专题02 函数的图像与性质（复习讲义）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02函数的图像与性质 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 考点一 平面直角坐标系（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 平面直角坐标系 必备知识 知识1 点坐标特征 知识2 平面直角坐标系中的距离 命题预测 考点二 一次函数（正比例函数）的图象与性质（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 正比例函数图象和性质 题型二 一次函数图象的平移 必备知识 知识1 正比例函数的图像与性质 知识2 求解析式 命题预测 考点三 一次函数的实际问题（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 一次函数的实际问题 必备知识 知识1 一次函数的实际应用 命题预测 考点四 反比例函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 反比例函数的图像与性质 必备知识 知识1 反比例函数定义 知识2 反比例函数的图像与性质 知识3 反比例函数k的几何意义 命题预测 考点五 二次函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 二次函数的图象与系数关系 题型二 二次函数的实际问题 题型三 几何变换与二次函数的图象和性质 题型四 二次函数综合压轴 必备知识 知识1 二次函数定义 知识2 二次函数的图像与核心性质 命题预测 命题透视 结合2021-2025年天津中考数学真题，函数的图像与性质是全卷核心压轴板块，近五年考查分值稳定在28-35分（含解答压轴题第24/25题），占全卷总分23%-29%。命题严格遵循天津卷“数形结合、情境创新、分层递进”原则，是区分基础与高分段的关键模块，需重点突破三类函数综合应用与动态几何问题。 考情目标拆解 1. 基础目标：精准掌握一次函数、反比例函数、二次函数的解析式求解、图像特征与基本性质，确保选择填空基础题（第4-6题、第10-12题）零失误，对应天津卷“基础送分+中档稳分”板块。 2. 能力目标：攻克三类函数图像交点、性质综合判断，以及二次函数最值、反比例函数几何意义，拿下解答题第23题（函数综合），分值8-10分。 3. 素养目标：突破动态几何+函数综合压轴（第24/25题），掌握动点轨迹、图形存在性（等腰三角形、平行四边形）、面积最值问题，适配天津卷“压轴分层、综合渗透”命题趋势。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 平面直角坐标系 T8：平面直角坐标系中的几何图形 T24：几何图形变换下的点坐标 T8：平面直角坐标系中的几何图形 函数基础 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 正比例/一次函数的图像与性质 T16：一次函数的图象与性质 T16：一次函数的图象与性质 T16：一次函数的图象与性质 T16：一次函数的图象与性质 T16：一次函数的图象与性质 反比例函数的图像与性质 T7：反比例函数增减性、象限分布 T7：反比例函数增减性、象限分布 T7：反比例函数增减性、象限分布 T7：反比例函数增减性、象限分布 T7：反比例函数增减性、象限分布 二次函数的图像与基本性质 T24：几何图形变换下建立二次函数关系并求出最值 T24：几何图形变换下建立二次函数关系并求出最值 T24：几何图形变换下建立二次函数关系并求出最值 T12：二次函数图象与系数的关系 T12：二次函数图象与系数的关系 T24：几何图形变换下建立二次函数关系并求出最值 二次函数与几何综合压轴 T25：二次函数解析式求解、图像性质综合 T25：二次函数解析式求解、图像性质综合 T25：二次函数解析式求解、图像性质综合 T25：二次函数解析式求解、图像性质综合 T25：二次函数解析式求解、图像性质综合 命题预测 一、考情预测 （一）选择题（1-12题）：基础稳分+中档提分 2026预测考向 一次函数图像与性质（必考） k、b符号与象限分布、图像平移、函数值大小比较 ★☆☆☆☆ 结合天津本地消费场景（如地铁票价、共享单车计费）设计解析式题 反比例函数综合（必考） k 的几何意义（矩形/三角形面积）、与一次函数交点坐标、分式方程求k值 二次函数基础/创新 顶点坐标、对称轴、a/b/c符号判断、二次根式估值、函数与方程/不等式结合 ★★☆☆☆ 10题大概率考“天津地标（天津之眼/海河大桥）+二次函数最值”实际应用题 （二）填空题（13-18题）：常规+压轴双轨 常规填空： - 高频考：二次函数解析式变形（顶点式/交点式）、反比例函数与一次函数交点求解、函数图像对称变换。 - 预测：“函数图像平移”，直接考“左加右减、上加下减”核心规律（天津卷5年3考）。 （三）解答题（19-25题）：固定题型+压轴创新 1. 中档解答题（23题）：函数实际问题（8-10分） - 必考题型：一次函数实际问题。 - 天津考向：行程问题，利用几何方法解决代数问题。 2. 压轴解答题（24/25题）：函数+几何综合（10分/题，天津卷核心拉分点） （1）24题（函数+动态几何） - 近五年考频：100%轮考，题型为“动点轨迹+图形存在性+面积最值”。 （2）25题（函数+几何压轴） - 核心模型：二次函数+直角三角形/相似三角形+面积最值（天津卷压轴高频模型）。 二、备考建议 1.锚定核心考点，固化解题流程，确保基础题零失分，中档题稳拿分； 2.强化数形结合，突破核心难点，养成“先画图、再分析”的解题习惯； 3.深耕分类讨论，规避易错漏解，建立解题逻辑； 4.适配创新考法，提升核心素养，针对性训练新题型。 考点一 平面直角坐标系与函数 题型一 平面直角坐标系 1．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·天津·中考真题）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·中考真题）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，分别与边相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； (3)若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）． 知识1点坐标特征 1.各象限内点的坐标特征 1）点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0，即（+，+）； 2）点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0，即（-，+）； 3）点P(x，y)在第三象限 x＜0，y＜0，即（-，-）； 4）点P(x，y)在第四象限 x＞0，y＜0，即（+，-）. 2.特殊位置上点的坐标特征 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 点M在原点 M（0，0） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 x＝-y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等 MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等 3.点的平移特征（n＞0） 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 4.对称点的坐标特征 口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 知识2平面直角坐标系中的距离 点到坐标轴及原点的距离 已知点P，则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝. 平行于坐标轴的直线上两点间的距离 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 拓展 坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：，MN的中点坐标为 1．（2024·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，以正六边形的中心为原点，顶点在轴上，若半径是4，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山西·中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 3．（2023·天津和平·二模）如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点二 一次函数（正比例函数）的图象与性质 题型一 正比例函数图象的性质 1．标准解题步骤 ①将函数解析式化为最简形式； ②对照三要素验证： 次数为 系数 、无常数项； ③全部符合则为正比例函数，否则排除。 2．易错规避提示：分母含 为反比例函数， 次数为 2 为二次函数，均非正比例函数。 1．（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是_____________（写出一个即可）． 题型二 一次函数图象的平移 一次函数的平移变换 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 1．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 2．（2023·天津·中考真题）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 3．（2022·天津·中考真题）若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）． 4．（2021·天津·中考真题）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_____． 知识1 正比例函数的图像与性质 一次函数的图像与性质（含正比例函数） k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 拓展 1）直线与直线平行 2）直线与直线垂直 【补充说明】一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 知识2 求解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 1．（2025·天津南开·三模）已知正比例函数y＝kx（k是不为零的常数）过点（﹣1，2），则k的值为 _____． 2．（2025·天津西青·二模）一次函数的图象向上平移个单位后的函数表达式为______． 3．（2025·天津和平·三模）把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，则的值为_______． 4．（2025·天津河东·二模）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为________． 5．（2025·天津河北·二模）已知直线向下平移个单位后经过点，则值为______． 6．（2025·天津滨海新区·二模）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 7．（2025·天津河西·一模）将直线向右平移，且平移后不过第三象限，写出一个符合条件的平移后的直线解析式______． 考点三 反比例函数 题型一 反比例函数的图像与性质 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 1．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2021·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 知识1 反比例函数定义 形如（为常数，），亦可表示为或。核心判定：①自变量的次数为 -1 ；②比例系数；③自变量，函数值。 知识2 反比例函数的图像与性质 - 图像：双曲线，关于原点中心对称，关于直线轴对称； - 象限分布与增减性：：双曲线的两支在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；：双曲线的两支在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大。 －核心前提：增减性必须限定＂在每一象限内＂，跨象限不适用该规律。 知识3 反比例函数的几何意义 过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，垂足为，则： 矩形的面积：； （面积为定值，与点位置无关）。 1．（2025·天津西青·二模）在反比例函数的图形上的一个点是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·三模）若点，都在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（2025·天津红桥·三模）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津河西·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津滨海新区·二模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津河西·一模）我们知道当杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若阻力和阻力臂分别为和，则要保持杠杆平衡，下列结论中错误的为（   ） A．当动力臂为时，动力为 B．当动力臂为时，动力为 C．动力随着动力臂的加长而增大 D．动力和动力臂之间是反比例关系 考点五 二次函数 题型一 二次函数的图象与系数关系 1．标准解题步骤 ①从解析式提取的值，或从题干提取开口、对称轴、顶点等信息； ②由的符号判断开口方向，由对称轴公式计算对称轴，确定顶点坐标； ③结合开口方向和对称轴，判断函数增减性； ④解决参数范围、性质判断类问题。 2．核心速记技巧：对称轴位置的＂左同右异＂一 对称轴在轴左侧，同号；对称轴在轴右侧，异号。 1．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2021·天津·中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 几何变换与二次函数的图象和性质 1．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 2．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 3．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．    ①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围： ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 4．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 题型四 二次函数综合压轴 1（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 2．（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 3．（2023·天津·中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 4．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 5．（2021·天津·中考真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D． （Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标． 知识1 二次函数定义 形如为常数，的函数，自变量的最高次数为 2 ，二次项系数。 知识2 二次函数的图像与核心性质 图像：抛物线，轴对称图形，对称轴为直线； 开口方向：时，开口向上；时，开口向下； 顶点坐标：为最低点，为最高点）； 增减性： ：对称轴左侧随的增大而减小；对称轴右侧随的增大而增大； ：对称轴左侧随的增大而增大；对称轴右侧随的增大而减小。 3．二次函数图像平移规则：平移不改变开口方向和形状（不变），核心规则为左加右减，上加下减（顶点式 左右平移（针对自变量）： 向左平移个单位；向右平移个单位 →; 上下平移（针对函数整体）： 向上平移个单位；向下平移个单位 →。 4．二次函数解析式的三种形式 一般式：，已知任意三个点坐标时使用； 顶点式：，已知顶点坐标、对称轴或最值时使用； 交点式：，已知抛物线与轴的两个交点时使用。 1．（2025·天津河东·一模）已知抛物线（是常数，）与轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①；②若，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2024·天津西青·二模）抛物线（a，b，c是常数，）对称轴为直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3． 有下列结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上． (1)如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，，，的对应点分别为，，．旋转角为，的延长线交轴于点，与轴交于点． ①如图②，当时，点的坐标为________，点的坐标为________； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于的函数表达式，并直接写出的取值范围． 4．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 5．（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 6．（2024·天津武清·三模）已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． (1)若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时， 求b的值； (3)若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 7．（2025·天津红桥·三模）已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且． (1)若． ①求抛物线的顶点和点的坐标； ②当时，求的值； (2)若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值． 8．（2025·天津和平·三模）已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点． (1)若，，且． ①求抛物线的解析式； ②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标； (2)若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值． 9．（2025·天津河北·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，），，与x轴正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴相交于点C，点D为抛物线顶点，点M在y轴负半轴上，． (1)若点A的坐标为，点C的坐标为． ①求抛物线顶点D的坐标； ②求点M的坐标； (2)若，且，求a的值． 10．（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若P是该抛物线的对称轴上一点． ①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 11．（2025·天津河东·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴交于点为坐标原点． (1)若，是方程的两个根，，求该抛物线顶点的坐标； (2)若，且当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求的值； (3)若，点是内的一点，当取得最小值时，求的值． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02函数的图像与性质 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 考点一 平面直角坐标系（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 平面直角坐标系 必备知识 知识1 点坐标特征 知识2 平面直角坐标系中的距离 命题预测 考点二 一次函数（正比例函数）的图象与性质（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 正比例函数图象和性质 题型二 一次函数图象的平移 必备知识 知识1 正比例函数的图像与性质 知识2 求解析式 命题预测 考点三 一次函数的实际问题（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 一次函数的实际问题 必备知识 知识1 一次函数的实际应用 命题预测 考点四 反比例函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 反比例函数的图像与性质 必备知识 知识1 反比例函数定义 知识2 反比例函数的图像与性质 知识3 反比例函数k的几何意义 命题预测 考点五 二次函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 二次函数的图象与系数关系 题型二 二次函数的实际问题 题型三 几何变换与二次函数的图象和性质 题型四 二次函数综合压轴 必备知识 知识1 二次函数定义 知识2 二次函数的图像与核心性质 命题预测 命题透视 结合2021-2025年天津中考数学真题，函数的图像与性质是全卷核心压轴板块，近五年考查分值稳定在28-35分（含解答压轴题第24/25题），占全卷总分23%-29%。命题严格遵循天津卷“数形结合、情境创新、分层递进”原则，是区分基础与高分段的关键模块，需重点突破三类函数综合应用与动态几何问题。 考情目标拆解 1. 基础目标：精准掌握一次函数、反比例函数、二次函数的解析式求解、图像特征与基本性质，确保选择填空基础题（第4-6题、第10-12题）零失误，对应天津卷“基础送分+中档稳分”板块。 2. 能力目标：攻克三类函数图像交点、性质综合判断，以及二次函数最值、反比例函数几何意义，拿下解答题第23题（函数综合），分值8-10分。 3. 素养目标：突破动态几何+函数综合压轴（第24/25题），掌握动点轨迹、图形存在性（等腰三角形、平行四边形）、面积最值问题，适配天津卷“压轴分层、综合渗透”命题趋势。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 平面直角坐标系 T8：平面直角坐标系中的几何图形 T24：几何图形变换下的点坐标 T8：平面直角坐标系中的几何图形 函数基础 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 T23：从函数图像中获取信息 正比例/一次函数的图像与性质 T16：一次函数的图象与性质 T16：一次函数的图象与性质 T16：一次函数的图象与性质 T16：一次函数的图象与性质 T16：一次函数的图象与性质 反比例函数的图像与性质 T7：反比例函数增减性、象限分布 T7：反比例函数增减性、象限分布 T7：反比例函数增减性、象限分布 T7：反比例函数增减性、象限分布 T7：反比例函数增减性、象限分布 二次函数的图像与基本性质 T24：几何图形变换下建立二次函数关系并求出最值 T24：几何图形变换下建立二次函数关系并求出最值 T24：几何图形变换下建立二次函数关系并求出最值 T12：二次函数图象与系数的关系 T12：二次函数图象与系数的关系 T24：几何图形变换下建立二次函数关系并求出最值 二次函数与几何综合压轴 T25：二次函数解析式求解、图像性质综合 T25：二次函数解析式求解、图像性质综合 T25：二次函数解析式求解、图像性质综合 T25：二次函数解析式求解、图像性质综合 T25：二次函数解析式求解、图像性质综合 命题预测 一、考情预测 （一）选择题（1-12题）：基础稳分+中档提分 2026预测考向 一次函数图像与性质（必考） k、b符号与象限分布、图像平移、函数值大小比较 ★☆☆☆☆ 结合天津本地消费场景（如地铁票价、共享单车计费）设计解析式题 反比例函数综合（必考） k 的几何意义（矩形/三角形面积）、与一次函数交点坐标、分式方程求k值 二次函数基础/创新 顶点坐标、对称轴、a/b/c符号判断、二次根式估值、函数与方程/不等式结合 ★★☆☆☆ 10题大概率考“天津地标（天津之眼/海河大桥）+二次函数最值”实际应用题 （二）填空题（13-18题）：常规+压轴双轨 常规填空： - 高频考：二次函数解析式变形（顶点式/交点式）、反比例函数与一次函数交点求解、函数图像对称变换。 - 预测：“函数图像平移”，直接考“左加右减、上加下减”核心规律（天津卷5年3考）。 （三）解答题（19-25题）：固定题型+压轴创新 1. 中档解答题（23题）：函数实际问题（8-10分） - 必考题型：一次函数实际问题。 - 天津考向：行程问题，利用几何方法解决代数问题。 2. 压轴解答题（24/25题）：函数+几何综合（10分/题，天津卷核心拉分点） （1）24题（函数+动态几何） - 近五年考频：100%轮考，题型为“动点轨迹+图形存在性+面积最值”。 （2）25题（函数+几何压轴） - 核心模型：二次函数+直角三角形/相似三角形+面积最值（天津卷压轴高频模型）。 二、备考建议 1.锚定核心考点，固化解题流程，确保基础题零失分，中档题稳拿分； 2.强化数形结合，突破核心难点，养成“先画图、再分析”的解题习惯； 3.深耕分类讨论，规避易错漏解，建立解题逻辑； 4.适配创新考法，提升核心素养，针对性训练新题型。 考点一 平面直角坐标系与函数 题型一 平面直角坐标系 1．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解． 【详解】解：∵AB⊥x轴， ∴∠ACO=∠BCO=90°， ∵OA=OB，OC=OC， ∴△ACO≌△BCO(HL)， ∴AC=BC=AB=3， ∵OA=5， ∴OC=4， ∴点A的坐标是（4，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．（2021·天津·中考真题）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)， ∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度， ∴A到D也应向右移动4个单位长度， ∵点A的坐标为(0，1)， 则点D的坐标为(4，1)， 故选:C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键． 3．（2022·天津·中考真题）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． (1)如图①，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，分别与边相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； (3)若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，其中t的取值范围是 (3)3，．（答案不唯一，满足即可） 【分析】（1）先根据折叠的性质得，即可得出，作，然后求出和OH，可得答案； （2）根据题意先表示，再根据，表示QE，然后根据表示即可，再求出取值范围； （3）求出t=3时的重合部分的面积，可得从t=3之后重合部分的面积始终是，再求出P与C重合时t的值可得t的取值范围，问题得解． 【详解】（1）在中，由，得． 根据折叠，知， ∴，． ∵， ∴． 如图，过点O′作，垂足为H，则． ∴在中，得． 由，得，则． 由， 得，． ∴点的坐标为． （2）∵点， ∴． 又， ∴． 同（1）知，，． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，，得． ∴． 又， ∴. 如图，当点O′与AB重合时，，， 则， ∴， ∴， 解得t=2， ∴t的取值范围是； （3）3，．（答案不唯一，满足即可） 当点Q与点A重合时，，， ∴， 则. ∴t=3时，重合部分的面积是， 从t=3之后重合部分的面积始终是， 当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan30°＝， 由于P不能与C重合，故， 所以都符合题意． 【点睛】这是一道关于动点的几何综合问题，考查了折叠的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形等． 知识1点坐标特征 1.各象限内点的坐标特征 1）点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0，即（+，+）； 2）点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0，即（-，+）； 3）点P(x，y)在第三象限 x＜0，y＜0，即（-，-）； 4）点P(x，y)在第四象限 x＞0，y＜0，即（+，-）. 2.特殊位置上点的坐标特征 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 点M在原点 M（0，0） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 x＝-y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等 MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等 3.点的平移特征（n＞0） 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 4.对称点的坐标特征 口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 知识2平面直角坐标系中的距离 点到坐标轴及原点的距离 已知点P，则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝. 平行于坐标轴的直线上两点间的距离 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 拓展 坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：，MN的中点坐标为 1．（2024·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，以正六边形的中心为原点，顶点在轴上，若半径是4，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，如图所示，利用正多边形外角性质求出内角及线段长，再由含直角三角形性质及勾股定理求出长，数形结合即可得到． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： 在正六边形中，， 因为， 所以是等边三角形， ，， 在中，，则， 则由勾股定理可得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查图形与坐标、涉及正多边形性质、含直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握正多边形性质、含直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键． 2．（2023·山西·中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点P的坐标为， ∴， 即； ∴，， ∴点M的坐标为． 故选：A．    【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 3．（2023·天津和平·二模）如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理求得，根据作图过程可得，由四边形是平行四边形，可得，从而得出，进一步得到，由等腰三角形判定可得，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题中作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握坐标与图形的性质． 考点二 一次函数（正比例函数）的图象与性质 题型一 正比例函数图象的性质 1．标准解题步骤 ①将函数解析式化为最简形式； ②对照三要素验证： 次数为 系数 、无常数项； ③全部符合则为正比例函数，否则排除。 2．易错规避提示：分母含 为反比例函数， 次数为 2 为二次函数，均非正比例函数。 1．（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是_____________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据正比例函数图象所经过的象限确定的符号． 【详解】解：正比例函数（是常数，）的图象经过第一、三象限， ． ∴k的值可以为1， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限． 题型二 一次函数图象的平移 一次函数的平移变换 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 1．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 2．（2023·天津·中考真题）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】5 【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度， 平移后的直线解析式为：． 平移后经过， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 3．（2022·天津·中考真题）若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限， ∴ 故答案为：1答案不唯一，满足即可） 【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 4．（2021·天津·中考真题）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_____． 【答案】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】将直线y=-6x向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为y=-6x-2． 故答案为y=-6x-2． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移变换．掌握其规律 “左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 知识1 正比例函数的图像与性质 一次函数的图像与性质（含正比例函数） k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 拓展 1）直线与直线平行 2）直线与直线垂直 【补充说明】一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 知识2 求解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 1．（2025·天津南开·三模）已知正比例函数y＝kx（k是不为零的常数）过点（﹣1，2），则k的值为 _____． 【答案】-2 【分析】将点（﹣1，2）代入正比例函数解析式中即可求出k的值． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx（k是不为零的常数）过点（﹣1，2） ∴将点（﹣1，2）代入y＝kx中得：2＝﹣k， 解得：k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题主要考查了正比例函数解析式与其上点坐标之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握正比例函数的知识进行求解. 2．（2025·天津西青·二模）一次函数的图象向上平移个单位后的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知：将一次函数的图象向上平移个单位，所得图象的函数表达式为， 故答案为：． 3．（2025·天津和平·三模）把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据平移得，再把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵把直线（为常数）向上平移3个单位长度后过点， ∴， ∴把代入， 得， 解得． 故答案为： 4．（2025·天津河东·二模）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．由函数平移的规律，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴， ∴正比例函数是， 由“上加下减”的原则可知，将正比例函数的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：， 故答案为：． 5．（2025·天津河北·二模）已知直线向下平移个单位后经过点，则值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向下平移个单位后得到， 将点代入可得， 故答案为：． 6．（2025·天津滨海新区·二模）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查函数图象的平移变换，解答本题的关键在于熟练掌握函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”，根据平移的法则即可得出平移后的函数表达式． 【详解】解：直线向下平移2个单位长度后直线的解析式为， 故答案为：． 7．（2025·天津河西·一模）将直线向右平移，且平移后不过第三象限，写出一个符合条件的平移后的直线解析式______． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，根据“左加右减”的法则解答即可． 【详解】解：将直线向右平移m个单位长度，平移后直线的解析式为，即， ∵平移后不过第三象限， ∴， 解得， 当时，， 故答案为：（答案不唯一）． 考点三 反比例函数 题型一 反比例函数的图像与性质 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 1．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 2．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 3．（2023·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大； ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 4．（2022·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可． 【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得： ，解得； ，解得； ，解得； ∵-8<2<4， ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量． 5．（2021·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式，即求出的值，即可比较得出答案． 【详解】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得： 、、． 则． 故选B． 【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键． 知识1 反比例函数定义 形如（为常数，），亦可表示为或。核心判定：①自变量的次数为 -1 ；②比例系数；③自变量，函数值。 知识2 反比例函数的图像与性质 - 图像：双曲线，关于原点中心对称，关于直线轴对称； - 象限分布与增减性：：双曲线的两支在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；：双曲线的两支在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大。 －核心前提：增减性必须限定＂在每一象限内＂，跨象限不适用该规律。 知识3 反比例函数的几何意义 过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，垂足为，则： 矩形的面积：； （面积为定值，与点位置无关）。 1．（2025·天津西青·二模）在反比例函数的图形上的一个点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是直接代入验证．把各选项点的横纵坐标相乘，看是不是等于，若等于，则说明在函数图象上，否则不在函数图象上． 【详解】解：， ， A、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； B、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； C、因为，所以在函数图形上，此选项正确； D、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； 故选C． 2．（2025·天津南开·三模）若点，都在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质；掌握函数的图象与性质是解题的关键；由于反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，由此即可作出判断． 【详解】解：∵； ∴当时，， 则；故A正确； 当时，， 则；故B错误； 当时，，的符号不确定， 若，则；若，即，则；故C错误； 当时，，则；故D错误； 故选：A． 3．（2025·天津红桥·三模）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的增减性是关键． 根据题意，反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限，随的增大而减少，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∴图象经过第一、三象限，每个象限，随的增大而减少， 当时，，当时，， ， ∴， ∴， 故选：D ． 4．（2025·天津河西·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． ∴在第三象限， ∴， 又∵， ∴ ∴ 故选：A． 5．（2025·天津滨海新区·二模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先判断出函数图象位于第一三象限，在每一个象限内随的增大而减小判断出、、的大小关系，然后即可选取答案． 【详解】解：反比例函数中，， 反比例函数的图象位于第一三象限，且在每一个象限内随的增大而减小， ，，都在反比例函数图象上， ，， ． 故选：A． 6．（2025·天津河西·一模）我们知道当杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若阻力和阻力臂分别为和，则要保持杠杆平衡，下列结论中错误的为（   ） A．当动力臂为时，动力为 B．当动力臂为时，动力为 C．动力随着动力臂的加长而增大 D．动力和动力臂之间是反比例关系 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出阻力F和阻力臂l之间的关系是解题关键． 直接利用：阻力阻力臂动力动力臂，进而得出F与l之间的函数表达式；根据所求的函数解析式即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：， 则F与l的函数表达式为：； A、当动力臂时，动力，正确，故A不符合题意； B、当动力臂时，动力，正确，故B不符合题意； C、动力随着动力臂的加长而减小，原说法错误，故C符合题意； D、动力和动力臂之间是反比例关系，正确，故D不符合题意； 故选：C． 考点五 二次函数 题型一 二次函数的图象与系数关系 1．标准解题步骤 ①从解析式提取的值，或从题干提取开口、对称轴、顶点等信息； ②由的符号判断开口方向，由对称轴公式计算对称轴，确定顶点坐标； ③结合开口方向和对称轴，判断函数增减性； ④解决参数范围、性质判断类问题。 2．核心速记技巧：对称轴位置的＂左同右异＂一 对称轴在轴左侧，同号；对称轴在轴右侧，异号。 1．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意可知：，，， ， ，即，得出，故①正确； ， 对称轴， ， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故②不正确； ， 关于x的方程有两个不相等的实数根，故③正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解． 2．（2021·天津·中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可 【详解】∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值． ∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1， ∴a-b= -2,2a-b＞0， ∴2a-a-2＞0， ∴a＞2＞0， ∴b=a+2＞0， ∴abc＞0， ∵, ∴△==＞0, ∴有两个不等的实数根； ∵b=a+2，a＞2，c=1， ∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3， ∵a＞2， ∴2a＞4， ∴2a+3＞4+3＞7， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键． 题型二 几何变换与二次函数的图象和性质 1．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可； （2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：作于点，作于点， ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①∵平移， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：， 当点与点重合时，， ∴当与重叠部分为四边形时，； ②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴， 由（1）和（2）①可知：，，， ∴， ∴当时，的值最小，为； ∴； 设交轴于点，则：， ∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为， ∴； 当，随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时点轴，如图： 此时重叠部分为五边形，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移可得：，， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∴； 综上：． 【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答． ②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：， （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴ ∴在时， ∴ 则在时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．    ①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围： ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，． (2)①；② 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解； （2）①由题意易得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积S；②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且， ∴， ∴； 连接，交于一点H，如图所示：    ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， ∴， 故答案为，； （2）解：①∵点，点，点， ∴矩形中，轴，轴，． ∴矩形中，轴，轴，． 由点，点，得． 在中，，得． 在中，由，得． ∴．同理，得． ∵，得． 又， ∴， 当时，则矩形和菱形重叠部分为， ∴的取值范围是． ②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的， ∴当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：    此时面积S最大，最大值为； 当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：    由（1）可知B、D之间的水平距离为，则有点D到的距离为， 由①可知：， ∴矩形和菱形重叠部分为等边三角形， ∴该等边三角形的边长为， ∴此时面积S最小，最小值为； 综上所述：当时，则． 【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键． 4．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②． 【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由∠BOH=45°得到△OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标； (II)①由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解； ②画出不同情况下重叠部分的图形，分和和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解． 【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H． 由点，得． ∵， ∴． 又∠BOH=45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴． ∴点B的坐标为． (II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得． ∴，． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 整理后得到：． 当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时， 当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时， ∴t的取值范围是， 故答案为：，其中：； ②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示： 此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将代入， 得到最大值， 将代入， 得到最小值， 当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示： 此时， 和均为等腰直角三角形， ∴， ， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值， 将代入， 得到最小值， ∴的最小值为，最大值为， 故答案为：． 当时，由①知 ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为 ∴的最小值为，最大值为， 综上，S的取值范围为， ∴S的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． 题型四 二次函数综合压轴 1（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据，得出抛物线解析式为，点在第四象限，过点作轴于点，证明，进而得出点的坐标为，代入解析式，解方程，即可求解； ②在轴上点的左侧取点，使，连接．在中，根据勾股定理，，得出,根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．根据平行四边形的性质得出当点在线段上时，取得最小值，即，勾股定理可得，进而代入，求得点，可得直线的解析式为．求得点的坐标为，根据平移的性质即可得出点的坐标为． 【详解】（1）解： ， ∴该抛物线的解析式为， ， ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）①∵点在抛物线上， ∴，即， 又，点， ， ∴抛物线解析式为， 如图，点在第四象限，过点作轴于点， ， ∴， ， ∴． ∴， 又， ∴， ， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 整理得，， 解得 ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴点的坐标为； ②∵， ∴， 在轴上点的左侧取点，使，连接． ，得． ， ． ∴，则． 在中，根据勾股定理，， ． ∴． ． 又点，得． ．即 根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得． 又中，．得． ． 当点在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ． 将代入，得． 解得（舍）． ∴． 点． 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则．得． 点的坐标为． 线段可以看作是由线段经过平移得到的， 点的坐标为． 2．（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)该抛物线顶点的坐标为 (2)10 (3)1 【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）解：过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得． ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键． 3．（2023·天津·中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 【答案】(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 (2) 【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标； ②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解； （2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为． ∵， ∴点的坐标为． 当时，．解得．又点在点的左侧， ∴点的坐标为． ②过点作轴于点，与直线相交于点．      ∵点，点， ∴．可得中，． ∴中，． ∵抛物线上的点的横坐标为，其中， ∴设点，点． 得．即点． ∴． 中，可得． ∴．又， 得．即．解得(舍)． ∴点的坐标为． （2）∵点在抛物线上，其中， ∴．得． ∴抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则，点． 由，得．于是． ∴． 即．解得(舍)． 同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点， 则点，点，点． ∵， ∴． 即．解得(舍)． ∴点的坐标为．      【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 【答案】(1)①；②点M的坐标为，点G的坐标为； (2)点和点； 【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标； （2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标； 【详解】（1）①∵抛物线与x轴相交于点， ∴．又，得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴点P的坐标为． ②当时，由， 解得． ∴点B的坐标为． 设经过B，P两点的直线的解析式为， 有解得 ∴直线的解析式为． ∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示： ∴点M的坐标为，点G的坐标为． ∴． ∴当时，有最大值1． 此时，点M的坐标为，点G的坐标为． （2）由（1）知，又， ∴． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点P的坐标为． ∵直线与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为． 作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示： 得点的坐标为，点的坐标为． 当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值， 此时，． 延长与直线相交于点H，则． 在中，． ∴． 解得（舍）． ∴点的坐标为，点的坐标为． 则直线的解析式为． ∴点和点． 【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键． 5．（2021·天津·中考真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D． （Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标． 【答案】（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为；（Ⅱ）或；（Ⅲ）点M的坐标为，点N的坐标为 【分析】（Ⅰ）结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得到答案 （Ⅱ）根据题意，得抛物线的解析式为；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D的坐标为；过点D作轴于点G，根据勾股定理和一元二次方程的性质，得，，从而得到答案； （Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得；作点F关于x轴的对称点，当满足条件的点M落在线段上时，根据两点之间线段最短的性质，得最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得，从而得直线的解析式，通过计算即可得到答案． 【详解】（Ⅰ）当时，抛物线的解析式为． ∵抛物线经过点 ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为 ∵ ∴抛物线的顶点坐标为； （Ⅱ）当时，由抛物线经过点，可知 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为： 当时， ∴抛物线的顶点D的坐标为； 过点D作轴于点G 在中，，， ∴ 在中，，， ∴． ∵，即， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为或． （Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得． 作点F关于x轴的对称点，得点的坐标为 当满足条件的点M落在线段上时，最小， 此时，． 过点作轴于点H 在中，，， ∴． 又，即． 解得：，（舍） ∴点的坐标为，点的坐标为． ∴直线的解析式为． 当时，． ∴， ∴点M的坐标为，点N的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解． 知识1 二次函数定义 形如为常数，的函数，自变量的最高次数为 2 ，二次项系数。 知识2 二次函数的图像与核心性质 图像：抛物线，轴对称图形，对称轴为直线； 开口方向：时，开口向上；时，开口向下； 顶点坐标：为最低点，为最高点）； 增减性： ：对称轴左侧随的增大而减小；对称轴右侧随的增大而增大； ：对称轴左侧随的增大而增大；对称轴右侧随的增大而减小。 3．二次函数图像平移规则：平移不改变开口方向和形状（不变），核心规则为左加右减，上加下减（顶点式 左右平移（针对自变量）： 向左平移个单位；向右平移个单位 →; 上下平移（针对函数整体）： 向上平移个单位；向下平移个单位 →。 4．二次函数解析式的三种形式 一般式：，已知任意三个点坐标时使用； 顶点式：，已知顶点坐标、对称轴或最值时使用； 交点式：，已知抛物线与轴的两个交点时使用。 1．（2025·天津河东·一模）已知抛物线（是常数，）与轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①；②若，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识，通过抛物线经过点，对称轴为直线，可确定的关系，可判断①，由，根据，确定的范围，可判断②，当一元二次方程有两个相等的实数根时，，解得或，与题意不符，可判断③，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ∴， 将点代入得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴， 当一元二次方程有两个相等的实数根时，， 解得：或， ∵， ∴一元二次方程没有两个相等的实数根，故③不符合题意， 综上，符合题意的有，共个， 故选：B． 2．（2024·天津西青·二模）抛物线（a，b，c是常数，）对称轴为直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3． 有下列结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、二次函数与系数关系、二次函数与不等式的关系，解答的关键是利用数形结合的思想方法进行推理和计算． 根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点的横坐标，则当时，可对①进行判断;根据对称轴方程得，再根据抛物线与轴交点可知，可对②进行判断；根据题意，当当时，二次函数值小于一次函数值，可得，将代入即可得出取值范围，可对③进行判断． 【详解】解：点D在x轴下方且横坐标小于3，抛物线的对称轴为直线 ∴抛物线与轴的一个交点的横坐标， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标， ∴当时，， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ，即， ∵抛物线与轴交点在轴的正半轴， ， ， 故②正确； 直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3， ∴当时，二次函数值小于一次函数值， ，有， ， 解得：， 故③正确， 综上，正确的有3个， 故选：D． 3．（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上． (1)如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，，，的对应点分别为，，．旋转角为，的延长线交轴于点，与轴交于点． ①如图②，当时，点的坐标为________，点的坐标为________； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于的函数表达式，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、坐标与图形、二次函数的应用及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理、坐标与图形、二次函数的应用及旋转的性质是解题的关键； （1）由正方形的性质可知，然后问题可求解； （2）①过点作轴于点，由旋转可得：，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解；②由旋转的性质得：，则可证，然后可得是等腰直角三角形，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：正方形的顶点的坐标为， ∴， ∵点在第一象限，点在轴正半轴上， ，， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴于点， 由旋转可得：， ， ，即， ， ， 故答案为：，； ②根据题意，由旋转的性质得：， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 当点与重合时，， 又， ， 旋转角为， ， ． 4．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，其中t的取值范围是；② 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、等边三角形的性质与判定、三角函数及平移的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、等边三角形的性质与判定、三角函数及平移的性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据等边三角形的性质及三角函数可得，进而问题可求解； （2）①由平移的性质可得，，则有是等边三角形，在中，，则，然后可得，进而根据割补法可进行求解； ②以和为邻边构造平行四边形，然后可得，则由（1）得，点O关于直线的对称点为点，故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则， ∴， ∴点B的坐标为的坐标为， 故答案为：； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 在中，，则， ∴， 在中，， ∵， ∴， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，设， ∴， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 5．（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过点C作，根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上，根据题意及等腰三角形的判定和性质得出是等腰三角形，然后确定相应图形，找出临界点即可；②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，时，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 过点D作， ∴， ∴， 当与点重合时， 此时与的交点与A重合，， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点与B重合，， ∴的取值范围为； ②当时， 如图，重叠部分的面积为， 由（1）得出， ∴， ∴， ， ∵，开口向上，对称轴直线， ∴在时，随着的增大而增大， ∴； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ， ∵，随着的增大而增大 ∴在时； ∴当时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， 由①得出是等腰三角形，，，， ∴， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， ∴在时； ∴在时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ∵，随着的增大而减小， ∴在时，把代入得，把代入得， ∴在时，， 综上：的取值范围为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（2024·天津武清·三模）已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． (1)若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时， 求b的值； (3)若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、平行四边形的性质等，确定的最小值是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）表示出点，令，则或，即点，即可求解； （3）通过作辅助线证明四边形为平行四边形，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，则：， ∴抛物线的表达式为：， 把代入，得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； 抛物线的对称轴为：， 当时，； 则抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，则点， 令，则或，即点， ∵， 则， 解得：； （3）解：由（2）知，点，点，抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， 作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向右平移的长度， 则点， 连接，则四边形为平行四边形， 则， 连接交抛物线对称轴于点、连接， 则， 当、、共线时（此时在处），上式等式成立，即的最小值为：， 即， 解得：（舍去）或， 即． 7．（2025·天津红桥·三模）已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且． (1)若． ①求抛物线的顶点和点的坐标； ②当时，求的值； (2)若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值． 【答案】(1)①；；② (2)4 【分析】（1）①把解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，再求出函数值为0时自变量的值即可求出点B的坐标；②由题意得点的坐标为，其中．求出点的坐标为，得到，则垂直平分，可得点M在第一、三象限的角平分线上，则，解方程即可得到答案； （2）把点B坐标代入解析式可得，则抛物线解析式为，即可得到抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，求出点的坐标为，则直线的解析式为，过点作轴，与相交于点，则点的坐标为．可证明，则．求出，．则．即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式． 顶点的坐标为． 令，得．解得或． 点在点的左侧， 点的坐标为． ②根据题意，点的坐标为，其中． 当时， ∴点的坐标为， ∴ ， ∴垂直平分 ∴，即点M在第一、三象限的角平分线上， ． 解得（舍去），． （2）解：点的坐标为， ∴ ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 过点作轴，与相交于点，则点的坐标为． ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴． ． 轴， ． ． ． 当时，取得最大值． ．即． 解得（舍去），． 的值为4． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合等等，解（1）的关键在于证明点M在第一、三象限的角平分线上，解（2）的关键在于证明． 8．（2025·天津和平·三模）已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点． (1)若，，且． ①求抛物线的解析式； ②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标； (2)若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)①；②点的坐标为 (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）①利用待定系数法求解即可；②求出点，，．可得方程．解得，（舍）．即可得到答案； （2）在右侧作等边，与轴相交于点，连接，．当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．得到．则，，．设抛物线解析式为，把代入，解得． 【详解】（1）解：①， 点的坐标为，抛物线解析式为． ， ． ． 抛物线与轴相交于点， ，解得． 抛物线解析式为． ②抛物线与轴相交于点， 当时，． 点的坐标为． 如图，过点作，与相交于点． ， ．．． ． 点为的中点．设直线的解析式为， ，解得． 直线的解析式为． 点的横坐标为，轴与抛物线相交于点， 点，，．可得方程． 解得，（舍）． 点的坐标为． （2）如图，在右侧作等边，与轴相交于点，连接，． ，． 点，点，点， ，，． 在中，， ． ， ． 又， ． ，．． 是等边三角形． ． ． 当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．． 在中，． ，解得． ，，． 设抛物线解析式为， 把代入，解得． 的值为． 9．（2025·天津河北·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，），，与x轴正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴相交于点C，点D为抛物线顶点，点M在y轴负半轴上，． (1)若点A的坐标为，点C的坐标为． ①求抛物线顶点D的坐标； ②求点M的坐标； (2)若，且，求a的值． 【答案】(1)①该抛物线顶点D的坐标为；②； (2)． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点的坐标；②求出点坐标，根据，得到，解直角三角形，求出的值，进而得到点的坐标即可； （2）根据，得到抛物线的解析式为，分别求出的坐标，同法（1）②求出的坐标，过D点向x轴引垂线，垂足记为点H，解直角三角形，求出，进行求解即可． 【详解】（1）解：①抛物线经过点， ，即， ∵抛物线过点，且， 得解得， ∴， ， 该抛物线顶点D的坐标为； ②把代入抛物线，解得，即， ∵， ∴， ∵点M在y轴负半轴上，． ∴在中，， ∵在中，， ∴ ∴， ∴； （2）由，得：，代入，得：， ∴， ， ． 由点M在y轴负半轴上，． 在中，， 在中，， ∴， ∵抛物线与y轴负半轴相交于点C， ，即， ∴， 过D点向x轴引垂线，垂足记为点H， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 即． 10．（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若P是该抛物线的对称轴上一点． ①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或或；②或 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、二次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①分三种情况分别进行解答即可；②画出图形利用数形结合进行解答即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）①∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点C的坐标为， 设点P的坐标为，， ， ， ， 当时，， 则， 解得，或（不合题意，舍去）； 当时，， 则， 解得，或（不合题意，舍去）； 当时，， 则，解得， 综上可知，点P的坐标为或或； ②如图，以为邻边作正方形，分别以点为圆心，以的长为半径画圆分别交直线于点、，连接，根据圆周角定理可知，得到，即为所求的角， 如图，连接 由题意可知，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 综上可知，点P的坐标为或 11．（2025·天津河东·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴交于点为坐标原点． (1)若，是方程的两个根，，求该抛物线顶点的坐标； (2)若，且当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求的值； (3)若，点是内的一点，当取得最小值时，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）先根据一元二次方程根，再根据待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线一般式化成顶点式即可得出点P的坐标． （2）先得出抛物线解析式，得出抛物线顶点坐标，再根据二次函数的最大值与最小值之差为9列出关于b的方程求解即可． （3）先求出，再分类当和当两种情况，分别画出图形，利用轴对称的性质得出当、、共线时，最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：解：∵，是的两个根， ， 抛物线与轴相交于、两点， ， 解得， 抛物线函数表达式为， 则该抛物线顶点的坐标为； （2）解： ∴抛物线的顶点是， ， ， 最大值为4， 又， ∴当时，最小值为， 该二次函数的最大值与最小值之差为9， ， （舍去）或， ； （3）解：， 可得， ， 当时，如图， 将绕点顺时针旋转至，连接， 作于， ，， 是等边三角形， ， ， 当、、共线时，最小， 在中， ， ， ， （舍去）， ． 当时，如图， 将绕点逆时针旋转至， 连接，作于， ，， 是等边三角形， ， ， 当、、共线时，最小， 在中， ， ， （舍去）， ． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $