据全校学生数及不少于4棵的学生所占的百分比求出该学校获得“植树小能手”称号的学生人数． 【小问1详解】 10÷10%=100（名）， 植树量为4棵的人数为：100-10-15-40-10-5=20（人）， 360°×=72°， 故答案为：100，72； 【小问2详解】 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 因为共有100个数，把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是第50个数和第51个数的平均数，所以中位数是3， 故答案为：3； 【小问4详解】 500×=175（名）， 故答案为：175． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是______； （2）求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，列举法求概率是解题的关键． （1）利用概率公式计算求解即可； （2）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，小明诵读《论语》的概率是， 故答案：； 【小问2详解】 解：由题意画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料有6种等可能的结果， ∵， ∴小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 23. 如图，A、D、B、F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接、，求证四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定与性质和平行四边形判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和平行四边形判定定理． （1）由可证； （2）结合（1），用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答． 【小问1详解】 证明：， ， ， ∵， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图： 由（1）知， ， ， ， 又∵， 四边形为平行四边形． 24. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨． （1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？ 【答案】（1）每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨；（2）购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． 【解析】 【分析】（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据这些机器人每天搬运的货物不低于1800吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据题意得： ， 解得：． 答：每台A型机器人每天分别搬运货物100吨，每台B型机器人每天分别搬运货物80吨． （2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得： 100m+80（20-m）≥1800， 解得：m≥10． 设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，则w=3m+2（20-m）=m+40， ∵k=1＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元）， 此时20-m=10． 所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键． 25. 已知在中，． （1）如图，请用无刻度的直尺和圆规作出点O，使得与、所在直线相切，且与的切点为点C；（不写作法，但保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知，，的半径为2，则的面积为 ． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）过点C作的垂线l，再做的平分线，交直线l于点O，然后以O点为圆心，为半径作圆，根据角平分线性质得到，然后根据切线的判定方法得到与、所在直线相切； （2）过O点作于点D，的延长线交的延长线于点E，过A点作于H点，根据条件证明，求得，，再根据，求出，即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点C作的垂线l，再做的平分线，交直线l于点O，然后以O点为圆心，为半径作圆，则为所作， 【小问2详解】 解：过O点作于点D，的延长线交的延长线于点E，过A点作于H点，如图所示， ∵与与、相切于点D、C， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 即且， 解得：，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，熟练掌握五种基本作图是解决问题的关键，也考查了切线的判定与性质． 26. 如图，是的直径，点C在上，的平分线与相交于点D，与过点B的切线相交于点E． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形，证明见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）由是的直径，得，则，由切线的性质得，则，由，得，所以，则，所以是等腰三角形； （2）设交于点F，连接，则，由，得，，由，求得,，则，所以． 【小问1详解】 解：是等腰三角形， 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线与相交于点D，与交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 设交于点F，连接，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】此题重点考查切线的性质、直角所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 27. 在中，，E是边上一点，将沿着翻折到， （1）如图1，若E、F、D三点共线， ①求证：； ②若，，求的长． （2）如图2，若，点E是中点，，求面积． 【答案】（1）①详见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由四边形是平行四边形，可得，根据将沿着翻折到，有，故，从而； ②证明，可得，故，有，可得的值，再由得到的值，即可求得； （2）过作于，过作于，由为中点，求得的值，根据沿着翻折到，得，从而得到，然后在和中运用勾股定理求得，再根据得到的值，在中运用勾股定理求得的值，最后根据平行四边形面积公式即可求得答案． 【小问1详解】 ①证明：四边形是平行四边形， ， ， 将沿着翻折到， ， ， ； ②将沿着翻折到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， 由①知， ， ， ， ； 【小问2详解】 过作于，过作于，如图： 中点，， ， 将沿着翻折到， ，，， ，即， 设，则， ， ， 解得， ， ， ，即， 设，则， ，， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及翻折变换，相似三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程，平行四边形的面积，解直角三角形的相关计算等知识，掌握翻折的性质和平行四边形性质是解题的关键． 28. 如图，抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）点坐标为 （3）存在，点坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键． （1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式． （2）过作垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标． （3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标． 【小问1详解】 解：把点代入中， ∴， 解得，， ∴． 【小问2详解】 解：作于，于， 当时，， ∴点坐标为， 设解析式为：， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴点坐标为． 【小问3详解】 解：作过三点的圆，连接，作于， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（不合题意舍去），， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$