精品解析：河南叶县高级中学2026届高三数学5月模拟预测试卷

河南省叶县高中2026年5月高三数学模拟预测试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，分别过、作斜率为、的直线、，若和的交点在双曲线上，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（      ） A. B. C. D. 6. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. C. 抛物线的准线与圆相切 D. 过抛物线焦点的直线与圆相交 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，之间的关系满足，假设，若，之间具有线性相关关系，且与对应的线性回归方程为， B. 已知随机变量，则 C. 若，，则 D. 若随机变量的概率分布为且是常数，则 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 的取值范围为 C. 若，则的最大值为 D. 的最大值为 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则（ ） A. 直线与平面平行 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 平面与平面的夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则___________． 13. 设数列满足，且对任意的，满足，则___________． 14. 若，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗项目的传承人各1名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排1名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课. （1）求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率； （2）在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量X，Y，定义协方差为.如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关.在参与授课的4名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为，不在对应项目工坊授课的传承人数为. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明X，Y之间的线性相关关系. 16. 如图，已知梯形中，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）证明：，，成等差数列； （2）若，延长至，使得，求． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程： （2）已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，，成等差数列，求． 19. 设函数，，数列的各项都是正数． （1）讨论的单调性； （2）已知是的极小值点． （i）若，且，求数列的通项公式； （ii）若数列是等比数列，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省叶县高中2026年5月高三数学模拟预测试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义判断即可. 【详解】因为， 则． 2. 设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 则，则的虚部为. 3. 甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】若甲是第一名，则剩下名同学名次排列共有种，若甲是第二名，则剩下名同学名次排列共有种， 所以人名次排列的所有可能情况共有种. 4. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，分别过、作斜率为、的直线、，若和的交点在双曲线上，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线定义得到焦点坐标，即可根据斜率和点的坐标利用点斜式写出的直线方程；联立方程得到交点坐标，根据交点在双曲线上建立的齐次式求出离心率． 【详解】由题意知：， 则直线方程：；直线方程：； 联立方程可得交点坐标：， 因为交点在双曲线上，故满足双曲线方程，代入可得：； 由双曲线定义可知，满足：；代入； 可得：， 两边同乘去分母可得：， 即：，两边同除， 可得：，即； 解得或；因为双曲线离心率； 故，因此双曲线的离心率为． 5. 已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将向量问题几何化，设终点为定点（距原点），终点在与夹角的射线上，终点在以为圆心、半径为的圆上；则即点到圆上点的距离，其最小值为点到射线的距离减去圆半径，即可得答案． 【详解】 如图，令，，，则，， 又，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以的最小值为， 又，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为，即的最小值为． 6. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，正弦定理，三角恒等变换得，进而得，再结合锐角三角形求得，最后求解范围即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以，所以． 因为， 所以，即， 所以． 因为是锐角三角形，，， 所以，即． 因为， 所以，所以． 因为，所以， 所以． 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. C. 抛物线的准线与圆相切 D. 过抛物线焦点的直线与圆相交 【答案】BCD 【解析】 【详解】A选项，由，故圆心为，A错误； B选项，联立抛物线与圆消去得， 解得或，当时，，不合要求，舍去； 当时，，解得，即，则，B正确； C选项，抛物线的准线为，圆心到的距离为2，等于圆的半径， 故抛物线的准线与圆相切，C正确； D选项，抛物线焦点坐标为，此时直线过圆的圆心，则与圆一定相交，D正确. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，之间的关系满足，假设，若，之间具有线性相关关系，且与对应的线性回归方程为， B. 已知随机变量，则 C. 若，，则 D. 若随机变量的概率分布为且是常数，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对A，，则，，故，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故，故C错误； 对D，由可知，， 而，解得，故D错误. 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 的取值范围为 C. 若，则的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项：将转化为三角恒等式，结合在内的三角函数单调性判断两个条件是否互为充要条件；选项：将已知两式相加得到的三角表达式，通过辅助角公式化简后结合角的取值范围计算值域判断正误；选项：在的条件下替换，化简的表达式，利用三角恒等变换和最值公式求最大值，验证等号成立条件判断正误；选项：将已知两式分别平方后相加，化简得到的表达式，结合余弦差角公式的有界性和角的范围求最大值判断正误. 【详解】选项，若，则显然；若，则，整理得，由，得，则，则正确． 选项,，由，得，则，则的取值范围为，正确． 选项,由，得，则，不正确． 选项,，当且仅当时，等号成立，正确． 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则（ ） A. 直线与平面平行 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量法判断位置关系后可判断A的正误，利用空间距离计算外接球的球心后求得半径，再结合公式求出表面积后判断B，利用等积转化求出体积后判断C，利用向量法求出面面角的余弦值后可判断D的正误. 【详解】 以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 对于A，，， 设平面的法向量为，则， 所以，取， 因为，故直线与平面不平行，故A错误； 对于B，设四面体的外接球的球心为，半径为， 则， 故即， 故，故外接球的表面积为，故B正确； 对于C，因为到平面的距离即为棱长， 故，故C正确； 对于D，因为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式与二倍角公式化简计算. 【详解】由同角三角函数关系可得：，代入右侧通分整理得： 因此得： 由二倍角余弦公式得： . 13. 设数列满足，且对任意的，满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质可得，进而得，利用累加法即可求解. 【详解】一方面，， 另一方面，，故， 则，所以不等式必取等号，故． 通过累加法，可以得到， 故． 14. 若，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，将问题转化为，进而构造函数，再结合导数研究函数，的性质得，进而求得答案. 【详解】由题可得，， 由不等式可知，令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，又时，，时，，所以． 因为，所以， 所以原不等式等价于， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增， 又，所以要使对成立， 所以，解得，又，所以，即的取值范围为． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗项目的传承人各1名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排1名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课. （1）求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率； （2）在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量X，Y，定义协方差为.如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关.在参与授课的4名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为，不在对应项目工坊授课的传承人数为. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明X，Y之间的线性相关关系. 【答案】（1） （2）（ⅰ） 0 1 2 4 （ⅱ），与之间具有负相关关系 【解析】 【分析】（1）在剪纸传承人已固定的条件下，将问题转化为古典概型，结合条件概率即可求解； （2）（ⅰ）利用组合选人结合错位排列的思路即可求解；（ⅱ）由题意得，将协方差转化为，结合随机变量的方差公式即可求解. 【小问1详解】 设“剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课”为事件A， “皮影项目的传承人不在皮影工坊授课”为事件B， 剪纸项目的传承人在剪纸工坊，剩下3人全排列，即， 皮影项目的传承人只能在除剪纸项目与皮影项目剩下的2个项目中选1个，即， 剩下2人全排列，即，所以， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得总分配方案数为，设4人为1，2，3，4，对应的工坊为, 当时，4人都在自己对应的工坊，只有1种情况， 即， 当时，从4人中选2人在对应工坊，有种选法， 剩下两人都不在对应工坊，只有1种排法，共有种排法， 即， 当时，从4个人中选1人在对应工坊，有种选法， 剩下三人必须不在对应的工坊，不妨设剩下的3人为， 1不在，只能在中选，有种选法， 只能调换位置，有1种排法，共种排法， 即， 则， 随机变量的分布列如下： 0 1 2 4 （ⅱ）由题意得， 由上可得， ， 则， ， 则 因为协方差为负数，由题意得随机变量与之间具有负相关关系. 16. 如图，已知梯形中，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角的大小为． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为在梯形中，，点是的中点， 所以四边形是正方形，所以， 所以将沿折起到的位置时，， 又平面，所以平面． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）通过，即可求证； （2）由等体积法即可求解； （3）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知是二面角的平面角，， 在中，， 在和中，， 所以，所以的面积为， 在平面中，作，与的延长线交于点， 则平面，由知， 的面积为， 设点到平面的距离为，由三棱锥的体积得， 所以点到平面的距离． 【小问3详解】 以，为轴，轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）证明：，，成等差数列； （2）若，延长至，使得，求． 【答案】（1）证明：因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 由正弦定理得，，所以，，成等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知结合两角和的正弦公式，诱导公式及正弦定理即可证明； （2）由及已知得出是等边三角形，设，则，由余弦定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，代入，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 设，则， 在中，由余弦定理， 得， 所以． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程： （2）已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，，成等差数列，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线定义求出点的轨迹方程，再利用坐标代换法求出曲线的方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率公式列式求解. 【小问1详解】 由，得点的轨迹是以为左右焦点，实轴长为2的双曲线， 实半轴长，半焦距，虚半轴长， 因此点的轨迹方程为，设，由，得， 于是，即，所以曲线的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，， 由消去得，， 则，，， 由，，成等差数列，得，即， 则，即，所以. 19. 设函数，，数列的各项都是正数． （1）讨论的单调性； （2）已知是的极小值点． （i）若，且，求数列的通项公式； （ii）若数列是等比数列，求的取值范围． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，没有递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求导并因式分解得到导数零点，再根据与的大小关系分类讨论，确定函数单调区间。 （2）（i）由确定极小值点，推出递推关系，结合首项求等比数列通项； （ii） 按​范围分类验证，排除矛盾情况，结合等比数列性质得出​的取值范围． 【小问1详解】 的定义域为， ， ，其中， 当时，或时，；时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，，所以的单调递增区间为，没有递减区间； 当时，或时，；时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 （i）因为，所以， 所以由（1）知是的极小值点，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． （ii）当时，， 由（1）知是的极小值点，所以，即， 由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾； 当时，， 由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾； 当时，，由（1）知的极小值点， 因为是等比数列，所以公比，所以. 令，则， 当时，，， 因为， 所以时，，，， 又，，所以，， 时，， 故当时，对任意均有，由（1）知是的极小值点，这与的递推关系一致， 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $