河南省叶县高级中学2026届高三下学期3月月底数学测试卷

2026年3月月底高三数学测试卷（适合全国卷）（试卷版） 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．函数的所有极值的和为（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 3．已知复数z满足，则复数z的实部和虚部分别是（   ） A．，1 B．2，1 C．，i D．2，i 4．为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 5．将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到新的图象．已知这个新的图象关于原点中心对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，将椭圆的长轴分成5等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于四点，是椭圆的一个焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．记为数列的前项和．下列说法正确的是（   ） A．数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有 B．数列成等比数列的充分不必要条件是对于任意的正整数，都有 C．已知数列的前项和，则数列是等差数列的充分不必要条件是实数 D．已知数列的前项和，则数列是等比数列的充要条件是 8．关于函数，下列说法错误的是（    ） A．是的极小值点 B．函数有且只有个零点 C．存在正实数，使得恒成立 D．对任意两个正实数，，且，若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（   ） A． B．向量在方向上投影数量为 C．数量积的几何意义为的长度与在方向上的投影数量的乘积 D．在中，，则的形状是钝角三角形 10．记双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的右支交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．若原点在圆上，则 B．若原点在圆上，则 C．若的左顶点在圆上，则 D．若的左顶点在圆上，则 11．在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（   ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则关于t的不等式的解集为______. 13．某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种． 14．若等差数列满足，则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求； (2)若，求周长l的最大值. 16．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 17．某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 18．抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （i）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月月底高三数学测试卷（适合全国卷）（解析版） 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则，此时，不符合题意； 若，解得，则，，此时，符合题意. 综上，的取值集合为. 2．函数的所有极值的和为（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据导函数得出其单调性即可求出极值. 【详解】由题可得，令，解得：或, 当或时，,当时，, 所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为, 所以的极大值为，极小值为, 则函数的所有极值的和为 3．已知复数z满足，则复数z的实部和虚部分别是（   ） A．，1 B．2，1 C．，i D．2，i 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算得到，其中为实部，为虚部，据此求解. 【详解】由题意可得， 则复数z的实部和虚部分别是2，1. 故选：B. 4．为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 【答案】C 【详解】对于A，因为，故，故A错误； 对于B，因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 故中位数在中，故中位数大于，故B错误； 对于C，设顾客平均每次的消费金额的极差，则， 故，故C正确； 对于D，顾客平均每次的消费金额的平均数为： （元）， 故D错误. 5．将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到新的图象．已知这个新的图象关于原点中心对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式，将变形为的形式，根据平移变换的规则及正弦函数的对称特点，求得的取值，即可得其最小值. 【详解】． 设图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则． 因为函数的图象关于原点中心对称，所以，即，即. 所以，即． 当时，有；因此时，取得最小值． 6．如图，将椭圆的长轴分成5等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于四点，是椭圆的一个焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义及图形的对称性可得. 【详解】如图，取椭圆的另一个焦点为.由椭圆的对称性可知，与关于轴对称， 所以，则； 同理可得. 则，即，. 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 7．记为数列的前项和．下列说法正确的是（   ） A．数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有 B．数列成等比数列的充分不必要条件是对于任意的正整数，都有 C．已知数列的前项和，则数列是等差数列的充分不必要条件是实数 D．已知数列的前项和，则数列是等比数列的充要条件是 【答案】A 【分析】由等差数列、等比数列的通项，前项和结构，逐项判断即可. 【详解】是等差数列，A选项正确； 若对都成立，满足，但不是等比数列，充分性不成立，B选项错误； 若是等差数列，则， ，因为是等差数列，所以，得 必要性成立，C选项错误； 若，则，当时，，当时，，不适合上式， 不是等比数列，充分性不成立，D选项错误， 故选：A． 8．关于函数，下列说法错误的是（    ） A．是的极小值点 B．函数有且只有个零点 C．存在正实数，使得恒成立 D．对任意两个正实数，，且，若，则 【答案】C 【分析】对于A，分析导函数可作判断；对于B，考查函数的单调性可作判断；对于C，分离参数，再分析函数最值情况而作出判断；对于D，构造函数讨论其单调性，确定即可判断作答. 【详解】对于A选项：定义域为，， 时,时， 是的极小值点，A正确； 对于B选项：令， 在上递减，， 有唯一零点，B正确； 对于C选项：令， 令，时,时,， 在上递减，在上递增，则， ，在上递减，图象恒在x轴上方， 与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误； 对于D选项：由A选项知，在上递减，在上递增， 因正实数，，且，，则， 时，令， ， 即在上递减， 于是有，从而有， 又 ，所以，即成立，D正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（   ） A． B．向量在方向上投影数量为 C．数量积的几何意义为的长度与在方向上的投影数量的乘积 D．在中，，则的形状是钝角三角形 【答案】ACD 【分析】利用垂直关系的向量表示判断A；利用向量数量积的几何意义判断BC；利用平面向量数量积的定义判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，向量在方向上投影数量为，B错误； 对于C，数量积的几何意义等于的长度与在方向上的投影数量的乘积，C正确； 对于D，在中，， 则，而，因此，为钝角三角形，D正确. 10．记双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的右支交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．若原点在圆上，则 B．若原点在圆上，则 C．若的左顶点在圆上，则 D．若的左顶点在圆上，则 【答案】ABD 【分析】对于A，可求出双曲线方程和圆的方程，判断出大小后再判断的大小，结合角的关系可判断正误，对于B，求出交点坐标后可判断其正误，对于C，D，也可先求出双曲线方程和圆的方程，求出交点坐标再计算长度和角的余弦值后可判断它们的正误. 【详解】 对于A，记的半焦距为，若原点在圆上，则， 由对称性，不妨设在第一象限，在第四象限，则， 而， 同理，而， 所以，而，所以， 于是，而， 于是，可得，故A正确； 对于B，此时圆，而， 联立得可得， 由，得， 而，故，故B正确； 对于C、D，， 圆，联立得 消元后可得， 可得 ，所以， 又，所以由余弦定理得，故C错误，D正确． 11．在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（   ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，易知， 又平面，平面，所以平面. 又是中点，所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，点是棱的中点， 则，所以C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为， 则，设，球心，半径为， 由，得到，解得，， 所以，又，且，所以当时，取到最小值，最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则关于t的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】先用奇偶性定义证明为奇函数，然后利用奇偶性与单调性定义解不等式即可. 【详解】，得， 故为定义在上的奇函数. 所以可写为， 即，根据奇函数易得. 函数的导数为， 而，所以， 故函数在上单调递增，故不等式的解集等价于的解集，解得. 13．某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种． 【答案】390 【详解】第一步，安排女性普法员，分别去两个社区，有种安排方案； 第二步，安排4名男性普法员去三个社区，总共有种情况， 其中一个社区没人，即都在女性普法员所在社区，共有种情况， 因为社区至少有1名普法员，所以男性普法员的安排方案有种； 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的方案. 14．若等差数列满足，则_____________. 【答案】 【详解】因为数列为等差数列，且， 所以， 所以， 同理， 又， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求； (2)若，求周长l的最大值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用三角形角的关系以及三角函数的和角公式化简已知条件，求得，进而求出答案. （2）利用余弦定理化简已知条件，结合基本不等式求得周长的最大值. 【详解】（1）在中，，则， 代入，得， 化简得：，显然，则， 由于，则，由， 因此. （2）周长，要求周长的最大值，即求的最大值， 已知，，代入余弦定理可得， 则， 因此要求的最大值，即求的最大值， 利用基本不等式得，当时，取最大值， 此时， 因此，周长的最大值为. 16．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)证明见解析 【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间； （2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立. 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 17．某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)认为材料配方与耐热疲劳性能有关联 【分析】（1）按照样本总量比例计算A和B配方的抽样数量； （2）用卡方独立性检验判断配方类型与性能是否有关 【详解】（1）由已知合金部件应抽取件，合金部件应抽取件，由此可得列联表如下 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 （2）零假设为：材料配方与耐热疲劳性能无关联， 由表知，，，，，， 代入公式得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 18．抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （i）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）或 【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组，即可求解； （2）（i）设直线，，联直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间的关系，得，即可求解；（ii）根据条件，将问题转化成到直线的距离相等，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）因为抛物线上的一点到焦点的距离为， 则，消得到，解得，所以抛物线的标准方程. （2）（i）由题可设，， 由，消得到，则，， 又，所以，令，得到， 所以，又轴，则，得到， 所以，解得，则，所以直线过定点. （ii）因为在抛物线上，则，解得，所以，由（i）知， 又点为抛物线的准线与轴的交点，则，又的面积与的面积相等， 则到直线的距离相等，所以，即，解得， 所以直线的方程为或. 19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可； （2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得，根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可； （3）法一：根据定义作出线面角，设，则，利用余弦定理计算得，利用构造关于的方程，求解即可； 法二：如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解. 【详解】（1）由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； （2）由平面平面，得， 又平面，则平面， 由平面，得，即， 又，即， 解得， 过点作于点，由平面平面，得， 又平面，则平面，因此点到平面的距离为线段的长. 在中，， 所以点到平面的距离为. （3）方法一：过点作交于点，连接， 由平面，得平面，则为直线与平面所成的角， 依题意，， 设， 则， ， 在中，根据余弦定理，， 由，得， 因此，整理得，即， 解得或，因为，所以. 方法二：由（2）知，平面平面，过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：， 所以，， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 取平面的法向量， 则， 整理得，即，解得：或（舍）， 所以，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $