福建厦门市莲花中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段练习数学

厦门市莲花中学2025-2026学年九年级（下)3月阶段练习 数学 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1.下列实数中是无理数的是() A.3.14 B.⑧ C.√2 D.月 2.榫卯(snmǎo)是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫， 凹进部分叫卯.如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是() A B D 正面 3.下列计算正确的是() A.a6÷a2=a3 B.(-a2)5=-aC.(a+10a-1)=a2-1D.(a+1)2=a2+1 4.不等式-2x≤-6的解集在数轴上表示为() 012345 012345x 012345012345 A. B. C. D 5.己知反比例函数y=的图象经过点(m,3m),则此反比例函数的图象在() A.第一、二象限B.第一、三象限 C.第二、四象限D.不确定 6.小军旅行箱的密码是一个五位数，若他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开旅行箱的概率是() A.8 B. c.& D. 7.如图，△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,延长BA 交DE于点F,下列结论一定正确的是() A.∠ACB=∠ACD B.AC II DE C.AB=EF B D.BF⊥CE 8.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在 学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘的百分比为x,根据“两天不练丢一半”， 可列方程() A.(1-x)2=50%B.(1+x)2=50%C.1-2x=50%D.(1-x)(1+x)=50% 第1页 9.如图，直线L1/1L2/儿3，一等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线L1、l2、l3上，且∠ACB=90°，AC交l2 与点D,若l12的距离为1，l1与l3的距离为4，则AD的长为() B A.V2 B. C. .号 10.己知点A(m,y1)、B(m+2,y2)、C(xo,yo)在二次函数y=Qx2+4ax+c(a≠0)的图像上，且C为抛物线的 顶点.若yo≥y2>y1,则m的取值范围是() A.m<-3 B.m>-3 C.m<-2 D.m>-2 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11.因式分解ab-a2= 12.用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五 边形ABCDE.图中，LBAC= 图1 图2 第12题图 第14题图 13.若-君3，则22 ab 14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,BD=12,过点O作EF1BD分别交BC、AD于点E、 F,若LADB=30°，则EF的长为 15.学校广播站要招聘1名记者，小明、小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下： 采访写作 计算机 创意设计 小明 70分 60分 86分 小亮 90分 75分 51分 小丽 60分 84分 72分 现在要计算3人的加权平均分，如果将采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比由3：5：2变成5：3：2， 的成绩增加最多. 第2页 16.“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件.它的核心设计原理是降 低重心.如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一 正方体重物，并固定)及其主视图（主视图为轴对称图形）.已知PA,PB分别与ANB所在圆相切于点A,B,点N 是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是5cm,∠P=60°，正方形CDEF边长为2cm.有以下结论： ①无论不倒翁如何摇晃∠ANB的度数始终不变且为60°； ②AP=BP=5V3cm: ③点P到cF的距离为(6+2V⑥cm: ④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为180°的扇形. 9 物1 重物 77777777 7777777 其中所有正确结论的序号是 三、解答题（共9小题，共86分） 17.(8分)计算：（π-3）°+V12+4sin60°+|-V3 18.(8分)如图，在△ABF中，BD⊥AF于点D,AC⊥BF于点C,BD,AC交于点E.若AF=BE,求证：AC=BC. 19,8分)洗化简，再求值(-)a,其中a=5+1 a+1 20.(8分)如图，在△ABC中，∠BAC=120° (I)尺规作图：在边BC、AC上分别找一点D、E,使得△ADE为等边三角形（不写作法，保留作图痕迹）： (2)在（1)的条件下，若AB=AC=6,求CE的长度. B 第3页 21.(10分)某校开展“争做文化代言人，我是厦门小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解厦门文化，积极参与 志愿服务.该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长.下 面给出了该活动的部分信息。 a.七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： 个知识测评得分/分 知识测评得分/分 100----2- 100----3------ 90 90 80 80 70 704 60 60 9---- 50 40 40 30 30 0 2 了大于3志愿服务时长小时 0 2 3天于3志愿服务时长小时 七年级 八年级 b.学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长小时 2 3 大于3 志愿服务得分分 60 70 80 90 c.每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“厦门小使者， 奖章 根据以上信息，回答下列问题： (1)在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为m1,m2,则m1m2, 记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为s,s吃，则s子s子（填“>“<或“=”)； (2)某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组120≤x<130,第2组130≤x< 140,第3组140≤x<150,第4组150≤x<160,第5组160≤x<170,第6组170≤x<180): 频数 0120130140150160170180综合得分1分 ①该频数分布直方图反映的是 (填“七”或“八”)年级的学生得分情况： ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第组： (3)该校七年级有120名学生，八年级有100名学生.若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“厦门 小使者奖章的学生总人数为一· 第4页 22.8分)已知实数a、bc、m、n满足m2+n2=名m=台 (1)当a>0时，求证：b≥2c: (2)若，n为正整数，且+为奇数，请证明：，n至少有一个为奇数. 23.(10分)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2-2x+c(a≠0)与x轴交于点A(3,0)和点B,与y轴交于点 C(0,-3),直线y=mx+n经过点(1,2). (1)求抛物线的表达式： (2)过点D(2m,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M交直线y=mx+n于点N.若点M在抛物线上的点A与点B之 间，连接BM,MA,AN,NB,当四边形NBMA的面积随m的增大而减小时，求的取值范围. 24.(12分)在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片（其中a<b),进行拼 图操作。 【探究一】 甲同学将一张边长为8的正方形纸片按a=3cm,b=5cm的尺寸剪成4块，其中两块是三角形，另外两块是四边形， 按图2所示重新拼合.这样就得到了一个13cm×5cm的长方形，面积是65cm2,面积多了1cm2.这是为什么？ 甲同学给出如下证明：如图2，可知，tan/CEF=一，tan∠EAB=一，tan/CEF>tan∠EAB, ∴.LCEF>∠EAB.,EFIAB,.∠EAB+∠AEF=180°，LCEF+LAEF>180°. 因此A、E、C三点不共线.同理A、G、C三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1cm2. b 8 H 5 D 5 E 6 3 G B 图1 图2 (1)将甲同学的证明补充完整：tanCEF=一，tan/EAB=一： (2)乙同学受到甲同学的启发，尝试用函数证明三点不共线，请帮他完成证明； 第5页 【探究二】 (3)丙同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成的4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无 空隙也无重叠.在丙同学的操作中，求的值.（若有必要，可以自行画图，标注相关长度） 25.(14分)己知四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径，点E是BC上一点（不与B,C重合），连接AC,BD相交于 点F,连接EF,且EF L AC (I)若CF=CD,求证：BF2=BE·BC: (2)如图2，AB=2,BC=4. ①若tan-DAC=子求AE的长. ②求AE·DF的最大值. D D 0 D B B E B E B E B 图1 图2 图1 图2 备用图组 第6页 《厦门市莲花中学20252026学年九年级（下）3月阶段练习数学》参考答案 题号 1 2 6 7 9 10 答案 D C D B A D A B A 1.C 【分析】本题考查无理数，掌握无理数的定义是解答本题的关键.根据无理数即无限不循环小数，据此进行判断即 可 【详解】解：A.3.14不是无理数，不符合题意：B.V⑧=2不是无理数，不符合题意； C.V2是无理数，符合题意；D.不是无理数，不符合题意；故选：C 2.D 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键.根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判 断即可， 【详解】由题意，得：“榫的主视图为： 故选：D 3.C 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法、幂的乘方、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握相关运算法则成 为解题的关键. 根据同底数幂的除法、幂的乘方、完全平方公式、平方差公式逐项判定即可. 【详解】解：A.a6÷a2=a4,故A选项错误，不符合题意： B.(-a2)5=-a10,故B选项错误，不符合题意； C.(a+1)(a-1)=a2-1,故C选项正确，符合题意： D.(a+1)2=a2+2a+1,故D选项错误，不符合题意. 故选C. 4.D 【分析】本题考查了解不等式和在数轴上表示不等式解集，解题关键是准确的解不等式，会在数轴上表示解集. 先解不等式，再在数轴上表示解集即可 【详解】解：-2x≤-6，系数化为1得，x之3，在数轴上表示为：012寸45之故选：D. 5.B 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，只需把所给点的横纵坐标相乘，判断出k的取值范围，再 判断出函数所在的象限. 【详解】解：把(m,3m)代入y=,则k=m3m=3m2>0,此反比例函数的图象在一，三象限，故选：B. 6.A 【分析】本题主要考查了求简单的概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，根据总情况数共10种等可能的情况， 第7页 从而得出能一次打开旅行箱的概率是器 【详解】解：末位数字可能是0到9，共10种等可能结果，其中正确的只有1种， 所以小军能一次打开旅行箱的概率是品故选：A 7.D 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是 解题的关键.先根据旋转性质得∠BCE=LACD=60°，结合∠B=30°，即可得证BF1CE,再根据同旁内角互补证 明两直线平行，来分析AC【DE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的. 【详解】解：记BF与CE相交于一点H,如图所示： ,△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, .∴.∠BCE=∠ACD=60° ,∠B=30 .在△BHC中，∠BHC=180°-∠BCE-∠B=90° BF⊥CE,故D选项是正确的，符合题意： 设∠ACH=x ..∠ACB=60°-x°， ,∠B=30° ∴.∠EDC=∠BAC=180°-30°-(60°-x)=90°+x° .∠EDC+∠ACD=90°+x°+60°=150°+x° .x°不一定等于30 .∠EDC+∠ACD不一定等于180° ∴AC‖DE不一定成立，故B选项不正确，不符合题意； ,∠ACB=60°-x°，∠ACD=60°，x不一定等于0° ∴.∠ACB=∠ACD不一定成立，故A选项不正确，不符合题意： ,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, .'.AB=ED=EF+FD ∴BA>EF,故C选项不正确，不符合题意；故选：D 8.A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：(1一x),两天后记得的知识为：(1一x)2, 即可求解： 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：(1-x),两天后记得的知识为：(1-x)2,∴.(1-x)2=50%, 故选：A 9.B 第8页 【分析】过点A作直线l3的垂线，垂足为E,交l2于H,过点B作直线l3的垂线，垂足为F,证明△AEC兰△CFB(AAS), 得到EC、BF、AC的长度，再根据4/几z/仍，得到是=怨便可计算AD. 【详解】解：过点A作直线的垂线，垂足为E,交l2于H,过点B作直线3的垂线，垂足为F,如图所示： ,l1与2的距离为1,1与3的距离为4 ∴.AE-4AH=1ED=BE=3 又，Rt△ABC∠ACB=90°∠E=90° .LECA+EAC=90°LECA+FCB=90° 入 □ ∴.LEAC=∠FCB 又AC=BCLE=∠F=90° ∴.△AEC兰△CFB(AAS) ..EC-BF=3 ∴.AC=VAE2+EC2=5 又.l1/l2/几3 提光 AD- 【点睛】本题考查了构造三角形全等，等腰三角形性质，利用三角形全等的性质，计算相关线段的长度，同时也考 查了平行线分线段成比例，掌握这些知识点，再题目中合理的运算才是关键. 10.A 【分析】先求出抛物线的对称轴x=-会=-2，再根据二次函数的性质，当点40m,y)和B(0m+2,y2)在直线x=-2 的左侧时，则m<-4;当点A(m,y1)和B(m+2,y2)在直线x=-2的两侧时，则m+2-(-2)<-2-m,然分 别解两个不等式即可得到的范围. 【详解】解：抛物线)=ax2+4ax+c(a≠0)的对称轴为直线x=-:-一2，：C为抛物线的顶点，“xo=-2, ,yo≥y2>y1,.抛物线开口向下， ∴.当点A(m,y1)和B(m+2,y2)在直线x=-2的左侧时，m+2<-2,解得m≤-4； 当点A(m,y1)和B(m+2,y2)在直线x=-2的两侧，m+2-(-2)<-2-m,解得m<-3;且点A(m,y1)和 B(m+2,y2)在两侧应加上在两侧的条件m<-2<m+2,即-4<m<-2在两侧最终解得-4<m<-3: 综上所述，m的范围为m<-3.故选：A. 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质：熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足其解 析式的性质是解题的关键. 11.a(b-a) 【分析】直接提取公因式a即可完成分解. 第9页 【详解】解：ab-a2=a(b-a. 12.36°#6度 【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题. 【详解】解：“∠ABC=5-2x180=108°，4ABC是等腰三角形， 5 ·∠BAC=∠BCA=36度，故答案为：36°#6度. 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质.解题关键在于知道边形的内角和为：180° (n-2). 13.-6 【分析】本题主要考查了分式的加减.根据异分母分式相加减可得。=3，从而得到b-Q=3b,再代入计算， 即可 【详解】解：片吉3，品=3,6-Q=3b,2=20-2%驰-6故答案为：-6. ab ab ab ab 14.43 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性 质，根据平行四边形的性质得到AD‖BC,OB=OD=,BD=6,可证明△OAF≌△OCE(AAS)得到EF=20F,用 含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出O℉的长即可得到答案， 【详解】解：，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,BD=12, ∴AD I BC,0B=0D=BD=6, ∴.LOAF=∠OCE,∠OFA=∠OEC, .∴.△OAF≌△OCE(AAS), .0F=0E, ∴.EF=20F: ·EF⊥BD, ∴.∠F0D=90°， ,LADB=30°， .DF=20F, ∴.0D=√DF2-0Fz=V30F=6, ∴.0F=23 ∴.EF=4v3,故答案为：4W3. 15.小亮 【分析】根据加权平均数的计算公式，分别计算出三人在权重变化前后的加权平均分，再计算各人成绩的变化量， 比较变化量即可得到结果. 第10页