河南叶县高级中学2026届高三数学5月模拟预测试卷

**基本信息** 以非遗文化、劳动技术比赛等真实情境为载体，通过集合、复数、概率、立体几何等多模块知识综合考查数学眼光、思维与语言，适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、概率、双曲线、向量、函数单调性|结合劳动技术比赛（3题）考查逻辑推理| |填空题|3题15分|三角函数、数列、不等式|考查数学抽象与运算能力| |解答题|5题77分|概率统计（非遗文化）、立体几何折叠、解三角形、圆锥曲线、函数与数列|非遗文化概率题（15题）体现文化传承，立体几何折叠（16题）考查空间观念，函数与数列综合（19题）发展创新意识|

河南省叶县高中2026年5月高三数学模拟预测试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义判断即可. 【详解】因为， 则． 2．已知复数满足，是的共轭复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由复数满足， 可得， 则，其虚部为． 3．甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】若甲是第一名，则剩下名同学名次排列共有种，若甲是第二名，则剩下名同学名次排列共有种， 所以人名次排列的所有可能情况共有种. 4．已知双曲线的左､右焦点分别为、，分别过、作斜率为、的直线、，若和的交点在双曲线上，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线定义得到焦点坐标，即可根据斜率和点的坐标利用点斜式写出的直线方程；联立方程得到交点坐标，根据交点在双曲线上建立的齐次式求出离心率． 【详解】由题意知：， 则直线方程：；直线方程：； 联立方程可得交点坐标：， 因为交点在双曲线上，故满足双曲线方程，代入可得：； 由双曲线定义可知，满足：；代入； 可得：， 两边同乘去分母可得：， 即：，两边同除， 可得：，即； 解得或；因为双曲线离心率； 故，因此双曲线的离心率为． 5．已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将向量问题几何化，设终点为定点（距原点），终点在与夹角的射线上，终点在以为圆心、半径为的圆上；则即点到圆上点的距离，其最小值为点到射线的距离减去圆半径，即可得答案． 【详解】 如图，令，，，则，， 又，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以的最小值为， 又，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为，即的最小值为． 6．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理，正弦定理，三角恒等变换得，进而得，再结合锐角三角形求得，最后求解范围即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以，所以． 因为， 所以，即， 所以． 因为是锐角三角形，，， 所以，即． 因为， 所以，所以． 因为，所以， 所以． 7．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8．已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心坐标为 B． C．抛物线的准线与圆相切 D．过抛物线焦点的直线与圆相交 【答案】BCD 【详解】A选项，由，故圆心为，A错误； B选项，联立抛物线与圆消去得， 解得或，当时，，不合要求，舍去； 当时，，解得，即，则，B正确； C选项，抛物线的准线为，圆心到的距离为2，等于圆的半径， 故抛物线的准线与圆相切，C正确； D选项，抛物线焦点坐标为，此时直线过圆的圆心，则与圆一定相交，D正确. 9．下列说法正确的是（   ） A．已知，之间的关系满足，假设，若，之间具有线性相关关系，且与对应的线性回归方程为， B．已知随机变量，则 C．若，，则 D．若随机变量的概率分布为且是常数，则 【答案】AB 【详解】对A，，则，，故，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故，故C错误； 对D，由可知，， 而，解得，故D错误. 10．已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．的取值范围为 C．若，则的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】选项：将转化为三角恒等式，结合在内的三角函数单调性判断两个条件是否互为充要条件；选项：将已知两式相加得到的三角表达式，通过辅助角公式化简后结合角的取值范围计算值域判断正误；选项：在的条件下替换，化简的表达式，利用三角恒等变换和最值公式求最大值，验证等号成立条件判断正误；选项：将已知两式分别平方后相加，化简得到的表达式，结合余弦差角公式的有界性和角的范围求最大值判断正误. 【详解】选项，若，则显然；若，则，整理得，由，得，则，则正确． 选项,，由，得，则，则的取值范围为，正确． 选项,由，得，则，不正确． 选项,，当且仅当时，等号成立，正确． 11．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则（   ） A．直线与平面平行 B．四面体的外接球的表面积为 C．三棱锥的体积为 D．平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】利用向量法判断位置关系后可判断A的正误，利用空间距离计算外接球的球心后求得半径，再结合公式求出表面积后判断B，利用等积转化求出体积后判断C，利用向量法求出面面角的余弦值后可判断D的正误. 【详解】 以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 对于A，，， 设平面的法向量为，则， 所以，取， 因为，故直线与平面不平行，故A错误； 对于B，设四面体的外接球的球心为，半径为， 则， 故即， 故，故外接球的表面积为，故B正确； 对于C，因为到平面的距离即为棱长， 故，故C正确； 对于D，因为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则___________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系式与二倍角公式化简计算. 【详解】由同角三角函数关系可得：，代入右侧通分整理得： 因此得： 由二倍角余弦公式得： . 13．设数列满足，且对任意的，满足，则___________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质可得，进而得，利用累加法即可求解. 【详解】一方面，， 另一方面，，故， 则，所以不等式必取等号，故． 通过累加法，可以得到， 故． 14．若，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】令，将问题转化为，进而构造函数，再结合导数研究函数，的性质得，进而求得答案. 【详解】由题可得，， 由不等式可知，令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，又时，，时，，所以． 因为，所以， 所以原不等式等价于， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增， 又，所以要使对成立， 所以，解得，又，所以，即的取值范围为． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗项目的传承人各1名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排1名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课. (1)求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率； (2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量X，Y，定义协方差为.如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关.在参与授课的4名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为，不在对应项目工坊授课的传承人数为. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明X，Y之间的线性相关关系. 【答案】(1) (2)（ⅰ） 0 1 2 4 （ⅱ），与之间具有负相关关系 【分析】（1）在剪纸传承人已固定的条件下，将问题转化为古典概型，结合条件概率即可求解； （2）（ⅰ）利用组合选人结合错位排列的思路即可求解；（ⅱ）由题意得，将协方差转化为，结合随机变量的方差公式即可求解. 【详解】（1）设“剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课”为事件A， “皮影项目的传承人不在皮影工坊授课”为事件B， 剪纸项目的传承人在剪纸工坊，剩下3人全排列，即， 皮影项目的传承人只能在除剪纸项目与皮影项目剩下的2个项目中选1个，即， 剩下2人全排列，即，所以， 所以. （2）（ⅰ）由题意得总分配方案数为，设4人为1，2，3，4，对应的工坊为, 当时，4人都在自己对应的工坊，只有1种情况， 即， 当时，从4人中选2人在对应工坊，有种选法， 剩下两人都不在对应工坊，只有1种排法，共有种排法， 即， 当时，从4个人中选1人在对应工坊，有种选法， 剩下三人必须不在对应的工坊，不妨设剩下的3人为， 1不在，只能在中选，有种选法， 只能调换位置，有1种排法，共种排法， 即， 则， 随机变量的分布列如下： 0 1 2 4 （ⅱ）由题意得， 由上可得， ， 则， ， 则 因为协方差为负数，由题意得随机变量与之间具有负相关关系. 16．（15分）如图，已知梯形中，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）通过，即可求证； （2）由等体积法即可求解； （3）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）证明：因为在梯形中，，点是的中点， 所以四边形是正方形，所以， 所以将沿折起到的位置时，， 又平面，所以平面． （2）由（1）知是二面角的平面角，， 在中，， 在和中，， 所以，所以的面积为， 在平面中，作，与的延长线交于点， 则平面，由知， 的面积为， 设点到平面的距离为，由三棱锥的体积得， 所以点到平面的距离． （3）以，为轴，轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 17（15分）．记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：，，成等差数列； (2)若，延长至，使得，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知结合两角和的正弦公式，诱导公式及正弦定理即可证明； （2）由及已知得出是等边三角形，设，则，由余弦定理即可求解． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 由正弦定理得，，所以，，成等差数列． （2）因为，代入，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 设，则， 在中，由余弦定理， 得， 所以． 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程： (2)已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，，成等差数列，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用双曲线定义求出点的轨迹方程，再利用坐标代换法求出曲线的方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率公式列式求解. 【详解】（1）由，得点的轨迹是以为左右焦点，实轴长为2的双曲线， 实半轴长，半焦距，虚半轴长， 因此点的轨迹方程为，设，由，得， 于是，即，所以曲线的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，， 由消去得，， 则，，， 由，，成等差数列，得，即， 则，即，所以. 19．（17分）设函数，，数列的各项都是正数． (1)讨论的单调性； (2)已知是的极小值点． （i）若，且，求数列的通项公式； （ii）若数列是等比数列，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，没有递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先求导并因式分解得到导数零点，再根据与的大小关系分类讨论，确定函数单调区间。 （2）（i）由确定极小值点，推出递推关系，结合首项求等比数列通项； （ii） 按​范围分类验证，排除矛盾情况，结合等比数列性质得出​的取值范围． 【详解】（1）的定义域为， ， ，其中， 当时，或时，；时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，，所以的单调递增区间为，没有递减区间； 当时，或时，；时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）（i）因为，所以， 所以由（1）知是的极小值点，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． （ii）当时，， 由（1）知是的极小值点，所以，即， 由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾； 当时，， 由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾； 当时，，由（1）知的极小值点， 因为是等比数列，所以公比，所以. 令，则， 当时，，， 因为， 所以时，，，， 又，，所以，， 时，， 故当时，对任意均有，由（1）知是的极小值点，这与的递推关系一致， 所以的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省叶县高中2026年5月高三数学模拟预测试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，是的共轭复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．已知双曲线的左､右焦点分别为、，分别过、作斜率为、的直线、，若和的交点在双曲线上，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 5．已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8．已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心坐标为 B． C．抛物线的准线与圆相切 D．过抛物线焦点的直线与圆相交 9．下列说法正确的是（   ） A．已知，之间的关系满足，假设，若，之间具有线性相关关系，且与对应的线性回归方程为， B．已知随机变量，则 C．若，，则 D．若随机变量的概率分布为且是常数，则 10．已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．的取值范围为 C．若，则的最大值为 D．的最大值为 11．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则（   ） A．直线与平面平行 B．四面体的外接球的表面积为 C．三棱锥的体积为 D．平面与平面的夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则___________． 13．设数列满足，且对任意的，满足，则___________． 14．若，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗项目的传承人各1名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排1名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课. (1)求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率； (2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量X，Y，定义协方差为.如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关.在参与授课的4名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为，不在对应项目工坊授课的传承人数为. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明X，Y之间的线性相关关系. 16．（15分）如图，已知梯形中，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值． 17．（15分）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：，，成等差数列； (2)若，延长至，使得，求． 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程： (2)已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，，成等差数列，求． 19．（17分）设函数，，数列的各项都是正数． (1)讨论的单调性； (2)已知是的极小值点． （i）若，且，求数列的通项公式； （ii）若数列是等比数列，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $