专题01 实数（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材沪科版

专题01 实数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用平方根解方程 题型02 实数的分类 题型03 实数的相反数、倒数、绝对值 题型04 根据数轴上点的特点进行化简 题型05 实数大小的比较 题型06 无理数的估算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平方根、算术平方根、立方根的概念与表示 能准确区分平方根和算术平方根的概念，规范书写；掌握三者之间的性质。 基础必考点，常出现在选择题、填空题，常规出现3分至6分。 无理数的概念 会判断一个数是不是无理数。 以选择或填空的形式出现，判断是不是无理数，或写出一个满足条件的无理数。 实数的分类 掌握实数的分类标准和依据，不重不漏。 以选择的形式出现，判断一个数是不是无理数，结合新定义下的实数运算进行考查。 实数大小的比较 掌握比较实数大小的方法，数轴法、平方法、作差法、估算法。 常以选择、填空的形式考察，偶尔也结合数轴、估算等综合考查。 实数的运算 掌握实数的运算顺序、运算律的使用，以及分母有理化的步骤与方法。 以解答题的形式呈现，结合绝对值、根号、乘方等综合考查。 无理数的估算 会利用夹逼法的无理数进行估算，能确定无理数的整数部分或小数部分，结合估算解决实数大小比较、数轴定位问题。 多数以填空、选择的形式出现，常考整数或小数部分的相关计算，结合新定义考查。 算术平方根的非负性 理解双重非负性的意义并会运用其解决非负性有关的问题。 以填空压轴、选择出现，求代数式的值或判定三角形的形状，结合平方、绝对值综合考查。 实数与数轴的综合应用 会用数轴表示实数，判断正负与大小，计算数轴上两点之间的距离，结合数轴化简含绝对值、根号的式子。 以选择、填空、解答的形式出现，常常结合动点问题、数形结合考查。 实数的实际应用 会利用平方根、立方根解决面积、体积问题，建立模型解决简单实际问题。 常结合几何问题、物理情景，以填空、选择的形式考查。 知识点01 平方根的概念 如果一个数的平方等于a，即 x2=a，那么这个数x叫做a的平方根，表示为（a≥0）。 ·示例：求16的平方根，∵x2=16 ，∴x=±4，∴16的平方根是±4。 ·易错点：负数没有平方根，求平方根必须带±，不能只写正数。 知识点02 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为（a≥0），结果是非负数，特别=0。 ·示例：求16的算术平方根，=4。 ·易错点：算术平方根是一个非负数，题目问“算术平方根”不能写 ±，如错误，正确答案为4。 知识点03 立方根 如果，那么x叫做a的立方根，表示为，a是任何数。 ·示例：，，。 ·易错点：任何数都有立方根，很多人误认为负数没有立方根，立方根只有一个，与原数同正同负，多数同学计算错误，正确答案为2. 知识点04 两个重要的公式 1.，2.（a≥0）。 ·示例：，2. ·易错点：两个公式极易混淆，忘了被开方数的的取值范围.. 知识点05 无理数的概念与判断 无限不循环小数称为无理数。 ·示例：开方开不尽的数，如，，；含的式子，有规律但不循环的数，如0.1010010001...。 ·易错点：误认为带根号的就是无理数，比如就是有理数，记住无理数的概念才是关键。 知识点06 实数的概念 有理数+无理数统称为实数。 ·示例：实数分为有理数和无理数，有理数包括有限小数和无限循环小数；无理数指的是无限不循环小数。 ·易错点：实数和数轴上的点一一对应关系，每个点都表示一个实数，不能把无理数当成无限小数。 知识点07 实数的相反数 实数a的相反数为-a ·示例：的相反数为-的相反数为-。 ·易错点：相反数只有符号不同，其它不变。 知识点08 实数的绝对值 非负数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。 ·示例：=，=。 ·易错点：去绝对值符号之前先判断正负，再根绝绝对值的性质决定要不要变号 知识点09 比较实数的大小 方法有数轴法，平方法，作差法等 ·示例：比较和2.2的大小可以这样来，，，因为5>4.84，所以>2.2。 ·易错点：比较两个负数的大小时容易搞反，如, 知识点10 实数的运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号。 ·示例：=。 ·易错点：运算顺序混乱，先加减后乘除直接错误，运算过程中符号出错，如，正确为-2。 知识点11 非负性的应用 几个非负数，≥0，≥0,≥0,几个非负数相加为0，可得每一个都为0， ·示例：，可得x+1=0，y+2=0。 ·易错点：看不出隐含条件被开方数为非负数，不会列方程，只会解一个未知数。 题型一 利用平方根解方程 解｜题｜技｜巧 先把平方单独放一边，开方时一定加上±，最后算两个解 【典例1】求式子中x的值： 【答案】 【分析】根据题意整理得到，再利用平方根性质求解，即可解题． 【详解】解： ． 【变式1】解方程：； 【答案】(1)， 【分析】本题考查根据平方根和立方根解方程；先得到，再根据平方根的性质求解即可； 【详解】解：， ， 开平方得：， 解得：，． 【变式2】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查运用平方根解方程，掌握平方根的计算方法是关键，根据题意，去分母，去括号，移项，整理为，再运用平方根的计算即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 整理得，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得，． 题型二 实数的分类 解｜题｜技｜巧 先看能不能写成分数，能就是有理数，不能则是无理数，记住三类无理数的特点，含π的，开方开不尽的，如，，，无限不循环小数；有限小数、整数、分数、无限循环小数都是有理数。 【典例1】在数，，0，中为无理数的是（   ） A． B．0.6 C．0 D． 【答案】D 【分析】有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：是整数，属于有理数； 0.6是有限小数，可化为分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数． 【变式1】在（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有_________个． 【答案】5 【分析】根据有理数的分类分析即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：在（每两个1之间依次多一个中， 是有理数，共有5个． 故答案为：5． 【变式2】将下列各数填在相应的大括号内． 3.030030003…（每两个3之间依次增加一个0），，，3.1415926，，0，，，，． 有理数：{                                    ，…}； 无理数：{                                    ，…}； 正实数：{                                    ，…}； 整数：{                                    ，…}． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了实数的分类（有理数、无理数、正实数、整数），解题关键是先化简能计算的数，再根据定义准确分类，注意无限不循环小数是无理数，而整数和分数都属于有理数． 先根据有理数、无理数、正实数、整数的定义，对每个数进行化简和判断，再将它们分类填入对应的集合中． 【详解】解：（每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，属于无理数，也是正实数； ，是有理数、整数和正实数； 是无限不循环小数，属于无理数，也是正实数； 是有限小数，属于有理数，也是正实数； 是有限小数，属于有理数； 是有理数和整数； 是分数，属于有理数，也是正实数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，是有理数、整数和正实数； 是无限不循环小数，属于无理数，也是正实数． 综合以上，分类如下： 有理数集合包括：、、、、、； 无理数集合包括：、、、； 正实数集合包括：、、、、、、； 整数集合包括：、、． 则填在相应的大括号内为： 有理数：； 无理数：； 正实数：； 整数：． 题型三 实数的相反数、倒数、绝对值 解｜题｜技｜巧 相反数只变符号，根号不动；绝对值结果非负，绝对值的性质是关键；倒数指乘积为1的两个数，求一个数的倒数直接用1除以这个数。 【典例1】的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，实数的运算，根据绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：， 的相反数是， 故选：B． 【变式1】实数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的运算，实数的性质，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴实数的倒数是， 故选：D． 【变式2】的绝对值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，实数的性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 题型四 根据数轴上点的特点进行化简 解｜题｜技｜巧 根据数轴上点的位置判断绝对值符号内的数的正负形，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号即可进行化简。 【典例1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是______． 【答案】a 【分析】本题考查数轴，绝对值，算术平方根，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据数轴确定，再进行绝对值和算术平方根的化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：根据数轴可知， ． 故答案为：a． 【变式1】如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m， (1)求m的值. (2)求丨m﹣3丨+m+2的值. 【答案】(1)； (2)5． 【分析】（1）根据题意可知点B表示的数为点A表示的数加上2，据此可求出m的值； （2）将m的值代入待求式中，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，利用实数的加减运算求解． 【详解】（1）蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B， 点B表示的数比点A表示的数大２， 点A表示的数为，点B表示的数为m， ． （2）, = = =5． 【变式2】如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值为　　　　　　． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，差的绝对值是大数减小数，注意数轴上的点向右移动加，向左移动减． （1）根据数轴上的点向右移动加，可得答案； （2）根据差的绝对值是大数减小数，可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据题意可知， ． 题型五 实数大小的比较 解｜题｜技｜巧 两个正数可用平方法；两个负数比较绝对值大的反而小；还可以用估算法。 【典例1】在，0，3， 这四个数中，最大的数是（      ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】先对进行估算，再根据实数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：，则， ∴， ∴最大的数为． 【变式1】比较大小：___________（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】估算数值进行比较大小． 【详解】解：∵，， ∴ 【变式2】“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ∵，又∵，则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_______，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数比较大小，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法可得，据此可得的整数部分是5，则可推出，的整数部分是1，由此可得答案； （2）求出，再仿照题意可证明，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是5，的整数部分是1， ∴的小数部分是； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型六 无理数的估算 解｜题｜技｜巧 找两个相邻整数的平方夹住它（夹逼法），小数部分=原数-整数部分。 【典例1】估算的值（   ） A．在3到4之间 B．在5到6之间 C．在4到5之间 D．在2到3之间 【答案】C 【分析】使用夹逼法估算无理数的大小，只需找到与21相邻的两个完全平方数即可求解． 【详解】解：， ∴ ， 即 ， ∴ 的值在4到5之间． 【变式1】与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先利用平方数确定的取值范围，再判断更接近的整数，即可求出最接近的整数． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴ 与最接近的整数是． 【变式2】已知整数满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，关键是找到与50相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而求出m的值． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵，且m为整数， ∴； 故选：D. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．求下列式子中的值：． 【答案】或． 【分析】本题考查了利用平方根解简单方程，熟记定义是解答本题的关键． 先两边都除以4，再根据平方根的定义进行求解； 【详解】解：两边都除以4，得 ， 两边都除以4得，， 由平方根的定义得，， 即或． 2．比较大小：和 【答案】 【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可；本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 3．把下列各数的序号分别填在相应的集合中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（每相邻两个之间的个数逐渐多）． 【答案】见解析 【分析】根据负有理数，正实数，分数的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：如图： 【点睛】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 4．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根、平方根以及立方根和估算无理数的大小，直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案，正确得出a，b，c的值是解题关键． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为：． 5．在物理学中，用电器的电阻R与电流I、功率P之间有如下的一个关系式：现有一用电器，电阻为16欧，该用电器功率为1600瓦，求通过用电器的电流I是多少安． 【答案】通过用电器的电流I是10安 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题关键是正确求解算术平方根．本题应先将电阻与功率的数值代入关系式中，再利用算术平方根的定义求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ， ∴， 答：通过用电器的电流I是10安． 6．数轴上的点A、B依次表示两个实数． （1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置； （2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是，求点C所对应的实数． 【答案】（1）见解析；（2）或﹣3 【分析】（1）根据两个数的范围找到其在数轴上的大致位置． （2）利用数轴上两点间的距离公式即可计算． 【详解】解：（1）如图： （2）设点C表示的数是x，则： |x+|＝2． ∴x＝或﹣3． ∴点C表示的数是或﹣3． 【点睛】本题考查数轴上的点与实数的对应关系即数轴上两点间的距离公式，正确使用距离公式是求解本题关键． 7．定义一种新运算：规定，如． (1)计算的值． (2)若表示不大于的最大整数，如：，求． 【答案】(1)3 (2)28 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义运算法则是解题关键． 根据新定义运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在数轴上标出表示下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】详见解析， 【分析】先计算算术平方根，估算无理数的大小，再在数轴上标出表示下列各数的点，根据数轴比较大小，即可求解． 【详解】解：，，，则 如图所示： 上述各数大小关系为： 2．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根、求代数式的值、数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点的间的距离公式计算即可得出结果； （2）由（1）可得，将其代入所求式子计算即可得出结果； （3）根据非负数的性质求出，，再求出的值，再根据算术平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根为． 3．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的算术平方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义列出关于的方程，解方程求出的值，再根据算术平方根的定义即可求出的值； （2）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴，即， 解得， ∵是的算术平方根，， ∴， 综上，，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 4．计算: (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据算术平方根定义，立方根定义，绝对值意义进行计算即可； （3）先变形然后再进行加减计算即可； （4）将变形为，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．作图并比较大小： (1)如图，先在数轴上准确作出对应的点，再用小黑点标明，，，，，这个数依次对应的点，点，点，点，点； (2)用“”号将这几个数连接起来． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、利用数轴比较有理数的大小、实数的大小比较，解题关键是熟练掌握数轴上表示数及比较大小． （1）先作顶点在数轴原点，边长为的正方形，正方形的对角线即为，再以原点为圆心，正方形对角线为边长在数轴上作圆，交数轴于点，此时，再在数轴上找出点，点，点，点，即可得图； （2）结合数轴即可比较实数大小． 【详解】（1）解：先作顶点在数轴原点，边长为的正方形，正方形的对角线即为， 再以原点为圆心，正方形对角线为边长在数轴上作圆，交数轴于点，此时， 再在数轴上找出点，点，点，点，即可得下图： （2）解：由（1）得，． 6．定义：若，则称与是关于2的“对称数”． (1)5与 是关于2的“对称数”； (2)与 是关于2的“对称数”(用含的代数式表示)． (3)若，，判断与是否是关于2的“对称数”，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当或时，与是关于2的“对称数”，否则，与不是关于2的“对称数” 【分析】此题主要考查了新定义，整式的加减，解题的关键是能根据题目定义列式并计算． （1）根据关于2的“对称数”的运算法则进行计算即可； （2）根据关于2的“对称数”的运算法则进行计算即可； （3）根据关于2的“对称数”的运算法则进行计算，并判断的取值为何时满足定义． 【详解】（1）解：根据关于2的“对称数”的运算法则可得， ， ∴5与是关于2的“对称数”， 故答案为：； （2）解：根据关于2的“对称数”的运算法则可得， ， ∴与是关于2的“对称数” 故答案为：； （3）解： ∴当或时，与是关于2的“对称数”，否则，与不是关于2的“对称数”． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.在数轴上点表示的数为，点在点的左侧，且点与点之间的距离为5，点表示的实数为． (1)化简：； (2)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）根据题意，得，利用绝对值的定义化简求解即可； （2）根据相反数的性质，非负数的性质，算术平方根定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 所以； （2）解：因为与互为相反数， 所以． 又因为， 所以， 解得， 所以， 所以的算术平方根为6． 2．阅读理解． ，即． 的整数部分为1， 的小数部分为． 解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分． (1)求的值； (2)求的平方根，提示：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据被开方数越大算术平方根越大，可得a，b的值； （2）先将a，b的值代入求值，再求出其平方根即可． 【详解】（1）解： ，即， ，； （2）把，代入得， ， 的平方根为 则的平方根为． 3．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： 因为，，又因为，所以．所以能确定的立方根是个两位数． 的个位数是，又因为，能确定的立方根的个位数是． 若划去后面的三位得到数，而，则，可得，由此确定的立方根的十位数是，因此的立方根是．求的立方根． 【答案】 【分析】仿照例题，先判断立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得解． 【详解】解：，，， ． 能确定的立方根是个两位数． 的个位数是3，， 能确定的立方根的个位数是． 若划去后面的三位得到数， 而， 则， ． 能确定的立方根的十位数是， 的立方根是． 4．我们都学过下图中王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．若观测点的高度为，则观测者能看到的最远距离（其中）已知小明站在鹳雀楼下，此时． (1)小明能看到距离鹳雀楼处的黄河吗？说明理由； (2)当小明站在鹳雀楼上时，此时，求的长． 【答案】(1)能，理由见解析 (2) 【分析】本题考查算术平方根的实际应用、代数式求值，理解题意是解答的关键． （1）将代入求得值，再比较大小即可求解； （2）将代入求得值，进而作差求解即可． 【详解】（1）解：能，理由： ∵， ∴小明在鹳雀楼下时能看到距离鹳雀楼处的黄河； （2）解：由题意，， ∴， 答：的长为． 5．阅读下列材料，完成后面任务： 问题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 解：根据题意，得或……………………………第一步 解得或………………………………第二步 当时，，所以这个数是9………………………第三步 当时，，所以这个数是1…………………第四步 综上所述，这个数是9或1…………………………第五步 任务： (1)上述解法是错误的，错在第___________步； (2)请写出本题正确的解题过程． 【答案】(1)四 (2)这个数是9，过程见解析 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握二者的定义是解答本题的关键．如果一个数x的平方等于a，即，x叫做a的平方根；如果一个正数x的平方等于a，即，那么x叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0． （1）根据平方根和算术平方根的定义分析即可； （2）根据平方根和算术平方根的定义写出正确的过程即可． 【详解】（1）解：∵当时，，不符合算术平方根的定义，舍去， ∴第四步错误． 故答案为：四； （2）解：根据题意，得或， 解得或， 当时，，所以这个数是9， 当时，，不符合算术平方根的定义，舍去． 综上所述，这个数是9． 6．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 7．在剪纸拼图活动中，小明同学把图1中的大正方形纸片沿所示的虚线剪出4个完全相同的直角三角形与图1中小正方形纸片无缝隙不重叠拼成图2的正方形，经测量图1中的两个正方形纸片的边长分别为4和2，请你求出图2中正方形的边长，并将结果估算出在哪两个整数之间． 【答案】，和两个整数之间 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先求出大正方形的面积，进而求出边长，再根据整数的范围，即可得出无理数的范围． 【详解】解：由题意图2中大正方形面积， 大正方形的边长. ∵， ， ∴图2中正方形的边长在4和5两个整数之间． 8．阅读下面材料，并完成相应任务． 用夹值法估计无理数的大小 通过学习，我们知道很多正有理数的算术平方根或立方根是无理数，例如，，，等都是无理数，我们可以用有理数近似的表示它们，一般用科学计算器进行计算．当没有计算器时，我们可以用夹值法估算其大小． 例：探究的大小． 解：∵，，而， ∴． ∵，，而， ∴． ∵，，而， ∴． …… 如此进行下去，可以得到的更精确的近似值． 任务： (1)根据下表回答问题： x 18 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 ①的平方根是______； ②______（精确到0.1）； ③请直接写出在表中哪两个相邻的数之间． (2)请仿照上述方法求在哪两个相邻的数之间（精确到0.1）． 【答案】(1)①；②；③在和之间 (2)在和之间 【分析】本题考查实数的估算方法，熟练掌握实数的估算方法是解题的关键． （1）①结合表格中数据即可得出结果；②结合表格中数据即可得出结果；③结合表格中数据得，，即可得出结果； （2）根据题干中的例题计算方法求解即可． 【详解】（1）解：①∵ ， ∴的平方根是； 故答案为：； ②∵， ∴； 故答案为：； ③∵，， ∴在和之间； （2）解：∵，，而， ∴． ∵，，而， ∴， ∴在和之间． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用平方根解方程 题型02 实数的分类 题型03 实数的相反数、倒数、绝对值 题型04 根据数轴上点的特点进行化简 题型05 实数大小的比较 题型06 无理数的估算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平方根、算术平方根、立方根的概念与表示 能准确区分平方根和算术平方根的概念，规范书写；掌握三者之间的性质。 基础必考点，常出现在选择题、填空题，常规出现3分至6分。 无理数的概念 会判断一个数是不是无理数。 以选择或填空的形式出现，判断是不是无理数，或写出一个满足条件的无理数。 实数的分类 掌握实数的分类标准和依据，不重不漏。 以选择的形式出现，判断一个数是不是无理数，结合新定义下的实数运算进行考查。 实数大小的比较 掌握比较实数大小的方法，数轴法、平方法、作差法、估算法。 常以选择、填空的形式考察，偶尔也结合数轴、估算等综合考查。 实数的运算 掌握实数的运算顺序、运算律的使用，以及分母有理化的步骤与方法。 以解答题的形式呈现，结合绝对值、根号、乘方等综合考查。 无理数的估算 会利用夹逼法的无理数进行估算，能确定无理数的整数部分或小数部分，结合估算解决实数大小比较、数轴定位问题。 多数以填空、选择的形式出现，常考整数或小数部分的相关计算，结合新定义考查。 算术平方根的非负性 理解双重非负性的意义并会运用其解决非负性有关的问题。 以填空压轴、选择出现，求代数式的值或判定三角形的形状，结合平方、绝对值综合考查。 实数与数轴的综合应用 会用数轴表示实数，判断正负与大小，计算数轴上两点之间的距离，结合数轴化简含绝对值、根号的式子。 以选择、填空、解答的形式出现，常常结合动点问题、数形结合考查。 实数的实际应用 会利用平方根、立方根解决面积、体积问题，建立模型解决简单实际问题。 常结合几何问题、物理情景，以填空、选择的形式考查。 知识点01 平方根的概念 如果一个数的平方等于a，即 x2=a，那么这个数x叫做a的平方根，表示为（a≥0）。 ·示例：求16的平方根，∵x2=16 ，∴x=±4，∴16的平方根是±4。 ·易错点：负数没有平方根，求平方根必须带±，不能只写正数。 知识点02 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为（a≥0），结果是非负数，特别=0。 ·示例：求16的算术平方根，=4。 ·易错点：算术平方根是一个非负数，题目问“算术平方根”不能写 ±，如错误，正确答案为4。 知识点03 立方根 如果，那么x叫做a的立方根，表示为，a是任何数。 ·示例：，，。 ·易错点：任何数都有立方根，很多人误认为负数没有立方根，立方根只有一个，与原数同正同负，多数同学计算错误，正确答案为2. 知识点04 两个重要的公式 1.，2.（a≥0）。 ·示例：，2. ·易错点：两个公式极易混淆，忘了被开方数的的取值范围.. 知识点05 无理数的概念与判断 无限不循环小数称为无理数。 ·示例：开方开不尽的数，如，，；含的式子，有规律但不循环的数，如0.1010010001...。 ·易错点：误认为带根号的就是无理数，比如就是有理数，记住无理数的概念才是关键。 知识点06 实数的概念 有理数+无理数统称为实数。 ·示例：实数分为有理数和无理数，有理数包括有限小数和无限循环小数；无理数指的是无限不循环小数。 ·易错点：实数和数轴上的点一一对应关系，每个点都表示一个实数，不能把无理数当成无限小数。 知识点07 实数的相反数 实数a的相反数为-a ·示例：的相反数为-的相反数为-。 ·易错点：相反数只有符号不同，其它不变。 知识点08 实数的绝对值 非负数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。 ·示例：=，=。 ·易错点：去绝对值符号之前先判断正负，再根绝绝对值的性质决定要不要变号 知识点09 比较实数的大小 方法有数轴法，平方法，作差法等 ·示例：比较和2.2的大小可以这样来，，，因为5>4.84，所以>2.2。 ·易错点：比较两个负数的大小时容易搞反，如, 知识点10 实数的运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号。 ·示例：=。 ·易错点：运算顺序混乱，先加减后乘除直接错误，运算过程中符号出错，如，正确为-2。 知识点11 非负性的应用 几个非负数，≥0，≥0,≥0,几个非负数相加为0，可得每一个都为0， ·示例：，可得x+1=0，y+2=0。 ·易错点：看不出隐含条件被开方数为非负数，不会列方程，只会解一个未知数。 题型一 利用平方根解方程 解｜题｜技｜巧 先把平方单独放一边，开方时一定加上±，最后算两个解 【典例1】求式子中x的值： 【变式1】解方程：； 【变式2】解方程：． 题型二 实数的分类 解｜题｜技｜巧 先看能不能写成分数，能就是有理数，不能则是无理数，记住三类无理数的特点，含π的，开方开不尽的，如，，，无限不循环小数；有限小数、整数、分数、无限循环小数都是有理数。 【典例1】在数，，0，中为无理数的是（   ） A． B．0.6 C．0 D． 【变式1】在（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有_________个． 【变式2】将下列各数填在相应的大括号内． 3.030030003…（每两个3之间依次增加一个0），，，3.1415926，，0，，，，． 有理数：{                                    ，…}； 无理数：{                                    ，…}； 正实数：{                                    ，…}； 整数：{                                    ，…}． 题型三 实数的相反数、倒数、绝对值 解｜题｜技｜巧 相反数只变符号，根号不动；绝对值结果非负，绝对值的性质是关键；倒数指乘积为1的两个数，求一个数的倒数直接用1除以这个数。 【典例1】的相反数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】实数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】的绝对值是（   ） A． B．2 C． D． 题型四 根据数轴上点的特点进行化简 解｜题｜技｜巧 根据数轴上点的位置判断绝对值符号内的数的正负形，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号即可进行化简。 【典例1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是______． 【变式1】如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m， (1)求m的值. (2)求丨m﹣3丨+m+2的值. 【变式2】如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值为　　　　　　． (2)求的值． 题型五 实数大小的比较 解｜题｜技｜巧 两个正数可用平方法；两个负数比较绝对值大的反而小；还可以用估算法。 【典例1】在，0，3， 这四个数中，最大的数是（      ） A． B．3 C．0 D． 【变式1】比较大小：___________（填“>”“<”或“=”） 【变式2】“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ∵，又∵，则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_______，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 题型六 无理数的估算 解｜题｜技｜巧 找两个相邻整数的平方夹住它（夹逼法），小数部分=原数-整数部分。 【典例1】估算的值（   ） A．在3到4之间 B．在5到6之间 C．在4到5之间 D．在2到3之间 【变式1】与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】已知整数满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．求下列式子中的值：． 2．比较大小：和 3．把下列各数的序号分别填在相应的集合中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（每相邻两个之间的个数逐渐多）． 4．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 5．在物理学中，用电器的电阻R与电流I、功率P之间有如下的一个关系式：现有一用电器，电阻为16欧，该用电器功率为1600瓦，求通过用电器的电流I是多少安． 6．数轴上的点A、B依次表示两个实数． （1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置； （2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是，求点C所对应的实数． 7．定义一种新运算：规定，如． (1)计算的值． (2)若表示不大于的最大整数，如：，求． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在数轴上标出表示下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 2．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 3．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的算术平方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 4．计算: (1)； (2)； (3)； (4)． 5．作图并比较大小： (1)如图，先在数轴上准确作出对应的点，再用小黑点标明，，，，，这个数依次对应的点，点，点，点，点； (2)用“”号将这几个数连接起来． 6．定义：若，则称与是关于2的“对称数”． (1)5与 是关于2的“对称数”； (2)与 是关于2的“对称数”(用含的代数式表示)． (3)若，，判断与是否是关于2的“对称数”，并说明理由． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.在数轴上点表示的数为，点在点的左侧，且点与点之间的距离为5，点表示的实数为． (1)化简：； (2)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 2．阅读理解． ，即． 的整数部分为1， 的小数部分为． 解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分． (1)求的值； (2)求的平方根，提示：． 3．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： 因为，，又因为，所以．所以能确定的立方根是个两位数． 的个位数是，又因为，能确定的立方根的个位数是． 若划去后面的三位得到数，而，则，可得，由此确定的立方根的十位数是，因此的立方根是．求的立方根． 4．我们都学过下图中王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．若观测点的高度为，则观测者能看到的最远距离（其中）已知小明站在鹳雀楼下，此时． (1)小明能看到距离鹳雀楼处的黄河吗？说明理由； (2)当小明站在鹳雀楼上时，此时，求的长． 5．阅读下列材料，完成后面任务： 问题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 解：根据题意，得或……………………………第一步 解得或………………………………第二步 当时，，所以这个数是9………………………第三步 当时，，所以这个数是1…………………第四步 综上所述，这个数是9或1…………………………第五步 任务： (1)上述解法是错误的，错在第___________步； (2)请写出本题正确的解题过程． 6．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 7．在剪纸拼图活动中，小明同学把图1中的大正方形纸片沿所示的虚线剪出4个完全相同的直角三角形与图1中小正方形纸片无缝隙不重叠拼成图2的正方形，经测量图1中的两个正方形纸片的边长分别为4和2，请你求出图2中正方形的边长，并将结果估算出在哪两个整数之间． 8．阅读下面材料，并完成相应任务． 用夹值法估计无理数的大小 通过学习，我们知道很多正有理数的算术平方根或立方根是无理数，例如，，，等都是无理数，我们可以用有理数近似的表示它们，一般用科学计算器进行计算．当没有计算器时，我们可以用夹值法估算其大小． 例：探究的大小． 解：∵，，而， ∴． ∵，，而， ∴． ∵，，而， ∴． …… 如此进行下去，可以得到的更精确的近似值． 任务： (1)根据下表回答问题： x 18 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 ①的平方根是______； ②______（精确到0.1）； ③请直接写出在表中哪两个相邻的数之间． (2)请仿照上述方法求在哪两个相邻的数之间（精确到0.1）． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $