重难点02 数列前n项和4考点（期中真题汇编，北京专用）高二数学下学期人教A版

重难点02数列前n项和 4大高频考点概览 考点01 裂项相消法求和 考点02 错位相减法 考点03 分组并项求和 考点04 数列求和的其他方法 地 城 考点01 裂项相消法求和 1．(24-25高二下·北京第一六一中学·期中)设随机变量X的分布列如下表所示， 1 2 3 4 5 6 ① ②随机变量的数学期望可以等于3.5 ③若，则 ④数列的通项公式可以为 则上述说法中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据分布列性质可判断①对，当概率全部相等为时，②说法正确，有等比数列前项和公式计算可得③正确，利用裂项求和可得④错误. 【详解】对于①，易知， 由分布列性质可得，所以，即①正确； 对于②，易知当时，随机变量的数学期望可以等于3.5，即②正确； 对于③，若，结合可知， ，即③正确， 对于④，若数列的通项公式为， 可知， 此时， 不满足分布列性质，即④错误. 综上可知，①②③正确. 故选：C 2．(24-25高二下·北京育才学校·期中)已知为等差数列，为其前n项和．若，则公差 ____ ，数列的前5项和为 ___________． 【答案】 1 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求出第一空答案，求出Sn的表达式，结合裂项相消法计算可得第二空答案． 【详解】根据题意，设数列的前5项和为T， 为等差数列，若，则有， 解可得， 又由，则， 故，所以， 则． 故答案为：1；． 3．(23-24高二下·北京怀柔·期中)已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是________．( 填写所有正确选项的序号) ①当时，数列的前n项和； ②若数列是单调递增数列，则； ③，数列的前n项积既有最大值又有最小值； ④若恒成立，则． 【答案】①④ 【分析】对于①，利用裂项相消求和法求解判断，对于②，由求解的范围，对于③，举例判断，对于④，由题意得，利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】对于①，当时，，所以， 所以 ，所以①正确， 对于②，若数列是单调递增数列，则，即， 所以，所以， 因为，所以，所以②错误， 对于③，当时，，则数列的前n项积没有最大值，所以③错误， 对于④，由，得，得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2，所以，所以④正确. 故答案为：①④ 4．(23-24高二下·北京大峪中学·期中)已知数列满足，．给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前n项和； ④数列每一项都满足成立． 其中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【分析】利用数学归纳法判断①，通过递推公式，判断出数列单调性，根据取值范围对判断②④，算出即可判断③． 【详解】对于①，，， 当时，，所以， 假设当时，； 则当时，， 综上，，故①正确； 对于②，由，可得数列是递减数列，故②正确； 对于③，，，，， ，故③错误； 对于④，，所以， 累加得，所以，， 所以，又，故成立，④正确． 故答案为：①②④. 5．(23-24高二下·北京海淀区北京师范大学第三附属中学·期中)已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由与的关系结合等比数列的定义、通项计算即可； （2）利用等差数列求和公式结合裂项相消法证明不等式即可. 【详解】（1）由已知， 又，即是以3为首项和公比的等比数列， 即； （2）由（1）可知，所以， 则， 因为，显然，则，证毕. 地 城 考点02 错位相减法 1．(21-22高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列，且，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)数列的通项公式为，数列的通项公式为； (2) 【分析】（1）设出等差数列的公差和等比数列的公比，结合已知条件求解即可； （2）写出该数列的通项公式后，运用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列， 所以设数列的公差为，数列的公比为， 因为，，， 所以， 解得， 所以， ， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （2）， 所以，① 所以，② ①②，得 所以. 2．(24-25高二下·北京景山学校远洋分校·期中)已知数列，________.在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选________”） (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)选①②，答案均为 (2) 【分析】（1）若选①，由前n项和与关系可得数列的通项公式；若选②，由前项之积与关系可得数列的通项公式； （2）与（1）结合，利用错位相减法可得答案. 【详解】（1）若选①，； 当时，， 则是以为首项，公比为2的等比数列，则； 若选②，，当时，， 又满足，则时，； （2）由（1）可得. 则， . 则. 3．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)已知函数的极值点构成数列(). (1)求； (2)求证：数列是等差数列； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出导数并求出极值点即得数列通项，进而求出. （2）利用等差数列定义判断即可. （3）由（2）的结论，利用错位相减法求出前项和. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 因此是函数的极小值点，且是唯一极值点，则， 所以. （2）由（1）知，数列的通项公式为，则， 而， 所以数列是等差数列. （3）由（2）知，，则， ， 则， 两式相减，得， 所以. 4．(23-24高二下·北京大兴区·期中)数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 条件①：；条件；②：；条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的定义及通项公式，结合特殊项计算即可求各自通项. （2）若选①，利用错位相减法计算即可，若选②，利用裂项相消法计算即可，若选③，利用分组求和法计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则， 当时，，解得，因此， 当时，，即，解得， 所以. （2）选择条件，由（1）得，， 则， 于是， 两式相减得 所以． 选择条件，由（1）可得，， 则 ， 所以． 选择条件，由（1）可得，， 则 所以． 5．(24-25高二下·北京师范大学附属实验中学·期中)若数列的前项和为，且，等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由条件根据关系可得，证明数列是等比数列，由此可求，由条件求数列的公差，再求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）因为①， 所以②，， ①②得，又 所以，故数列是以为公比，首项为的等比数列， ， ， 等差数列的公差为. （2）由（1）可得， ， 两式相减得， 地 城 考点03 分组并项求和 1．(24-25高二下·北京理工大学附属中学·期中)已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中正确的有_________. ①   ②     ③非零常数，使得    ④ ，都有 【答案】①②④ 【分析】由已知项计算判断①；由已知递推关系化简计算判断②；由已知递推关系总结数列的规律，再结合反证法判断③；由已知递推关系找到前项和的规律判断④. 【详解】对于①，由，得，①正确； 对于②，由，， 得，②正确； 对于③，设非零常数，，则， 由题意，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，，则为数列的的周期， 同理即也为数列的周期，以此类推，最终可得一个奇数为数列的的周期，不合题意； 所以不存在非零常数，，使得，③错误； 对于④，由，得；由，得； 由，得，，， 因此，， 则当时，， 于是， 所以，④正确. 故答案为：①②④ 2．(24-25高二下·北京师范大学第二附属中学未来科学城学校·期中)已知数列满足，，若为数列的前项和，则（   ） A．624 B．625 C．626 D．650 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 【详解】数列中，，， 当，时，，即数列的奇数项构成等差数列， 其首项为1，公差为2，则， 当，时，，即数列的偶数项构成等比数列， 其首项为1，公比为，则， 所以. 故选：C 3．(23-24高二下·北京大学附属中学（行知、未名学院）·期中)李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列：，，，. 给出下列结论： ①； ②； ③设，则； ④设，则有最大值，但没有最小值. 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先证明，然后推知当为奇数时，有；当为偶数时，有，再利用该结论解决各个选项即可. 【详解】先进行一些准备工作，证明2个结论. 结论1：. 证明：我们用数学归纳法证明，对任意的正整数，都有. 由，，可知结论对成立； 假设当时结论成立，则 ， 故结论在时成立. 综上，对任意的正整数，都有. 结论2：当为奇数时，有；当为偶数时，有. 证明：由结论1可知，当为奇数时，有；当为偶数时，有. 然后来判断各个选项： 对于①和②，由结论2可知，，故①正确，②正确； 对于③，由结论2可知 ， 故③正确； 对于④，由于，故当时，有. 而，，，从而有最小值，故④错误. 所以正确的结论是①②③，恰有3个结论正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题中证明的结论1事实上利用了线性递推数列的结论，由于原递推式对应的特征方程的全部解为，故一定具有形式，再利用前三项确定系数. 当然，即使不使用结论1，也可以通过观察规律的方法直接猜到结论2的结论，再用数学归纳法证明之. 4．(24-25高二下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接利用来求解即可； （2）利用分组求和法，然后利用公式法分别求和，再相减． 【详解】（1）解：由于数列为等差数列 所以，解得， 所以． 由于数列为等比数列 所以，解得， 所以． （2） ． 5．(24-25高二下·北京育才学校·期中)已知在数列中，，，_____，其中． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答． ①数列的前项和； ②； ③且． 【答案】(1); (2)证明见解析; (3). 【分析】（1）若选择①，根据与的递推关系列式算出的通项公式； 若选择②，先证出构成公差为的等差数列，然后根据等差数列的通项公式算出答案； 若选择③，先证出构成等差数列，然后根据、求出公差，结合等差数列的通项公式算出答案． （2）根据的通项公式，可得，然后根据等比数列的定义证出所求结论； （3）根据等差数列与等比数列的前项和公式加以计算，化简即得的表达式． 【详解】（1）若选择①：前n项和， 则时，， 当时，，也适合上述式子， 综上所述，数列的通项公式为； 若选择②：，则（常数）， 可知数列构成公差为的等差数列，首项， 所以数列的通项公式为； 若选择③：且，则， 可知数列是等差数列， 设公差为，则由，得，解得． 所以数列的通项公式为． （2）证明：若，则由（1）的结论，可得， 因为（常数），且， 所以数列是首项为，且公比的等比数列； （3）由（1）和（2）得， 所以 ＝． 即． 地 城 考点04 数列求和的其他方法 1．(22-23高二下·北京中国人民大学附属中学·期中)已知数列满足，，，，，记数列前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据原递推关系构造等差数列，求出 的通项公式，再利用对数的性质计算出 ，再运用缩放法证明. 【详解】 ， ， ， 令 ，则有 ，即数列 从第2项开始是公差为1，首项为 的等差数列， ，即 ，将 代入上式检验得 ，正确； ， ， 显然 ， ； 故选：D. 2．(21-22高二下·北京第三中学·期中)数列的通项公式，记为在区间中的项的个数，则______，数列的前100项的和等于______． 【答案】 2 384 【分析】根据题意，当当时，在内有2项；进而分别讨论当，，，，内的的取值，再求和即可. 【详解】解：因为，所以，当时，在内有2项； 当时，；当时，， 当时，；当时，； 当时，； 所以，数列的前100项的和等于 . 故答案为：2； 3．(24-25高二下·北京丰台区·期中)高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 【答案】1012 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 4．(23-24高二下·北京西城区北京师范大学第二附属中学·期中)约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为. (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若构成等比数列，求正整数； (3)记，求证：. 【答案】(1)8 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）正整数的个正约数构成等比数列，则满足题意，即； （2）由题意可知，结合可推出是完全平方数，进而可得，由此可知为，即可求得； （3）由题意知，从而可得，采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论. 【详解】（1）当时正整数的4个正约数构成等比数列， 比如为8的所有正约数，即. 于是的一个值为8. （2）由题意可知， 因为，依题意可知，所以， 化简可得，所以， 因为，所以， 因此可知是完全平方数. 由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以， 所以为， 所以. （3）证明：由题意知， 所以， 因为， 所以 ，因为，所以， 所以，即. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，考查数列的性质，善于利用放缩法，裂项求和法. 5．(21-22高二下·北京第五中学·期中)对于序列，实施变换T得序列，记作；对继续实施变换T得序列，记作．最后得到的序列只有一个数，记作． (1)若序列为1，2，3，求； (2)若序列为1，2，…，n，求； (3)若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作，若序列B为序列的一个排列，请问：是的什么条件？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)充分不必要条件 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）根据归纳推理可得，利用倒序相加法，化简即可得结果. （3）根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】（1）解：序列为1，2，3，，，，即8，． （2）解：时， 时，． 时，， 时，， ， 取时，， 取时，①， 则②， ①②得， 所以． 由序列为1，2，，，可得． （3）解：序列为序列，2，，的一个排列， ．而反之不成立． 例如取序列为：，，，2，1，满足． 因此是的充分不必要条件． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 重难点02数列前n项和 ☆4大高频考点概览 考点01裂项相消法求和 考点02错位相减法 考点03分组并项求和 考点04数列求和的其他方法 目目 考点01 裂项相消法求和 1.(24-25高二下·北京第一六一中学期中)设随机变量X的分布列如下表所示， X 1 6 p P P2 P3 P4 Ps P6 ①P(X≥4)=1-P(X≤3) ②随机变量X的数学期望E(X)可以等于3.5 ③若Pn=(n=1,23,45),则P6= ④数列{Pn}的通项公式可以为Pn=n+(n=1,2,34,5,6) 则上述说法中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25高二下北京育才学校期中)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1=1,a1十a2=a3, 则公差d=，数列{}的前5项和为 3.(23-24高二下·北京怀柔期中)已知数列{an}的通项公式an=n2-2an,则下列各项说法正确的是 ·(填写所有正确选项的序号) ①当a=-1时，数列{宗}的前n项和Tn=(1+支点)： ②若数列{an}是单调递增数列，则a∈(-∞，1]： ③va∈R,数列{an}的前n项积既有最大值又有最小值； ④若vneN,an≥-4恒成立，则ae(-o,2], 4,(23-24高二下北京大峪中学期中已知数列{an}满足a1=1,#1=ana弱.给出下列四个结论： ①数列{an}每一项an都满足0<an≤1(n∈N); ②数列{an}是递减数列； 1/5 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③数列{an}的前n项和Sn<2; ④数列{an}每一项都满足an≤品成立. 其中，所有正确结论的序号是 5.(23-24高二下，北京海淀区北京师范大学第三附属中学期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足 2n=3an-3(n∈N). (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bn=l1 OBgan,数列{bn}的前n项和为Tn,求证六+六，+…十六<2. 目目 考点02 错位相减法 1.(21-22高二下北京师范大学附属实验中学期中)已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项都为正数 的等比数列，且a1=b1=1,a3十bs=21,a5十b3=13 (I)求数列{an},{bm}的通项公式： (2)求数列{abn}的前n项和Sn 2.(24-25高二下·北京景山学校远洋分校期中)已知数列{an}, 在①数列{an}的前n项和为Sn, Sn=2an-2:②数列{am}的前n项之积为Sn=2:(n∈N),这两个条件中任选一个，补充在上面的 问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分在答题前应说明“我选 (I)求数列{an}的通项公式： (2)令bn=an×1og2an,求数列{bn}的前n项和Tn 3.(24-25高二下北京理工大学附属中学期中)已知函数f(x)=(n+3x2-2x+1的极值点构成数列{an} (nEN) (1)求a1: (2)求证： 数列}是等差数列： (③)求数列笔}的前n项和Tn 4.(23-24高二下北京大兴区期中)数列{an}是首项为2的等差数列，数列{b}是公比为2的等比数列， 且数列{anbn}的前n项和为Sn=n·2+1.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知， 并解答下列问题： (I)求数列{an}和{bm}的通项公式； (2)求数列{cn}的前n项和Ta 2/5 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 条件O:Cn=;条件；②：cn=ag5;条件③：cn=an十bn 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 5.(24-25高二下北京师范大学附属实验中学期中)若数列{an}的前n项和为Sn,且 2Sn=3am1(neN),等差数列{bn}满足b1=3a1b3=a2+4. (I)求数列{an},{ba}的通项公式： (2)设cn=盆，求数列{cn}的前n项和Tn 目目 考点03 分组并项求和 1,(2425高二下北京理工大学附属中学期中)已知数列{an}满足a4r3=-1,a4n1=1,a2m=a,该数列 的前n项和为Sn,则下列论断中正确的有 ①a31=1②a2o24=-1③归非零常数T,Vn∈N,使得amr=an④VneN,都有S2"=-2 2.(24-25高二下.北京师范大学第二附属中学未来科学城学校期中)已知数列{an}满足a1=a2=1, an+2,n=2k-1 2+2= 3nn=2k,k∈N,若Sn为数列(n}的前n项和，则Ss0=（) A.624 B.625 C.626 D.650 3.(23-24高二下北京大学附属中学（行知、未名学院）·期中)李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣， 于是模仿构造了一个数列{an}:a1=1,a2=2,a3=3,aH3=an十aH1a叶2给出下列结论： ①a2023=2023; ②a2024=-2020; ③设Sn=a1+a2+a3+…+an,则S2023=5056; ④设Tn=a1·a2∵a3···an,则Tn有最大值，但没有最小值 其中所有正确结论的个数是（) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(24-25高二下北京顺义牛栏山第一中学期中)已知数列{a}为等差数列，且a4=2,ag=-2.数列 {bn}为等比数列，且b1=2,b4=54. (1)求数列{an}和{bm}的通项公式： (2)求{bn-an的前n项和T 5.(24-25高二下北京育才学校期中已知在数列an中，a1=2,bn=2,一，其中neN*. (I)求数列an的通项公式： (2)求证：数列b}是等比数列： 3/5 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)求数列an+bn}的前n项和Tn 从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答. ①数列an的前n项和Sn=n2+n: ②arH12=an: ③a4=8且2a+1=an+am2 目目 考点04 数列求和的其他方法 1.(22-23高二下北京中国人民大学附属中学期中)已知数列{an}满足a1=1,2=, 2-21=(2-1)(21-1),n≥2，neN,记数列{an}前n项和为Sn:则() A.7<S2023<8 B.8<S2023<9 C.9<S2023<10 D.10<S2023<11 2.(21-22高二下北京第三中学期中)数列b的通项公式bn=31,记tm为bn在区间 (0,m](m∈N)中的项的个数，则t3=,数列{tm}的前100项的和等于 3.(24-25高二下·北京丰台区·期中)高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称在求 1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：1十100=101,2+99=101，.， 50+51=101,共有50组，所以1+2+3+··十100=50×101=5050，这就是著名的高斯算法， 教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列a的各项均为正数，且公比不等 于1，a1a2024=1,试根据提示探究：若fx)=,则f(a)+f(a2+…+f(a2024= 4.(23-24高二下·北京西城区北京师范大学第二附属中学期中)约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除 以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数设正整数a共 有k个正约数，即为a1a2…,akv ak(a1<a2<…<ak) (1)当k=4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值； (2)当k≥4时，若a2~a1a3a2…,akak-1构成等比数列，求正整数a; (3)记A=a12十a23十…+ak-1ak,求证：A<a2. 5.(21-22高二下北京第五中学期中)对于序列Ag:a1a2…,an(nEN),实施变换T得序列 A1:a1十a2a2十a3…,an1十an,记作A1=T(A0);对A1继续实施变换T得序列 A2=T(A1)=T(T(A)),记作A2=T2(A):;A1=T1(Ao).最后得到的序列A1只有一个 数，记作S(A). (1)若序列A为1,2,3，求S(A0): 4/5 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若序列A0为1,2，，n,求S(A); (3)若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作A=B,若序列B为序列Ag:1,2,,的一个排 列，请问：B=A是SB)=S(A,)的什么条件？请说明理由 5/5