北京景山学校2025-2026学年高一第二学期学情调研数学试卷

@2       2025-2026学年高一年级第二学期学情调研 数学答题卡 2026.03 ( 姓名:________________ 班级:________________ 座位:________________ ) ( 准考证号填涂区                                                                                           ) ( 注意事项： 答题前，请认真阅读试卷上的注意事项，并保持卡面清洁，不要折叠、损坏 答题说明： 请按题号用 0.5毫米黑色墨水的签字笔书写（如需作图，须使用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗），并在各题规定的黑色矩形区域内答题，否则作答无效。 ) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1  5  2  6  3  7  4  8  二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9  11  10  ( 二、填空题（本大题共 3 小题，每小题5分，共 15 分） 1 2 ． 　　　　　　　 ； 1 3 ． 　　　　　　　　 ； 1 4 ． 　　　　　　　　 ； ) ( 本 区域 不得 答题 ) ( 1 5 .本小题1 3 分 ) ( 1 6 .本小题1 5 分 ) ( 1 7 .本小题1 5 分 ) ( 1 8 .本小题1 7 分 ) ( 1 9 .本小题1 7 分 ) 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 数学 答题卡 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 2025-2026学年高一年级第二学期学情调研 数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． CCDD CBCD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．ABD 10．BCD 11．BCD 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12． 13． 14． 四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知都是锐角，且，， (1)求的值； (2)求的值. 【解】（1），； …………5分 【注意】：第一问公式正确得2分，全对得5分！ （2）都是锐角，，， 又，，， ，，，…………7分 ，…………10分 ，.…………13分 【注意】：第二问用平方关系不交代角的范围扣1分； 求出余弦值或者正切值得3分；求角的大小不交代范围，答案正确扣1分，答案错误没有分！ 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域. 【解】（1）解：…………6分 所以最小正周期为； …………9分 （2）， ， …………13分 的值域为. …………15分 17．（本小题满分15分）已知以下四个式子的值都等于同一个常数 ； ； ； . （1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数. （2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【解】（1）由第四个式子： …………6分 【注意】：选择其他，化简过程3分，结论正确3分； （2）证明： …………10分 …………15分 【注意】：提出一般性结论4分，化简证明正确5分； 18．（本小题满分17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值；（5分） (2)判断函数的单调性，并用定义法证明你的结论；（6分） (3)若对任意的不等式成立，求实数的取值范围.（6分） 【解】（1）由题意，定义在上的函数为奇函数， 得，解得， …………2分 此时， 则， 所以函数是上奇函数，所以. …………5分 【注意】：本问只有答案，没有定义证明扣3分； （2）由（1）知 ， 定义域为，函数在上单调递增， …………7分 证明如下： 任取，则 ， 由及在上单调递增，得， 则， 即，所以函数在上单调递增. …………11分 【注意】：本问结论2分，定义证明过程4分，共计6分 （3）依题意，对任意的，成立， 因为为定义在上的奇函数， 则， 又因为函数在上单调递增， 则， 即在上恒成立， …………14分 即， 而在上单调递增， 当且仅当时，取到最小值6， 因此，所以实数的取值范围是. …………17分 【注意】：本问正确转化3分，得到答案3分，共计6分 19．（本小题满分17分）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科. (1)记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明；（5分） (2)若角满足，求的值；（7分） (3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. （5分） 【解】（1） …………2分 . …………5分 （2）由（1）及已知得： 解得：， …………7分 又 . …………10分 由得：， . …………12分 （3）即 ………14分 两边除去得：即 化简得：，解得：（负舍） 由题意知黄金分割值为 ………17分 高一数学试卷 第2页 高一数学试卷 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 2025-2026学年高一年级第二学期学情调研参考答案 数学试卷 2026.03 一、单选题（共8小题，每小题5分，合计40分） 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】由题意可知，则， 所以， 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】由题. 故选：D 4．下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】，A错误； ，B错误； ，C错误； 正确． 故选：D 5．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【解】因为，所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：C 6．已知角，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】由，，则， 则， ， 所以 . 故选：B. 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】由已知可得：， 所以， 又，则，故. 故选：C. 8．数学家威廉•邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观､精巧的图示就能完整传达数学定理的证明.如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（四边形为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，通过推导可知（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】在中，因为，可得， 在直角中，可得 在直角中，可得， 所以. 故选：D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，合计18分） 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．当时， C．的解集为 D． 【答案】ABD 【解】对于A：函数的定义域为， 故A正确； 对于B：函数在单调递减，所以当时， 函数，故B正确； 对于C：函数在单调递减，， 即，解得， 故C错误； 对于D：， 故D正确. 10．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 11．已知为锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解】对于A、B，，则， ，故A错误，B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以， 由， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，合计15分） 12．计算：__________. 【答案】 【解】原式 13．已知正实数，满足，则的最小值是_____. 【答案】 【解】因为，所以， 当且仅当，上式取等号， 则的最小值是, 14．十七世纪著名天文学家开普勒曾这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”底与腰之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形被认为是最美的三角形，如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在中，，．根据以上信息，可得图中黄金三角形顶角的余弦值为______. 【答案】 【解】由题意，在中，易得， 则, 故答案为： 四、解答题（共5小题，合计77分） 15．（本小题满分13分）已知都是锐角，且，， (1)求的值； (2)求的值. 【解】（1），； （2）都是锐角，，， 又，，， ，，， ， ，. 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域. 【解】（1）解： 所以最小正周期为； （2）， ，的值域为. 17．（本小题满分15分）已知以下四个式子的值都等于同一个常数 ； ； ； . （1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数. （2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【解】（1）由第四个式子： （2）证明： 18．（本小题满分17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)若对任意的不等式成立，求实数的取值范围. 【解】（1）由题意，定义在上的函数为奇函数， 得，解得， 此时， 则， 所以函数是上奇函数，所以. （2）由（1）知 ， 定义域为，函数在上单调递增， 证明如下： 任取，则 ， 由及在上单调递增，得， 则， 即，所以函数在上单调递增. （3）依题意，对任意的，成立， 因为为定义在上的奇函数， 则， 又因为函数在上单调递增， 则， 即在上恒成立， 即， 而在上单调递增， 当且仅当时，取到最小值6， 因此，所以实数的取值范围是. 19．（本小题满分17分）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科. (1)记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明； (2)若角满足，求的值； (3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. 【解】（1） . （2）由（1）及已知得：解得：， 又 . 由得：， . （3）即 两边除去得：即 化简得：，解得：（负舍） 由题意知黄金分割值为 高一数学试卷 第2页 高一数学试卷 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $江蘇省扬中高级中學 AMLN2AMg￥MBKNO SE装MLa 高一数学 2025-2026学年高一年级第二学期学情调研 数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 CCDD CBCD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.ABD 10.BCD 11.BCD 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 13.1+22 14.1+5 3 4 四。解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(（本小腰满分13分)已知a,B都是锐角，且tama=3,cosp=5 5 (1)求tan2a的值； (2)求+B的值 【解】(1)tan a=3,.tan2a= 2tan2×33 1-tan2a1-32--4 …5分 【注意】：第一问公式正确得2分，全对得5分！ (2)a,P都是锐角，ma=3,cosB=5 5 又tana=sima sin2a+cos2a=1,sin2 B+cos2B=1, coS a ∴.sina= vo10,cosa=-1vio 33V10 o10,sime=25 …7分 5 cos()-cosacop-simasin 0525 …10分 105105 2 +Be(0,0,a+B=3 4 .…13分 【注意】：第二问用平方关系不交代角的范围扣1分： 求出+B余弦值或者正切值得3分：求角的大小不交代范围，答案正确扣1分，答案错误 没有分！ 高一数学试卷第1页 江族省扬中高级中學 AMLN2AMg￥MBKNO SE装MLa 16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=2W3 sinxcosx+cos2x-sin2x(x∈R) (1)求f(x)的最小正周期： (②当0<<号时，求f()的值域 【解】(1)解：fx)=V3sin2x+cos2x=2sin2x+ …6分 6 所以f(x)最小正周期为π； …9分 2)0<号吾<2+君7 6 66 m2 6s1, π …13分 .f(x)的值域为(-1,2]. …15分 17.(本小题满分15分)已知以下四个式子的值都等于同一个常数 sin2 26+cos2 34-3 sin 26 cos34: sin239 +cos221-3 sin39 cos 21'; sin2(-52）+cos2112-√3sin(-52）cos112°： sin230 +cos230-3sin30 cos30. (1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数 (2)根据(1)的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论， 【解】(1)由第四个式子：sin230+cos230-V5sin30cos30=1+3_3-1 4444 …6分 【注意】：选择其他，化简过程3分，结论正确3分： (2)证明：sin2a+cos2(60-a)-V3 sinacos(60°-a) …10分 2 sin'a-v3 3 sin'a+-cos a+ -sin acosa+ sin2a 4 4 inacosa-3s 2 …15分 【注意】：提出一般性结论4分，化简证明正确5分： 高一数学试卷 第2页 江族省扬中高级中學 BAMI CMINS YANEOBCNOS HEELECCL 高一数学 18.（木小题满分17分)已知定义域为R的函数f)=,2是奇函数 2*+a2 (1)求实数a的值；(5分) (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义法证明你的结论；(6分) (3)若对任意的x∈[2,3]，不等式f(x2-x)+f(x2+4)>0成立，求实数m的取值范围.(6分) 【解】(1)由题意，定义在R上的函数f(x)为奇函数， 得f0)=1}=0,解得a=1, …2分 a+12 t时国=六 4好o0 所以函数f(x)是R上奇函数，所以a=1. …5分 《注意】：本问只有答案，没有定义证明扣3分： 2)电①⑩知1心)21上1与 2*+1222*+1 定义域为R,函数在R上单调递增， …7分 证明如下： 杆®54，侧e-ne2可 24-29 由x1>x2及y=2*在R上单调递增，得2>2>0， 24-2 则(2+12+>0， 即f(x)>f(x2),所以函数f(x)在R上单调递增 …11分 【注意】：本问结论2分，定义证明过程4分，共计6分 (3)依题意，对任意的x∈[2,3]，f(x2-x)>-f(x2+4)成立， 因为f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(x2-x)>f(-x2-4), 又因为函数f(x)在R上单调递增， 高一数学试卷第3页 江蘇省扬中高级中學 AMLN2AMg￥AAC9oa装ML 则x2-x>-x2-4, 即m<2x+4在x∈[2,3上恒成立， …14分 .4】 即m<2x+- 而y=2x+4在x[2,3]上单调递增， 1 当且仅当x=2时，2x+4取到最小值6， 因此m<6,所以实数的取值范围是m<6. …17分 【注意】：本问正确转化3分，得到答案3分，共计6分 19.（本小题满分17分)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十 边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s18°.三倍角公式是 把形如sin3a,cos3a等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物 理、天文等学科 (1)记cos3a=f(a),试写出此三倍角公式的具体内容，并证明；(5分) (2☒若角a满足c0s30=-1 COg2一一、，求.一的值：(7分) sina (3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.(5分) 【解】(1)cos3a=cos(2a+)=cos2 acosa-sin2 asina =(2cos2a-1)cosa-2sin'acosa …2分 =(2cosa-1)cosa-2(1-cos2a)cosa =4cos'a-3cosa. …5分 (2)由(1)及已知得： 4c0s'a-3cos0=4os2a-3=-7 cosa 解得：cos'a= 81 …7分 ysin3a sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina 2cos'asina+(1-2sin'a)sina =2(1-sin2 a)sina+(1-2sin'a)sina =3sina-4sin'a. …10分 高一数学试卷 第4页 江族指扬中高级中學 Ces装La 高一数学 sin3a 3sina-4sin'a =3-4sin2a sina sina 由cosa=得：sin'a=1-cos2a= 3 8 . sin30=3-4× 33 …12分 sina 82 (3)cos54=sin36即cos(3×18)=sin(2×18) ..4cos18-3cos18 2sin18 cos18 …14分 两边除去cos18得：4cos218-3=2sin18即41-sin218)-3=2sinl8 化简得：4sin218+2siml8-1=0,解得：in18=5-1（负舍) 4 由题意知黄金分制值为2sn18=5-】 …17分 2 高一数学试卷 第5页江蘇省扬中高级中學 X21 o2AMs￥MBKNO SE装L女w 高一数学 2025-2026学年高一年级第二学期学情调研 数学试卷 2026.04 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={-1,0,1,2},集合B={y川yx,x∈A},则A∩B=(▲) A.{-1} B.{L,2 C.{0,12 D.-1,0,1,2} 2.下列函数中，既是奇函数又在区间(0，+0)上为增函数的是 (▲) A.y=1 B.y=x2+2x C.y=x-3 D.y=-x 3.若cosa+》={ 43 ,则sin2a= (▲) 5 A.- 9 B.- 9 D日 4.下列计算结果是5的是 (▲) 3 A.2sin:3n B.sin15°cos15° C.cos 3 2tan 75 D. P tan275°-1 若sin(e+P)且ana=2tamP,则sin(c一月 (▲) A号 c.2 9 D. 6.已知角ae0引，0e径， sim(a+p)=2 sina=1 ,则siB=(▲) 12+10√2 A. B. 24V2+5 c.24v2-5 D.12-10W2 39 39 39 39 7.已知a,Be(0,), tana+tanB+√3=√3 tan atan B,则u+B= (▲) A. 6 C.2π 3 D.5n 6 8.数学家威廉·邓纳姆认为终极优雅是“无言的证明”，即通过一个直观、精巧的图示就能 D 完整传达数学定理的证明如图所示正是数学家所达到 2x 的“终极优雅”，该图（四边形ABCD为矩形）完美地展 示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，通过推导可知D AB =(▲）A A.sinx B.tanx C.tan'x-1 D.1-tan'x 高一数学试卷第1页 江蘇省楊中高级中學 9o3装银4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=log!x,则下列说法正确的是 (▲) A.函数f(x)的定义域为(0，+o) B.当0<x<1时，f(x)>0 1 C.f(x)>1的解集为 2,∞ 10.下列等式成立的是 (▲) A.sin26°-cos26°=cosl2 B.4sinl5cosl5°=1 C.sin6°-cos6°=-√2sin39° D. √3-tanl5° =1 1+√3tanl5° 山，已知aA为0角：ce+)-6os口-)-手则下列结论正确的是《△) A.cosacosp=1 B.tanotanp= 10 C.sin2osin2B=7 D.tand+tang=8 25 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分 0.5 12.计算： +lg4+lg25-2og:3= 13.已知正实数a,b满足a+b=3,则二+6的最小值是4 14.十七世纪著名天文学家开普勒曾这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理， 一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石，”底与腰 之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形被认为是最美的三角形，如图 所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在△ABC中，AC=AB, C-5-1.根据以上信息，可得图中黄金三角形顶角的余弦值为一▲ AC 2 高一数学试卷 第2页 江蘇省楊中高级中學 5aw三 高一数学 四。解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.（本小腰满分13分)已知a,B都是锐角，且tama-3,cosB=5 (1)求tamn2au的值； (2)求+B的值. 16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=2W3 sinxcosx-+cos2x-sin2x(x∈R). (1)求f(x)的最小正周期： (Q)当0<x<受时，求f(y的值域 17.(本小题满分15分)已知以下四个式子的值都等于同一个常数 sin2 26+cos2 34-v3 sin 26 cos34; sin239 +cos2 21-v3 sin39 cos 21'; sin2(-52)+cos2112-√3sin(-52）cos112; sin230+cos230°-√3sin30°cos30 (1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数. (2)根据(1)的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论. 高一数学试卷第3页 江蘇省扬中高级中學 AMLN2AMg￥AAC9oa装ML 本小题藏分7分)已知定义域为R的函数∫（⑧）三，十。专是奇函 2 (1)求实数a的值： (②)判断函数∫(x)的单调性，并用定义法证明你的结论： (3)若对任意的x∈[2,3]，不等式f(x2-x)+f(x2+4)>0成立，求实数m的取值范围， 19.(本小题满分17分)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十 边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sn18°.三倍角公式是 把形如sin3o,cos3a等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物 理、天文等学科 (1)记cos3=f(C),试写出此三倍角公式的具体内容，并证明； ②活角u满足0s30-,求i3a 的值： cosa 2 sina (3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. 高一数学试卷 第4页